2022-2023学年北京海淀区初三上学期数学期末试卷及答案

这是一份2022-2023学年北京海淀区初三上学期数学期末试卷及答案，共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共16分，每题2分）
第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 刺绣是中国民间传统手工艺之一．下列刺绣图案中，是中心对称图形的为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】如果一个图形绕某一点旋转180度后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．依据中心对称图形的概念即可解答．
【详解】解：A、是轴对称图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的概念是解题的关键．
2. 点关于原点对称的点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据关于原点对称点的坐标特点：横、纵坐标均取相反数可直接得到答案．
【详解】解：点A（1，2）关于原点对称的点的坐标是（-1，-2），
故选：C．
【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．
3. 二次函数的图象向左平移1个单位长度，得到的二次函数解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数平移规律：左加右减，上加下减即可得到答案．
【详解】解：由题意可得，
的图象向左平移1个单位长度可得，
，
故选D．
【点睛】本题考查函数图像平移规律，解题关键是熟练掌握规律：左加右减，上加下减．
4. 如图，已知正方形，以点为圆心，长为半径作，点与的位置关系为（ ）
A. 点在外B. 点在内C. 点在上D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】设正方形的边长为，用勾股定理求得点到的圆心之间的距离，为的半径，通过比较二者的大小，即可得到结论．
【详解】解：设正方形的边长为，
则，，
，
点在外，
故选：A．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是确定圆的半径和点到圆心之间的距离的大小关系．
5. 若点，在抛物线上，则的值为（ ）
A. 2B. 1C. 0D.
【答案】B
【解析】
【分析】由函数的解析式可知函数对称轴为，从而得出的值．
【详解】由函数可知对称轴是直线，
由，可知，M，N两点关于对称轴对称，即
，
故选B．
【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，注意掌握二次函数图像上点的对称性是解题的关键．
6. 勒洛三角形是分别以等边三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由三段圆弧组成的曲边三角形．如图，该勒洛三角形绕其中心旋转一定角度后能与自身重合，则该角度可以为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】连接，可得，从而得到，即可求解．
【详解】解：如图，连接，
∵是等边三角形，
∴，
即，
∴．
∴该角度可以为．
故选：C
【点睛】本题主要考查了弧，弦，圆心角的关系，图形的旋转，等边三角形的性质，熟练掌握弧，弦，圆心角的关系是解题的关键．
7. 如图，过点作的切线，，切点分别是，，连接．过上一点作的切线，交，于点，．若，的周长为4，则的长为（ ）
A. 2B. C. 4D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用切线长定理得出，，，再根据三角形周长等于4，可求得，从而利用勾股定理可求解．
【详解】解：∵，是的切线，切点分别是，，
∴，
∵、是的切线，切点是D，交，于点，，
∴，，
∵周长为4，即，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查切线长定理，勾股定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．
8. 遥控电动跑车竞速是青少年喜欢的活动．如图是某赛道的部分通行路线示意图，某赛车从人口A驶入，行至每个岔路口选择前方两条线路的可能性相同，则该赛车从口驶出的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据“在每个岔路口都有向左或向右两种可能，且可能性相等”可知在点H、G、E、F处都是等可能情况，从而得到在四个出口H、G、E、F也都是等可能情况，然后根据概率的意义列式即可得解．
【详解】解：由图可知，在每个岔路口都有向左或向右两种可能，且可能性相等，
赛车最终驶出的点共有H、G、E、F四个，
所以，最终从点F驶出的概率为，
故选：B．
【点睛】本题考查了概率，读懂题目信息，得出所给的图形的对称性以及可能性相等是解题的关键，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
第二部分 非选择题
二、填空题（共16分，每题2分）
9. 二次函数的图象与轴的交点坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】令，求得的值即可.
【详解】令，得，
∴二次函数的图象与轴的交点坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是二次函数与轴的交点，正确计算是解答此题的关键．
10. 半径为3且圆心角为的扇形的面积为________.
