2023-2024学年宁夏育才中学高二（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年宁夏育才中学高二（上）期末数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知圆C：x2+y2−4y+3=0，则圆C的圆心和半径为( )
A. 圆心(0,2)，半径r=1B. 圆心(2,0)，半径r=1
C. 圆心(0,2)，半径r=2D. 圆心(2,0)，半径r=2
2.一个物体做直线运动，位移s(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系为s(t)=5t2+mt，且这一物体在2≤t≤3这段时间内的平均速度为26m/s，则实数m的值为( )
A. 2B. 1C. −1D. 6
3.已知函数f(x)=lgax(a>0，且a≠1)，若f′(1)=1，则a=( )
A. eB. 1eC. 1e2D. 12
4.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F(2,0)，渐近线方程为 3x±y=0，则该双曲线实轴长为( )
A. 2B. 1C. 3D. 2 3
5.古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2均在x轴上，C的面积为2 3π，过点F1的直线交C于点A，B，且△ABF2的周长为8，则C的标准方程为( )
A. x24+y2=1B. x23+y24=1C. x24+y23=1D. x216+4y23=1
6.等比数列{an}的公比为−2，且a1+2，a3+2，a5−7成等差数列，则{an}的前10项和为( )
A. −341B. −10253C. 171D. 5113
7.已知y=x−1与曲线y=ln(x−a)相切，则a的值为( )
A. −1B. 0C. 1D. 2
8.已知F1，F2是双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，焦距为2c，以原点O为圆心，|OF2|为半径的圆与双曲线的左支交于A，B两点，且|AB|= 3c，则该双曲线的离心率为( )
A. 2B. 2+1C. 3D. 3+1
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列求函数的导数正确的是( )
A. (lnxx)′=1−lnxx2B. ( 2x−1)′=1 2x−1
C. (e5x−4)′=e5x−4D. [sin(2x+π3)]′=−2cs(2x+π3)
10.已知圆M：(x−a)2+(y−a−1)2=1(a∈R)，则( )
A. 圆M可能过原点
B. 圆心M在直线x+y−1=0上
C. 圆M与直线x−y−1=0相切
D. 圆M被直线x−y=0所戴得的弦长为 2
11.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点F到准线l的距离为2，则( )
A. 过点A(−1,0)恰有2条直线与抛物线C有且只有一个公共点
B. 若T(3,2)，P为C上的动点，则|PT|+|PF|的最小值为5
C. 直线x+y−1=0与抛物线C相交所得弦长为8
D. 抛物线C与圆x2+y2=5交于M，N两点，则|MN|=4
12.已知等差数列{an}的公差d≠0，前n项和为Sn，若S6=S10，则下列说法正确的是( )
A. a8=0B. S16=0
C. 若d<0，则a8+a10>0D. 若d<0，则|a8|<|a12|
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.过点A(2,3)且与直线x+2y−6=0垂直的直线方程是 ______ ．
14.已知等差数列{an}中，a2+a7=18，则数列{an}的前8项和S8等于 ______ ．
15.双曲线E：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，已知点F2为抛物线C：y2=14x的焦点，且到双曲线E的一条渐近线的距离为 6，又点P为双曲线E上一点，满足∠F1PF2=60°.则，
(1)双曲线的标准方程为 ______ ；
(2)△PF1F2的面积为 ______ ．
16.数列{an}中的前n项和Sn=2n+2，数列{lg2an}的前n项和为Tn，则T20= ______ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知△ABC的三顶点坐标为A(1,0)，B(−1,−2)，C(3,−2)，求：
(1)△ABC的外接圆C的方程；
(2)过点P(3,2)作圆C的切线，求切线方程．
18.(本小题12分)
已知数列{an}为等差数列，{bn}是各项为正的等比数列，{bn}的前n项和为Sn，_____，且2a1=b1=2，a2+a8=10.在①12Sn=bn−1，②a4=S3−2S2+S1，③bn=2λan(λ∈R)．
