重庆市长寿区八校2023-2024学年高一（上）1月期末联考数学试题（B）（含解析）

这是一份重庆市长寿区八校2023-2024学年高一（上）1月期末联考数学试题（B）（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．下列命题中，正确的个数有（ ）
①；②；③著名的运动健儿能构成集合；④；⑤；⑥.
A．1B．2C．3D．5
4．设，为正数，且，记，，则（ ）
A．B．
C．D．，大小关系不确定
5．已知对一切，，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
6．不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．或
7．已知函数，则（ ）
A．8B．C．D．
8．若分别为定义在上的奇函数和偶函数，且，则（ ）
A．1B．2C．D．
二、多选题：本题共4小题，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．
C．若，则或
D．若方程有两个不同的实数根，则
10．已知，若“，使得”是假命题，则下列说法正确的是（ ）
A．是R上的非奇非偶函数，最大值为1
B．是R上的奇函数，无最值
C．是R上的奇函数，m有最小值1
D．是R上的偶函数，m有最小值
11．已知函数，则下列关于函数的性质说法正确的是（ ）
A．在区间的值域为
B．为奇函数
C．在区间上存在零点
D．
12．已知函数，则（ ）
A．的值域为
B．点是函数图象的一个对称中心
C．在区间上是增函数
D．若在区间上是增函数，则的最大值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．若恒成立，则的值 ．
14．定义在上的奇函数满足：当，，则 .
15．函数的定义域是 ．
16．如图，摩天轮的半径为，圆心距地面的高度为.已知摩天轮按逆时针方向匀速转动，每转动一圈.游客在摩天轮的舱位转到距离地面最近的位置进舱则游客进舱时他距离地面的高度为 .
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．设集合．
(1)若，；
(2)若，．
18．某儿童玩具厂生产的某一款益智玩具去年年销量为2百万件，每件销售价格为20元，成本16元.今年计划投入适当广告费进行促销.预计该款玩具的年销售量百万件与年广告费用百万元满足，现已知每件玩具的销售价为年平均每件玩具所占广告费的与原销售价之和.
(1)当投入广告费为2百万元时，要使该玩具的年利润不少于12百万元，求的取值范围；
(2)若时，则当投入多少百万元广告费该玩具生产厂获得最大利润.
19．已知（a，b均为常数），且．
(1)求函数的解析式；
(2)若对，不等式成立，求实数m的取值范围．
20．行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离称为刹车距离，在某种路面上，经过多次实验测试，某种型号汽车的刹车距离（米）与汽车的车速（千米/时，）的一些数据如表．为了描述汽车的刹车距离（米）与汽车的车速（千米时）的关系，现有三种函数模型供选择：，，．
(1)请选出你认为最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；
(2)如果要求刹车距离不超过米，求行驶的最大速度．
21．已知二次函数的图象关于直线对称，且关于x的方程有两个相等的实数根．
(1)求函数的值域；
(2)若函数（且）在上有最小值﹣2，最大值7，求a的值．
22．已知函数的图象经过点．
(1)求在区间上的最大值和最小值；
(2)记关于x的方程在区间上的解从小到大依次为，试确定正整数n的值，并求的值．
参考答案与解析
1．C
【分析】首先确定集合中元素，然后由补集定义求解．
【解答】，又，
∴．
故选：C．
2．B
【分析】利用充分条件和必要条件的定义即可判断.
【解答】或，
，
故“”是“”的必要不充分条件．
故选：B.
3．A
【分析】应用集合与集合的包含关系，元素与集合的属于关系，集合的确定性，无序性，空集的含义及空集与集合的关系即可判断.
【解答】易知，故①正确；
，故②错误；
著名的运动健儿，元素不确定，不能构成集合，故③错误；
表示有一个元素的集合，不是空集，④错误；
空集是任意非空集合的真子集，若为空集，⑤错误；
，故，故⑥正确.
故选：A
4．C
【分析】利用作差法判断即可.
【解答】，
∵，为正数，且，，则，
∴，
∴，
故选：C
5．C
【分析】令，分析可得原题意等价于对一切，恒成立，根据恒成立问题结合二次函数的性质分析运算.
【解答】∵，，则，
∴，
又∵，且，
可得，
令，则原题意等价于对一切，恒成立，
∵的开口向下，对称轴，
则当时，取到最大值，
故实数的取值范围是.
故选：C.
【点拨】结论点拨：
对，恒成立，等价于；
对，恒成立，等价于.
6．C
【解析】由等价于，进而可求出不等式的解集.
【解答】由题意，等价于，解得，
所以不等式的解集为.
故选：C.
【点拨】本题考查分式不等式的解集，考查学生的计算能力，属于基础题.
7．B
【分析】根据分段函数的解析式先求出的值，在求出的值即可.
【解答】因为，
所以，
所以，
故选：B.
8．D
【分析】由奇偶性的定义求得与的表达式，然后求函数值．
【解答】（1），则，
又分别为定义在上的奇函数和偶函数，
∴（2），
（1）（2）两式相加除以2得，相减除以2得，
∴，，∴，
故选：D．
9．BCD
【分析】解方程可判断A选项；求出的值，可判断B选项；解不等式可判断C选项；数形结合可判断D选项.
【解答】对于A选项，当时，由，可得，
当时，由，可得.
综上所述，若，则或，A错；
对于B选项，，
所以，，B对；
对于C选项，当时，由，可得，解得，此时，
当时，由，可得，解得，此时，
综上所述，若，则或，C对；
对于D选项，作出函数与函数的图象如下图所示：
由图可知，当时，直线与函数的图象有两个交点，
此时方程有两个不等的实根，D对.
