2022-2023学年北京平谷区初三上学期数学期末试卷及答案

这是一份2022-2023学年北京平谷区初三上学期数学期末试卷及答案，共33页。试卷主要包含了填空题，解答题解答应写出文字说明等内容，欢迎下载使用。
1. 已知2x=3y（xy≠0），那么下列比例式中成立是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据比例的性质求解即可
【详解】解：A．因为，所以，故A不符合题意；
B．因为，所以，故B不符合题意；
C．因为，所以，故C符合题意；
D．因为，所以，故D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了比例的性质，掌握比例的性质是解题的关键．
2. 如图，中，D、E分别为、边上的点，，若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先证明，再证明，可得．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选D．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，证明是解本题的关键．
3. 抛物线向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数图象平移的方法：左加右减，上加下减，可得答案．
【详解】解：抛物线向左平移1个单位可得，再向下平移3个单位可得，
故选：B
【点睛】本题考查二次函数图象的平移，准确掌握平移方法是解题的关键．
4. 如图，每个小正方形的边长为1，点A、B、C均在格点上，则的值是（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】过点A作于点D，根据勾股定理求出的长度，再根据正弦的定义即可求解．
【详解】解：如图：过点A作于点D，
在中，，
∴，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了勾股定理和正切的定义，解题的关键是构建直角三角形，根据勾股定理求出的长度．
5. 如图，若点A是反比例函数的图象上一点，过点A作x轴的垂线交x轴于点B，点C是y轴上任意一点，则的面积为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】设点A的坐标为，将长和点C到的距离用a表示出来，最后根据三角形的面积公式即可求解．
【详解】解：设点A的坐标为，
∵轴，
∴，
∵点C在y轴上，
∴点C到的距离为a，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数k值的几何意义以及反比例函数的图象和性质．
6. 如图，中，点E为中点，若的面积为1，则的面积为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意易证，再根据点E为中点得出相似比，最后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出的面积．
【详解】解：∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵点E为中点，
∴，即，
∵的面积为1，
∴，即，
解得：；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握平行四边形对边平行且相等，相似三角形面积比等于相似比的平方．
7. “今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”这是《九章算术》中的一个问题，用现代的语言表述为：如图，为的直径，弦于E，寸，弦寸，则的半径为多少寸 （ ）
A. 5B. 12C. 13D. 26
【答案】C
【解析】
【分析】连接，构造直角三角形，根据垂径定理和勾股定理求解．
【详解】解：连接，如图所示，
设直径的长为，则半径，
为的直径，弦于，，
，
而，
根据勾股定理得，
解得，
即的半径为13寸．
故选C．
【点睛】此题考查了垂径定理和勾股定理；熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解决问题的关键．
8. 如果I表示汽车经撞击之后的损坏程度，经多次实验研究后知道，I与撞击时的速度v的平方之比是常数2，则I与v的函数关系为（ ）
A. 正比例函数关系B. 反比例函数关系C. 一次函数关系D. 二次函数关系
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，列出I与v的函数关系式，即可进行解答．
【详解】解：根据题意可得：，
整理得：，
∴I与v的函数关系为二次函数关系；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，解题的关键是正确理解题意，根据题意列出正确的函数函数关系式．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9. 函数中，自变量的取值范围是 .
