2023-2024学年河南省洛阳市汝阳县八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年河南省洛阳市汝阳县八年级（上）期末数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列各数中的无理数是( )
A. 4B. πC. 0D. −227
2.平方根等于它本身的数是( )
A. −1B. 0C. 1D. ±1
3.下列运算正确的是( )
A. x2+x3=x5B. a2⋅a3=a5
C. (2x2)3=8x5D. (x−1)2=x2−1
4.有两块总面积相等的场地，左边场地为正方形，由四部分构成，各部分的面积数据如图所示．右边场地为长方形，长为2(a+b)，则宽为( )
A. 12B. 1C. 12(a+b)D. a+b
5.已知xa=2，xb=3，则x3a−2b等于( )
A. 89B. −1C. 17D. 72
6.如图，小明家仿古家具的一块三角形形状的玻璃坏了，需要重新配一块．小明通过电话给玻璃店老板提供相关数据，为了方便表述，将该三角形记为△ABC，提供下列各组元素的数据，配出来的玻璃不一定符合要求的是( )
A. AB，BC，CAB. AB，BC，∠B
C. AB，AC，∠BD. ∠A，∠B，BC
7.下列命题是假命题的是( )
A. 全等三角形的对应边相等B. 一组数据的频率之和等于1
C. 全等三角形的面积相等D. 等腰三角形的中线、高线、角平分线重合
8.如图，在△ABC中，AB=AC，AB边的垂直平分线分别交AB，BC于E，D两点，若∠C=52°，则∠CAD的度数是( )
A. 22°B. 24°C. 26°D. 28°
9.甲、乙两超市在1月至8月间的盈利情况统计图如图所示，下面结论不正确的是( )
A. 甲超市的利润逐月减少B. 乙超市的利润在1月至4月间逐月增加
C. 8月份两家超市利润相同D. 乙超市在9月份的利润必超过甲超市
10.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，利用尺规在BC，BA上分别截取BE，BD，使BE=BD；分别以D，E为圆心、以大于12DE的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F；作射线BF交AC于点G.若CG=1，P为AB上一动点，则GP的最小值为( )
A. 2B. 12C. 1D. 无法确定
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.计算：m6÷m2= ______ ．
12.在期末体育考核中，成绩分为优秀、合格、不合格三个档次，初二(3)班有52名学生，达到优秀的有14人，合格的有25人，则这次体育考核中，不合格人数的频率是______ ．
13.用反证法证明命题“已知△ABC中，CA=CB；求证：∠A<90°.”第一步应先假设 ．
14.如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，几分钟后船到达点D的位置，此时绳子CD的长为10米，问船向岸边移动了______米．
15.在长方形ABCD中，AB=5，BC=12，点E是边AD上的一个动点，把△BAE沿BE折叠，点A落在A′处，当△A′DE是直角三角形时，DE的长为______ ．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
(1)计算：− 9−| 2−2|+38．
(2)因式分解：3x3−12xy2．
17.(本小题8分)
先化简，再求值：[2(x−y)]2−(12x3y2−18x2y3)÷(3xy2)，其中x=−3，y=−12．
18.(本小题9分)
已知：如图，F、C是AD上的两点，且AB=DE，AB//DE，AF=CD.求证：
(1)△ABC≌△DEF；
(2)BC//EF．
19.(本小题9分)
已知一直角边和斜边，用尺规作直角三角形．
已知：如图线段a，c．
求作：△ABC，使∠C=90°，BC=a，AB=c．
20.(本小题9分)
为了贯彻中共中央国务院颁布的《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某教育局发布了“普通中小学校劳动教育状况评价指标”.为了解某校学生一周劳动次数的情况，随机抽取若干学生进行调查，得到统计图表．
(1)这次调查活动共抽取______人．
(2)m=______，n=______．
(3)请将条形统计图补充完整．
(4)求出扇形统计图中“周劳动次数为1次及以下”对应的圆心角度数．
21.(本小题9分)
我们知道 5是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此 5的小数部分我们不可能全部写出来，而2< 5<3，所以 5的整数部分是2，将 5咸去其整数部分2，所得的差 5−2就是 5的小数部分.根据以上信息回答下列问题：
(1) 17的整数部分是______ ，小数部分是______ ；