故选：BCD.
10．BC
【分析】先求得函数的定义域，结合函数的解析式可得与的关系，即可判断奇偶性，将函数的解析式变形，求得函数的值域，从而得到的取值.
【解答】由题意，函数的定义域为R，关于原点对称，
又由所以函数为定义域上的奇函数.
“，使得”是假命题，
所以，使得恒成立.则只需.
根据题意，函数，变形可得，
即函数的值域为.
所以，即m有最小值1.
故选：BC.
11．ABC
【分析】A.首先函数变形为，再根据函数的定义域求值域；
B.根据奇函数的定义，即可判断；
C.根据零点存在性定理，即可判断；
D.代入，即可求解.
【解答】A.,，
，则，则，故A正确；
B.函数的定义域为，，所以函数是奇函数，
故B正确；
C.，，并且函数在区间上连续，所以根据零点存在定理可知，函数在区间上存在零点，故C正确；
D.，故D错误.
故选：ABC
12．ABD
【分析】由辅助公式得，
根据正弦函数的值域判断A；
用代入法验证B；
由可得，根据正弦函数的单调区间判断C；
由正弦函数在上单调递增，可得在上单调递增，从而判断D.
【解答】解：因为，
所以函数的值域为，故A正确；
又因为，
所以点是函数图象的一个对称中心，故B正确；
当时，，由正弦函数的性质可知函数在不单调，故C错误；
由正弦函数的性质可知函数在上单调递增，
所以由，可得，
即函数在上单调递增，
又因为在区间上是增函数，所以，
即的最大值为，故D正确.
故选：ABD.
13．5
【解析】根据等式恒成立，对应项的系数相等可求得结果.
【解答】因为，即恒成立，
所以，所以.
故答案为：5
【点拨】关键点点拨：根据等式恒成立，对应项的系数相等求解是解题关键.
14．
【分析】应用奇函数的性质求得，结合性质即可求解.
【解答】∵是定义在上的奇函数，
∴，则，
∴.
故答案为：
15．，
【解析】根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．
【解答】解：函数中，
令，
解得，
所以的定义域是，．
故答案为：，．
16．
【分析】设在时，距离地面的高度为，其中，根据题中条件求出、的值，可得出关于的函数关系式，然后将代入函数解析式，即可得解.
【解答】因为摩天轮的半径为，圆心距地面的高度为，
设在时，距离地面的高度为，其中，
则，可得，则，
由摩天轮按逆时针方向匀速转动，每转动一圈，可得，所以，
即，
当时，可得，即，
因为，解得，
所以，
令，可得.
所以，游客进舱时他距离地面的高度为.
故答案为：.
17．(1)
(2)
【分析】（1）解不等式求得集合，由此求得.
（2）根据并集、补集、交集的知识求得正确答案.
【解答】（1），所以，所以.
，解得，所以.
若，则，所以.
（2）或，
若，则，
所以.
18．(1)；
(2)当广告费2百万时最大利润为万元.
【分析】（1）年利润，解即可；
（2）当时，,利用函数的单调性即可求解.
【解答】（1）当 时，销售价为，
年利润，解得.
（2）当时，
年利润，
设，
设，
则
，
因为，所以，
所以，所以，
所以.
因为，所以，
所以在上单调递减，
所以当时,
所以.
综上：当广告费2百万时最大利润为万元.
19．(1)
(2)．
【分析】（1）由，代入函数解析式求出，得函数的解析式；
（2）不等式等价于，利用函数在定义区间内的值域，求实数m的取值范围．
【解答】（1）由，得，即，
由，
可得解得
所以
（2）由，可得，
所以对，都有成立．
由于，所以在上单调递减，且，
因此当时，，要使，则，且，
解得．
故实数m的取值范围为．
20．(1)最符合实际的函数模型，，；
(2)千米/时．
【分析】（1）结合表格数据选出最符合实际的函数模型，然后列方程组求解即可；
（2）令，结合二次不等式的解法求解，再结合，即可求出的取值范围，即可得解．
【解答】（1）结合表格数据可得最符合实际的函数模型，
将，；，；，分别代入上式可得，解得，
即所求的函数解析式为，；
（2）令，即，解得，
又，所以，
即要求刹车距离不超过米，则行驶的最大速度为千米时．
21．(1)
(2)或
【分析】（1）根据对称轴以及判别式等于得出，再由基本不等式得出函数的值域；
（2）利用换元法结合对数函数以及二次函数的单调性得出a的值．
【解答】（1）依题意得，
因为，所以，
解得，，故，，
当时，，当且仅当，即时，等号成立．
当时，，当且仅当，即时，等号成立．
故的值域为．
（2），
令，则．
①当时，，因为，所以，解得．
因为，所以，解得或（舍去）．
②当时，，因为，所以，解得．
，解得或（舍去）．
综上，a的值为或．
22．(1)最大值为，最小值为；
(2)，.
【分析】（1）将代入，求出函数的解析式，根据求出的范围，即可求出函数的最大值和最小值；
（2）由方程可得，利用余弦函数的性质，可求得n的值和的值.
【解答】（1）将代入，
得，即，
解得，，因为，所以，
所以，
当时，，
所以，所以，
所以在区间上的最大值为，最小值为；
（2）因为，所以，
即，，
由余弦函数性质可知，在上有4个解，
所以，即，，，
累加可得，.
0
40
60
80
0
8.4
18.6
32.8