【湖南专用】10 立体几何（基础卷）（解析版）

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选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1．已知正方体中，直线与直线所成角的大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据线线垂直证明线面垂直即可得两直线垂直，进而可求解夹角大小.
【详解】由于在正方体中，平面，平面，
所以，
又，平面，
所以平面，平面,故，
所以直线与直线所成角为，
故选：A

2．在正方体中，为的中点，则直线与所成的角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据正方体性质，将直线平移到，再利用即可求得角的大小.
【详解】连接，如下图所示：

根据正方体性质可知，所以直线与所成的角即为直线与所成的角；
设正方体棱长为2，易知，，，
在中，满足，即，
因此，所以.
故选：B
3．已知、表示两条不同的直线，表示平面，则下面四个命题正确的是（ ）
①若，，则； ②若，，则；
③若，，则； ④若，，则．
A．①②B．②③C．①③D．③④
【答案】D
【分析】举例说明判断①②；利用线线、线面垂直的判定、性质推理判断③④作答.
【详解】长方体中，平面为平面，直线BC为直线b，如图，
当直线AD为直线a时，满足，，而，①不正确；
当直线为直线a时，满足，，而，②不正确；
在平面内取两条相交直线m，n，如图，因，则，
而，则，又，m，n是相交直线，∴，③正确；
因，过直线b作平面，如图，
则有，又，，于是得，从而得，④正确，
∴给定命题正确的是③④.
故选：D.
4．已知圆柱的底面半径是3，高是4，那么圆柱的侧面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由圆柱的侧面积公式直接可得.
【详解】由题意设底面半径为，母线为，
圆柱的侧面积为.
故选：C.
5．设l，m是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下面命题中正确的是（ ）
A．若，，则B．若，，
C．若，，则D．若，，，则
【答案】D
【分析】依据线面垂直判定定理去判断各个选项即可解决.
【详解】选项A：若，，则或或相交.判断错误；
选项B：若，，则或或相交.判断错误；
选项C：若，，则或或相交.判断错误；
选项D：若，，则，又，则.判断正确.
故选：D
6．对于平面和两条直线，下列说法正确的是（ ）
A．若，，则B．若与所成的角相等，则
C．若，，则D．若，，n在平面α外，则
【答案】D
【分析】根据空间线、面的位置关系即可判断A,B,C,利用线面平行的判定定理可判断D.
【详解】对于A，若，，则或，故A错误；
对于B，若与所成的角相等，则相交、平行或异面，故B错误；
对于C，若，，则相交、平行或异面，故C错误；
对于D，若，，n在平面α外，则由线面平行的判定定理得，
故D正确.
故选:D.
7．已知圆锥的侧面展开图是面积为的半圆，则该圆锥底面的半径为（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】A
【分析】设圆锥的底面圆半径为，母线为，根据圆的面积公式求出l，进而求出扇形的弧长，结合圆的周长公式计算即可求解.
【详解】设圆锥的底面圆半径为，母线为，
则，解得，所以侧面展开图扇形的弧长为，
有，解得，即圆锥的底面圆半径为1.
故选：A
8．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，若，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】借助正方体模型，通过空间想象即可判断.
【详解】若，则，又，则.
反之，如图，在正方体中，
记平面为，平面为，分别为直线，
则满足，，但不平行，
所以是的充分不必要条件.
故选：A.
9．已知正三棱柱所有棱长均为2，则该正三棱柱的体积为（ ）
A．B．4C．D．
【答案】A
【分析】根据三棱棱柱体积的计算公式直接计算，判断选项.
【详解】,
故选:A
10．若某圆锥的母线与底面所成的角为，且其母线长为 4 ，则该圆锥的体积为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由题意可知圆锥的高与底面半径相等，再由母线长可求出高和底面半径，从而可求出圆锥的体积.
【详解】因为该圆锥的母线与底面所成的角为, 且其母线长为 4，
所以该圆锥的高与底面半径相等, 且都等于,
所以该圆锥的体积,
故选：A
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
11．已知圆锥的母线长为2，底面半径为1，则圆锥的侧面积为 .
【答案】
【分析】利用圆锥的侧面积公式即可得解.
【详解】因为圆锥的母线长为，底面半径为，
所以圆锥的侧面积为.
故答案为：.
12．在正方体中，与平面所成角的大小为 .
【答案】
【分析】找到即为与平面所成角，求出大小.
【详解】由于⊥平面，故即为与平面所成角，
因为，所以，
故与平面所成角为.
故答案为：
13．若一个圆柱的底面半径和母线长都是1，则这个圆柱的体积是 .
【答案】
【分析】直接根据圆柱的体积公式计算即可得出答案.
【详解】这个圆柱的体积.
故答案为：.
14．已知正三棱锥的底面边长为2，高为1，则其体积为 ．
【答案】/
【分析】应用棱锥的体积公式求体积即可.
【详解】由正三棱锥性质知：底面是边长为2的等边三角形，故底面积为，
又三棱锥的高为1，故体积为.
故答案为：
15．已知球的表面积为，则该球的体积为 ．
【答案】
【分析】根据球体表面积计算公式求出球体半径，再根据球体体积计算公式求出球体体积即可.
【详解】设球体的半径为，根据已知有：，解得，所以球体体积为：
.
故答案为：.
三、解答题（本大题共7小题，满分60分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．如图，四边形是直角梯形，∠＝90°，∥，＝1，＝2，又＝1，∠＝120°，⊥，直线与直线所成的角为60°.
（1）求证：平面⊥平面；
（2）求三棱锥的体积.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）证明PC⊥平面ABC即可得到结论；（2）取BC的中点为O，连接MO，证明四边形PMOC为平正方形，则有，可求得结果.
【详解】（1）∵PC⊥AB，PC⊥BC，AB∩BC=B，
∴PC⊥平面ABC，又PC⊂平面PAC，
∴平面PAC⊥平面ABC.
（2）取BC的中点为O，连接MO，
PM∥BC，又PM=BC=CO，
∴四边形PMOC为平行四边形，
∴PC∥MO，
∵PC⊥平面ABC，
∴MO⊥平面ABC， ∠AMO为AM与PC所成的角，即∠AMO=，
∵AC=CO=1，∠ACO=，
∴AO=，∴OM=1，
则四边形PMOC为正方形，
.
【点睛】本题考查面面垂直的证明和求三棱锥的体积，其中求三棱锥体积经常运用切换顶点求体积，属中档题.
17．如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为的中点．
(1)求证：平面；
(2)求三棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】(1)利用中位线的性质、线面平行的判定定理即可证明；(2)利用等体积法求解即可.
【详解】（1）
如图，连接交于点，再连接,
在中，为中点，为的中，所以,
且平面，平面,所以平面.
（2）因为该几何体为正方体，所以点到平面的距离等于，
所以点到平面的距离等于，
根据等体积法可知.
18．如图，平面，四边形为矩形，，，点是的中点，点在边上移动.
(1)求三棱锥的体积；
(2)证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）等体积法解决即可；（2）线面垂直的判定定理，性质定理相结合解决即可.
【详解】（1）平面，四边形为矩形，
，
.
（2）证明：平面，
，
又，且点是的中点，
，
又，，，
平面，
又平面，
，
由，，，
平面，
平面，
.
19．如图，在三棱柱中，侧棱底面，，为的中点，，．

