2022-2023学年四川省成都市各区八年级下册数学期末试题分类汇编：B卷压轴题几何、函数综合

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一、B卷几何综合
1．如图1，有等边和等边，将绕点顺时针旋转，得到图2所示的图形．

(1)求证：；
(2)如图3，若，，且旋转角为时，求的度数；
(3)如图4，连接，并延长交于点，若旋转至某一位置时，恰有，，求的值．
【答案】(1)见详解
(2)
(3)
【分析】（1）由旋转可得，可证，，即可求证；
（2）过点作于点，取的中点，连接， 可求，
从而可求，可证是等边三角形，即可求解；
（3）可求，，，从而可求，可证，，即可求解．
【详解】（1）证明：由旋转得：
，
、是等边三角形，
，，
在与中，
，
（）．
（2）解：如图，过点作于点，取的中点，连接，

旋转角为，
，
由（1）得：，
，
在中，，
，
，
，
是等边三角形，
，
．
（3）解：同理可证，
，，
，
是等边三角形，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定及性质，等腰三角形行的性质，三角形全等的性质与判定、直角三角形的性质，掌握相关的判定方法及性质是解题的关键．
2．在等腰直角中，，，将直角边AC绕点A顺时针旋转得到AP，旋转角为，连接CP，PB．

(1)如图1，当时，求BP的长；
(2)如图2，若，且D为AB中点，连接PD，猜想CP和DP的数量关系，并说明理由；
(3)在旋转过程中，当时，求旋转角的度数．
【答案】(1)
(2)，见解析
(3)或
【分析】（1）点P落在上，解等腰直角，，所以；
（2）解：如图，延长到点F，使得，连接，可证，于是，，结合三角形内和定理，可求证，于是，得，所以；
（3）解：分两种情况：①当点P在内部，如图 ，过点P作，交于点G，过点C作，垂足为E，求证，于是，所以，中 ，，于是；②当点P在外部，如图，延长，交于点I，过点A作,垂足为点H，求证，于是，进一步证得，，而，所以，即．
【详解】（1）解：时，点P落在上，
等腰直角中，，
∴
∴
（2）解：如图，延长到点F，使得，连接
∵，，
∴
∴，
∵，
∴
∵
∴
中，，
∴
∴

∴
∵
∴
∴
∴
∴
而
∴
（3）解：分两种情况：①当点P在内部
如图 ，过点P作，交于点G，过点C作，垂足为E，

∵
∴，
中，
∴
由（2）推证知
∴
又，
∴
∴
又
∴中 ，
∴
②当点P在外部
如图，延长，交于点I，过点A作,垂足为点H

∵
∴，
∵，，
∴
∴
又
∴
∴
∵
∴
∴
∴
即
综上，或
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，特殊直角三角形，勾股定理，注意动态问题的分类讨论，添加辅助线构造全等三角形，寻求线段之间的关系是解题的关键．
3．（1）尝试解决：如图1，在中，，，点M在边上运动（M不与点E，F重合），连接，过点D作线段，垂足为点D，且，连接，求出的度数；
（2）类比探究：如图2，在中，，，点M在边上运动（M不与点E，F重合），连接，以为腰在上方作等腰，其中，，试问线段之间有怎样的等量关系？写出结论并证明；
（3）拓展应用：如图3，在中，，，在左侧作，若，，求出的长度．

【答案】（1）；（2），证明见解析；（3）
【分析】（1）先根据等边对等角求出，再证明即可得到，则；
（2）如图所示，连接，同理可证，得到，由勾股定理得，由勾股定理得，则；
（3）如图所示，过点D作且，连接， 证明，得到，利用勾股定理得到，再证明，则可利用勾股定理求出．
【详解】解：（1）∵在中，，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（2），证明如下：
如图所示，连接，
同理可证，
∴，，
∴；
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴；

（3）如图所示，过点D作且，连接，
∴，，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．

【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
4．在平行四边形中，，，将沿对角线翻折，点B的对应点为点E，线段与边交于点F．

(1)如图1，，求的度数；
(2)若是以为腰的等腰三角形，求线段的长；
(3)如图2，连接，的延长线交于点N，的延长线交于点M，当点M到的距离最小值时，求出此时的面积．
【答案】(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）根据平行四边形的性质和折叠的性质，即可求解；
（2）分两种情况：若，若，结合平行四边形的性质和等腰直角三角形的判定和性质，即可求解；
（3）过点M作于点Q，可得是等腰直角三角形，从而得到当最小时，最小，即当最小时，点M到的距离最小，此时，过点A作于点S，于点T，此时是等腰直角三角形，可得，再由是等腰直角三角形，可得， 从而得到，是等腰直角三角形，进而得到，然后由折叠的性质可得，即可求解．
【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
由折叠的性质得：，
∴；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
若，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
由折叠的性质得：，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
设，则，
∴，
解得：，
即；
若，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴；
综上所述，线段的长为或；
（3）解：如图，过点M作于点Q，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
即，
∴当最小时，最小，即当最小时，点M到的距离最小，此时，
过点A作于点S，于点T，此时是等腰直角三角形，

∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∴，是等腰直角三角形，
∴，
∴，
由折叠的性质得：，
∴．
【点睛】本题主要考查四边形的综合题，熟练掌握平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，翻折的性质等知识是解题的关键．
5．在中，，，点，为边上的一个动点，以为边作等边，与相交于，连接，将等边绕点旋转．

(1)如图1，当点在上，四边形是平行四边形时，求线段的长；
(2)如图2，当点恰好落在上时，此时点与点重合，连接，若，，共线，求线段的长；
(3)如图3，在等边在旋转的过程中，所在的直线与相交于点，当时，若，，求线段的长．
【答案】(1)5
(2)
(3)4
【分析】（1）可得出，，，根据含度角的直角三角形的性质，求得结果；
（2）可得出，，，勾股定理解直角三角形求得，进而求得；
（3）将绕点顺时针旋转至，连接，可得出，，，，从而得出是等边三角形，于是可求得，，从而得出，从而求得，进一步得出结果．
【详解】（1）解：，，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
是等边三角形，
，，
；
（2）如图1，

作于，
，
是等边三角形，
，，
，，
，
，，
，
，
在中，，，
，
，
，
，
；
（3）如图2，

将绕点顺时针旋转至，连接，
，，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了旋转的性质，解直角三角形等知识，解题关键是利用旋转作辅助线．
6．【一线三等角模型】如图1，在等腰直角三角形中，，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，请直接写出图中相等的线段（除已知边外）
【模型运用】如图2，在等边中，D，E分别为边上的点，，，连接.若，求证：；
【能力提升】如图3，在等边中，，点A，点C分别为边上的动点，，连接，以为边在内作等边，连接，当点A从点E运动到点D，请在图3中作出点B的运动轨迹，并求出点B的运动路程．

【答案】【一线三等角模型】．
【模型运用】见解析
【能力提升】轨迹就是的角平分线；
【分析】【一线三等角模型】如图1，证明即可．
【模型运用】在上截取，构造一线三等角模型，证明，利用全等三角形的性质和等角对等边原理证明即可．
【能力提升】在上截取，构造一线三等角模型，仿照模型运用，来证明，利用全等三角形的性质和等角对等边原理，勾股定理计算即可．
【详解】【一线三等角模型】 如图1，∵，，
∴，，
∴，

在和中，
∴，
∴．
【模型运用】如图，在上截取，
∵等边，
∴，
∴，；

∵，，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【能力提升】如图，在上截取，
∵等边，，
∴，
∴，；

∵等边，
∴，
∴；
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
∵，，
∴
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴是的角平分线，设角的平分线与的交点为点N，
∴当点A从点E运动到点D，点B的运动轨迹就是的角平分线，
∵等边，，
∴
∴。
故．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，一线三等角全等模型，勾股定理，熟练掌握模型并活用勾股定理是解题的关键．
7．如图1，是等边三角形，，射线，点D（不与点B重合）为射线BN上一动点，连接，将线段绕点A逆时计旋转得到线段，连接，延长交射线于点F．

(1)求证：；
(2)问线段的长是否随着点D的移动而发生变化？若不变，求出的长；若要变，说明理由；
(3)当点D在射线上移动时，过点E作，垂足为点P，设，求的长（用含m的代数式表示）．
【答案】(1)证明见解析；
(2)不变，；
(3)的长为或0或．
【分析】（1）利用等边三角形的性质和旋转的性质，证明，即可得到；
（2）连接交于点G，先证明，得到，，进而得到，再利用勾股定理，即可求出的长；
（3）分三种情况讨论：①当时，连接，利用全等三角形的性质，得到，再根据30度角所对的直角边等于斜边一半，得到，进而得到，然后根据，即可求出的长；②当时，此时与重合，利用等边三角形的判定和性质，结合三角形内角和定理，证明点P与点D重合，即可求出的长；③当时，连接，同①理可知，，然后根据即可求出的长．
【详解】（1）证明：是等边三角形，
，，
由旋转的性质可知，，，
，
，
在和中，
，
；
（2）解：不变，理由如下：
如图，连接交于点G，