【答案】
【解析】
【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，二次根式有意义的条件是：被开方数为非负数．
【详解】依题意，得x-3≥0，
解得：x≥3．
【点睛】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
10. 若扇形的圆心角为， 半径为3 ， 则该扇形的弧长为_________．
【答案】
【解析】
【分析】直接代入弧长公式计算即可．
【详解】解：由题意可得，扇形的弧长为：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了弧长公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R），在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．
11. 如图，在中，，如果，，那么的长为___．
【答案】4
【解析】
【分析】根据，再代入数据解答即可．
【详解】解：在中
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴．
故答案：4．
【点睛】本题主要考查利用锐角三角函数求解直角三角形的边长，熟记锐角三角函数的定义的内容是解此题的关键．
12. 如图，在中，A，B，C是O上三点，如果，弦，那么的半径长为___．
【答案】5
【解析】
【分析】如图，作直径，连接，则，，可得，从而可得答案．
【详解】解：如图，作直径，连接，则，，
∵，
∴，
∴的半径为5．
故答案为：5．
【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，含的直角三角形的性质，作出合适的辅助线构建直角三角形是解本题的关键．
13. 已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据函数图象可知抛物线与坐标轴交于点，对称轴为，根据对称性即可求得另一个交点，进而求得方程ax2+bx+c＝0的解．
【详解】解：∵函数图象可知抛物线与坐标轴交于点，对称轴为，
∴另一个交点，
x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解为
故答案为：
【点睛】本题考查了图像法求一元二次方程的解，掌握二次函数的对称性是解题的关键．
14. 如图，中，，于D，，，则的长为___．
【答案】2
【解析】
【分析】先判定，再根据相似三角形对应边成比例即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得：（负值舍去），
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握有两个角相等的两个三角形相似，相似三角形对应边成比例．
15. 青藏铁路是当今世界上海拔最高、线路最长的高原铁路，因路况、季节、天气等原因行车的平均速度在（千米/小时）之间变化，铁路运行全程所需要的时间（小时）与运行的平均速度（千米/小时）满足如图所示的函数关系，列车运行的平均速度最大和列车运行的平均速度最小时全程所用时间相差___小时．
【答案】
【解析】
【分析】设铁路运行全程所需要的时间与运行的平均速度之间的表达式为，把点代入求出函数表达式，即可求解．
【详解】解：设铁路运行全程所需要的时间与运行的平均速度之间的表达式为，
把点代入得：，
解得：，
∴设铁路运行全程所需要的时间与运行的平均速度之间的表达式为，
当时，（小时），
当时，（小时），
（小时），
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了求反比例函数的表达式，解题的关键是掌握用待定系数法求解函数表达式的方法和步骤．
16. 张老师准备为书法兴趣小组的同学购买上课的用具，在文具商店看到商店有A、B两种组合和C、D、E、F商品及它们的售价，组合及单件商品质量一样，若该小组共有12人，其中，笔和本每人各需要一份，砚台2人一方即可，墨汁n瓶（）．张老师共带了200元钱，请给出一个满足条件的购买方案___（购买数量写前面商品代码写后面即可，例如：；n最多买___瓶．
【答案】 ①. ②. 5
【解析】
【分析】根据题意可得，一共需要12支笔，12个本，6方砚台，组合A是最便宜的，尽量多买A，再根据砚台2人一方，则组合A最多买6件，剩余的钱不够买6人的笔记本和比，故组合A最多买5件，这样砚台差一个，最后补全笔和本的数量即可．
【详解】解：根据题意可得，
砚台2人一方，