这三个条件中任选其中一个，补充在上面的横线上，并解答下面的问题．
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)求数列{an+bn}的前n项和Tn．
19.(本小题12分)
已知数列{an}满足a1=1，an+1=3an+1
(1)证明{an+12}是等比数列，并求{an}的通项公式
(2)若bn=(2n−1)(2an+1)，求数列{bn}的前n项和Sn．
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=13x3−ax2+(a−1)x．
(1)当a=1时，求f(x)在(1,f(1))处的切线方程；
(2)设f′(x)是函数f(x)的导函数，求f′(x)零点之间距离最小时a的值．
21.(本小题12分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为 22，P是C上一点，F1，F2，是C的两个焦点，且|PF1|+|PF2|=4．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线y= 2x+n交椭圆C于A，B两点，O为坐标原点，求△OAB面积的最大值．
22.(本小题12分)
已知抛物线C：y2=2px(p>0)上一点P(x0,−4)到焦点F的距离|PF|=2x0．
(1)求抛物线C的方程；
(2)设直线l与抛物线C交于A，B两点(A,B异于点P)，且kAP+kBP=−2，试判断直线l是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：根据题意，圆C：x2+y2−4y+3=0，即x2+(y−2)2=1，即圆心为(0,2)，半径r=1；
故选：A．
根据题意，将圆的方程变为标准方程，分析可得答案．
本题考查圆的一般方程，注意一般方程的形式，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：Δs=5×32+3m−(5×22+2m)=25+m，△t=3−2=1，
∵物体在2≤t≤3这段时间内的平均速度为26m/s
∴v=△s△t=25+m=26，解得m=1．
故选：B．
利用平均速度的计算公式求解即可．
本题考查了平均速度的计算公式的理解与应用，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：f(x)=lgax(a>0且a≠1)，则f′(x)=1xlna，
∴f′(1)=1lna=1，
∴a=e，
故选：A．
先求导，再代值计算即可
本题考查了导数的运算和导数值，属于基础题
4.【答案】A
【解析】解：由双曲线的右焦点为(2,0)可知c=2，
由渐近线方程为 3x±y=0，可知b= 3a，
∵a2+b2=c2，
∴a2+3a2=22，
∴a=1，
所以实轴长为2a=2，
故选：A．
根据双曲线的定义及其性质，可以直接解出a，b的值，即可求出实轴长．
本题考查了双曲线的定义及性质，学生的数学运算能力，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：由题意可得abπ=2 3π,4a=8,，解得a=2，b= 3，
因为椭圆的焦点在x轴上，所以C的标准方程为x24+y23=1．
故选：C．
利用已知条件列出方程组，求出a，b，然后求解椭圆方程即可．
本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆方程的求法，是基本知识的考查．
6.【答案】A
【解析】解：∵等比数列{an}的公比为−2，且a1+2，a3+2，a5−7成等差数列，
∴2(a3+2)=(a1+2)+(a5−7)，即2(4a1+2)=(a1+2)+(16a1−7)，解得a1=1，
∴等比数列{an}的前10项和为1−(−2)101−(−2)=−341，
故选：A．
由题意得2(a3+2)=(a1+2)+(a5−7)，求出a1，利用等比数列的前n项和公式，即可得出答案．
本题考查等差数列的性质和等比数列的通项公式、前n项和公式，考查方程思想和转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
7.【答案】B
【解析】解：由y=ln(x−a)，得y′=1x−a，
由1x−a=1，得x=a+1，
∴a+1−1=ln(a+1−a)，即a=0．
故选：B．
求出函数y=ln(x−a)的导函数，利用导函数值为1求得切点横坐标，再由切点处的函数值相等列式求得a值．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，关键是熟记基本初等函数的导函数，是基础题．
8.【答案】D
【解析】解：如图：
设AB与x轴交于点D，
由对称性的AD⊥OF1，且AD=BD= 32c，
∴OD=12c，∴DF1=12c，