，
，
，
在和中，
，
，
，，
在中，，
由勾股定理得：，
，
线段的长为定值，不随着点D的移动而发生变化；
（3）解：①如图，当时，连接，

，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
；
②如图，当时，此时与重合，

，，
是等边三角形，
，
，
，
点P与点D重合，
；
③如图，当时，连接，

，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
综上可知，的长为或0或．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，30度角所对的直角边等于斜边一半，三角形内角和定理等知识，利用分类讨论的思想，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．
8．综合与实践：
问题情境：数学课上，小广和小都两位同学利用三角板操作探究图形的旋转问题．
操作探究：小广将两块全等的含角的直角三角板按如图①方式在平面内放置，其中两锐角顶点重合于点，，已知长，则点、之间的距离为______．
操作探究：小都将两块全等的含角的直角三角板按如图②方式在平面内放置．
其中两个角顶点重合于点，与重合，已知长，请你帮小都同学求出此时点、之间的距离；
操作探究：随后，小将图②中的换成了含角的三角板，同相是顶点重合于点，与重合，已知直角边与长均为，他还想求点，之间距离，小广提出，如果把三角板也换成了含角的三角板，并利用旋转的知识，结论将更容易得到，你能求出此时点，之间的距离吗？

【答案】操作探究1：；操作探究2：；操作探究3：能，cm．
【分析】操作探究：连接证明四边形为正方形，根据已知可得、、三点共线结合已知条件，由勾股定理在直角三角形中可求得的长；
操作探究：连接.由已知条件可得三角形为正三角形，进而得，，则，在直角三角形中，根据勾股定理可得的长；
操作探究：过作的延长线于点，过作的延长线于点，则四边形是矩形，根据矩形的性质可得，连接，可证明三角形全等于三角形，则，进而得三角形为等腰直角三角形，在直角三角形中可得的长，充分利用直角三角形中度角对的直角边等斜边的一半的性质．利用等腰直角三角形中斜边等于直角边的倍即可解决．
【详解】操作探究：解：连接，

，，，
且，
四边形是正方形，
，，，
，
、、三点共线，
，
在直角三角形中，根据勾股定理可得：，
，
解得：（负值舍去），
故答案为：；
操作探究：连接，

，，
是等边三角形，
，，
在中，，，
，，
，
，
，
在中，由勾股定理得：
，
，
解得：（负值舍去）；
操作探究：过作的延长线于点，过作的延长线于点，

，
四边形是矩形，
，
连接，
为中点且，
，
，即
，
，
，
，
，，
，
在中，由勾股定理得，
，
，
解得：或舍去，

，
，
是等腰直角三角形，
；
【点睛】本题考查了勾股定理，直角三角形中，度角所对的直角边等于斜边的一半，等腰直角三角形中，斜边等于直角边的倍，矩形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，三角形全等的判定和性质．
9．在中，，点为直线BC上一动点，，．

(1)如图1，连接交于，，为中点，若，，求的长；
(2)如图2，延长至点使得，连接，求证：；
(3)如图3，，，作点关于直线的对称点，连接，，当最小时，直接写出线段的长．
【答案】(1)4
(2)见解析
(3)
【分析】（1）由同角的余角相等可得，由可证明，得到，由结合勾股定理得到，计算即可得到答案；
（2）延长至，使，连接，由证明，得到，由证明，得到，从而得证；
（3）取的中点，连接并延长交于，令与相交于点，由可证明，得到，由，可得，，点的轨迹为直线，交于，连接，再将该直线沿翻折可得到的轨迹，则，此时，作交的延长线于，作交于，由含有角的直角三角形的性质以及勾股定理可得，，由等面积法可得，从而得到， ，由对称的性质可得，，，当时，最小，在中，由含有角的直角三角形的性质、勾股定理以及等面积法可求得的长，从而得到答案．
【详解】（1）解：为中点，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）证明：延长至，使，连接，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
；
（3）解：如图，取的中点，连接，令、交于点，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，，
，
点的轨迹为直线，交于，连接，再将该直线沿翻折可得到的轨迹，则，此时，
作交的延长线于，
，
，，，
，，
，
作交于，
，
，
，
，，
，
，
点关于直线的对称点，
，，，
当时，最小，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、轴对称的性质、含有角的直角三角形的性质、勾股定理、等面积法等知识，熟练掌握三角形全等的判定与性质、轴对称的性质、含有角的直角三角形的性质，添加适当的辅助线，是解题的关键．
10．如图，中，，，点是边上一动点，将绕点逆时针旋转得到，交边于点，连接，过点作平分交边于点，连接．

(1)求证：；
(2)判断与的数量关系并证明；
(3)当时，若，求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)，证明见解析
(3)
【分析】（1）证即可；
（2）过点作垂直延长线于，先证，再推理证明是等腰直角三角形，即可得到；
（3）再过点作垂直于，根据已知和（1）、（2）中的结论先证是的平分线，得，再推理得到、、和都是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的直角边和斜边的关系等量代换算出，最后根据计算即可．
【详解】（1）绕点逆时针旋转得到，平分，
，，
在和中，
，
，
（2）如下图，过点作垂直延长线于

