解答题必刷题组（解析版）

这是一份解答题必刷题组（解析版），共23页。试卷主要包含了已知，已知=，，在中，其顶点坐标为.等内容，欢迎下载使用。

1．已知（其中且）．
(1)若，，求实数的取值范围；
(2)若，的最大值大于1，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由对数函数的定义域和单调性解不等式即可求解的取值范围；
（2）由取值范围求出取值范围，分类讨论参数，由函数的增减性，确定函数最大值，再令解不等式即可.
【详解】（1）当时，，
即有，
所以解得，
故实数的取值范围是；
（2）因为，则时，．
当时，则函数最大值，解得；
当时，则函数最大值，解得；
综上所述，的取值范围是．
2．已知=（1，2）， =（-2，4），
(1)//（+），求
(2)⊥，求与夹角的余弦值
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出+和的坐标，根据//（+）可得方程，求出m,继而求出，即可求得答案；
（2）根据⊥，求得，根据向量的夹角公式，即可求得答案.
【详解】（1）由=（1，2），=（-2，4），可得+，
,
故由//（+），可得 ，解得 ；
故，则；
（2）由⊥可得： ，
则 ，
故， ，
，，
故 .
3．在中，其顶点坐标为.
(1)求直线的方程；
(2)求的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求出AB的斜率，再利用点斜式写出方程即可；
（2）先求出，再求出C到AB的距离即可得到答案.
【详解】（1）由已知，，
所以直线的方程为，即.
（2），
C到直线AB的距离为，
所以的面积为.
4．如图，在四棱锥VABCD中，底面ABCD是矩形，VD⊥平面ABCD，过AD的平面分别与VB，VC交于点M，N.
(1) 求证：BC⊥平面VCD；
(2) 求证：AD∥MN.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】（1）证出VD⊥BC，BC⊥CD，利用线面垂直的判定定理即可得证.
（2）利用线面平行的性质定理即可证出.
【详解】（1）在四棱锥VABCD中，
因为VD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以VD⊥BC.
因为底面ABCD是矩形，所以BC⊥CD.
又CD⊂平面VCD，VD⊂平面VCD，CD∩VD＝D，则BC⊥平面VCD.
(2)因为底面ABCD是矩形，所以AD∥BC.
又AD⊄平面VBC，BC⊂平面VBC，则AD∥平面VBC.
又平面ADNM平面VBC＝MN，AD⊂平面ADNM，则AD∥MN.
【点睛】本题考查了线面垂直的判定定理、线面平行的性质定理，属于基础题.
5．已知抛物线的焦点与曲线的右焦点重合.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）若抛物线上的点满足，求点的坐标.
【答案】（1）；（2）或.
【解析】（1）求出双曲线的右焦点坐标，可求出的值，即可得出抛物线的标准方程；
（2）设点，由抛物线的定义求出的值，代入抛物线的方程可求得的值，即可得出点的坐标.
【详解】（1）由双曲线方程可得，，
所以，解得.
则曲线的右焦点为，所以，.
因此，抛物线的标准方程为；
（2）设，由抛物线的定义及已知可得，解得.
代入抛物线方程可得，解得，
所以点的坐标为或.
6．某公司生产一种电子产品，每批产品进入市场之前，需要对其进行检测，现从某批产品中随机抽取9箱进行检测，其中有5箱为一等品.
(1)若从这9箱产品中随机抽取3箱，求至少有2箱是一等品的概率；
(2)若从这9箱产品中随机抽取3箱，记表示抽到一等品的箱数，求的分布列和期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）有古典概型概率计算公式以及组合数的计算即可求解.（2）利用超几何分布的知识求得分布列以及期望.
【详解】（1）设从这9箱产品中随机抽取的3箱产品中至少有2箱是一等品的事件为，则，
因此从这9箱产品中随机抽取3箱，求至少有2箱是一等品的概率为.
（2）由题意可知的所有可能取值为，由超几何分布概率公式得
，，，，
所以的分布列为：
所以.
7．已知双曲线的其中一个焦点为，一条渐近线方程为
（1）求双曲线的标准方程；
（2）已知倾斜角为的直线与双曲线交于两点，且线段的中点的纵坐标为4，求直线的方程.
【答案】（1）（2）
【分析】（1）由题意，联立方程求出，即可得到双曲线方程；
（2）利用点差法求出中点坐标，点斜式求出直线方程即可.
【详解】（1）由焦点可知，
又一条渐近线方程为
所以，
由可得 ,解得，，
故双曲线的标准方程为
（2）设，AB中点的坐标为
则①，②，
②①得：，
即，又，
所以，
所以直线的方程为，即
解答题•必刷题组02
1．已知函数的图像过点．
(1)求实数的值；
(2)判断函数的奇偶性并证明．
【答案】(1)2
(2)奇函数，证明见解析
【分析】（1）将点坐标代入解析式求解，
（2）由奇函数的定义证明．
【详解】（1）解：∵函数的图像过点，
∴，∴；
（2）证明：∵函数的定义域为，
又，
∴函数是奇函数．
2．已知，，与的夹角为.
（1）求；
（2）的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）利用平面向量数量积的定义可计算出的值；
（2）由题意得出，利用平面向量数量积的定义和运算律可得解.
【详解】（1）；
（2）.
【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，同时也考查了利用平面向量数量积计算向量的模，考查计算能力，属于基础题.
3．已知数列是公比为2的等比数列，且，，成等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等比数列基本量的计算，结合等差中项即可求解，
（2）根据裂项求和即可求求解.
【详解】（1）因为数列是公比为2的等比数列，且，，成等差数列，
所以，即：，解得：，故；
（2）设，
4．如图，已知多面体的底面是边长为3的正方形，底面，，且．

