2020-2021学年北京平谷区初三上学期数学期末试卷及答案

这是一份2020-2021学年北京平谷区初三上学期数学期末试卷及答案，共25页。试卷主要包含了填空题，解答题解答应写出文字说明等内容，欢迎下载使用。

1. 已知2x=3y（xy≠0），那么下列比例式中成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据比例的性质求解即可
【详解】解：A．因为，所以，故A不符合题意；
B．因为，所以，故B不符合题意；
C．因为，所以，故C符合题意；
D．因为，所以，故D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了比例的性质，掌握比例的性质是解题的关键．
2. 抛物线y＝（x﹣1）2＋2的顶点坐标是（ ）
A. （2，1）B. （﹣1，2）C. （1，﹣2）D. （1，2）
【答案】D
【解析】
【分析】直接根据抛物线顶点式写出顶点坐标即可．
【详解】解：抛物线y＝（x﹣1）2＋2的顶点坐标为，
故选：D．
【点睛】本题主要考查抛物线的顶点式，熟知各字母代表的含义是解题的关键．
3. 如图所示的正方形网格中有∠α，则tanα的值为（ ）．
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】在角上构造直角三角形，根据直角三形的边长，求正切值．
【详解】如图，在Rt△ACB中，，
故选A．
【点睛】本题考查三角函数的求法，掌握正切的求法是解决本题的关键．
4. 已知，如图∠DAB＝∠CAE，下列条件中不能判断△DAE∽△BAC的是（ ）
A ∠D＝∠BB. ∠E＝∠CC. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据相似三角形的判定方法逐项分析即可.
【详解】解：∵∠DAB＝∠CAE，
∴∠DAB+∠BAE＝∠CAE+∠BAE，
∴∠DAE＝∠BAC，
∴当添加条件∠D＝∠B时，符合两角分别相等的两个三角形相似，则△DAE∽△BAC，故选项A不符合题意；
当添加条件∠E＝∠C时，符合两角分别相等的两个三角形相似，则△DAE∽△BAC，故选项B不符合题意；
当添加条件时，符合两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似，则△DAE∽△BAC，故选项C不符合题意；
当添加条件时，则△DAE和△BAC不一定相似，故选项D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解答本题的关键．①两角分别相等的两个三角形相似；②两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似；③三边成比例的两个三角形相似．
5. 如图，是某供水管道的截面图，里面尚有一些水，若液面宽度AB＝8cm，半径OC⊥AB于D，液面深度CD＝2cm，则该管道的半径长为（ ）
A. 6cmB. 5.5cmC. 5cmD. 4cm
【答案】C
【解析】
【分析】连接，设圆的半径为，根据垂径定理和勾股定理列方程求解即可．
【详解】解：连接，
，
，
∵AB＝8cm，
，
设圆的半径为，
在中，，
根据勾股定理得：，即，
解得：，
故选：．
【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，解题关键是连接半径构建直角三角形，根据勾股定理列方程.