当够买6件组合A时，剩余的钱为：（元），
还需要6个组合B或单独够买6支笔和6个本，
6个组合B需要：（元），
单独够买6支笔和6个本，元，
∵，
∴最多够买5个组合A，
当够买5件组合A时，剩余的钱为：（元），
再够买一个砚台，剩余的钱为：（元），
单独够买7支笔和7个本，剩余的钱为：（元），
综上：满足条件的购买方案为：够买5个组合A，再单独够买7支笔和7个本和1个砚台；墨汁对多有5瓶．
故答案为：，5．
【点睛】本题主要考查了根据方案的选择，解题的关键是根据题意，确定组合A是最便宜的，应该尽可能多的选择组合A，从而恰当的方案．
三、解答题（本题共68分，第17、18、20—23、25题，每题5分；第19、24题，每题6分；第26—28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】先将绝对值、负整数幂、二次根式化简，将锐角三角函数转化为实数，再进行计算即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题主要考查了特殊角度的锐角三角函数的混合运算，解题的关键是的熟练掌握特殊角度的锐角三角函数值，绝对值的定义，负整数幂的运算法则，以及二次根式的化简方法．
18. 已知：如图，在中，D为边的中点，连接，，，求的长．
【答案】
【解析】
【分析】先证明，再根据相似三角形对应边成比例即可求解．
【详解】解：∵D为边的中点，，
∴，
∵，，
∴
∴，即，
解得：（负值舍去），
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握有两个角相等的两个三角形相似，相似三角形对应边成比例．
19. 已知二次函数．
（1）求该二次函数的顶点坐标；
（2）求该二次函数图象与x轴、y轴的交点；
（3）在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象；
（4）结合函数图象，直接写出当时，y的取值范围．
【答案】（1）
（2）该二次函数图象与x轴交点坐标为或，与y轴的交点坐标为
（3）见解析 （4）
【解析】
【分析】（1）将二次函数表达式化为顶点式，即可进行解答；
（2）分别将，代入二次函数表达式，即可求出与x轴、y轴的交点坐标；
（3）根据列表，描点，连线的步骤即可画出二次函数的图象；
（4）根据图象即可进行解答．
【小问1详解】
解：∵，
∴该二次函数的顶点坐标为．
【小问2详解】
把代入得：，
解得：，，
∴该二次函数图象与x轴的交点坐标为或，
把代入得：，
∴该二次函数图象与y轴的交点坐标为；
【小问3详解】
列表：
函数图象如图所示：
【小问4详解】
由图可知：当时，．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握的顶点坐标为，牢记坐标轴上点的坐标特征．
20. 如图，已知劣弧，如何等分？下面给出两种作图方法，选择其中一种方法，利用直尺和圆规完成作图，并补全证明过程．
方法一：①作射线、；
②作的平分线，与交于点C；
点C即为所求作．
证明：∵平分，
∴
∴___（_____）（填推理的依据）．
方法二：①连接；
②作线段的垂直平分线，直线与交于点C；
点C即为所求作．
证明：∵垂直平分弦，
∴直线经过圆心O，
∴___（___）（填推理的依据）．
【答案】方法一：画图见解析，，，在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；方法二：画图见解析，，，垂径定理．
【解析】
【分析】方法一：按照作图语句提示作图，再根据圆心角与弧的关系进行证明即可；
方法二：按照作图语句提示作图，再根据垂径定理进行证明即可；
【详解】解：方法一：如图，点C即为所求作．
证明：∵平分，
∴
∴（在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等）．
方法二：如图，点C即为所求作．
证明：∵垂直平分弦，
∴直线经过圆心O，
∴（垂径定理）．
【点睛】本题考查的是复杂的作图，平分弧的作图，熟练的利用基本作图解决复杂的作图是解本题的关键，同时考查了角平分线的定义，线段的垂直平分线的性质．
21. 某班同学们来到操场，想利用所学知识测量旗杆的高度．方法如下：如图，线段表示旗杆，已知A，C，D三点在一条直线上，首先用米高的测角仪在点C处测得旗杆顶端B的仰角为，在点D处测得旗杆顶端B的仰角为，其中，线段和均表示测角仪，然后测量出的距离为米，连接并延长交于点G．根据这些数据，请计算旗杆的长约为多少米．
【答案】12米
【解析】
【分析】设，根据锐角三角函数，将和用x表示出来，最后根据，列出方程求解即可．