∴AF1=c，AF2= 3c，
∴AF2−AF1= 3c−c=2a，
∴e=ca=2 3−1= 3+1．
故选：D．
利用双曲线的定义及其性质，可得AD，BD的长度，进而可以得出结果．
本题考查了双曲线的定义及其性质，学生的数学运算能力，属于基础题．
9.【答案】AB
【解析】解：(lnxx)′=1x⋅x−1⋅lnxx2=1−lnxx2，故A正确；
2x−1=(2x−1)12，
则( 2x−1)′=12⋅(2x−1)−12×2=1 2x−1，故B正确；
(e5x−4)′=5e5x−4，故C错误；
[sin(2x+π3)]′=2cs(2x+π3)×2=4cs(2x+π3)，故D错误．
故选：AB．
根据已知条件，结合导数的求导法则，即可求解．
本题主要考查导数的运算，属于基础题．
10.【答案】AD
【解析】解：对于A：把原点(0,0)代入圆的方程得(0−a)2+(0−a−1)2=1，
所以2a2−2a=0，解得a=0或a=−1，所以当a=0或a=−1，圆M过原点，故A正确；
对于B：(x−a)2+(y−a−1)2=1(a∈R)知圆心为(a,a+1)，
把圆心坐标代入直线x−y+1=0，得a−(a+1)+1=0，
所以圆心在直线x−y+1=0上，故B正确；
对于C：圆心为(a,a+1)到直线x−y−1=0的距离d=a−(a+1)−1 1+1= 2>1，
故直线与圆相离，故C错误；
对于D：圆心为(a,a+1)到直线x−y=0的距离d=a−(a+1) 1+1=1 2，
所以弦长l=2 12−12= 2，故D正确．
故选：AD．
依据点与圆的位置关系的判断方法可判断A，把圆心代入直线方程适合方程可判断B，求出圆心到直线的距离可判断C，利用弦长公式求得弦长可判断D．
本题考查点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系和弦长问题，属中档题．
11.【答案】CD
【解析】解：因为抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点F到准线l的距离为2，所以p=2，
从而抛物线C的方程是y2=4x.过点A(−1,0)可以作2条直线与抛物线C相切，
而直线y=0与抛物线C相交，只有1个交点，
从而过点A(−1,0)恰有3条直线与抛物线C有且只有一个公共点，故A不正确；
抛物线C的准线方程是x=−1，设T到准线的距离为d，则d=4；
过P作准线的垂线，垂足为Q，则由抛物线的定义知|PQ|=|PF|，
所以|PT|+|PF|=|PT|+|PQ|≥d，所以|PT|+|PF|的最小值为4，故B不正确；
抛物线的焦点为F(1,0)，直线x+y−1=0过焦点，
不妨设直线x+y−1=0与抛物线的两个交点分别是A(x1,y1)，B(x2,y2)，
则|AB|=x1+x2+p，
联立x+y−1=0y2=4x，得x2−6x+1=0，
则x1+x2=6，
所以|AB|=x1+x2+p=8，故C正确；
抛物线C与圆x2+y2=5交于M，N两点，则M，N关于x轴对称．
设M(t24,t)(t>0)，则|OM|= (t24)2+t2= 5，
解得t=2，所以|MN|=4，故D正确；
故选：CD．
利用直线与抛物线位置关系的知识判断选项A；利用抛物线的定义进行距离转化进而判断选项B；利用焦点弦公式计算并判断选项C；由抛物线方程设出点M坐标，利用M到圆心的距离等于半径求出M的坐标，就可以判断选项D．
本题考查抛物线的几何性质，抛物线的焦半径公式的应用，化归转化思想，属中档题．
12.【答案】BD
【解析】解：根据题意，等差数列{an}的公差d≠0，
对于A，若S6=S10，6a1+15d=10a1+45d，所以a1=−152d，
所以an=a1+(n−1)d=(n−172)d，
所以a8=−12d≠0，A错误；
对于B，S16=16a1+120d=16(a1+152d)=0，B正确；
对于C，若d<0，a8+a10=(8−172)d+(10−172)d=d<0，C错误；
对于D，若d<0，|a8|=|(8−172)d|=−12d,|a12|=|(12−172)d|=−72d，
所以|a8|<|a12|，D正确．
故选：BD．
根据题意，利用等差数列的通项公式和等差数列的前n项和公式求解．
本题考查等差数列的通项公式与求和公式，涉及等差数列的性质，属于基础题．
13.【答案】2x−y−1=0
【解析】解：由题意设与直线x+2y−6=0垂直的直线方程2x−y+a=0，
将点A(2,3)代入可得：2×2−3+a=0，解得a=−1，
所以直线方程为：2x−y−1=0．
故答案为：2x−y−1=0．
由题意设与已知直线垂直的直线方程，将A点的坐标代入，可得参数的值，进而求出直线的方程．
本题考查直线垂直的性质的应用，属于基础题．
14.【答案】72
【解析】解：根据题意，等差数列{an}中，a2+a7=18，
则数列{an}的前8项和S8=(a1+a8)×82=(a2+a7)×82=72．
故答案为：72．