又绕点逆时针旋转得到，
，，
，
，
在和 中
，，
又，
，即
又，
是等腰直角三角形，
（3）如下图，再过点作垂直于

，，，
，、、和都是等腰直角三角形，
又由（1）得，
，
，
，
是的平分线，
（角平分线上的点到角两边的距离相等），
，
，
，
，
，
.
【点睛】本题考查了全等三角形的证明、等腰直角三角形的性质、角平分线的性质，画出图象、推理证明是解题的关键．
11．如图1，在中，，连接，，点E，F分别在边上，分别交于点G，H．将，分别沿直线折叠，使得点B的对应点，点D的对应点都落在对角线上．

(1)【尝试初探】求证：；
(2)【深入探究】如图2，若点，恰好分别与点H，G重合，求n的值；

(3)【拓展延伸】若，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据折叠的性质及平行四边形的性质利用全等三角形的判定证明即可；
（2）设，则，再由勾股定理得出，利用折叠的性质及勾股定理得出，根据等腰三角形的性质求解即可；
（3）由（2）得，，，设，则，，再由等腰三角形的判定和性质得出，结合图形，利用各线段间的数量关系求解即可．
【详解】（1）证明：∵，分别沿直线折叠，使得点B的对应点，点D的对应点都落在对角线上，
∴，
∴，
∵，
∴，AB=CD，
∴，
∴；
（2）由（1）得，
∴，
∵，设，
∴，
∴，
∵，分别沿直线折叠，使得点B的对应点，点D的对应点都落在对角线上，点，恰好分别与点H，G重合，
∴，，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）由（2）得，，，
∴设，
∴，，
∵，即，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
同理为等腰直角三角形，，
∴
∴，，，
∴，
∴．

【点睛】题目主要考查平行四边形的性质，折叠的性质及全等三角形的判定和性质，勾股定理解三角形，含30度角的直角三角形的性质，理解题意，结合图形，找准线段间的数量关系是解题关键．
二、B卷函数综合
12．【阅读理解】
在平面直角坐标系中，已知点R，S为平面内不重合的两点．给出如下定义：将点R绕点S顺时针旋转90度得到点，点关于y轴的对称点为，则称点为点R关于点S的“旋对点”．
【迁移应用】
如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B．平面内有一点．

(1)请在图中画出点M关于点O的“旋对点”，并直接写出点M的坐标；
(2)点Q为直线上一动点．
①若点Q关于点M的“旋对点”为点，试探究直线经过某一定点，并求出该定点的坐标；
②在①的条件下，设直线所经过的定点为H，取的中点N，连接，求的最小值．
【答案】(1)画图见解析，
(2)①；②的最小值为．
【分析】（1）根据新定义的含义结合网格特点逐步画图即可，再根据点的位置可得其坐标；
（2）①如图，设，过作轴的平行线，过作轴的平行线，两直线交于点，则，延长与交于点，则，，而，，，，结合新定义可得；，从而可得答案；②证明，即在直线上运动，如图，连接，，作关于直线的对称点，则，由分别为的中点，则，当三点共线时，，此时最小；记与轴的交点为，则，直线与轴的交点坐标为，连接，都是等腰直角三角形，而，则，再利用勾股定理可得答案．
【详解】（1）解：如图，即为所求，

∴；
（2）①如图，∵点Q为直线上一动点．
设，过作轴的平行线，过作轴的平行线，两直线交于点，
则，延长与交于点，则，

∴，
∴，
∴，
∵，
∴，而，
∴，，
∴，
结合新定义可得；，而，
∴的中点坐标为：，
∴直线经过定点；
②∵，
∴，
∴，即在直线上运动，
如图，连接，，作关于直线的对称点，则，

由分别为的中点，则，
∴当三点共线时，，此时最小；
记与轴的交点为，则，直线与轴的交点坐标为，连接，
∴都是等腰直角三角形，而，
∴，
∴．
即的最小值为．
【点睛】本题考查的是一次函数的几何应用，旋转的性质，轴对称的性质，勾股定理的应用，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的中位线的性质，理解题意，熟练的利用数形结合的方法解题是关键．
13．如图，直线和直线交于点，与轴的交点分别为．点为直线上一动点（不与点重合），过点分别作轴和直线的垂线，垂足分别是点．