(1)证明：平面；
(2)求四棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)6
【分析】（1）由线面垂直的判定证明；
（2）求出直角梯形的面积，以为四棱锥的高求体积.
【详解】（1）∵底面，底面，
∴．
又，，平面，
∴平面．
（2）由题意易知四边形为直角梯形，
∴．
∴．
5．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且轴时，.
(1)求抛物线的标准方程；
(2)若直线与抛物线交于两点，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）令，求出，故，得到抛物线方程；
（2）联立与抛物线方程，得到两根之和，两根之积，求出弦长和面积.
【详解】（1）令时，，解得，
故当轴时，，所以，
故抛物线的标准方程为；
（2）设，，由（1）可知，
由，消去得，
则，，
所以，
又，，所以，
故
因为点到直线的距离，
所以的面积为
6．一盒子中有8个大小完全相同的小球，其中3个红球，4个白球，1个黑球.
(1)若不放回地从盒中连续取两次球，每次取一个，求在第一次取到红球的条件下，第二次也取到红球的概率；
(2)若从盒中有放回的取球3次，求取出的3个球中白球个数的分布列和数学期望.
【答案】(1)；
(2)分布列见解析，数学期望为.
【分析】（1）设事件“第一次取到红球”，事件“第二次取到红球”，求出，，再根据条件概率的概率公式计算可得；
（2）依题意服从二项分布，的可能取值为0、1、2、3，求出所对应的概率，列出分布列，求出数学期望即可.
【详解】（1）设事件A=“第一次取到红球”，事件B=“第二次取到红球”，
由于是不放回地从盒中连续取两次球，每次取一个，所以第一次取球有8种方法，第二次取球是7种方法，一共的基本事件数是56，
由于第一次取到红球有3种方法，第二次取球是7种方法，，
一次取到红球有3种方法，第二次取到红球有2种方法，，
;
（2）由题可知白球个数，且有，
，
故的分布列为：
所以的数学期望为：.
7．已知在中，内角、、的对边分别为、、，，，.
(1)求；
(2)求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由余弦定理计算即可得；
（2）由正弦定理计算即可得.
【详解】（1），，，由余弦定理可得：
，即；
（2），，，由正弦定理可得：
，故.
8．某化工厂生产甲、乙两种肥料，生产1车皮甲种肥料能获得利润10000元，需要的主要原料是磷酸盐4吨，硝酸盐8吨；生产1车皮乙种肥料能获得利润5000元，需要的主要原料是磷酸盐1吨，硝酸盐15吨．现库存有磷酸盐10吨，硝酸盐66吨，在此基础上生产这两种肥料．问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？
【答案】甲种2车皮、乙种2车皮
【分析】设生产甲种肥料x车皮、乙种肥料y车皮能够产生利润z万元，列出线性约束条件，再利用线性规划求解.
【详解】设生产甲种肥料x车皮、乙种肥料y车皮能够产生利润z万元．
