广东省广州市越秀区2023-2024学年八年级上学期期末数学试卷+

这是一份广东省广州市越秀区2023-2024学年八年级上学期期末数学试卷+，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）要使分式有意义，则x的取值应满足的条件是（ ）
A．x＞﹣2B．x≠﹣2C．x＜﹣2D．x≠2
3．（3分）已知点A（a，1）与点B（﹣2，b）关于x轴对称，则ab+1的值为（ ）
A．﹣2B．0C．1D．2
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a6÷a2＝a3B．（x+y）2＝x2+y2
C．3x（x﹣y）＝3x2﹣yD．（a3）2＝a6
5．（3分）若一个多边形的每个内角都为144°，则这个多边形是（ ）
A．七边形B．八边形C．九边形D．十边形
6．（3分）如果把分式中的x，y都变为原来的2倍，那么分式的值（ ）
A．变为原来的2倍B．不变
C．变为原来的D．变为原来的
7．（3分）一个正方形按如图所示的方式分割成若干个正方形和长方形，据此，下列四个等式中正确的是（ ）
A．（a+b+c）2＝a2+b2+c2
B．（a+b+c）2＝2a2+2b2+2c2
C．（a+b+c）2＝a2+b2+c2+ab+bc+ac
D．（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac
8．（3分）如图，已知点D在△ABC的边BC上，以AD为边作△ADE，若BC＝DE，∠1＝∠2，则添加条件（ ），使得△ABC≌△ADE．
A．AB＝ADB．AC＝AEC．∠2＝∠3D．AC⊥DE
9．（3分）如图，∠AOB＝120°，以O为圆心，任意长为半径作弧交OA于点M，OB于点N，再分别以M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P，连接OP，过P作PF⊥OA于点F，PE∥OA交OB于点E．若PF＝a，OF＝b，那么△EOP的面积为（ ）
A．B．abC．a+bD．2ab
10．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，点E，F分别为边AB，BC上的点，将△BEF沿EF折叠得△PEF，连结AP，CP，过点P作PD⊥AC于点D，点D恰好是AC的中点．若∠BAC＝50°，AP平分∠BAC，则∠PFC＝（ ）
A．100°B．90°C．80°D．60°
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）
11．（3分）分式方程＝的解是 ．
12．（3分）前不久“未发先售”的华为手机Mate60Pr在全球引发拆解热潮，9月4日，著名半导体行业观察机构Techlnsights发布的拆解报告显示，华为Mate60Pr搭载的华为麒麟9000S芯片应该达到或者接近7纳米工艺制程.7纳米也就是0.000000007米，用科学记数法表示0.000000007为 ．
13．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AD，∠BAD＝30°，则∠ADC的度数为 ．
14．（3分）已知a+b＝7，ab＝2，则a2+b2＝ ．
15．（3分）已知△ABC的三边分别为3，a﹣2，7，且a为偶数，则代数式4a2b﹣3•（﹣a﹣1b3）的值为 ．
16．（3分）如图，AD和CD分别为△ABC的两个外角的平分线，过点D作EF∥AC分别交BA和BC的延长线于点E和F．给出以下结论：①ED＝DF；②AE+CF＝EF；③BD平分∠ABC；④∠ADB+∠CDF＝90°．其中正确的是 ．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分.解答应写出文字说明、证明过程、或演算步骤.）
17．（4分）分解因式：a3﹣4a2+4a．
18．（4分）如图，点D是AB上的一点，DF交AC于点E，点E是DF的中点，FC∥AB．
求证：△ADE≌△CFE．
19．（6分）已知：，①化简A；②若x2﹣2x﹣4＝0．求A的值．
20．（6分）如图，在平面直角坐标系中，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC各顶点坐标分别为A（1，4），B（2，1），C（3，3）．
（1）画出△ABC关于y轴的对称图形△A′B′C′；
（2）在y轴上求作一点P，使得点P到点A，B的距离之和最小．
21．（8分）如图，△ABC，△ADE都是等边三角形．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）求证：BD+CD＝AD．
22．（10分）一辆汽车开往距离出发地120km的目的地，出发后第一小时内按照原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的1.5倍匀速行驶．设原计划的行驶速度为x km/h．