6. 如图，函数与函数的图象相交于点．若，则x的取值范围是（ ）
A. 或B. 或
C. 或D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】根据图象可知函数与函数图象相交于点M、N，若，即观察直线图象在反比例函数图象之上的x的取值范围．
【详解】解：如图所示，直线图象在反比例函数图象之上的x的取值范围为或，
故本题答案为：或．
故选：D
【点睛】本题主要考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，能利用数形结合求出不等式的解集是解答此题的关键．
7. 如图，在中，，，，以为圆心为半径画圆，交于点，则阴影部分面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据直角三角形的性质得到，，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：中，，，，
∴，，
∴
．
故选：．
【点睛】本题考查了扇形面积的计算，含30°角的直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
8. 某种摩托车的油箱最多可以储油10升，李师傅记录了他的摩托车加满油后，油箱中的剩余油量y（升）与摩托车行驶路程x（千米）的关系，则当0≤x≤500时，y与x的函数关系是（ ）．
A. 正比例函数关系B. 一次函数关系
C. 二次函数关系D. 反比例函数关系
【答案】B
【解析】
【分析】根据表格数据，描点、连线画出函数的图象，根据函数图象进行判断即可
【详解】根据表格数据，描点、连线画出函数的图象如图：
故y与x的函数关系是一次函数．
故选B．
【点睛】本题考查了画一次函数图象，掌握一次函数图象的性质是解题的关键．
二、填空题（本题共24分，每小题3分）
9. 将二次函数化为的形式，结果为y=_______________．
【答案】
【解析】
【分析】利用配方法先提出二次项系数，在加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．
详解】解：y=x2+4x-1=x2+4x+4-4-1=（x+2）2-5．
故答案为：（x+2）2-5．
【点睛】本题主要考查二次函数的三种形式的知识点，二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；（2）顶点式：y=a（x-h）2+k；（3）交点式（与x轴）：y=a（x-x1）（x-x2）．
10. 如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点，AC与BD相交于点O，则△ABO的面积与△CDO的面积的比为_____．
【答案】1：4
【解析】
【分析】证明△AOB∽△COD，只需求出其相似比的平方即得两三角形面积比．
【详解】解：如图，设小方格的边长为1，
∵△ABE、△DCF分别是边长为1和2的等腰直角三角形，
∴∠ABE＝∠CDF＝45°，，，
∵BE//DF，
∴∠EBO＝∠FDO，
∴∠ABO＝∠CDO，
又∠AOB＝∠COD，
∴△ABO∽△CDO，
∴S△ABO：S△CDO＝（AB：CD）2，
∴，
故答案为：1∶4．
【点睛】本题考查相似三角形面积比与相似比的关系，关键是判断两三角形相似，确定其相似比．
11. 如图，是上的三点，则，则______________度．
【答案】
【解析】
【分析】根据圆周角定理，即可求解．
【详解】∵∠ACB和∠AOB是同弧所对的圆周角和圆心角，
∴．
故答案是：40．
【点睛】本题主要考查圆周角定理，熟练掌握“同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半”，是解题的关键．
12. 如图，若点A与点B是反比例函数的图象上的两点，过点A作AM⊥x轴于点M，AN⊥y轴于点N，过点B作BG⊥x轴于点G，BH⊥y轴于点H，设矩形OMAN的面积为S1，矩形BHOG的面积为S2，则S1与S2的大小关系为：S1_____S2（填“＞”，“＝”或“＜”）．
【答案】=