(1)试判断的形状，并说明理由；
(2)若点在的边上移动，问线段与线段的和是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由；
(3)若，请直接写出点的坐标．
【答案】(1)是等腰三角形，理由见解析
(2)线段与线段的和为定值，为，理由见解析
(3)点的坐标为或
【分析】（1）求出直线和直线交点，与轴的交点分别为，利用两点之间距离公式求出三边长即可得到答案；
（2）连接，如图所示，从而，再由（1）中，解方程即可得到答案；
（3）分三种情况：当点P在线段上时，由（2）中，当时，得到，从而确定直线上点的纵坐标为时，解方程即可得到点的坐标；当点P在线段延长线上时，则可得，从而可求得此时点P的坐标；当点P在线段反向延长线上时，则可得，此种情况不存在．
【详解】（1）解：是等腰三角形．
理由如下：
直线和直线交点，
，即，解得，则，
，
直线和直线与轴的交点分别为，
当时，，解得，即；当时，，解得，即；
；；，
，即是等腰三角形；
（2）解：线段与线段的和为定值，为．
理由如下：
连接，如图所示：

、、，
，
过点分别作轴和直线的垂线，垂足分别是点，
，
由（1）知，则，解得；
（3）解：当点P在线段上时，由（2）中知，当时，得到，
直线上点的纵坐标为时，，解得，
点的坐标为．
当点P在线段延长线上时，如图，连接，
∵，
∴，
∴，
直线上点的纵坐标为时，，解得，
点的坐标为；
当点P在线段反向延长线上时，则可得，则，此种情况不存在．
综上，点的坐标为或．
【点睛】本题考查一次函数综合，涉及求直线与坐标轴交点、求直线的交点、三角形形状的判断、两点之间距离公式、等面积法、求直线上点的坐标等知识，熟练掌握一次函数图像与性质，掌握常见题型的解法是解决问题的关键．注意分类讨论．
14．如图，在平面直角坐标系中，点，点，点，以、为边作，点E为中点，连接、．

(1)分别求出线段和线段所在直线解析式；
(2)点P为线段上的一个动点，作点B关于点P的中心对称点F，设点P横坐标为a，用含a的代数式表示点F的坐标（不用写出a的取值范围）；
(3)在（2）的条件下，
①当点F移动到的边上时，求点P坐标；
②M为中点，N为中点，连接、．请利用备用图探究，直接写出在点P的运动过程中，周长的最小值和此时点P的坐标．
【答案】(1)所在直线的解析式为；所在直线解析式为
(2)
(3)①或，②周长最小值为；
【分析】（1）根据平行四边形的性质得出点C和但E的坐标，再用待定系数法求出线段和线段所在直线解析式即可；
（2）根据所在直线的解析式为，点P横坐标为a，得出点，再根据点B和点F关于点P的中心对称点，即可得出点F的坐标；
（3） ①根据题意进行分类讨论：当点F在上时，当点F在上时，即可得出结论；②过点B作于点G，过点F作于点H，通过证明，得出，延长，过点C作于点I，证明，进而得出，过点C作，则，即可推出点F在直线上运动，作点N关于直线的对称点，当点，F，M在同一条直线上时，周长取最小值，即可求出 周长取最小值；根据中点坐标公式得出，，再证明点H是中点，则，求出，根据点P为中点，得出，最后根据，列出方程求解即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵四边形为平行四边形，，
∴，
∵点E为中点，
∴，
设所在直线的解析式为，
把，代入得：
，解得：，
∴所在直线的解析式为；
设所在直线解析式为，
把点，代入的：
，解得：，
∴所在直线解析式为．
（2）解：∵所在直线的解析式为，点P横坐标为a，
∴点，
设点，
∵点B和点F关于点P的中心对称点，
∴，
整理得：，
∴；
（3）解：①当点F在上时，
∵点F在上，
∴，解得，
∴；

当点F在上时，
∵，且F在上，
∴，解得：，
∴；

综上：或；
②∵，，
∴，
∵M为中点，N为中点，
∴，
过点E作轴于点Q，
∵，，
∴，
∴，则，

过点B作于点G，过点F作于点H，
∵点B和点F关于点P的中心对称点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
延长，过点C作于点I，
∵点E是中点，
∴，
∵，
∴，
∴，则，
∵，，
∴，
∵，，
∴设，
在中，根据勾股定理可得：，即，
解得：，
∴，
过点C作，
∵，，，
∴，
则点F在直线上运动，
作点N关于直线的对称点，
根据轴对称的性质以及平行线间的距离处处相等可得，
当点，F，M在同一条直线上时，，此时周长取最小值，
在中，根据勾股定理可得：，
∴周长最小值为；

∵，，，M为中点，N为中点，
∴，，
∵，，
∴是的中位线，则点H是中点，
∴，
过点G作于点H，
∵，，
∴，
∴
∵，
∴，即点P为中点，
∴，
∵，
∴，解得：，
∴

