2022-2023学年北京东城区初三上学期数学期末试卷及答案

这是一份2022-2023学年北京东城区初三上学期数学期末试卷及答案，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题 (每题2分，共16分），解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 若关于的一元二次方程有一个根为，则的值为( )
A. 2B. 1C. 0D.
【答案】C
【解析】
【分析】将代入方程，即可求解．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有一个根为，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义，将代入方程是解题的关键．
2. 下列图形中是中心对称图形的是（ ）
A. 正方形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 正五边形
【答案】A
【解析】
【分析】根据中心对称图形概念求解即可．
【详解】解：A、是中心对称图形，本选项正确；
B、不是中心对称图形，本选项错误；
C、不是中心对称图形，本选项错误；
D、不是中心对称图形，本选项错误．
故选A．
【点睛】本题考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，绕对称中心旋转180度后与原图形重合．
3. 关于二次函数的最大值或最小值，下列说法正确的是（ ）
A. 有最大值4B. 有最小值4C. 有最大值6D. 有最小值6
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数的解析式，得到a的值为2，图象开口向上，函数有最小值，根据定点坐标（4,6），即可得出函数的最小值．
【详解】解：∵在二次函数中，a=2>0，顶点坐标为（4,6），
∴函数有最小值为6．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次函数的最值问题，关键是根据二次函数的解析式确定a的符号和根据顶点坐标求出最值．
4. 一只不透明的袋子中装有3个黑球和2个白球，这些除颜色外无其他差别，从中任意摸出3个球，下列事件是确定事件的为（ ）
A. 至少有1个球是黑球B. 至少有1个球是白球
C. 至少有2个球是黑球D. 至少有2个球是白球
【答案】A
【解析】
【分析】列出摸出的三个球的颜色的所有可能情况即可．
【详解】根据题意可得，摸出的三个球的颜色可能为：两个白球，一个黑球；一个白球，两个黑球；三个黑球，
则可知摸出的三个球中，至少有一个黑球，
故必然事件是至少有一个黑球，
故选：A．
【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
5. 某厂家2020年1～5月份的口罩产量统计如图所示．设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程（ ）
A. 180（1﹣x）2=461B. 180（1+x）2=461
C. 368（1﹣x）2=442D. 368（1+x）2=442
【答案】B
【解析】
【分析】本题为增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设这个增长率为x，根据“2月份的180万只，4月份的产量将达到461万只”，即可得出方程．
【详解】解：从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程：180（1+x）2=461，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，理解题意是解题关键．
6. 如图，在中，是直径，弦的长为5，点D在圆上，且， 则的半径为（ ）
A. B. 5C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】连接,由题意易得，在中解三角形求解．
【详解】连接,
在中，是直径，
，
在中，
，，
故选：B．
【点睛】本题主要考查圆周角定理及含直角三角形的性质；熟练掌握圆周角定理及含直角三角形的性质是解题的关键．
7. 抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如图，AC，BD分别与⊙O切于点C，D，延长AC，BD交于点P．若，⊙O的半径为6cm，则图中的长为（ ）
A. π cmB. 2π cmC. 3π cmD. 4π cm
【答案】B
【解析】
【分析】连接OC、OD，利用切线的性质得到，根据四边形的内角和求得，再利用弧长公式求得答案．
【详解】连接OC、OD，
分别与相切于点C，D，
∴，
，
∴，
的长，
故选：B
【点睛】此题考查圆的切线的性质定理，四边形的内角和，弧长的计算公式，熟记圆的切线的性质定理及弧长的计算公式是解题的关键．
8. 如图，正方形和的周长之和为，设圆的半径为，正方形的边长为，阴影部分的面积为．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（ ）
A. 一次函数关系，一次函数关系B. 一次函数关系，二次函数关系
C 二次函数关系，二次函数关系D. 二次函数关系，一次函数关系
【答案】B
【解析】
【分析】根据圆的周长公式和正方形的周长公式先得到，再根据得到，由此即可得到答案．
【详解】解：∵正方形和周长之和为，圆的半径为，正方形的边长为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴y与x，S与x满足的函数关系分别是一次函数关系，二次函数关系，
故选B．
【点睛】本题考查二次函数与一次函数的识别、正方形的周长与面积公式，理清题中的数量关系，熟练掌握二次函数与一次函数的解析式是解答的关键．
二、填空题 (每题2分，共16分）
9. 在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点C，则点C的坐标为_________．