（1）原计划到达目的地所用的时间为 h，实际用时为 h；
（2）若实际比原计划提前20min到达，求这辆汽车原计划到达目的地所用的时间．
23．（10分）如图，AB＝AC，D为BA延长线上一点．
（1）尺规作图：过D作DE⊥BC，垂足为E，DE与AC相交于点F．（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）求证：AD＝AF；
（3）若F为AC的中点，求证：DF＝2EF．
24．（12分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝90°，∠ABD＝30°，M为BD上的动点，连结AM，MC．
（1）当AM⊥BD时，求AM；
（2）当AB＝BM时，求证：AM＝CM；
（3）求BM+2CM的最小值．
25．（12分）如图1，△ABC是等边三角形，D为AC边上一点，连结BD，点C关于BD的对称点为点E，连结BE．
（1）若AB是∠DBE的平分线，求∠ABD的度数；
（2）如图2，连结EA并延长交BD的延长线于点F，
①求∠F的度数；
②探究EA，AF和BF三者之间满足的等量关系，并说明理由．
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．（3分）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形的定义解答即可．
【解答】解：由图可知，选项A是轴对称图形，B、C、D不是轴对称图形．
故选：A．
【点评】本题考查的是轴对称图形，熟知如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称是解题的关键．
2．（3分）要使分式有意义，则x的取值应满足的条件是（ ）
A．x＞﹣2B．x≠﹣2C．x＜﹣2D．x≠2
【分析】根据分式有意义的条件是分母不等于零列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得：x+2≠0，
解得：x≠﹣2，
故选：B．
【点评】本题考查的是分式有意义的条件，熟记分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键．
3．（3分）已知点A（a，1）与点B（﹣2，b）关于x轴对称，则ab+1的值为（ ）
A．﹣2B．0C．1D．2
【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【解答】解：由题意得：a＝﹣2，b＝﹣1，
故ab+1＝（﹣2）0＝1．
故选：C．
【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a6÷a2＝a3B．（x+y）2＝x2+y2
C．3x（x﹣y）＝3x2﹣yD．（a3）2＝a6
【分析】根据幂的乘除法则，单项式乘单项式法则，多项式乘多项式法则一一计算判断即可．
【解答】解：A、a6÷a2＝a4，本选项错误，不符合题意；
B、（x+y）2＝x2+2xy+y2，本选项错误，不符合题意；
C、3x（x﹣y）＝3x2﹣2xy，本选项错误，不符合题意；
D、（a3）2＝a6，本选项正确，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查整式是混合运算，解题的关键是掌握去括号法则，合并同类项法则．
5．（3分）若一个多边形的每个内角都为144°，则这个多边形是（ ）
A．七边形B．八边形C．九边形D．十边形
【分析】先求出每一个外角的度数，再根据边数＝360°÷一个外角的度数计算即可．
【解答】解：180°﹣144°＝36°，
360°÷36°＝10，
故这个多边形的边数是10．
故选：D．
【点评】本题主要考查了多边形的内角与外角的关系，求出每一个外角的度数是关键．
6．（3分）如果把分式中的x，y都变为原来的2倍，那么分式的值（ ）
A．变为原来的2倍B．不变
C．变为原来的D．变为原来的
【分析】根据分式的性质计算即可．
【解答】解：
＝
＝×，
即分式的值变为原来的，
故选：C．
【点评】本题考查分式的性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
7．（3分）一个正方形按如图所示的方式分割成若干个正方形和长方形，据此，下列四个等式中正确的是（ ）
A．（a+b+c）2＝a2+b2+c2
B．（a+b+c）2＝2a2+2b2+2c2
C．（a+b+c）2＝a2+b2+c2+ab+bc+ac
D．（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac
【分析】从“整体”和“部分”分别用代数式表示图中的面积即可．
【解答】解：图中是边长为a+b+c，因此面积为（a+b+c）2，