【答案】3π．
【解析】
【分析】直接利用扇形的面积公式S=，进而求出即可．
【详解】解：∵半径为3，圆心角为120°的扇形，
∴S扇形===3π．
故答案为3π．
【点睛】此题主要考查了扇形面积公式应用，熟练记忆扇形面积公式是解题关键．
11. 下表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果．
根据以上数据，估计这名球员在罚球线上投篮一次，投中的概率为______．
【答案】0.51（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据频率估计概率的方法结合表格数据可得答案．
【详解】解：由频率分布表可知，随着投篮次数越来越大时，频率逐渐稳定到常数0.51附近，
∴这名球员在罚球线上投篮一次，投中的概率为0.51，
故答案为：0.51（答案不唯一）．
【点睛】此题考查了利用频率估计概率的知识，注意这种概率的得出是在大量实验的基础上得出的，不能单纯的依靠几次决定．
12. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据一元二次方程根的判别式列出关于m的不等式，即可解得答案．
【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，即，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握时，一元二次方程有两个不相等的实数根．
13. 二次函数的图象如图所示，则______0（填“”，“”或“”）．
【答案】
【解析】
【分析】根据抛物线的开口方向，判断的符号，根据对称轴的位置，判断的符号，进而得到的符号．
【详解】解：由图象，可知：抛物线的开口向上：，
对称轴在的右侧：，即：，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的图象与二次函数的系数之间的关系．熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键．
14. 如图，是的内接三角形，于点，若的半径为，，则______．
【答案】1
【解析】
【分析】连接，，由圆周角定理求得，再由等腰三角形三线合一性质求得，从而求得，得到，然后在中，，由勾股定理求解即可．
【详解】解：连接，，
∴，
∵于点，
∴，
∴，
∴，
在中，，由勾股定理，得
，
∴，
∴，
故答案为：1．
【点睛】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握圆周角定理，等腰三角形三线合一性质是解题的关键．
15. 对于二次函数，与的部分对应值如表所示．在某一范围内，随的增大而减小，写出一个符合条件的的取值范围______．
【答案】（答案不唯一，满足即可）
【解析】
【分析】根据表格，用待定系数法求出二次函数解析式，再根据二次函数的性质求解即可．
【详解】解：把，；，；，分别代入，得
，解得：，
∴，
∵，
∴当时，随的增大而减小，
∴当时，随的增大而减小，
故答案为：（答案不唯一，满足即可）．
【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
16. 如图，，，分别是某圆内接正六边形、正方形、等边三角形的一边．若，下面四个结论中，
①该圆的半径为2； ②的长为；
③平分； ④连接，，则与的面积比为．
所有正确结论的序号是______．
【答案】①③④
【解析】
【分析】根据圆内接正六边形、内接正方形的性质、弧长公式，勾股定理逐一判断可选项即可．
【详解】解：根据题干补全图形，连接，
根据内接正六边形的性质可知：，
∴是等边三角形，
，圆的半径为2，所以①正确；
根据内接正方形的性质可知：，
的长为：，所以②错误；
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分， 所以③正确；
过点A作交延长线于点H，交延长线于点G，
∵，
∴，
∵，
∴，
，
∴，
设交于点M，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，所以④正确；
因此正确的结论：①③④
故答案：①③④
【点睛】本题考查圆内接正六边形、内接正方形的性质、弧长公式，勾股定理，得出圆形的半径是解题的关键．
三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21题6分，第22-23题，每题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17. 解方程：．
【答案】，
【解析】
【分析】用配方法求解即可．
【详解】解：，
，
∴，
∴，．
【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握用配方法求解一元二次方程是解题的关键．
18. 已知抛物线过点和，求该抛物线的解析式．
【答案】
【解析】
【分析】把和代入，解方程组求出b、c的值即可得答案.
【详解】解：∵抛物线过点和，∴
解方程组，得
∴抛物线的解析式是．
【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，把抛物线上的点的坐标代入解析式确定字母的值是解题关键.
19. 已知为方程的一个根，求代数式的值．
【答案】1
【解析】
【分析】将a代入方程中得，将所求代数式化简整理后，把整体代入即可.
【详解】解：∵为方程的一个根，
∴．
∴．
∴原式=．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的概念，以及用整体代入法求代数式的值.解题的关键是掌握整体代入法.