【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，平行四边形的性质，中心对称，勾股定理，轴对称，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法，中点坐标公式，正确作出辅助线，确定周长最小时各点的位置．
15．在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点C、B，直线与x轴负半轴交于点A，与y轴交于点B．

(1)如图1，求的面积；
(2)如图2，作于点E，延长交直线于点D，请在平面内找一点P，使得以P、D、B、E为顶点的四边形是平行四边形，直接写出这样的点P的坐标；
(3)如图3，在（2）的条件下，点F在线段上，点G在线段上，若，，求点F的坐标．
【答案】(1)24
(2)或或
(3)
【分析】（1）由题意可求得点B、C的坐标，再由点B的坐标可求出直线的解析式，从而可求得点A的坐标，则求得的面积；
（2）先求出点E、点D的坐标，分三种情况：分别以为对角线的平行四边形，利用平移即可求得点P的坐标；
（3）在取，连接，作N关于x轴对称的点P，连接；证明，则可得，进而可得，则，则可得，则，，是等腰直角三角形，从而由勾股定理得的长，可求得F的坐标．
【详解】（1）解：对于，令，得；令，得；
∴，且，
把点B坐标代入中，得，即，
令，得，
∴点A的坐标为，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
设的解析式为，则，
∴，即；
联立方程组，解得：，
即；
①当为对角线时，，
把D点向左平移3个单位长度再向上平移9个单位长度得到点B，则把E向左平移3个单位长度再向上平移9个单位长度得到点P，此时点P的坐标为；
②当为对角线时，，
把E点向右平移3个单位长度再向上平移3个单位长度得到点B，则把D向右平移3个单位长度再向上平移3个单位长度得到点P，此时点P的坐标为；
③当为对角线时，，
把B点向左平移3个单位长度再向下平移3个单位长度得到点E，则把D向左平移3个单位长度再向下平移3个单位长度得到点P，此时点P的坐标为；
综上，点P的坐标为或或；
（3）解：如图，在取，连接，作N关于x轴对称的点P，连接；
∵点E是中点，且，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
∵N关于x轴对称的点P，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∴；
∵，，
∴是等腰直角三角形，
由勾股定理得：，
∴点F的坐标为．

【点睛】本题是一次函数与几何的综合，考查了直线与坐标轴的交点，平行四边形的性质，坐标平移，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，轴对称等知识，构造适当的辅助线是关键与难点，注意分类讨论．
16．如图，直线与坐标轴交于A，B两点，点C坐标为，将B点向右平移4个单位，再向下平移1个单位得到点D，直线交直线于点E．

(1)求直线的表达式；
(2)我们定义：如果一个三角形中有一个内角为，则称这个三角形为“天府三角形”
①点F是直线上第一象限内一点，若为“天府三角形”，求点F的坐标；
②在①的条件下，当点F的横坐标大于时，作点B关于x轴的对称点，点P为直线上的一个动点，连接，点Q为线段的中点，连接，当最小时，求点Q的坐标．
【答案】(1)
(2)①或；②
【分析】（1）先求出，再由平移方式求出，进而利用待定系数法求出直线的解析式即可；
（2）①如图2-1所示，当时，证明得到，则点F的横坐标为4，由此可得；如图2-2所示，当时，过点作且，过点E作轴，根本过点H，D作的垂线，垂足分别为G、T，求出，得到，证明，得到，则，同理可得直线的解析式为，由此可求出；
②求出，由点F的横坐标大于，可由（2）①得点F的坐标为，则点P在直线上运动，即点P的横坐标为4，进而得到点Q在直线上运动，如图所示，作点关于直线的对称点M，连接，则，由轴对称的性质可得，则当三点共线时，最小，即此时最小，同理求得直线的解析式为，则可得．
【详解】（1）解：在中，当时，，
∴；
∵将点向右平移4个单位，再向下平移1个单位得到点D，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为；
（2）解：①如图2-1所示，当时，
在中，当时，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点F的横坐标为4，
在中，当时，，
∴；

如图2-2所示，当时，过点作且，过点E作轴，根本过点H，D作的垂线，垂足分别为G、T，
联立，解得，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理可得直线的解析式为，
联立，解得，
∴；
综上所述，或；

②∵点是点B关于x轴的对称点，
∴，
∵点F的横坐标大于，
∴由（2）①得点F的坐标为，
∴直线即为直线，
∵点P在直线上运动，即点P的横坐标为4，
∵点Q为的中点，
∴点Q的横坐标为1，，
∴点Q在直线上运动，
如图所示，作点关于直线的对称点M，连接，
∴，
由轴对称的性质可得，
∵，
∴当三点共线时，最小，即此时最小，
同理求得直线的解析式为，
在中，当时，，
∴．

