【湖南专用】11 圆锥曲线（基础卷）（解析版）

这是一份【湖南专用】11 圆锥曲线（基础卷）（解析版），共12页。试卷主要包含了已知点P是双曲线，椭圆的离心率为，则，已知双曲线C，已知抛物线等内容，欢迎下载使用。

选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1．已知点P是双曲线：上一点，分别为C的左、右焦点，若，则（ ）
A．5B．13C．5或9D．5或6
【答案】C
【分析】由双曲线的定义求解.
【详解】由题意可知，，，若，则或9．
故选：C
2．已知双曲线的实轴长为，焦点为，则该双曲线的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据题意设出双曲线的标准方程并列出关系式求解即可.
【详解】根据题意设双曲线的标准方程为：.
则，解得：.
所以双曲线的标准方程为.
故选：A
3．椭圆的离心率为，则（ ）
A．B．C．D．2
【答案】A
【分析】由椭圆的离心率公式即可求解.
【详解】由题意得，解得，
故选：A.
4．已知椭圆的焦点在轴上，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据椭圆的标准方程，列出不等式组，即可求解.
【详解】由椭圆的焦点在轴上，则满足，解得.
故选：C.
5．已知平面内一动点P到两定点，的距离之和为8，则动点P的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据椭圆的定义直接求解即可.
【详解】因为平面内一动点P到两定点，的距离之和为8，且，
所以动点P的轨迹方程为焦点位于轴的椭圆，
设椭圆方程为，焦距为，
则，解得，故动点P的轨迹方程为.
故选：B
6．已知双曲线C：的一条渐近线为l：，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据渐近线的方程求出，利用离心率的公式可得答案.
【详解】因为双曲线C：的一条渐近线为l：，
所以，所以离心率.
故选：C
7．已知抛物线：的焦点为，点在上，，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用抛物线定义求得的值，得出焦点坐标和，即可得出结果.
【详解】因为，所以，解得，
则，，所以直线的斜率为．
故选：D
8．已知圆与中心在原点､焦点在轴上的双曲线的一条渐近线相切，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由圆心到渐近线的距离等于半径求解.
【详解】将化为标准方程为：，
故圆心坐标为，半径，
设焦点在轴上的双曲线渐近线方程为：，
因为圆与渐近线相切，
所以，解得，
所以离心率.
故选：B
9．过点作斜率为的直线与椭圆相交于两点，若为线段的中点，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用点差法计算得出，借助离心率公式计算即可.
【详解】设,
因为为线段的中点，所以，
则，两式相减可得：，
整理得，即，
所以，所以.
故选：D.
10．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上.若，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】A
【分析】根据焦半径公式，即可求解.
【详解】由焦半径公式可知，，得.
故选：A
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
11．已知直线l过点，且与抛物线交于A，B两点，若M为线段AB的中点，则的面积为 ．
【答案】
【分析】先根据题设设出两点，求出直线的斜率和方程，继而得到直线与轴的交点，从而将的面积转化成的形式，计算即得.
【详解】设，，因为线段AB的中点，则，．
由题意，得直线AB的斜率，
所以直线AB的方程为，即，它与x轴的交点坐标为．
因，，
则．故△AOB的面积为．
故答案为：.
12．若双曲线的焦点在轴上，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】焦点在轴上的双曲线的标准方程的特征，列不等式组求解即可.
【详解】若双曲线的焦点在轴上，
则，解得，即实数的取值范围为.
故答案为：.
13．已知曲线方程，若方程表示双曲线，则的取值范围是 ．
【答案】或
【分析】根据双曲线标准方程的特征即可列不等式求解.
【详解】表示双曲线，则，解得或，
故答案为：或.
14．若双曲线的虚轴长为4，则该双曲线的渐近线方程为 .
【答案】
【分析】根据题意，结合双曲线的几何性质，即可求解.
【详解】由双曲线的虚轴长为4，可得，解得，
所以该双曲线的渐近线方程为.
故答案为：.
15．双曲线C：（，）的渐近线方程为，则其离心率 ．
【答案】
【分析】结合渐近线的定义与离心率定义即可得.
【详解】由题意可得，则.
故答案为：.
三、解答题（本大题共7小题，满分60分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．已知椭圆：的焦距为4，且经过点.
(1)求椭圆M的标准方程；
(2)若直线与椭圆M相切，且直线与直线：平行，求直线的斜截式方程.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由焦距、所过点求椭圆参数，即可得方程；
（2）由平行关系设直线方程：，联立椭圆方程得，利用相切关系有求参数，即可得直线方程.
【详解】（1）由题意得，得，
所以椭圆的标准方程为.
（2）设与平行的：，
由，得，
由，得，则：.
17．已知双曲线的焦点在x轴上，实半轴的长为且经过点．
(1)求适合条件的双曲线的标准方程：
(2)求双曲线的顶点坐标、渐近线方程、离心率．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）根据待定系数即可求解，
（2）由双曲线的简单几何性质即可求解.
【详解】（1）根据题意可设，
故，解得，
所以
（2）由于，
所以顶点坐标为，
渐近线方程为，
离心率为
18．椭圆（）的左右焦点分别为，，其中，为原点．椭圆上任意一点到，距离之和为．
（1）求椭圆的标准方程及离心率；
（2）过点的斜率为2的直线交椭圆于、两点．求的面积．
【答案】（1），；（2）
【分析】（1）根据题意和椭圆的定义可知，再根据，即可求出，由此即可求出椭圆的方程和离心率；
（2）求出直线的方程，将其与椭圆方程联立，设，求出，根据弦长公式求出的长度，再根据点到直线的距离公式求出点到直线的距离，再根据面积公式即可求出结果.
【详解】（1）由题意，，，
所以椭圆的标准方程为，离心率为；
（2）直线的方程为，代入椭圆方程得
设，则
∴，
又∵点到直线的距离
即的面积为.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查了圆锥曲线中弦长公式的应用.
19．已知抛物线的顶点是坐标原点，而焦点是双曲线的右顶点.
（1）求抛物线的方程；
（2）若直线与抛物线相交于A、B两点.
①求弦长；
②求证：.
【答案】（1）；（2）①; ②见解析.
【分析】（1）将双曲线的方程化为标准形式，求得右顶点坐标，根据抛物线的焦点与双曲线的右顶点重合得到抛物线的方程；
（2）①联立方程，利用弦长公式，结合韦达定理求得弦长；②利用向量的数量积为零求证垂直关系.
【详解】（1）,化为标准形式：，
，右顶点A,
设抛物线的方程为,焦点坐标为,
由于抛物线的焦点是双曲线的右顶点，所以,
抛物线的方程；
（2）,消去得,
设,则
,