20. 如图，四边形内接于，为直径，．若，求的度数．
【答案】
【解析】
【分析】连接．利用等弧所对圆周角相等，得出，从而得出，再利用直径所对圆周角是直角，最后由直角 三角形两锐角互余求解即可．
详解】解：如图，连接．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵为直径，
∴．
∴．
【点睛】本题考查圆周角定理的推论，直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理的推论是解题的关键．
21. 为了发展学生的兴趣爱好，学校利用课后服务时间开展了丰富的社团活动．小明和小天参加的篮球社共有甲、乙、丙三个训练场．活动时，每个学生用抽签的方式从三个训练场中随机抽取一个场地进行训练．
（1）小明抽到甲训练场的概率为______；
（2）用列表或画树状图的方法，求小明和小天在某次活动中抽到同一场地训练的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果，再根据概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：小明抽到甲训练场的概率为，
故答案为：；
【小问2详解】
根据题意，可以画出如下树状图：
由树状图可以看出，所有可能出现的结果有9种，并且这些结果出现的可能性相等．
小明和小天抽到同一场地训练（记为事件）的结果有3种，
所以，．
【点睛】此题考查了树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
22. 已知：如图，是的切线，为切点．
求作：的另一条切线，为切点．
作法：以为圆心，长为半径画弧，交于点；
作直线．
直线即为所求．
（1）根据上面的作法，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面证明过程．
证明：连接，，．
∵是的切线，为切点，
∴．
∴．
在与中，
∴．∴．
∴于点．∵是的半径，
∴是的切线（____________________）（填推理的依据）．
【答案】（1）见解析 （2），经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
【解析】
【分析】（1）按照作法作出图形即可；
（2）连接，，，证明即可证明是的切线．
【小问1详解】
补全图形，如图所示：
【小问2详解】
连接，，．
∵是的切线，A为切点，
∴．
∴．
在与中，
∴．∴．
∴于点．∵是的半径，
∴是的切线（经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）．
故答案为：，经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
【点睛】本题考查了尺柜作图，切线的性质和判定，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握切线的判定与性质是解答本题的关键．
23. 紫砂壶是我国特有的手工制造陶土工艺品，其制作过程需要几十种不同的工具，其中有一种工具名为“带刻度嘴巴架”，其形状及使用方法如图1．当制显艺人把“带刻度嘴巴架”上圆弧部分恰好贴在壶口边界时，就可以保证需要粘贴的壶嘴、壶把、壶口中心在一条直线上．图2是正确使用该工具时的示意图．如图3，为某紫砂壶的壶口，已知，两点在上，直线过点，且于点，交于点．若，，求这个紫砂壶的壶口半径的长．
【答案】
【解析】
【分析】连接，根据垂径定理求得，又由，即可由勾股定理求解．
【详解】解：如图，连接．
∵过圆心，，，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
解得．
∴这个紫砂壶的壶口半径的长为．
【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
24. 如图，是的直径，点在上．过点作的切线，过点作于点．
（1）求证：平分；
（2）连接，若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，求得，得到，即可求得平分．
（2）连接，求得，在中，求得；在中，，；在中，利用勾股定理可求得．
【小问1详解】
证明：如图，连接．
∵直线与相切于点，
∴于点．
∴．
∵于点，
∴．
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴平分．
【小问2详解】
解：连接．
∵是的直径，
∴．
∵，
∴．
在中，
∵，，
∴．
在中，
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
在中，
∵，
∴．
【点睛】本题是圆与三角形综合题，考查了切线的性质、角平分线的判定和和勾股定理，作出恰当的辅助线是解决问题的关键
25. 学校举办“科技之星”颁奖典礼，颁奖现场人口为一个拱门．小明要在拱门上顺次粘贴“科”“技”“之”“星”四个大字（如图1），其中，“科”与“星”距地面的高度相同，“技”与“之”距地面的高度相同，他发现拱门可以看作是抛物线的一部分，四个字和五角星可以看作抛物线上的点．通过测量得到拱门的最大跨度是10米，最高点的五角星距地面6.25米．
（1）请在图2中建立平面直角坐标系，并求出该抛物线的解析式；
（2）“技”与“之”的水平距离为米．小明想同时达到如下两个设计效果：
① “科”与“星”的水平距离是“技”与“之”的水平距离的2倍；
②“技”与“科”距地面的高度差为1.5米．
小明的设计能否实现？若能实现，直接写出的值；若不能实现，请说明理由．
【答案】（1）（答案不唯一）
（2）能实现；
【解析】
【分析】（1）建立平面直角坐标系，写出点的坐标，代入求解析式即可；