【答案】
【解析】
【分析】令，代入抛物线，得到点C的纵坐标，即可得解．
【详解】解：依题意，令，得到，
故抛物线与y轴交于点C的坐标为，
故答案为 ：
【点睛】本题考查了二次函数与y轴交点问题，令，即可得到抛物线与y轴交点的纵坐标．
10. 把抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为_______．
【答案】
【解析】
【分析】直接根据“上加下减，左加右减”进行计算即可．
【详解】解：抛物线，
向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，
得到
即
故答案为：．
【点睛】本题主要考查函数图像的平移；熟记函数图像的平移方式“上加下减，左加右减”是解题的关键．
11. 请写出一个常数c的值，使得关于x的方程有两个不相等的实数根，则c的值可以是____________．
【答案】0，（答案不唯一，即可）．
【解析】
【分析】利用一元二次方程根的判别式求出c的取值范围即可得到答案．
【详解】解：因为方程有两个不相等的实数根，
所以
解得
故答案为：0，（答案不唯一，即可）
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式；熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键．
12. 2022年3月12日是我国第44个植树节，某林业部门为了考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，在同等条件下，对这种幼树进行大量移植，并统计成活情况，下表是这种幼树移植过程中的一组统计数据：
估计该种幼树在此条件下移植成活的概率是______．（结果精确到0.1）
【答案】0.9
【解析】
【分析】大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
【详解】∵幼树移植数20000时，幼树移植成活的频率是0.902，
∴估计该种幼树在此条件下移植成活的概率为0.902，精确到0.1，即为0.9，
故答案为：0.9．
【点睛】本题考查了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．
13. 以▱ABCD对角线的交点O为原点，平行于BC边的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若A点坐标为（﹣2，1），则C点坐标为_____．
【答案】（2，﹣1）
【解析】
【分析】根据平行四边形是中心对称图形，再根据▱ABCD对角线的交点O为原点和点A的坐标，即可得到点C的坐标．
【详解】解：∵▱ABCD对角线的交点O为原点，A点坐标为（﹣2，1），
∴点C的坐标为（2，﹣1），
故答案为：（2，﹣1）．
【点睛】此题考查中心对称图形的顶点在坐标系中的表示．
14. 如图，在⊙O中，AB切⊙O于点A，连接OB交⊙O于点C，过点A作AD∥OB交⊙O于点D，连接CD．若∠B=50°，则∠OCD的度数等于___________．
【答案】20°##20度
【解析】
【分析】连接OA，如图，根据切线的性质得到∠OAB=90°，则利用互余可计算出∠AOB=40°，再利用圆周角定理得到∠ADC=20°，然后根据平行线的性质得到∠OCD的度数．
【详解】解：连接OA，如图，
∵AB切⊙O于点A，
∴OA⊥AB，
∴∠OAB=90°，
∵∠B=50°，
∴∠AOB=90°-50°=40°，
∴∠ADC=∠AOB=20°，
∵AD∥OB，
∴∠OCD=∠ADC=20°．
故答案为：20°．
【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．
15. 《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积（弦×失+失²）．弧田（图中阴影部分）由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为，半径等于4米的弧田，按照上述公式计算出弧田的面积约为______ 米．（）
【答案】
【解析】
【分析】由题意可知于D，交圆弧于C，由题意得米，解得米，再求出，最后由勾股定理得到，由垂径定理求出即可得出结果．
【详解】解：如图，由题意可知，
，，（米），
，
（米）
（米）
（米）
（米）
弧田面积
（平方米）
故答案为：
【点睛】本题考查了勾股定理以及垂径定理的应用；熟练掌握垂径定理是解答本题的关键．
16. 我们给出如下定义：在平面内，点到图形的距离是指这个点到图形上所有点的距离的最小值．在平面内有一个矩形，中心为O，在矩形外有一点P，，当矩形绕着点O旋转时，则点P到矩形的距离d的取值范围为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意分别求出当过的中点E时，此时点P与矩形上所有点的连线中，；当过顶点A时，此时点P与矩形上所有点的连线中，；当过顶点边中点F时，此时点P与矩形上所有点的连线中，，即可求解．
【详解】解：如图，当过的中点E时，此时点P与矩形上所有点的连线中，，，
∴；
如图，当过顶点A时，此时点P与矩形上所有点的连线中，，

矩形，中心为O，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图，当过顶点边中点F时，此时点P与矩形上所有点的连线中，，，

∴；
综上所述，点P到矩形的距离d的取值范围为．
故答案为：
【点睛】本题考查矩形的性质，旋转的性质，根据题意得出临界点时点d的值是解题的关键．
三、解答题（共68分，17-22题，每题5分，23-26题，每题6分，27-28题，每题7分）
17. 下面是小美设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程．
已知：点A在上．
求作：的切线．
作法： ①作射线；
②以点A为圆心，适当长为半径作弧，交射线于点C和点D；
③分别以点C，D为圆心，大于长为半径作弧，两弧交点B；
④作直线．
则直线即为所求作的的切线.