【解析】
【分析】根据反比例函数k的几何意义可求出S1与S2的值．
【详解】∵点A与点B是反比例函数的图象上的两点，
过点A作AM⊥x轴于点M，AN⊥y轴于点N，过点B作BG⊥x轴于点G，BH⊥y轴于点H，
∴S1＝|k|，S2＝|k|，
∴S1＝S2，
故答案为：＝．
【点睛】本题考查反比例函数k的几何意义，掌握数形结合的思想是解决本题的关键．
13. 如图，抛物线的对称轴为，点P，点Q是抛物线与x轴的两个交点，若点P的坐标为（4，0），则点Q的坐标为__________．
【答案】（，0）
【解析】
【详解】∵抛物线的对称轴为，点P，点Q是抛物线与x轴的两个交点，
∴点P和点Q关于直线对称，
又∵点P的坐标为（4，0），
∴点Q的坐标为（-2，0）．
故答案为（-2，0）．
14. 如图，小东用长2米的竹竿做测量工具，测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，米，米，则旗杆的高为_____米．
【答案】6
【解析】
【分析】结合题意，得，则有，得，通过计算即可得到答案
【详解】竹竿和旗杆均垂直于地面，
∴
∴
∴，
∵米，米，，
∴，
米
故答案为：6．
【点睛】本题考查了相似三角形、平行线的知识；解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质，从而完成求解．
15. 如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于点E、F、G三点，且AB∥CD，BO＝6，CO＝8，则BE＋GC的长为_____．
【答案】10
【解析】
【分析】先由切线长定理得到BF＝BE，CF＝CG，BO平分∠ABC，CO平分∠BCD，再证明∠BOC＝90°，然后利用勾股定理计算出BC即可．
【详解】∵AB，BC，CD分别与⊙O相切于点E、F、G三点，
∴BF＝BE，CF＝CG，BO平分∠ABC，CO平分∠BCD，
∴，，
∴，
∵AB∥CD，
∴∠ABC＋∠BCD＝180°，
∴，
∴∠BOC＝90°，
在Rt△OBC中，∵BO＝6，CO＝8，
∴，
∴BE＋CG＝10．
故答案为：10．
【点睛】此题考查了切线长定理、切线的性质、勾股定理以及直角三角形的判定与性质．此题难度适中，正确理解切线长定理是解决本题的关键．
16. 学习完函数的有关知识之后，强强对函数产生了浓厚的兴趣，他利用绘图软件画出函数的图象，如图，他对该函数的性质进行了探究．下面有4个推断：①该函数自变量x的取值范围为x≠0；②该函数与x轴只有一个交点（﹣1，0）；③若（x1，y1），（x2，y2）是该函数上两点，当x1＜x2＜0时一定有y1＞y2；④该函数有最小值2，其中合理的是 ___.（写序号）
【答案】①②③
【解析】
【分析】根据函数的图象几何函数的关系式综合进行判断即可．
【详解】解：由函数y=x2+的图象可得，图象与y轴无交点，因此x≠0，即函数自变量x的取值范围为x≠0，故①正确；
根据函数的图象可直观看出该函数与x轴只有一个交点（-1，0），也可以根据x2+=0，解得x=-1，因此与x轴的交点为（-1，0），故②正确；
由函数的图象可知，当x＜0时，y随x的增大而减小，因此当x1＜x2＜0时，有y1＞y2，故③正确；
根据图象可知，函数值y可以0或负数，因此④不正确；
因此正确结论有：①②③，
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查函数的图象，理解函数图象的意义以及函数的增减性是正确判断的前提．
三、解答题（本题共52分，第17～21题，每小题5分，第22题6分，第23～25题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】根据绝对值的非负性，负整数指数幂，二次根式，特殊的三角函数值求出各项的值，再进行加减即可得．
【详解】解：原式
【点睛】本题考查了实数的混合运算，解题的关键是掌握绝对值的非负性，负整数指数幂，二次根式，特殊的三角函数值．
18. 已知：如图，直线l，和直线外一点P．
求作：过点P作直线PC，使得PC∥l，