（2）设“技”的坐标，表示“科”，列出方程解方程即可．
【小问1详解】
解：如图，以抛物线顶点为原点，以抛物线对称轴为轴，建立平面直角坐标系．
设这条抛物线表示的二次函数为．
∵抛物线过点，
∴
∴
∴这条抛物线表示的二次函数为．
【小问2详解】
能实现；．
由“技”与“之”的水平距离为米，设“技”，“之”，
则 “科”，
“技”与“科”距地面的高度差为1.5米，
，
解得：或(舍去)
【点睛】本题考查运用二次函数解决实际问题，建立适当的平面直角坐标系，求出函数解析式是解题的关键．
26. 在平面直角坐标系中，抛物线过点．
（1）求（用含的式子表示）；
（2）抛物线过点，，．
①判断：______0（填“＞”“＜”或“＝”）；
②若，，恰有两个点在轴上方，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）①＜
②的取值范围是或
【解析】
【分析】（1）把代入，计算即可；
（2）①把代入，得，把代入，得，当时，，，得；当时，，，得；即可得出结论；
②把，，代入，得，，．当时，抛物线开口向上，对称轴为，则抛物线在时，取得最小值．所以，在轴上方，在轴上或轴下方，则，解得．当时，抛物线开口向下，对称轴为，所以抛物线在时，取得最大值，且．所以，在轴上方，在轴上或轴下方．则，解得．
【小问1详解】
解：把代入，得
，
∴；
【小问2详解】
解：①把代入，得
，
由（1）知：，
∴，
把代入，得
，
，
当时，，，
∴，
当时，，，
∴，
绽上，；
②由（1）知，
∴
∴抛物线对称轴为．
∵抛物线过点，，，
∴，，．
当时，抛物线开口向上，对称轴为，
∴抛物线在时，取得最小值．
∵，，恰有两点在轴上方，
∴，在轴上方，在轴上或轴下方．
∴，解得．
当时，抛物线开口向下，对称轴为，
∴抛物线在时，取得最大值，且．
∵，，恰有两点在轴上方，
∴，在轴上方，在轴上或轴下方．
∴，解得．
综上，的取值范围是或．
【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键．
27. 如图，在中，，．是边上一点，交的延长线于点．
（1）用等式表示与的数量关系，并证明；
（2）连接，延长至，使．连接，，．
①依题意补全图形；
②判断的形状，并证明．
【答案】（1），理由见解析；
（2）①如图；②结论：是等边三角形，理由见解析．
【解析】
【分析】（1）根据，可知，，利用含角的直角三角形性质：角所对直角边等于斜边的一半，可得．
（2）①根据题意补全图形即可；
②延长至点使，连接，，根据可知，由，得是等边三角形，，， 根据，，可知，，得，，，由，得，由，可证明，可得，，，从而可证明是等边三角形．
【小问1详解】
解：线段与的数量关系：．
证明： ，
．
，
；
【小问2详解】
解：①补全图形，如图．
②结论：是等边三角形．
证明：延长至点使，连接，，如图．
，
．
，
是等边三角形．
，．
，，
，．
．
．
，
，
．
，
（）
，．
．
是等边三角形．
【点睛】此题考查了含角的直角三角形性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，综合掌握相关知识点是解题关键．
28. 在平面直角坐标系中，对于点和线段，若线段或的垂直平分线与线段有公共点，则称点为线段的融合点．
（1）已知，，
①在点，，中，线段的融合点是______；
②若直线上存在线段的融合点，求的取值范围；
（2）已知的半径为4，，，直线过点，记线段关于的对称线段为．若对于实数，存在直线，使得上有的融合点，直接写出的取值范围．
【答案】（1）①，；②当时，直线上存在线段的融合点
（2）或
【解析】
【分析】（1）①画出对应线段的垂直平分线，再根据融合点的定义进行判断即可；②先确定线段融合点的轨迹为分别以点，为圆心，长为半径的圆及两圆内区域，则当直线与两圆相切时是临界点，据此求解即可；
（2）先推理出的融合点的轨迹即为以T为圆心，的长为半径的圆和以T为圆心，以的长为半径的圆的组成的圆环上（包括两个圆上），再求出两个圆分别与内切，外切时a的值即可得到答案．
小问1详解】
解：①如图所示，根据题意可知，是线段的融合点，
故答案为；，；
②如图1所示，设的垂直平分线与线段的交点为Q，
∵点Q在线段的垂直平分线上，
∴，
∴当点Q固定时，则点P在以Q为圆心，的长为半径的圆上，
∴当点Q在上移动时，此时点P的轨迹即线段的融合点的轨迹为分别以点，为圆心，长为半径的圆及两圆内区域．
当直线与两圆相切时，记为，，如图2所示．
∵，，
∴,
∴或．
∴当时，直线上存在线段的融合点．
【小问2详解】
解：如图3-1所示，假设线段位置确定，
由轴对称的性质可知，
∴点在以T为圆心，的长为半径的圆上运动，点在以T为圆心，以的长为半径的圆上运动，
∴的融合点的轨迹即为以T为圆心，的长为半径的圆和以T为圆心，以的长为半径的圆的组成的圆环上（包括两个圆上）；
当时，
如图3-2所示，当以T为圆心，为半径的圆与外切时，
∴，
∴，
∴，
∴（负值舍去）；
如图3-3所示，当以为圆心，为半径的圆与内切时，
∴，
∴，
∴，
∴（负值舍去）；
∴时，存在直线，使得上有的融合点；
同理当时，
当以T为圆心，为半径的圆与外切时，
∴，
∴，
∴，
∴（正值舍去）；
当以为圆心，为半径的圆与内切时，
∴，
∴，
∴，
∴（正值舍去）；
∴时，存在直线，使得上有的融合点；
综上所述，当或时存在直线，使得上有的融合点．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，圆与圆的位置关系等等，正确推理出对应线段的融合点的轨迹是解题的关键．
投篮次数
50
100
150
200
300
400
500
投中次数
28
49
78
102
153
208
255
投中频率
0.56
0.49
0.52
0.51
0.51
0.52
0.51
…
0
1
2
3
…
…
1
3
3
1
…