【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，一次函数与几何综合，轴对称最短路径问题等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
17．如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点，，过点作轴的垂线，与直线交于点．

(1)求点D的坐标；
(2)点是线段上一动点，直线与轴交于点．
(ⅰ）若的面积为8，求点的坐标；
(ⅱ）如图2，当点在轴正半轴上时，将直线绕点逆时针旋转后的直线与线段交于点，连接，若，求线段的长．
【答案】(1)
(2)(ⅰ)或；(ⅱ)
【分析】（1）根据题意，易求的函数解析法，点在直线上，可求出点坐标；
（2）ⅰ解：在线段上，且，，设点，分两种情况：①在点右侧时，根据题图表示三角形和三角形、三角形的关系列出方程，即：，解之，得解；②点在点左侧时根据三角形、三角形、三角形三者之间的关系列出方程：，解得：，得解．综上所述：或；
ⅱ）出现想到构造等腰直角三角形，证明三角形全等，再利用勾股定理和方程思想求．
【详解】（1）解：分别与轴，轴交于点，，
，
解得：，
，
时，，
；
（2）解：在线段上，且，，
设点，
分两种情况：
①当在轴正半轴上时，如图：

，，，轴，
，
，
，
，
即：，
，
；
②当在轴负半轴上时，如图：

点，，，，
，
，
，
，
解得：，
；
综上所述：或．
ⅱ过作垂直于轴，垂足为，过作的垂线交轴于点，

，，
，
在与中，
，
，
，，
在与中，
，
，
，
又，，
，
，
，
设，则，
在中，，
，
，
．
【点睛】本题综合考查了一次函数与几何知识的应用，题中涉及到一次函数的性质、等腰直角三角形的性质、三角形全等、面积的运算、一线三直角、三角形全等，综合性强，有一定的难度．
18．在平面直角坐标系中，四边形是矩形，，．

(1)如图1，点P为射线上的动点，连接，若是等腰三角形，求的长度；
(2)如图2，是否在x轴上存在点E，在直线上存在点F，以O，B，E，F为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点E，F的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图3，点M是边上的动点，过点M作的垂线交直线于点N，求的最小值．
【答案】(1)3或
(2)存在，，或，或，
(3)6
【分析】（1）分为点P在上和在的延长线上：当点P在上，可推出是等边三角形，从而求得结果；当点P在的延长线上时，可推出；
（2）分为三种情形：是边时，当点F在的延长线时，可由求得，从而得出结果；当点在的延长线上时，同样求得，，从而得出，；当OB是对角线时，（菱形）设，则，在中，由勾股定理列出，求得，进一步得出结果；
（3）作点O关于的对称点，作B点关于的对称点，连接，交于点，于点，此时的最小值为的长，即的长，作轴，作于T，根据，求得．
【详解】（1）解：如图1，

当点P在上时，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，，；
∵是等腰三角形，
∴是等边三角形，
∴，
当点P（图中）在的延长线上时，
∵，
∴，
∵是等腰三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
综上所述：或3；
（2）如图2，

存在点E和F，使以O，B，E，F为顶点的四边形是菱形，理由如下：
是边时，
当点F在的延长线时，
∵，
∴，，
∴，
当点在的延长线上时，
∵，，
∴，
当是对角线时，（菱形）
设，则，
在中，由勾股定理得，，
∴，
∴，，
综上所述：，或，或，；
（3）如图3，

作点O关于的对称点，作B点关于的对称点，
连接，交于点，于点，
此时的最小值为的长，即的长，
作轴，作于T，
∵，，
∴，
∴的最小值为：6．
【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理、等边三角形的判定及性质、坐标与图形、轴对称的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
19．已知直线经过点A，将直线向右平移4个单位后，得到的直线与y轴相交于点B，且经过点，点P为x轴正半轴上的一个动点．

(1)请求出直线与的函数表达式；
(2)当四边形的周长最小时，求四边形的面积；
(3)在直线l2上是否存在一点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)直线函数表达式为，函数表达式为
(2)
(3)存在，理由见解析，Q的坐标为或或
【分析】（1）根据平行线的性质可设直线函数表达式为，把代入得，再由直线经过点A，将直线向右平移4个单位后，得到的直线列出方程求出k的值即可；
（2）作A关于x轴的对称点，连接交x轴于P，求出，知，即知当最小时，四边形的周长最小，故当共线时，四边形ABCP的周长最小，由得直线函数表达式为，可得，再求出四边形的面积即可；
（3）设，分三种情况：①当为对角线时，的中点重合，②当为对角线时，中点重合，③当为对角线时，中点重合，分别列方程组可解得答案．
【详解】（1）由直线直线，设直线函数表达式为，
把代入得，，
∴，
∴直线函数表达式为，
∵直线经过点A，将直线向右平移4个单位后，得到的直线
∴
解得，
∴直线l1函数表达式为，函数表达式为；
（2）作A关于x轴的对称点，连接交x轴于P，