作法：①在直线l上取点O，以点O为圆心，OP长为半径画圆，交直线l于A，B两点；
②连接AP，以点B为圆心，AP长为半径画弧，交半圆于点C；
③作直线PC．
直线PC即为所求作．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明：
证明：连接BP．
∵BC＝AP，
∴ ．
∴∠ABP＝∠BPC（ ）（填推理依据）．
∴直线PC∥直线l．
【答案】（1）见解析 （2），同弧或等弧所对的圆周角相等
【解析】
【分析】（1）根据所给作法进行尺规作图即可得；
（2）根据圆周角定理进行解答即可得．
【小问1详解】
解：如图，直线PC即为所求作．
【小问2详解】
证明：连接PB．
∵BC＝AP，
∴，
∴∠ABP＝∠BPC（同弧或等弧所对的圆周角相等），
∴直线PC∥直线l．
故答案为：，同弧或等弧所对的圆周角相等．
【点睛】本题考查了尺规作图，圆周角定理，解题的关键是掌握圆周角定理．
19. 已知抛物线图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：
（1）求此抛物线的解析式；
（2）画出函数图象，结合图象直接写出当时，y的范围．
【答案】（1）抛物线解析式为；（2）图像见详解，当时，-4≤y<5．
【解析】
【分析】（1）根据表格得出抛物线顶点（1，-4），与x轴交点（-1，0），（3,0）设抛物线顶点式为，把（-1，0）代入抛物线解析式求出a即可；
（2）利用描点法画函数图像，描点，连线得出函数图像，利用图像得出当时，-4≤y≤5即可．
【详解】解：（1）根据表格点抛物线顶点（1，-4），与x轴交点（-1，0），（3,0）
设抛物线的顶点式为
∴把（-1，0）代入抛物线解析式得，
，
解得，
抛物线解析式为；
（2）根据表格描点（2，5），（-1，0），（0，-3），（1，-4），（2，-3），（3，0），（4，5），
用平滑曲线连结，
抛物线图像如图，
当时，-4≤y<5．
【点睛】本题考查表格信息获取与处理，待定系数法求抛物线解析式，描点法画函数图像，根据图形求函数值范围，掌握待定系数法求抛物线解析式，函数的性质，描点法画函数图像，根据图形求函数值范围是解题关键．
20. 如图，热气球探测器显示，从热气球M处看一座电视塔尖A处的仰角为20°，看这座电视塔底部B处的俯角为45°，热气球与塔的水平距离MC为200米，试求这座电视塔AB的高度．（参考数据：sin20°≈0.34，cs20°≈0.94，tan20°≈0.36）
【答案】这座电视塔AB的高度为272米
【解析】
【分析】在Rt△AMC中，求得,在Rt△BMC中，求得，进而根据AB＝AC＋BC求解即可．
【详解】根据题意可知：
∠ACM＝∠BCM＝90°，∠AMC＝20°，∠BMC＝45°，MC＝200米，
在Rt△AMC中，
∵，
∴AC＝72（米），
在Rt△BMC中，∵∠BCM＝90°，∠BMC＝45°，∴BC＝MC＝200（米），
∴AB＝AC＋BC＝72＋200＝272（米）．
答：这座电视塔AB的高度为272米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的边角关系是解题的关键．
21. 如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线经过点A（2，3）．
（1）求双曲线的表达式；
（2）已知点P（n，n），过点P作x轴的平行线交双曲线于点B，过点P作y轴的平行线交双曲线于点C，设线段PB、PC与双曲线上BC之间的部分围成的区域为图象G（不包含边界），横纵坐标均为整数的点称为整点．
①当n＝4时，直接写出图象G上的整数点个数是 ；
②当图象G内只有1个整数点时，直接写出n的取值范围．
【答案】（1）；（2）①1个；②或
【解析】
【分析】依题意，（1）依据图形，将点代入即可；
（2）①整点的定义，过点作轴，轴的平行线，结合图象即可得整数点的个数；
②过点P作轴，轴的平行线，进行移动，结合整数点的定义即可；
【详解】由题知（1）将点代入，即，，∴ 双曲线的表达式为：；
（2）①过点作轴，轴的平行线，图象如下：
∴ 在图象（不包含边界）上的整数点个数是：1个；