图2中9个部分的面积和为a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，
所以（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，
故选：D．
【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．
8．（3分）如图，已知点D在△ABC的边BC上，以AD为边作△ADE，若BC＝DE，∠1＝∠2，则添加条件（ ），使得△ABC≌△ADE．
A．AB＝ADB．AC＝AEC．∠2＝∠3D．AC⊥DE
【分析】由全等三角形的判定，即可判断．
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴∠BAC＝∠DAE，
A、AB＝AD，∠BAC和∠DAE分别是BC和DE的对边，不能判定△ABC≌△ADE，故A不符合题意；
B、AC＝AE，∠BAC和∠DAE分别是BC和DE的对边，不能判定△ABC≌△ADE，故B不符合题意；
C、由∠2＝∠3，∠AFE＝∠CFD，得到∠E＝∠C，由AAS判定△ABC≌△ADE，故C符合题意；
D、由AC⊥DE，不能推出△ABC和△ADE的角的关系，不能判定△ABC≌△ADE，故D不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的方法：SAS，ASA，AAS，SSS，HL．
9．（3分）如图，∠AOB＝120°，以O为圆心，任意长为半径作弧交OA于点M，OB于点N，再分别以M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P，连接OP，过P作PF⊥OA于点F，PE∥OA交OB于点E．若PF＝a，OF＝b，那么△EOP的面积为（ ）
A．B．abC．a+bD．2ab
【分析】如图，过点O作OH⊥PE于点H．证明PE＝PO＝2OF＝2b，OH＝PF＝a，可得结论．
【解答】解：如图，过点O作OH⊥PE于点H．
由作图可知OP平分∠AOB，
∵∠AOB＝120°，
∴∠POF＝∠AOB＝60°，
∵PF⊥OA，
∴∠PFO＝90°，
∴∠OPF＝30°，
∴OP＝2OF＝2b，
∵OH⊥PE，PE∥OA，
∴OH⊥OA，
∴∠OHP＝∠HOF＝∠OFP＝90°，
∴四边形OFPH是矩形，
∴OH＝PF＝a，
∵PE∥OA，
∴∠EPO＝∠POA＝∠PEO，
∴PE＝PO＝2b，
∴S△POE＝•PE•OH＝×2b×a＝ab．
故选：B．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，角平分线的性质，含30°的直角三角形的性质，矩形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
10．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，点E，F分别为边AB，BC上的点，将△BEF沿EF折叠得△PEF，连结AP，CP，过点P作PD⊥AC于点D，点D恰好是AC的中点．若∠BAC＝50°，AP平分∠BAC，则∠PFC＝（ ）
A．100°B．90°C．80°D．60°
【分析】延长AP交BC于点G，连接BP，由AB＝AC，∠BAC＝50°，求得∠ACB＝∠ABC＝65°，则∠PAC＝∠PAB＝∠BAC＝25°，由AG垂直平分BC，得PB＝PC，由PD垂直平分AC，得PA＝PC，则∠PCA＝∠PAC＝25°，所以∠PBF＝∠PCB＝40°，由折叠得PF＝BF，则∠BPF＝∠PBF＝40°，所以∠PFC＝∠PBF+∠BPF＝80°，于是得到问题的答案．
【解答】解：延长AP交BC于点G，连接BP，
∵AB＝AC，∠BAC＝50°，
∴∠ACB＝∠ABC＝×（180°﹣50°）＝65°，
∵AP平分∠BAC，
∴∠PAC＝∠PAB＝∠BAC＝×50°＝25°，BG＝CG，
∴AG垂直平分BC，
∴PB＝PC，
∴PD⊥AC于点D，点D是AC的中点，
∴PD垂直平分AC，
∴PA＝PC，
∴∠PCA＝∠PAC＝25°，
∴∠PBF＝∠PCB＝∠ACB﹣∠PCA＝65°﹣25°＝40°，
由折叠得PF＝BF，
∴∠BPF＝∠PBF＝40°，
∴∠PFC＝∠PBF+∠BPF＝40°+40°＝80°，
故选：C．
【点评】此题重点考查等腰三角形的判定与性质、轴对称的性质、三角形内角和定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）
11．（3分）分式方程＝的解是 x＝5 ．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：2x﹣2＝x+3，
解得：x＝5，
经检验x＝5是分式方程的解．
故答案为：x＝5
【点评】此题考查了解分式方程，利用转化的思想，解分式方程注意要检验．