目标函数为，约束条件为：，可行域如图中阴影部分的整点．
直线截距2z最大时，z最大．
解方程组得：M点坐标为．
∵M不为整数点，结合图像，依次将代入约束条件，得以及为可行域内偏上方的整数点，
经比较可得，当过时，截距2z最大，即.
所以生产甲种、乙种肥料各2车皮，能够产生最大利润，最大利润为3万元．
解答题•必刷题组03
1．已知函数．
(1)求函数的定义域；
(2)若函数的图象过，求的单调区间．
【答案】(1)
(2)增区间为，减区间为.
【分析】（1）根据解析式有意义解不等式可得；
（2）根据图象过点求a，然后由复合函数单调性求解即可.
【详解】（1）由题可知，即，
解得，所以函数的定义域.
（2）由函数的图像过，有，解得，
令，则，
因为为增函数，在上单调递增，在上单调递减，
所以，由复合函数单调性可知，函数在的增区间为，减区间为.
2．在等差数列中，
(1)已知，求与；
(2)已知，，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用等差数列的通项公式即可求解；
（2）利用等差数列的通项公式即可求解.
【详解】（1）由题意知，解得.
（2）由题意知，即，解得，
所以，
即.
3．袋子中有7个大小相同的小球，其中4个白球，3个黑球，从袋中随机地取出小球，若取到一个白球得2分，取到一个黑球得1分，现从袋中任取4个小球.
(1)求得分的分布列及均值；
(2)求得分大于6的概率.
【答案】(1)分布列见解析，
(2)
【分析】（1）根据超几何分布的概率公式求解概率，即可得分布列，由期望的公式即可求解，
（2）根据分布列即可求解概率.
【详解】（1）由题意可知，随机变量的取值为,
所取小球为1白3黑时，
所取小球为2白2黑时，
所取小球为3白1黑时，
所取小球为4白时，
所以，随机变量的分布列为
随机变量的均值为：
（2）根据的分布列，可得到得分大于6的概率为
4．已知函数.
(1)求的最小正周期；
(2)求在区间上的最大值和最小值.
【答案】(1)
(2)最大值为2，最小值为-2
【分析】（1）结合公式计算直接得出结果；
（2）由题意求得，根据余弦函数的单调性即可求解.
【详解】（1）由，
知函数的最小正周期为；
（2）由，得，
令，则，
函数在上单调递减，所以，
所以，
即函数在上的最大值为2，最小值为-2.
5．已知圆的圆心在直线上，且过点
(1)求圆的方程；
(2)已知直线经过，并且被圆截得的弦长为2，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）由点在直线上，可设出圆心坐标，利用圆上两点列出方程，求出圆心坐标即得方程；
（2）首先结合图形判断点在圆上，设出直线，利用垂径定理将弦长问题转化为圆心到直线的距离问题求得，即得直线方程.
【详解】（1）设圆心坐标为，因圆过点,故有,即：，
解得：，则,圆的半径为，故圆的方程为：.
（2）
如图，直线经过的点恰好在圆上，因直线被圆截得的弦长为2，故其斜率一定存在，设直线为，
即，过点作,垂足为，则,又,故得：,
即点到直线的距离为，解得：或，即直线的方程为：或.
6．如图，四棱锥的底面为正方形，为的中点.