②过点P作轴，轴的平行线，进行移动，结合整数点的定义；
∴ 当图象内只有一个整数点时，的范围为：或；
【点睛】本题主要考查双曲线函数性质及图象、整数点的定义，关键在熟练应用数形结合的方法；
22. 如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，E是AC上一点，以AE为直径作⊙O，若⊙O恰好经过点D．
（1） 求证：直线BC与⊙O相切；
（2）若BD＝3，，求⊙O的半径的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）连接OD．根据已知条件证明OD∥AB．进而可得BC是⊙O的切线；
（2）连接DE，根据三角函数可得AD＝5，AB＝4，根据AE是⊙O的直径，可得∠ADE＝90°，证明△ABD∽△ADE，对应边成比例即可得⊙O的半径的长．
【详解】（1）解：连接OD．
∵AD平分∠BAC，
∴∠1＝∠2．
又∵OA＝OD，
∴∠2＝∠3．
∴∠1＝∠3．
∴OD∥AB．
∵∠B＝90°，
∴∠ODC＝90°．
∴BC是⊙O的切线；
（2）连接DE，
在Rt△ABC中，∠B＝90°，
∵BD＝3，，
∴AD＝5，AB＝4，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ADE＝90°，
∵∠1＝∠2，∠B＝∠ADE＝90°，
∴△ABD∽△ADE，
∴，即
∴．
∴⊙O的半径为．
【点睛】本题考查了切线的判定与性质，角平分线的性质，圆周角定理，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是综合运用以上知识．
23. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线：y＝ax2－2ax＋4（a＞0）．
（1）抛物线的对称轴为x＝ ；抛物线与y轴的交点坐标为 ；
（2）若抛物线的顶点恰好在x轴上，写出抛物线的顶点坐标，并求它的解析式；
（3）若A（m－1，y1），B（m，y2），C（m＋2，y3）为抛物线上三点，且总有y1＞y3＞y2，结合图象，求m的取值范围．
【答案】（1）1，（0，4）
（2）顶点坐标为（1，0），y＝4x2－8x＋4
（3）
【解析】
【分析】（1）根据二次函数对称轴公式，以及与y轴的交点坐标公式；
（2）根据二次函数与x轴交点公式，以及待定系数法求解析式；
（3）先求对称点坐标根据函数的增减性解决本题．
【小问1详解】
解：，
当x＝0时，y＝ax2－2ax＋4＝4，
所以抛物线的对称轴是直线x＝1，抛物线与y轴的交点坐标是（0，4），
故答案为：1，（0，4）．
【小问2详解】
解：∵抛物线的顶点恰好在x轴上，
∴抛物线的顶点坐标为（1，0），
把（1，0）代入y＝ax2－2ax＋4得：0＝a×12－2a×1＋4，
解得：a＝4，
∴抛物线的解析式为y＝4x2－8x＋4．
【小问3详解】
解：A（m－1，y1）关于对称轴x＝1的对称点为A′（3－m，y1），
B（m，y2）关于对称轴x＝1的对称点为B′（2－m，y2），
若要y1＞y3＞y2，则3－m＞m＋2＞2－m，解得：．
【点睛】本题考查二次函数图像求对称轴公式，以及与x轴，y轴的交点公式，以及函数的增减性，掌握数形结合的思想是解决本题的关键．
24. 如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，交AD于点F．
（1）求证：∠BAD＝∠CBE；
（2）过点A作AB的垂线交BE的延长线于点G，连接CG，依据题意补全图形；若∠AGC＝90°，试判断BF、AG、CG的数量关系，并证明．
【答案】（1）见解析；（2），见解析．
【解析】
【分析】（1）先根据等腰三角形的性质得到∠ABD=∠C，然后利用等角的余角相等即可证明；
（2）如图：先根据题意补全图形，再连接CF，再证明∠ACF=∠ABG=∠GAC，可得AG//FC，再根据平行线的性质可得∠FCG=∠AGC=90°，进一步证得∠GAF=∠GFA，即AG=FG，然后利用勾股定理得到CF2+CG2=FG2即可证明．
【详解】（1）解：∵AB＝AC，AD⊥BC