12．（3分）前不久“未发先售”的华为手机Mate60Pr在全球引发拆解热潮，9月4日，著名半导体行业观察机构Techlnsights发布的拆解报告显示，华为Mate60Pr搭载的华为麒麟9000S芯片应该达到或者接近7纳米工艺制程.7纳米也就是0.000000007米，用科学记数法表示0.000000007为 7×10﹣9 ．
【分析】将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．
【解答】解：0.000000007＝7×10﹣9，
故答案为：7×10﹣9．
【点评】本题考查科学记数法表示较小的数，熟练掌握其定义是解题的关键．
13．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AD，∠BAD＝30°，则∠ADC的度数为 105° ．
【分析】根据等腰三角形的性质求出∠ADB的度数即可解答．
【解答】解：∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∵∠BAD＝30°，
∴∠ABD＝∠ADB＝75°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ADB＝105°．
故答案为：105°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两个底角相等是解题的关键．
14．（3分）已知a+b＝7，ab＝2，则a2+b2＝ 45 ．
【分析】把已知条件a+b＝7利用完全平方公式两边平方，然后再把ab＝2代入即可求解．
【解答】解：∵a+b＝7，ab＝2，
∴a2+2ab+b2＝49，
即a2+2×2+b2＝49，
解得a2+b2＝49﹣4＝45．
故答案为：45．
【点评】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握公式是解题的关键．完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．
15．（3分）已知△ABC的三边分别为3，a﹣2，7，且a为偶数，则代数式4a2b﹣3•（﹣a﹣1b3）的值为 ﹣32或﹣40 ．
【分析】根据“三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边”和“a为偶数”求得a的值；然后代入求值即可．
【解答】解：根据题意，得7﹣3＜a﹣2＜7+3，
解得6＜a＜12．
又因为a是偶数，
所以a的值为8或10．
当a＝8时，4a2b﹣3•（﹣a﹣1b3）＝﹣4a＝﹣4×8＝﹣32．
当a＝10时，4a2b﹣3•（﹣a﹣1b3）＝﹣4a＝﹣4×10＝﹣40．
综上所述，代数式4a2b﹣3•（﹣a﹣1b3）的值为﹣32或﹣40．
故答案为：﹣32或﹣40．
【点评】此题考查三角形三边关系，关键是根据三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边解答．
16．（3分）如图，AD和CD分别为△ABC的两个外角的平分线，过点D作EF∥AC分别交BA和BC的延长线于点E和F．给出以下结论：①ED＝DF；②AE+CF＝EF；③BD平分∠ABC；④∠ADB+∠CDF＝90°．其中正确的是 ②③④ ．
【分析】由角平分线的定义及等腰三角形的判定与性质可得出答案．
【解答】解：∵AD和CD分别为△ABC的两个外角的平分线，
∴∠EAD＝∠CAD，∠ACD＝∠FCD，
∵EF∥AC，
∴∠EDA＝∠CAD，∠FDC＝∠ACD，
∴∠EAD＝∠EDA，∠FDC＝∠FCD，
∴AE＝DE，DF＝CF，
∴AE+CF＝ED+DF＝EF，
故②正确；
∵AB≠AC，EF∥AC，
∴AE≠CF，
∴ED≠DF，故①错误；
∵AD和CD分别为△ABC的两个外角的平分线，
∴BD平分∠ABC，
故③正确；
∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠ADB＝∠EAD﹣∠ABD∵∠ACD+∠FCD＝∠ABC+∠BAC，
∴2∠FCD＝2∠ABD+180°﹣2∠EAD，
∴∠CDF＝∠ABD+90°﹣∠EAD，
∴∠ADB+∠CDF＝∠EAD﹣∠ABD+∠ABD+90°﹣∠EAD＝90°，
故④正确，
故答案为：②③④．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分.解答应写出文字说明、证明过程、或演算步骤.）
17．（4分）分解因式：a3﹣4a2+4a．
【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝a（a2﹣4a+4）＝a（a﹣2）2．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
18．（4分）如图，点D是AB上的一点，DF交AC于点E，点E是DF的中点，FC∥AB．
求证：△ADE≌△CFE．