(1)证明：平面；
(2)若平面，证明：.
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据题意，设与交于点，连接，由线面平行的判定定理即可证明；
（2）由线面垂直的性质定理及判定定理即可得证.
【详解】（1）设与交于点，连接，
因为底面是正方形，所以为的中点，
又因为为的中点，所以，
因为平面，平面，
所以平面.

（2）因为底面是正方形，所以，
又因为平面，平面，所以，
又，平面，
所以平面，
因为平面，所以.
7．已知为抛物线的焦点，为坐标原点，为的准线上的一点，直线的斜率为，的面积为4.
(1)求的方程；
(2)过抛物线的焦点作倾斜角为的直线交抛物线于A、B两点，求弦长|AB|.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出焦点坐标，设点的坐标，从而根据直线的斜率和三角形面积得到方程组，求出答案；
（2）求出直线的方程，联立抛物线方程，得到两根之和，根据弦长公式求出答案.
【详解】（1）由题意知，设点的坐标为，
则直线的斜率为．
因为直线的斜率为，所以，即，
所以的面积，

解得或（舍去），故抛物线的方程为．
（2）设点，，其中．

则直线的方程为，由，消去整理得
，显然， ，
故弦长.
解答题•必刷题组04
1.设函数（且）， 满足.
(1)求的值；
(2)若，求使不等式对任意实数恒成立的的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据求得.
（2）根据函数的奇偶性、单调性、一元二次不等式恒成立等知识求得的取值范围.
【详解】（1）∵，∴，∴.
（2）由（1）得：（且），
的定义域为，，
∴是奇函数．
∵ ，∴，∴
∴在上是减函数．
不等式等价于．
∴，即恒成立．
∴ ，解得.
2．已知，.
(1)求，的值；
(2)求的值.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据判断三角函数值的正负，结合同角三角函数关系即可求解；
（2）根据二倍角正弦公式直接计算求解即可.
【详解】（1）因为，所以，
又因为，所以，
所以.
（2）因为，，
所以
3．一袋子中有大小相同的2个红球和3个黑球，从袋子里随机取球，取到每个球的可能性是相同的，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分.
(1)若从袋子里一次随机取出3个球，求得4分的概率；
(2)若从袋子里每次摸出一个球，看清颜色后放回，连续摸3次，求得分的概率分布列.
【答案】(1)
(2)分布列见解析
【分析】（1）根据题意，求得取出的球中有1个红球和2个黑球的情况的概率，即可求解；
（2）根据题意得到随机变量的可能取值为3，4，5，6，结合独立重复试验的概率计算公式，求得相应的概率，得出分布列.
【详解】（1）解：设“一次取出3个球得4分”的事件记为，
则事件表示取出的球中有1个红球和2个黑球的情况，则.
（2）解：由题意，随机变量的可能取值为3，4，5，6，
因为是有放回地取球，所以每次取到红球的概率为，取到黑球的概率为，
可得，，
，，
所以随机变量的分布列为：
4．记是等差数列的前项和，若.
(1)求数列的通项公式；
(2)求使成立的的最小值.
【答案】(1)
(2)7
【分析】（1）根据等差数列的前项和的定义列出方程求得公差，即得通项公式；
（2）将的解析式代入，解一个一元二次不等式，再按要求取值即得.
【详解】（1）设等差数列的公差为，因，则有：，解得：，
故数列的通项公式为：.
（2）由数列的前通项公式可得：，
由可得，整理可得：，
解得：或，又为正整数，故的最小值为7.
5．如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，E为的中点.
(1)求证：平面；
(2)求证：平面.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据线面垂直的性质可得，结合线面垂直判定定理即可证明；
（2）设AC与BD交于点O，连接OE，则，结合线面平行的判定定理即可证明.
【详解】（1）因为平面，平面，所以，
又平面为菱形，所以，
又平面，
所以平面；
（2）E为PD的中点，设AC与BD交于点O，连接OE，
则，又平面，平面，
所以平面.
6．曲线上的每一点到定点的距离与到定直线的距离相等.
(1)求出曲线的标准方程；
(2)若直线与曲线交于两点，求弦的长.
【答案】(1)
(2)16
【分析】（1）由抛物线定义可知曲线类型，然后可得方程；
（2）直线方程联立抛物线方程消元，然后利用韦达定理，结合弦长公式可得.
【详解】（1）由抛物线定义可知，曲线为开口向右的抛物线，其中，
所以，曲线的标准方程为.
（2）设，
联立，消去y得，
所以，
由弦长公式得.
7．在中，内角所对的边分别为，已知，且.
(1)求的值；
(2)求的面积；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据诱导公式、同角三角函数的基本关系式以及两角和的余弦公式求得正确答案.
（2）先求得，然后利用三角形的面积公式求得正确答案.
【详解】（1）.
.
由正弦定理可得.
（2），
所以的面积.
8．一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t，硝酸盐18t；生产1车乙种肥料的主要原料是磷酸盐1t、硝酸盐15t．现库存磷酸盐10t、硝酸盐66t．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为10000元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为5000元．那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大利润？最大利润是多少？
【答案】 生产甲、乙两种肥料各2车皮，能够产生最大利润是3万元
【详解】根据题意列出线性约束条件，画图目标函数
中z看做直线在y轴上的截距，当过点M时，Z有最大值，带入点M坐标得
解：设生产甲种肥料x车皮，乙种肥料y车皮，能够产生利润Z万元……2分
则有：
目标函数为 ………………6分
做出可行域如图所示
平移直线x + 0.5y = 0，当其过可行域上点M时，Z有最大值．……………………8分
解方程组得M的坐标x = 2，y = 2 所以
由此可知，生产甲、乙两种肥料各2车皮，能够产生最大利润是3万元
0
1
2
3
0
1
2
3
5
6
7
8
3
4
5
6