∴∠BAD＝∠CAD
∠CBE＋∠BFD＝90°
∵BE⊥AC
∴∠CAD＋∠AFE＝90°
∵∠BFD＝∠AFE
∴∠CBE＝∠CAD
∠BAD＝∠CBE；
（2）依据题意补全图形；
结论：
证明：连结CF．
∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAD，AF＝AF
∴△ABF≌△ACF
∴∠ACF＝∠ABG，BF＝FC
∵∠BAG＝90°，
∴∠GAE＋∠BAC＝90°
∵∠ABG＋∠BAC＝90°
∴∠ACF＝∠ABG＝∠GAC．
∴AG//FC
∴∠FCG＝∠AGC＝90°
∵∠GAF＋∠BAD＝90°
∠GFA＋∠DAC＝90°
∴∠GAF＝∠GFA
∴AG＝FG
在Rt△FCG中，
∵
∴．
【点睛】本题主要考查了复杂作图、勾股定理以及等腰三角形的性质，掌握几何图形的性质和基本作图方法是解答本题的关键．
25. 在平面直角坐标系xOy中的图形W与图形N，如果图形W与图形N有两个交点，我们则称图形W与图形N互为“友好图形”．
（1）已知A（－1，1），B（2，1）则下列图形中与线段AB互为“友好图形”的是 ；
①抛物线y＝x2；
②双曲线；
③以O为圆心1为半径的圆．
（2）已知：图形W为以O为圆心，1为半径的圆，图形N为直线y＝x＋b，若图形W与图形N互为“友好图形”，求b的取值范围．
（3）如图，已知，，，图形W是以（t，0）为圆心，1为半径的圆，若图形W与△ABC互为“友好图形”，直接写出t的取值范围．
【答案】（1）① （2）b的取值范围是
（3）t的取值范围是或．
【解析】
【分析】（1）根据“友好图形”分别作出抛物线，双曲线，以及圆，根据定义进行判断即可；
（2）作⊙O的两条切线，过点O作OQ⊥KL，求得的值，根据对称性即可求得的取值范围；
（3）如图5，过点E作EQ⊥AC于Q，当图形W是⊙D时，⊙D与AB相切，此时，当图形W是⊙E时，⊙E与AB相切，此时，根据的坐标可得，BAy轴，BCx轴，可得出⊙E与AC相离，进而可得图形W与△ABC有两个交点时，t的取值是，如图6，当⊙E'与AC相切时，设切点为G，连接E'G，同理得，当⊙D'与AC相切时，设切点为H，连接D'H，同理得，t的取值是．综合2种情形即可得t的取值范围
【小问1详解】
①如图1，当y＝1时，x2＝1，
∴x＝±1，∴抛物线y＝x2与线段AB有两个交点为（1，1）和（－1，1），
∴抛物线y＝x2与线段AB互为“友好图形”；
②如图2，当y＝1时，，
∴x＝1，
∴双曲线与线段AB有1个交点为（1，1），
∴抛物线与线段AB不是互为“友好图形”．
③如图3，以O为圆心1为半径的圆与线段AB有1个交点为（0，1），
∴以O为圆心1为半径的圆与线段AB不是互为“友好图形”；
故答案为：①；
【小问2详解】
如图4，作⊙O的两条切线，这两条切线与直线y=kx+b平行，过点O作OQ⊥KL，
∵OQ＝1，△OQK是等腰直角三角形，
∴，
∴b的取值范围是．
【小问3详解】
如图5，过点E作EQ⊥AC于Q，
∵，，图形W是以（t，0）为圆心，1为半径的圆，
当图形W是⊙D时，⊙D与AB相切，此时，
当图形W是⊙E时，⊙E与AB相切，此时，
∵，，，
∴BAy轴，BCx轴，
∴∠ABC＝90°，
∵AB＝4，，
∴AC＝8，
∴∠C＝30°，
∴∠AFD＝∠C＝30°，
∴，
∴，
∴，
∴⊙E与AC相离，
∴图形W与△ABC有两个交点时，t的取值是．
如图6，当⊙E'与AC相切时，设切点为G，连接E'G，
同理得，
∴，
当⊙D'与AC相切时，设切点为H，连接D'H，同理得，
∴，
∴图形W与△ABC有两个交点时，t的取值是．
综上，若图形W与△ABC互为“友好图形”，t的取值范围是或．
【点睛】本题考查了新定义，抛物线的性质，反比例函数图象的性质，圆的切线的性质，含30度角的直角三角形的性质，直线与圆的位置关系，理解题意，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题的关键．
x（千米）
0
100
150
300
450
500
y（升）
10
8
7
4
1
0
x
－2
－1
0
1
2
3
y
5
0
－3
－4
－3
0