根据小美设计的尺规作图过程，解决下面的问题：
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明.
证明：连接，．
由作图可知，
， ．
∴ ．
∵ 点A在上，
∴直线是的切线( ) (填写推理依据) ．
【答案】（1）见解析；
（2）；；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
【解析】
【分析】（1）依据题意，按步骤正确尺规作图即可；
（2）结合作图，完成证明过程即可．
【小问1详解】
补全图形如图所示，
【小问2详解】
证明：连接，．
由作图可知，
，．
∴，
∵ 点A在上，
∴直线是的切线(经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，
故答案为：；；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
【点睛】本题考查了尺规作图能力和切线的证明；能够按要求规范作图是解题的关键．
18. 如图，是的直径，弦于点E，，若，求的长.
【答案】.
【解析】
【分析】由垂径定理得到，推出，在中，利用勾股定理即可求解.
【详解】解：如图，连接．

∵是的直径，弦于点E，
∴．
又∵，
∴．
∵，
∴．
在中，，
∴．
∴．
【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦是解题的关键．
19. 下面是小聪同学用配方法解方程：的过程，请仔细阅读后，解答下面的问题．
解：移项，得：．①
二次项系数化为1，得：．②
配方，得．③
即.
∵，
∴．④
∴，．⑤
（1）第②步二次项系数化为1的依据是什么？
（2）整个解答过程是否正确？若不正确，说出从第几步开始出现的错误，并直接写出此方程的解．
【答案】（1）等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等
（2）不正确，解答从第③步开始出错，，
【解析】
【分析】（1）根据等式的性质2即可写出依据；
（2）根据配方法解一元二次方程的步骤即可求解．
【小问1详解】
等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等；
【小问2详解】
不正确，解答从第③步开始出错，
正确的步骤为：
配方，得．③
即
∵，
∴．④
∴，．⑤
此方程的解为，．
【点睛】本题考查等式的性质和解一元二次方程，解题的关键是读懂材料，明确每一步的做题依据．
20. 如图，已知抛物线L：y＝x2+bx+c经过点A(0，﹣5)，B(5，0)．
（1）求b，c的值；
（2）连结AB，交抛物线L的对称轴于点M．求点M的坐标；
【答案】（1），；（2）交点M的坐标为（2，-3）．
【解析】
【分析】（1）将点A、点B坐标代入函数解析式，求解方程组即可；
（2）设直线AB的解析式为：，将点A、点B坐标代入函数解析式求解确定解析式，然后根据（1）中确定二次函数解析式，求出其对称轴，求两条之间交点即可确定点M的坐标．
【详解】解：（1）将点A、点B坐标代入函数解析式可得：
，
解得：，
∴，；
（2）设直线AB的解析式为：，
将点A、点B坐标代入函数解析式可得：
，
解得：，
∴一次函数解析式为：，
由（1）得二次函数解析式为：，
对称轴为：，
直线与的交点为M，
∴当时，，
∴交点M的坐标为（2，-3）．
【点睛】题目主要考查利用待定系数法确定二次函数与一次函数解析式，两条直线的交点问题，二次函数的基本性质，理解题意，熟练运用待定系数法确定解析式是解题关键．
21. 如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点，，均为格点(每个小正方形的顶点叫做格点)．
（1）作点关于点的对称点；
（2）连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点的对应点为，画出旋转后的线段；
（3）连接，，求出的面积（直接写出结果即可）．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据网格的特点作出点关于点的对称点；
（2）根据题意，画出旋转后的线段，即可求解；
（3）根据网格的特点，以及三角形面积公式求得面积即可求解．
【小问1详解】
解：如图所示，点即为所求；