根据题意，由等差数列的前n项和公式可得S8=(a1+a8)×82=(a2+a7)×82，计算可得答案．
本题考查等差数列的性质以及应用，涉及等差数列的求和，属于基础题．
15.【答案】x2254−y26=1 6 3
【解析】解：(1)∵点F2为抛物线C：y2=14x的焦点，故F ​2为(72,0)，即c=72，
又点F2到双曲线E的一条渐近线bx−ay=0的距离为 6，
可得bc b2+a2=b= 6，
∴a= c2−b2= 494−6=52；
∴双曲线的标准方程为：x2254−y26=1；
(2)∵|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2−2|PF1||PF2|cs∠F1PF2=(|PF1|−|PF2|)2+2|PF1||PF2|−2|PF1||PF2|cs∠F1PF2；
可得(2c)2=(2a)2+2|PF1||PF2|−2|PF1||PF2|×12；
即49=25+|PF1||PF2|；解得|PF1||PF2|=24；
∴△PF1F2的面积为：12×|PF1||PF2|×sin60°=12×24× 32=6 3．
故答案为：(1)x2254−y26=1；
(2)6 3．
(1)根据双曲线的性质求解a和b，即可求解结论；
(2)根据余弦定理求出|PF1||PF2|=24；进而求出三角形的面积．
本题主要考查双曲线的性质，考查余弦定理的应用，考查计算能力，属于中档题．
16.【答案】192
【解析】解：∵Sn=2n+2，
∴n≥2时，an=Sn−Sn−1=2n+2−(2n−1+2)=2n−1，
n=1时，a1=S1=2+2=4，上式不成立，
∴an=4,n=12n−1,n≥2，
∴n=1时，lg2a1=2；
∴n≥2时，lg2an=lg22n−1=n−1．
∴数列{lg2an}的前20项和T20=2+1+2+…+19=2+19×(1+19)2=192．
故答案为：192．
Sn=2n+2，n≥2时，an=Sn−Sn−1，n=1时，a1=S1，可得an，利用求和公式即可得出结论．
本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)设△ABC的外接圆C的标准方程为(x−a)2+(y−b)2=r2(r>0)，
则(1−a)2+b2=r2(−1−a)2+(−2−b)2=r2(3−a)2+(−2−b)2=r2，∴a=1b=−2r=2，
故所求的圆C的方程为(x−1)2+(y+2)2=4．
(2)当斜率不存在时，过点P(3,2)的直线为x=3，
∵圆心C(1,−2)到直线x=3的距离为2，∴直线x=3为切线，
当斜率存在时，设过点P(3,2)的切线为y−2=k(x−3)，即kx−y+2−3k=0，
则d=|k+2+2−3k| k2+1=2，∴k=34，
∴切线方程为y−2=34(x−3)，即3x−4y−1=0．
综上，切线方程为x−3=0或3x−4y−1=0．
【解析】(1)设圆C的方程为(x−a)2+(y−b)2=r2(r>0)，分别代入A，B，C三点，解方程可得a，b，r，可得所求圆C的方程．
(2)分直线的斜率不存在和斜率存在时，利用直线与圆相切的性质，分别求出切线方程即可．
本题考查利用待定系数法求圆的方程，考查圆的切线方程的求法，属于中档题．
18.【答案】解．方案一：选条件①．
设等差数列{an}的公差为d，
由2a1=2a2+a8=2a1+8d=10，
解得a1=1=d，
∴an=1+(n−1)×1=n．
Sn=2(bn−1)．
当n≥2时，bn=Sn−Sn−1=2(bn−1)−2(bn−1−1)，整理得bn=2bn−1，
∴数列{bn}是以2为首项，2为公比的等比数列，
∴bn=2×2n−1=2n．
方案二：选条件②．
设等差数列{an}的公差为d，
由2a1=2a2+a8=2a1+8d=10，
解得a1=1=d，
∴an=1+(n−1)×1=n，∴a4=4．
设等比数列{bn}的公比为q(q>0)，
∵a4=S3−2S2+S1，
∴a4=(S3−S2)−(S2−S1)=b3−b2=b1q2−b1q，
又a4=4，b1=2，∴q2−q−2=0，解得q=2或q=−1(舍去)，
∴bn=2×2n−1=2n．
方案三：选条件③．
设等差数列{an}的公差为d，
由2a1=2a2+a8=2a1+8d=10，
解得a1=1=d，
∴an=1+(n−1)×1=n．
∵bn=2λan，a1=1，b1=2，
∴当n=1时，b1=2λa1，即2=2λ，解得λ=1，
∴bn=2an=2n．
(2)由(1)知an=n，bn=2n，则an+bn=n+2n，
∴Tn=(2+22+…+2n)+(1+2+…+n)
=2(2n−1)2−1+n(n+1)2
=2n+1+n2+n−42．
【解析】(1)由题设条件求出等差数列的公差与等比数列的公比，即可求得其通项公式；
(2)先由(1)求得an+bn，再利用分组求和的办法求得前n项和Tn．
本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