(1)求三棱柱的表面积；
(2)求证：平面．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）分别求三棱柱每个面的面积相加即可；
（2）利用线面平行的判定定理证明即可.
【详解】（1）因为侧棱底面，所以三棱柱为直三棱柱，
所以侧面，，均为矩形．
因为，所以底面，均为直角三角形．
因为，，所以．
所以三棱柱的表面积为
．
（2）连接交于点，连接，因为四边形为矩形，
所以为的中点．因为为的中点，所以．
因为平面，平面，所以平面．

20．如图，在三棱锥中，E，F分别是AB，AP的中点.
(1)求证：平面；
(2)若三棱锥的各棱长均为2，求它的表面积.
【答案】(1)证明过程见解析；
(2)
【分析】（1）由中位线证明线线平行，从而线面平行；（2）得出该三棱锥为正四面体，求出边长为2的等边三角形的面积，再乘以4即可
【详解】（1）因为E，F分别是AB，AP的中点，
所以EF是三角形ABP的中位线，
所以EF//PB，
因为平面，平面，
所以平面.
（2）若三棱锥的各棱长均为2，
则该三棱锥为正四面体，四个面是全等的等边三角形，
故它的表面积为
21．如图，在正方体中，，求：
(1)异面直线与所成角的大小；
(2)求点到平面的距离．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）找到即为异面直线与所成角，求出各边长，得到答案；
（2）作出辅助线，证明出面，求出点到平面的距离为.
【详解】（1）因为，
所以即为异面直线与所成角，
因为，由勾股定理得，，
故，
所以；
（2）连接交于，则，
因为⊥平面，平面，
所以，
又因为，，平面，
所以面，
所以线段为所求距离，所以点到平面的距离为.
22．如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，平面ABCD，M，N分别是PA，PB的中点，求证：
(1)平面ABCD；
(2)平面PAD.
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据三角形中位线性质和线面平行判定定理可证；
（2）利用线面垂直的性质可知，然后由矩形性质和线面垂直的判定定理可证.
【详解】（1）因为M，N分别是PA，PB的中点,
所以.
又因为平面ABCD，
平面ABCD，
所以平面ABCD.
（2）因为平面ABCD，平面ABCD，
所以，
因为四边形ABCD是矩形，
所以.
又，平面PAD，
所以平面PAD.