【分析】利用AAS证明：△ADE≌CFE．
【解答】证明：∵FC∥AB，
∴∠A＝∠FCE，∠ADE＝∠F，
在△ADE与△CFE中，
，
∴△ADE≌△CFE（AAS）．
【点评】本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是关键，三角形全等的判定方法有：AAS，SSS，SAS，ASA．
19．（6分）已知：，①化简A；②若x2﹣2x﹣4＝0．求A的值．
【分析】①先根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，再算乘法即可；
②求出x2﹣2x＝4，再代入求出答案即可．
【解答】解：①
＝÷
＝÷
＝•
＝
＝；
②∵x2﹣2x﹣4＝0，
∴x2﹣2x＝4，
∴原式＝＝1．
【点评】本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．
20．（6分）如图，在平面直角坐标系中，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC各顶点坐标分别为A（1，4），B（2，1），C（3，3）．
（1）画出△ABC关于y轴的对称图形△A′B′C′；
（2）在y轴上求作一点P，使得点P到点A，B的距离之和最小．
【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可．
（2）连接A'B，交y轴于点P，则点P即为所求．
【解答】解：（1）如图，△A′B′C′即为所求．
（2）如图，连接A'B，交y轴于点P，连接AP，
此时AP+BP＝A'P+BP＝A'B，为最小值，
即点P到点A，B的距离之和最小，
则点P即为所求．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换、轴对称﹣最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
21．（8分）如图，△ABC，△ADE都是等边三角形．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）求证：BD+CD＝AD．
【分析】（1）由等边三角形的性质得AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，则∠BAD＝∠CAE＝60°﹣∠CAD，即可根据“SAS”证明△ABD≌△ACE；
（2）由全等三角形的性质得BD＝CE，所以BD+CD＝CE+CD＝DE＝AD．
【解答】证明：（1）∵△ABC，△ADE都是等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴∠BAD＝∠CAE＝60°﹣∠CAD，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）．
（2）∵△ABD≌△ACE，
∴BD＝CE，
∴BD+CD＝CE+CD＝DE，
∵AD＝DE，
∴BD+CD＝AD．
【点评】此题重点考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，推导出∠BAD＝∠CAE，进而证明△ABD≌△ACE是解题的关键．
22．（10分）一辆汽车开往距离出发地120km的目的地，出发后第一小时内按照原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的1.5倍匀速行驶．设原计划的行驶速度为x km/h．
（1）原计划到达目的地所用的时间为 h，实际用时为 （1+） h；
（2）若实际比原计划提前20min到达，求这辆汽车原计划到达目的地所用的时间．
【分析】（1）由路程÷速度＝时间，即可得出结论；
（2）根据实际比原计划提前20min到达，列出分式方程，解方程，即可解决问题．
【解答】解：（1）由题意得：原计划行驶的时间为h，实际用时为（1+）h，
故答案为：，（1+）；
（2）由题意得：1++＝，
解得：x＝60，
经检验，x＝60是原方程的解，且符合题意，
∴＝＝2，
答：这辆汽车原计划到达目的地所用的时间为2h．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
23．（10分）如图，AB＝AC，D为BA延长线上一点．
（1）尺规作图：过D作DE⊥BC，垂足为E，DE与AC相交于点F．（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）求证：AD＝AF；
（3）若F为AC的中点，求证：DF＝2EF．
【分析】（1）根据要求作出图形；
（2）证明∠ADE＝∠AFD，可得结论；
（3）证明HD＝HF，FH＝EF即可．
【解答】（1）解：图形如图所示：
（2）证明：∵DE⊥CB
∴∠BED＝∠CED＝90°，