【小问2详解】
解：如图所示，线段即为所求；
【小问3详解】
解：如图所示，
．
【点睛】本题考查了画中心对称图形，画旋转图形，网格中求三角形面积，数形结合是解题的关键．
22. 2022年3月23日，“天宫课堂”第二课在中国空间站开讲，神舟十三号飞行乘组航天员翟志刚、王亚平、叶光富讲了又一堂精彩的太空科普课．这场充满奇思妙想的太空授课，让科学的种子在亿万青少年的心里生根发芽．小明和小亮对航天知识产生了极大兴趣，他们在中国载人航天网站了解到，航天知识分为“梦圆天路”、“飞天英雄”、“探秘太空”、“巡天飞船”等模块．他们决定先从“梦圆天路”、“飞天英雄”、“探秘太空”三个模块中随机选择一个进行学习，分别设这三个模块为A，B，C，用画树状图或列表的方法求出小明和小亮选择相同模块的概率．
【答案】
【解析】
【分析】先画出树状图，从而可得所有等可能的结果，再找出小明和小亮选择相同模块的结果，然后利用概率公式计算即可得．
【详解】解：由题意，画树状图如下：
由图可知，所有等可能的结果共有9种，其中，小明和小亮选择相同模块的结果有3种．
则小明和小亮选择相同模块的概率为，
答：小明和小亮选择相同模块的概率为．
【点睛】本题考查了利用列举法求概率，正确画出树状图是解题关键．
23. 已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）当该方程的判别式的值最小时，写出m的值，并求出此时方程的解．
【答案】（1）见解析 （2），
【解析】
【分析】（1）判断判别式的符号，即可得证；
（2）求出判别式的值最小时的m的值，再解一元二次方程即可．
【小问1详解】
证明：∵，
∵，
∴．
∴无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根．
【小问2详解】
解：由题意可知，当时，的值最小．
将代入，得
解得：．
【点睛】本题考查一元二次方程的判别式与根的个数的关系，以及解一元二次方程．熟练掌握判别式与根的个数的关系，以及解一元二次方程的方法，是解题的关键．
24. 掷实心球是中考体育考试项目之一，实心球投掷后的运动轨迹可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从投掷到着陆的过程中，实心球的竖直高度(单位：m)与水平距离(单位：m)近似满足函数关系．某位同学进行了两次投掷．
（1）第一次投掷时，实心球的水平距离与竖直高度的几组数据如下：
根据上述数据，直接写出实心球竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系；
（2）第二次投掷时，实心球的竖直高度y与水平距离近似满足函数关系．记实心球第一次着地点到原点的距离为，第二次着地点到原点的距离为，则_____ (填“＞”“＝”或“＜”)．
【答案】（1），
（2）＞
【解析】
【分析】（1）先根据表格中的数据找到顶点坐标，即可得出实心球竖直高度的最大值，并利用待定系数法得到抛物线解析式；
（2）设着陆点的纵坐标为0，分别代入第一次和第二次的函数关系式，求出着陆点的横坐标即为 和，然后进行比较即可．
【小问1详解】
解：由表格数据可知，抛物线的顶点坐标为，
所以实心球竖直高度的最大值为，
设抛物线的解析式为：，
将点代入，得，
解得，
∴抛物线的解析式为：；
【小问2详解】
解：第一次抛物线解析式为，
令，得到，（负值舍去），
第二次抛物线的解析式为，
令，得到，（负值舍去）
，
，
故答案为：>
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求函数关系式，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
25. 如图，点在以为直径的上，平分交于点D，交于点E，过点D作交的延长线于点F．
（1）求证：直线是的切线；
（2）若°，，求DF的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，证明可得结论；
（2）再中，，，得到，，再在中，由，继而求得；
【小问1详解】
证明：连接．
∵ 是的直径，平分，
∴ .
又∵ ，
∴ ．
即 ．
∴ 直线为的切线．
【小问2详解】
解：∵ 是的直径，
∴．
又∵，，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ .
∵ ，
∴ ,
，
设则，
又，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
故
【点睛】本题属于圆综合题，考查了垂径定理，圆周角定理，平行线的判定，特殊角的直角三角形性质，等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线解决问题．
26. 已知二次函数．
（1）求该二次函数的图象与y轴交点的坐标及对称轴．
（2）已知点都在该二次函数图象上，
①请判断与的大小关系： （用“”“”“”填空）；
②若，，，四个函数值中有且只有一个小于零，求a的取值范围．
【答案】（1）抛物线与y轴交点的坐标为，对称轴
（2）①； ②
【解析】
【分析】（1），可得抛物线与y轴交点的坐标，再根据抛物线对称轴公式解答，即可求解；
（2）①根据题意可得点关于直线对称，即可求解；②根据题意可得点在对称轴的左侧，点在对称轴的右侧，然后分两种情况：当时，当时，即可求解．
【小问1详解】
解：令，则，
∴抛物线与y轴交点的坐标为 ．
对称轴．
【小问2详解】
解：① ∵函数图象的对称轴为直线，
∴点关于直线对称，
∴，
故答案为：；
②∵函数图象的对称轴为直线，，
∴点在对称轴的左侧，点在对称轴的右侧．
当时，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，
∴，不合题意．
当时，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，则，
，，，四个函数值可以满足，
∴，
即当时，，当时，．
解得 ．
【点睛】本题考查了二次函数图象与性质，掌握二次函数图象与性质是解题的关键．
27. 如图，是等腰直角三角形，，为延长线上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，过点作于点，连接．
（1）依题意补全图形；
（2）比较与的大小，并证明；
（3）连接，为的中点，连接，用等式表示线段之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）见解析 （2），见解析
（3），见解析
【解析】
【分析】（1）根据旋转的性质画图即可；
（2）根据旋转的性质以及等腰直角三角形可以得到全等三角形，再根据全等三角形的性质即可求出结论；
（3）根据题意画出已知图形，再根据图形得到全等三角形，利用全等三角形的性质和等腰直角三角形的性质即可求出结论．
【小问1详解】
解：补全图形如图所示
【小问2详解】
解：，理由如下：
∵
∴
∵
∴
∵
∴
由题意可知，
∴
∴
在和中
∴≌
∴
∵
∴
∴
【小问3详解】
解： 理由如下：
连接，
∵ ，为的中点，
∴
∵
∴
在和中
∴≌
∴，
∴
即
∴为等腰直角三角形
∴
∵ ，
∴
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等相关知识点，掌握全等三角形的性质和旋转的性质是解题的关键．
28. 在平面直角坐标系中，我们给出如下定义：将图形M绕直线上某一点P顺时针旋转，再关于直线对称，得到图形N，我们称图形N为图形M关于点P的二次关联图形．
已知点．
（1）若点P的坐标是，直接写出点A关于点P的二次关联图形的坐标________；
（2）若点A 关于点P的二次关联图形与点A重合，求点P的坐标（直接写出结果即可）；
（3）已知的半径为1，点A关于点P的二次关联图形在上且不与点A重合．
若线段，其关于点P的二次关联图形上的任意一点都在及其内部，求此时 P点坐标及点B的纵坐标的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3），，
【解析】
【分析】（1）根据二次关联图形定义分别找到和，过点作轴于点D，可证得，从而得到，即可求解；
（2）根据题意得：点P位于x轴下方，设点P的纵坐标为m，过点P作轴于点E，过点作轴交延长线于点F，坐标为m，表达点的坐标，可得出结论；
（3）由（2）可知，点的坐标，由A关于点P的二次关联图形在上且不与点A重合可得出点的坐标，由线段，其关于点P的二次关联图形上的任意一点都在及其内部，找到临界点，可得出的坐标，进而可得出点B的坐标，即可得出的取值范围．
【小问1详解】
如图1，根据二次关联图形的定义分别找到和，过点作轴于点D，
∴
由旋转可知，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点和关于直线对称，
∴点，
即点A关于点P的二次关联图形的坐标为；
故答案为：
【小问2详解】
解：根据题意得：点P位于x轴的下方，
设点P的纵坐标为m，
如图，过点P作轴于点E，过点作轴交延长线于点F，
由（1）得： ，
∴，
∴，
根据题意得：点A和点关于直线对称，
∴，
解得：，
∴点P的坐标为，
【小问3详解】
解：设点P的纵坐标为n，
由（2）得：，
∴，
∵在上，
∴，
解得：（舍去）或，
∴点P的坐标为，
∵，其关于点P的二次关联图形上的任意一点都在及其内部，
此时点是一个临界点，连接，如图，
∵，
∴是等边三角形，
过点作轴于点M，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
由对称性得：另一个点的坐标为，
∴的取值范围为．
【点睛】本题属于新定义类问题，主要考查轴对称最值问题，等边三角形的性质与判定，圆的定义等相关知识，关键是理解给出新定义，画出对应的图形．
幼树移植数（棵）
100
1000
5000
8000
10000
15000
20000
幼树移植成活数（棵）
87
893
4485
7224
8983
13443
18044
幼树移植成活的频率
0.870
0.893
0.897
0.903
0.898
0.896
0.902
水平距离x/m
0
2
4
6
8
10
竖直距离y/m