(2)如果3+ 7的小数部分为a，5− 3的整数部分为b，求a+ 3b的值．
22.(本小题10分)
如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD=CD、BE=CF，
(1)求证：AD平分∠BAC；
(2)已知AC=20，BE=4，求AB的长．
23.(本小题11分)
综合与实践：
【问题情景】
综合与实践课上，王老师让同学们以“共顶点的等腰三角形的旋转”为主题开展数学探究活动．
【实践操作】
王老师让同学们先画出两个等边△ABC和△ADE，将△ADE绕点A旋转到某一位置，要求同学们观察图形，提出问题并加以解决．
(1)如图①，“慎思组”的同学们连接BE、CD，则BE与CD有何数量关系？∠ADC与∠AEB有何数量关系？请你探究后直接写出结论．
(2)如图②，得知“慎思组”的结论后，“博学组”的同学们又连接BD，他们认为，如果CD⊥AE，且AE=3，CD=4，就可以求出BD的长，请写出求解过程．
【类比探究】
(3)如图③，“智慧组”的同学们画出了两个等腰直角△ABC和△ADE，其中∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE；且点C恰好落在DE上，那么CD、CE和BC之间一定存在某种数量关系，请你探究后直接写出它们之间的数量关系．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解： 4=2、0是整数，−227是分数，这些都属于有理数；
π是无理数．
故选：B．
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可求解．
此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.2020020002…(相邻两个2中间依次多1个0)，等有这样规律的数．
2.【答案】B
【解析】解：平方根等于它本身的数是0．
故选：B．
根据平方根的性质计算．
本题考查了平方根：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．
3.【答案】B
【解析】解：x2+x3不能合并同类项，
故A选项不符合题意；
a2⋅a3=a5，
故B选项符合题意；
(2x2)3=8x6，
故C选项不符合题意；
(x−1)2=x2−2x+1，
故D选项不符合题意，
故选：B．
根据整式的加法，同底数幂的乘法，幂的乘方和完全平方公式分别判断即可．
本题考查了整式的加减，同底数幂的乘法，幂的乘方，完全平方公式等，熟练掌握这些知识是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：左边场地面积=a2+b2+2ab，
因为左边场地的面积与右边场地的面积相等，
所以右边场地宽=(a2+b2+2ab)÷[2(a+b)]=(a+b)2÷[2(a+b)]=12(a+b)，
故选：C．
求出左边场地的面积为a2+b2+2ab，由题意可求右边场地的宽=(a2+b2+2ab)÷[2(a+b)]然后计算即可．
本题考查整式的除法及完全平方公式，熟练掌握整式的除法运算法则，准确计算是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：∵xa=2，xb=3，
∴x3a−2b=(xa)3÷(xb)2
=23÷32
=89．
故选：A．
直接利用幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘除运算法则将原式变形得出答案．
此题主要考查了幂的乘方运算以及同底数幂的乘除运算，正确掌握运算法则是解题关键．
6.【答案】C
【解析】【分析】此题主要考查了全等三角形的应用，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键．直接利用全等三角形的判定方法分析得出答案．
【解答】
解：A.根据三边分别相等的两个三角形全等，三角形形状确定，故此选项不合题意；
B.根据两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，三角形形状确定，故此选项不合题意；
C．AB，AC，∠B，无法确定三角形的形状，故此选项符合题意；
D.根据两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，三角形形状确定，故此选项不合题意，
故选：C．
7.【答案】D
【解析】解：A.全等三角形的对应边相等，是真命题，故A不符合题意；
B.一组数据的频率之和等于1，是真命题，故B不符合题意；
C.全等三角形的面积相等，是真命题，故C不符合题意；
D.等腰三角形底边上的中线、高线、顶角的角平分线重合，原命题是假命题，故D符合题意．
故选：D．
根据全等三角形的性质，频率的定义，等腰三角形的性质，逐项进行判断即可．
本题主要考查了命题真假的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形对应边相等，面积相等，等腰三角形的三线合一．