∴∠B+∠BDE＝90°，∠C+∠CFE＝90°，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠BDE＝∠CFE，
∵∠AFD＝∠CFE，
∴∠ADE＝∠AFD，
∴AD＝AF．
（3）证明：过点A作AH⊥DF于点H，
∵AD＝AF，
∴HF＝HD，
∵∠AHF＝∠CEF＝90°，∠AFH＝∠CFE，AF＝FC，
∴△AHF≌△CEF（AAS），
∴EF＝FH，
∴DE＝2EF．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确作出图形，寻找全等三角形解决问题．
24．（12分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝90°，∠ABD＝30°，M为BD上的动点，连结AM，MC．
（1）当AM⊥BD时，求AM；
（2）当AB＝BM时，求证：AM＝CM；
（3）求BM+2CM的最小值．
【分析】（1）由直角三角形的性质可求出答案；
（2）过点A作AE⊥BM于点E，MF⊥AC于点F，证出∠EAM＝∠DAM，证明△AEM≌△AFM（AAS），由全等三角形的性质得出AE＝AF，证出AF＝CF，则可得出结论；
（3）过点M作MG⊥AB于G，由直角三角形的性质得出MG＝BM，BM+2CM＝2（MG+CM），则可求出答案．
【解答】（1）证明：∵AM⊥BD，
∴∠AMB＝90°，
∵∠ABM＝30°，
∴AM＝AB＝2；
（2）证明：过点A作AE⊥BM于点E，MF⊥AC于点F，
∵AB＝BM，∠ABD＝30°，
∴∠BAM＝∠BMA＝75°，AE＝AB，
∴∠EAM＝15°，
∵∠BAD＝90°，
∴∠DAM＝90°﹣75°＝15°，
∴∠EAM＝∠DAM，
又∵∠AEM＝∠AFM，AM＝AM，
∴△AEM≌△AFM（AAS），
∴AE＝AF，
∵AB＝AC，
∴AF＝AC，
∴AF＝CF，
又∵MF⊥AC，
∴AM＝CM；
（3）解：过点M作MG⊥AB于G，
∵MG⊥AB，∠ABD＝30°，
∴MG＝BM，
∴BM+2CM＝2（BM+CM）＝2（MG+CM），
∴当M，A，C三点共线时，即CM+MG＝AC，BM+2CM有最小值．
∴BM+2CM＝2AC＝2×4＝8．
【点评】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
25．（12分）如图1，△ABC是等边三角形，D为AC边上一点，连结BD，点C关于BD的对称点为点E，连结BE．
（1）若AB是∠DBE的平分线，求∠ABD的度数；
（2）如图2，连结EA并延长交BD的延长线于点F，
①求∠F的度数；
②探究EA，AF和BF三者之间满足的等量关系，并说明理由．
【分析】（1）设∠EBA＝∠ABD＝α，根据点C与点E关于BD对称得出∠CBD＝∠EBD＝2∠EBA＝2α，由∠ABD+∠CBD＝60°得3α＝60°，从而α＝20°，进而得出结果；
（2）设∠ABD＝α，∠EBD＝∠CBD＝60°﹣α，∠EBA＝60°﹣2α，根据对称得出EB＝CB，从而EB＝AB，从而∠BAE＝∠E＝＝60°+α，从而得出∠FAD＝180°﹣∠BAC﹣∠BAE＝60°﹣α，从而∠FAD＝∠DBC，进一步得出结果；
（3）连接CF，在BF上截取FG＝AF，连接AG，可推出∠AGB＝∠AFC＝120°，进而得出△ABG≌△ACF，BG＝CF＝AE+AF，进一步得出结果．
【解答】解：（1）设∠EBA＝∠ABD＝α，
∵点C与点E关于BD对称，
∴∠CBD＝∠EBD＝2∠EBA＝2α，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∴∠ABD+∠CBD＝60°，
∴3α＝60°，
∴α＝20°，
∴∠ABD＝20°；
（2）①∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠C＝∠BAC＝∠ABC＝60°，
设∠ABD＝α，
∴∠EBD＝∠CBD＝60°﹣α，
∴∠EBA＝60°﹣2α，
∵点C与点E关于BD对称，
∴EB＝CB，
∴EB＝AB，
∴∠BAE＝∠E＝＝60°+α，
∴∠FAD＝180°﹣∠BAC﹣∠BAE＝60°﹣α，
∴∠FAD＝∠DBC，
∵∠ADF＝∠BDC，
∴∠F＝∠C＝60°；
②如图，
BF＝AE+2AF，理由如下：
连接CF，在BF上截取FG＝AF，连接AG，
∵点C与点E关于BD对称，
∴CF＝EF＝AE+AF，∠BFC＝∠AFD，
由①知：∠AFD＝60°，
∴△AGF是等边三角形，∠BFD＝60°，
∴∠AGF＝60°，∠BAC＝∠BFD，
∴∠AGB＝∠AFC＝120°，
∵∠ADB＝∠CDF，
∴∠ABD＝∠ACF，
∵AB＝AC，
∴△ABG≌△ACF（AAS），
∴BG＝CF＝AE+AF，
∴BF＝BG+FG＝AE+AF+AF＝AE+2AF．
【点评】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．