【详解】解：∵米，
∴米，
设，
∵，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
∵米，
∴米，
答：旗杆的长约为12米．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是熟练掌握解直角三角形的方法和步骤．
22. 已知：一次函数，与反比例函数的图象交与点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）已知点过点P作垂直于y轴的直线，与反比例函数的图象交于点B，与一次函数的图象交于点C，横、纵坐标都是整数的点叫做整点．若线段、与反比例函数图象上之间的部分围成的图象中（不含边界）恰有3个整点，直接写出n的取值范围．
【答案】（1）一次函数的表达式为；反比例函数的表达式为
（2）或
【解析】
【分析】（1）把点分别代入和求出k和m的值即可；
（2）画出图形，分两种情况进行讨论即可．
【小问1详解】
解：把点代入得：，
解得：，
∴一次函数的表达式为：，
把点代入得：，
解得：，
∴反比例函数的表达式为：；
【小问2详解】
如图所示，
①当线段在点A上方时，点P在7和8之间时，恰有3个整点，
此时；
②当线段在点A下方时，点P在1和2之间时，恰有3个整点，
此时；
综上：当或时，恰有3个整点．
【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的图象和性质，解题的关键是掌握用待定系数法求解函数表达式的方法和步骤，会画函数图象．
23. 如图，在中，，平分交边于点D，于点E，若，，求的长．
【答案】6
【解析】
【分析】先根据，求出的长度，即可根据勾股定理求出，再根据角平分线的性质可得，即可求出的长度，最后根据，求出的长度，即可根据勾股定理求出的长度．
【详解】解：∵，，，
∴在中，，
在中，根据勾股定理可得：，
∵平分， ，，
∴，
∴，
在中，，
∴在中，根据勾股定理可得：
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，角平分线的性质，解题的关键是掌握根据锐角三角函数解直角三角形的方法和步骤，角平分线上的点到两边的距离相等．
24. 如图，已知锐角，以为直径画，交边于点M，平分与交于点D，过点D作于点E．
（1）求证：是的切线；
（2）连接交于点F，若，，求长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，根据可得，根据角平分线的定义，则，最后根据，，即可证明；
（2）连接，可得，即可求出的长度，根据勾股定理求出的长度，进而求出的长度，通过证明，即可根据相似三角形对应边成比例求解．
【小问1详解】
证明：连接，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是的切线；
【小问2详解】
如图：连接，
∵为直径，，
∴，
∵，平分，
∴，
∴，
在中，根据勾股定理可得，
∴，
在中，根据勾股定理可得，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
解得：．
【点睛】本题主要考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握相关内容并灵活运用．
25. 某景观公园内人工湖里有一组小型喷泉，水柱从垂直于湖面的水枪喷出，若设距水枪水平距离为x米时水柱距离湖面高度为y米，y与x近似的满足函数关系．现测量出x与y的几组数据如下：
请解决以下问题：
（1）求出满足条件的函数关系式；
（2）身高米的小明与水柱在同一平面中，设他到水枪的水平距离为m米（），画出图象，结合图象回答，若小明被水枪淋到m的取值范围．
【答案】（1）抛物线为：
（2）画图见解析，
【解析】
【分析】（1）由表格信息先求解抛物线的对称轴，再求解得到坐标，再把代入求解即可；
（2）先画抛物线的实际图象，结合图象再求解抛物线与x轴的交点坐标，从而可得答案．
【小问1详解】
解：由表格信息可得抛物线过，，
∴抛物线的对称轴为直线：，
∴顶点坐标为：，
∴抛物线为：
把代入可得，，
解得：，
∴抛物线为：．
【小问2详解】
如图，根据表格信息结合抛物线的对称性先描点，再连线画图如下：
当时，结合抛物线的对称性可得：或，
当时，则，
解得：，，
∴小明被水枪淋到m的取值范围为：．
【点睛】本题考查的是二次函数的实际应用，画二次函数的图象，理解题意，灵活的运用抛物线的对称性解题是关键．
26. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线，设抛物线的对称轴为．
（1）当抛物线过点时，求t的值；
（2）若点和在抛物线上，若，且，求t的取值范围．
【答案】（1）
（2）当时，；当时，
【解析】
【分析】（1）把点代入，得出a和b的数量关系，即可求解；
（2）根据题意进行分类讨论即可，当时，当时．
【小问1详解】
解：把点代入得：，
∴，整理得：，
∴抛物线的对称轴为，
∴．
【小问2详解】
当时，，
∴该函数经过，
设该函数与x轴的另一个交点坐标为，
∴
①当时，
∵点和在抛物线上，，，
∴，
即点到对称轴距离大于点到对称轴距离，
∴，解得：，
∵该函数经过、，且
∴该函数与x轴的另一个交点横坐标，
∴，
∴，
∴当时，；
②当时，
∵点和在抛物线上，，，
∴，
即点到对称轴距离小于点到对称轴距离，
∴，解得：，
∵该函数经过、，且
∴该函数与x轴的另一个交点横坐标，
∴，
∴，
∴当时，；
综上：当时，；当时，．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的对称轴的求法以及二次函数图象上点的坐标特征．
27. 如图，中，D为边中点，E为延长线上一点，连接并延长，使，连接．
（1）依题意补全图形；
（2）连接，若，猜想与的数量关系，并证明．
【答案】（1）补全图形见解析
（2），证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意延长至，再连接即可；
（2）连接，，证明，可得，再证明，可得，再利用直角三角形斜边上的中线的性质可得结论．
【小问1详解】
解：如图，补全图形如下：
【小问2详解】
，理由如下：
连接，，
∵D为边中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查的是根据题意画图，勾股定理的逆定理的应用，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线的性质，作出适当的辅助线构建全等三角形是解本题的关键．
28. 如图，平面直角坐标系中，矩形，其中、、、定义如下：若点P关于直线l的对称点在矩形的边上，则称点P为矩形关于直线l的“关联点”．
（1）已知点、点、点、点中是矩形关于y轴的关联点的是___；
（2）的圆心半径为，若上至少存在一个点是矩形关于直线的关联点，求t的取值范围；
（3）的圆心半径为r，若存在t值使上恰好存在四个点是矩形关于直线的关联点，写出r的取值范围，并写出当r取最小值时t的取值范围(用含m的式子表示)．
【答案】（1），
（2）
（3）r的取值范围为或；t的取值范围为或
【解析】
【分析】（1）根据关联点定义，一次判断各个点即可；
（2）根据图形，先找出只有一个关联点的情况，即可进行解答；
（3）根据题意，画出图形，进行分类讨论即可．
【小问1详解】
解：∵点关于y轴的对称点为，与点D重合，
∴点是矩形关于y轴的关联点；
∵点关于y轴的对称点为，不在矩形上，
∴点不是矩形关于y轴的关联点；
∵点关于y轴的对称点为，在边上，
∴点是矩形关于y轴的关联点；
∵点关于y轴的对称点为，不在矩形上，
∴点不是矩形关于y轴的关联点；
故答案为：，；
【小问2详解】
如图：过点O作x轴的平行线交于点M和点N，
∵的圆心半径为，
∴
①当上只有点N是矩形关于直线的关联点时，
∵点N关于直线的对称点坐标为，
∴；
②当上只有点M是矩形关于直线的关联点时，
∵点M关于直线的对称点坐标为，
∴；
综上：t的取值范围为；
【小问3详解】
如图，当关于的对称图形与和相切时，，
当关于的对称图形与和相切时，，
当关于的对称图形与相切时，如下图:
则
解得，
∴，
当关于的对称图形为矩形的外接圆时，连接，
∵，，
∴，
∴，
综上：r的取值范围为或；
∴r的最小值为1，
令
当与相切时，，
此时，
∴，
∵，
∴，整理得：
当与相切时，，
此时，
∴，
∵，
∴，整理得：，
综上，t的取值范围为或．
【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，矩形的性质，圆的相关知识，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质，会根据已知点的坐标求出对称轴，以及根据对称轴求对称点的坐标．
商品
价格
组合A（1支笔＋1个本＋1方砚台＋1瓶墨汁）
25元
组合B（1支笔＋1个本＋1瓶墨汁）
18元
C：1支笔
5元
D：1个本
4元
E：一方砚台
10元
F：一瓶墨汁
12元
x
……
0
1
2
3
……
y
……
0
0
……
x（米）
0
1
2
3
4
…
y（米）
…