由得，当时，，
∴，
由得，当时，，
∴，
∴
∵，
∴，
∴四边形的周长为，
∴当最小时，四边形的周长最小，
∵A，关于x轴对称，
∴，
∴当共线时，
由可得，
∴，
设直线函数表达式为，
把，代入得，，
解得，，
∴直线函数表达式为，
令，得，
∴，
∴，
∴，
∴四边形的面积是；
（3）在直线上存在一点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
设，
又，
①当为对角线时，的中点重合，
∴
解得，，
∴；
②当为对角线时，中点重合，
∴，
解得，
∴；
③当为对角线时，中点重合，
∴
解得，，
∴，
综上所述，Q的坐标为或或．
【点睛】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形，四边形面积，平行四边形的性质及应用，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．
20．如图①，平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，，直线，交轴于点，点位于点右侧的轴上，且，点在轴正半轴上，且，直线交于点．

(1)点的横坐标为______，当点在原点左侧时，______；（均用含的代数式表示）
(2)当为等腰三角形时，求的值；
(3)如图②，点是点关于直线的对称点，连接，，若四边形为平行四边形，求的值（直接写出答案）
【答案】(1)，；
(2)1或或；
(3)8
【分析】（1）利用点在轴上，其纵坐标为零，可表示出A点横坐标．先分别表示出A，两点的坐标，再用可得出的长度．
（2）用分别表示出点A，，的坐标，再根据点在原点左侧和右侧两种情况以及等腰三角形进行分类讨论．
（3）根据点和点关于直线对称，且四边形是平行四边形，可得出四边形是菱形，进而解决问题．
【详解】（1）将代入得，．
即点的横坐标为：所以．
同理可得，所以．
又点在A点右侧，且，所以．
所以．
故BE．
故答案为：；．
（2）由（1）知：，．
当点在原点左侧时，
因为，且，
所以，即
当时，点就在垂直平分线上，显然不成立．
当时，则点需在点的上方，故，得，故此情况不存在．
当时，即．
又在中，且．
所以．
解得舍去，．
当点在原点右侧时，
，则．
故E
当时，点就在垂直平分线上，显然不成立．
当时，则点需在点的上方，故，得．
又在中，，且．
所以．
解得，舍去．
当时，即．
又在中，．
．
所以．
解得．
综上所述的值为：或或．
（3）因为点和点关于直线对称，所以．
又四边形是平行四边形，所以四边形是菱形．
所以，则．
又，，
所以．
又，，
所以即平分．
又，，则点在轴上．
又由对称性可知，
所以则．
且．
在中，
，
解得舍去，．
所以的值为．
【点睛】本题是一道一次函数的综合题，同时考查了菱形的性质与判断、轴对称的性质以及勾股定理，解题的关键是数形结合思想的运用．
21．如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴交于、两点，与直线交于点，直线与轴交于点．

(1)求的值及直线的表达式；
(2)在直线上是否存在点，使？若存在，则求出点的坐标：若不存在，请说明理由；
(3)如图2，点为线段上的一个动点，一动点从出发，沿线段以每秒个单位的速度运动到点，再沿线段以每秒个单位的速度运动到点后停止，求点在整个运动过程中所用时间最少时点的坐标．
【答案】(1)，的表达式为
(2)存在，理由见解析
(3)
【分析】（1）代入得出将代入得出，进而即可求解；
（2）根据题意可得到的距离与到的距离相等，则，可得的表达式为，联立，解方程即可求解；
（3）过点作轴的垂线，交于点，过点作轴，过点作于点，得出是等腰直角三角形，则，可得当三点共线时，在整个运动过程中所用时间最少进而得出的横坐标为，即可求解．
【详解】（1）解：将代入
∴
∴,
将代入
∴
解得：
∴的表达式为；
（2）解：∵
∴到的距离与到的距离相等，则
如图所示，过点作交于点，
∴的表达式为

联立
解得：
∴
（3）解：如图所示，

过点作轴的垂线，交于点，过点作轴，过点作于点，
∵直线与轴交于点．
∴，解得：
∴
∵直线与轴、轴交于、两点，
∴时，
当时，，
∴，,
∴，则是等腰直角三角形
则
∵轴，
∴是等腰直角三角形，
则
∴
∵
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴
∴当三点共线时，在整个运动过程中所用时间最少

∴的横坐标为
将代入
解得：
∴
【点睛】本题考查了一次函数的综合运用，两直线交点问题，勾股定理，垂线段最短，掌握一次函数的性质是解题的关键．