19.【答案】证明：(1)∵数列{an}满足a1=1，an+1=3an+1，
∴an+1+12=3(an+12)，
又a1+12=32，
∴{an+12}是首项为32，公比为3的等比数列．
∴an+12=32×3n−1=3n2，
∴{an}的通项公式an=3n2−12．
(2)bn=(2n−1)(2an+1)=(2n−1)⋅3n．
∴数列{bn}的前n项和：
Sn=1⋅3+3⋅32+5⋅33+…+(2n−1)⋅3n，①
3Sn=1⋅32+3⋅33+5⋅34+…+(2n−1)⋅3n+1，②
①−②，得：−2Sn=3+2(32+33+34+…+3n)−(2n−1)⋅3n+1
=3+2×9(1−3n−1)1−3−(2n−1)⋅3n+1
=−6−(2n−2)⋅3n+1，
∴Sn=(n−1)⋅3n+1+3．
【解析】(1)由已知得an+1+12=3(an+12)，a1+12=32，从而能证明{an+12}是首项为32，公比为3的等比数列．并能求出{an}的通项公式．
(2)由bn=(2n−1)(2an+1)=(2n−1)⋅3n.利用错位相减法能求出数列{bn}的前n项．
本题考查等比数列的证明，考查数列的通项公式及前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．
20.【答案】解：(1)当a=1时，f(x)=13x3−x2，可得f(1)=13−1=−23，∴切点为(1,−23)，
∵f′(x)=x2−2x，∴k=f′(1)=1−2=−1，
∴f(x)在(1,f(1))处的切线方程为y+23=−(x−1)，
即3x+3y−1=0．
(2)由f(x)=13x3−ax2+(a−1)x，得f′(x)=x2−2ax+a−1，
∵△=4a2−4(a−1)=4(a2−a+1)=4[(a−12)2+34]>0，
∴函数f′(x)=x2−2ax+a−1有两个零点，
分别设为x1，x2，则x1+x2=2a，x1x2=a−1，
∴|x1−x2|= (x1−x2)2= (x1+x2)2−4x1x2
= 4a2−4(a−1)=2 (a−12)2+34，
∴当a=12时，函数f′(x)零点之间距离最小为 3．
【解析】(1)当a=1时，f(x)=13x3−x2，求出f′(x)，得到斜率k=f′(1)，再写出切线方程；
(2)f′(x)=x2−2ax+a−1有两个零点，分别设为x1，x2，利用根与系数的关系可得x1+x2=2a，x1x2=a−1，代入|x1−x2|= (x1+x2)2−4x1x2，即可求解．
本题考查了利用导数研究函数的切线方程和函数的零点，考查了转化思想，属中档题．
21.【答案】解：(1)∵|PF1|+|PF2|=4，
∴2a=4，即a=2，
∵e=ca= 22，
∴c= 2，
∴b2=a2−c2=2，
即椭圆方程为x24+y22=1．
(2)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，将代入C方程整理得5x2+4 2nx+2n2−4=0，
△=32n2−20(2n2−4)>0，∴n2<10，
∴x1+x2=−4 2n5，x1x2=2n2−45，
∴|AB|= 1+2⋅ (x1+x2)2−4x1x2=2 65⋅ 10−n2，
点O到直线AB的距离d=|n| 3，
∴S△OAB=12×|AB|⋅d=12×2 65⋅ 10−n2×|n| 3= 25⋅ (10−n2)n2≤ 25⋅12×(10−n2+n2)= 2，
∴当且仅当10−n2=n2即n2=5时取等号，
∴△OAB面积的最大值为 2．
【解析】(1)利用椭圆的离心率结合椭圆的定义，解得a，b，即可求出椭圆方程．
(2)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，将代入C方程整理得，通过△>0，以及韦达定理，结合弦长公式，求解三角形的面积表达式，利用基本不等式求解最值即可．
本题考查椭圆的简单性质以及椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，属于中档题．
22.【答案】解：(1)由题意可得：16=2px0|PF|=x0+p2=2x0
解得x0=2，p=4，
∴抛物线的方程为y2=8x；
(2)设直线l的方程为x=my+n，A(x1,y1)，B(x2,y2)，
联立y2=8xx=my+n，消x得：y2−8my−8n=0，
Δ=32(2m2+n)>0，∴y1+y2=8m，y1y2=−8n，
∴kAP=y1+4x1−2=y1+4y128−2=8y1−4，同理kBP=8y2−4，
又kAP+kBP=−2，∴y1y2−16=0，∴n=−2，
∴直线l的方程为：x=my−2，过定点(−2,0)．
【解析】本题考查抛物线的性质，属于中档题．
(1)由抛物线的性质到焦点的距离等于到准线的距离可得参数的值，求出P的坐标，进而求出抛物线的方程；
(2)假设存在这样的直线，设出直线AB的方程，与抛物线方程联立，求出两根之和及两根之积，得出参数的关系，求出定点的坐标．