2024泸县五中高三上学期开学考试数学（理）含答案

泸县五中高2021级高三上学期开学考试

理科数学

第I卷  选择题（60分）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，集合，则

A．        B．           C．          D．

2．已知，则

A． B． C．0 D．1

3．从，，，，中任取两个不同的数，记为，则成立的概率为

A． B． C． D．

4．函数f(x)的图象向右平移一个单位长度，所得图象与y=ex关于y轴对称，则f(x)=

A． B． C． D．

5．如果一次伯努利试验中，出现“成功”的概率为，记次独立重复试验中出现“成功”的次数为，则

A． B． C． D．

6．在的展开式中，的系数为

A．120 B．84 C．210 D．126

7．下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有

    A．直径为的球体

B．所有棱长均为的四面体

C．底面直径为，高为的圆柱体

D．底面直径为，高为的圆柱体

8．教室的图书角摆放了一些阅读书目，其中有3本相同的论语、6本互不相同的近代文学名著，现从这9本书中选出3本，则不同的选法种数为

A．84 B．42 C．41 D．35

9．在棱长为2的正方体中，分别取棱，的中点E，F，点G为EF上一个动点，则点G到平面的距离为

A． B． C．1 D．

10．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P在椭圆C上，且，过P作的垂线交x轴于点A，若，记椭圆的离心率为e，则

A． B． C． D．

11．已知，，，则

A． B． C． D．

12．若时，关于的不等式恒成立，则的取值范围为

A． B． C． D．

第II卷  非选择题（90分）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．写出“”的一个充分不必要条件     ．

14．牛膝是苋科多年生药用草本植物，具有活血通经、补肝肾、强筋骨等功效，可用于治疗腰膝酸痛等症状．某农户种植牛膝的时间（单位：天）和牛膝的根部直径（单位：）的统计表如下：

由上表可得经验回归方程为，若此农户准备在时采收牛膝，据此模型预测，此批牛滕采收时间预计是第      天．

15．椭圆过点且上顶点到轴的距离为1，直线过点与椭圆交于A，两点且中点在坐标轴上，则直线的方程为        ．

16．已知等腰直角的斜边，沿斜边的高线将折起，使二面角为，则四面体的外接球的表面积为         .

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分。

17．为积极响应国家医药卫生体制改革及2023年全国文化科技“三下乡”活动要求，真正让“人民至上”理念落实落地，着力推动优质医疗资源重心下移、力量下沉，不断增强医疗服务的“深度”和“温度”.我市人民医院打算从各科室推荐的6名医生中任选3名去参加“健康送下乡，义诊暖人心”的活动.这6名医生中，外科医生、内科医生、眼科医生各2名.

(1)求选出的外科医生人数多于内科医生人数的概率；

(2)设表示选出的3人中外科医生的人数，求的均值与方差.

18．如图，已知正三棱柱中，点分别为棱的中点.

    (1)若过三点的平面，交棱于点，求的值；

(2)若三棱柱所有棱长均为2，求与平面所成角的正弦值.

19．某市为了解该市小学生在“双减”政策下课外活动的时间，随机抽查了50名小学生，统计了他们参加课外活动的时间，并绘制了如下的频率分布直方图，如图所示.

(1)由频率分布直方图估计小学生课外活动时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）；

(2)由频率分布直方图可认为：课外活动时间t（分钟）近似服从正态分布，其中为样本中课外活动时间的平均数.用频率估计概率，在该市随机抽取10名学生，记课外活动时间在内的人数为X，求X的数学期望（精确到0.1）.

参考数据：当t服从正态分布时，，，.

20．已知函数.

(1)若，求的值；

(2)证明：当时，成立.

21．在圆上任取一点，过点作轴的垂线段为垂足，线段上一点满足.记动点的轨迹为曲线

(1)求曲线的方程；

(2)设为原点，曲线与轴正半轴交于点，直线与曲线交于点，与轴交于点，直线与曲线交于点，与轴交于点，若，求证：直线经过定点.

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分．

22．（选修4-4 极坐标与参数方程）

在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为，（为参数）．以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

(1)求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；

(2)若是曲线上一点，是直线上一点，求的最小值．

23．（选修4-5 不等式选讲）

已知函数.

（1）求不等式的解集；

（2）证明：当时，.