①.
②,
.
20．已知椭圆的两个焦点坐标分别是，，并且经过点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线与椭圆交于､两点，求中点的坐标．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）由椭圆的焦点坐标和椭圆的定义，可得椭圆的标准方程；
（2）联立直线与椭圆方程，利用根与系数的关系得出中点的坐标．
【详解】（1）由于椭圆的焦点在轴上，所以设它的标准方程为，
由椭圆定义知，
，
所以，所以，
所求椭圆标准方程为．
（2）设直线与椭圆的交点为，，
联立方程，得，
得，．
设的中点坐标为，则，，
所以中点坐标为．
21．已知点A(-2，0)，B(2，0)，动点M满足直线AM与BM的斜率之积为，记M的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程，并说明C是什么曲线；
(2)若直线和曲线C相交于E，F两点，求.
【答案】(1)，曲线是一个双曲线，除去左右顶点
(2)
【分析】（1）设，则的斜率分别为，，根据题意列出方程，化简后即得C的方程，根据方程可以判定曲线类型，注意特殊点的去除；
（2）联立方程，利用韦达定理和弦长公式计算可得.
【详解】（1）解：设，则的斜率分别为，，
由已知得，
化简得，
即曲线C的方程为，
曲线是一个双曲线，除去左右顶点.
（2）解：联立消去整理得，
设，，则，

.
22．经过抛物线焦点的直线交该抛物线于两点．
(1)若直线的斜率是，求的值；
(2)若是坐标原点，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）联立方程组，然后结合抛物线的定义求解；
（2）将问题分为垂直于轴与不垂直于轴求解；
【详解】（1）
抛物的焦点是，直线方程是，
与，联立得：，
解得，
所以．
（2）当垂直于轴时，．
当不垂直于轴时，设，
代入得，
所以，
从而．
故，
综上．