8.【答案】B
【解析】解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C=52°，
∴∠BAC=180°−∠B−∠C=76°，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴DA=DB，
∴∠B=∠BAD=52°，
∴∠CAD=∠BAC−∠BAD=76°−52°=24°，
故选：B．
先利用等腰三角形的性质可得∠B=∠C=52°，从而利用三角形内角和定理可得∠BAC=76°，然后利用线段垂直平分线的性质可得DA=DB，从而可得∠B=∠BAD=52°，最后利用角的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质，以及线段垂直平分线的性质是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：A、根据图象一直在下降，可得甲超市的利润逐月减少，此选项正确；
B、1月到4月期间乙超市的图象一直在上升，故乙超市的利润在1月至4月间逐月增加，此选项正确；
C、8月份两家超市的折线相交，故利润相同，此选项正确；
D、折线统计图不能预测趋势，故乙超市在9月份的利润不一定超过甲超市，此选项错误．
故选：D．
折线图是用一个单位表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段依次连接起来，以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化；接下来对各个选项进行分析，例如对于A，根据甲超市的折线图一直在下降，可得甲超市的利润逐月减少，此选项正确，据此解答．
本题主要考查折线统计图，解题关键是读懂统计图．
10.【答案】C
【解析】解：如图，过点G作GH⊥AB于H，
由作图可知，GB平分∠ABC，
∵GH⊥BA，GC⊥BC，
∴GH=GC=1，
根据垂线段最短可知，GP的最小值为1．
故选：C．
如图，过点G作GH⊥AB于H，根据角平分线的性质定理证明GH=GC=1，利用垂线段最短即可解决问题．
本题考查作图−基本作图，熟练掌握角平分线的性质，垂线段最短是解题的关键．
11.【答案】m4
【解析】解：m6÷m2=m4，
故答案为：m4．
运用同底数幂的除法进行计算、求解．
此题考查了同底数幂除法的运算能力，关键是能准确理解并运用该知识进行正确地计算．
12.【答案】0.25
【解析】解：根据题意，不合格人数为52−14−25=13，
∴不合格人数的频率是13÷52=0.25，
故答案为：0.25．
先求出不合格人数，再根据频率计算公式：频率=频数÷总数求解即可．
本题考查频率，熟记频率计算公式是解题关键．
13.【答案】∠A≥90°
【解析】解：第一步应先假设∠A≥90°；
故答案为：∠A≥90°．
根据反证法的步骤，先假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立，进行作答即可．
本题考查反证法．熟练掌握反证法的步骤是解题的关键．
14.【答案】9
【解析】解：在Rt△ABC中：
∵∠CAB=90°，BC=17米，AC=8米，
∴AB= BC2−AC2= 172−82=15(米)，
在Rt△ADC中
∵CD=10(米)，AC=8米
∴AD= CD2−AC2= 102−82=6(米)，
∴BD=AB−AD=15−6=9(米)，
答：船向岸边移动了9米，
故答案为：9．
在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AB长，再结合CD长利用勾股定理计算出AD长，再利用BD=AB−AD可得BD长．
此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
15.【答案】263或7
【解析】解：①当∠EA′D=90°时，如图，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A=90°，BC=AD=12，AB=5，
∴BD= AB2+AD2=13，
根据折叠的性质可得，AE=A′E，AB=A′B=5，
∴A′D=BD−A′B=8，
设AE=A′E=x，则DE=12−x，
在Rt△A′DE中，
根据勾股定理得AE2+A′D2=DE2，
∴x2+82=(12−x)2，
解得：x=103，
∴AE=103，DE=263；
②当∠A′ED=90°时，如图，
∴∠AEA=90°，
根据折叠的性质可得，∠AEB=∠AEB，
∵∠AEB+∠AEB=90°，
∴∠AEB=∠AEB=45°，
∴△ABE为等腰直角三角形，AB=AE=5，
∴DE=AD−AE=12−5=7；
综上，DE=263或7．
故答案为：263或7．
当△A′DE是直角三角形时，可分两种情况进行讨论：①当∠EA′D=90°时，此时A′在BD上，由勾股定理可得BD=13，根据折叠的性质可得AE=A′E，AB=A′B=5，A′D=8，设AE=A′E=x，则DE=12−x，最后根据勾股定理即可解答；②当∠A′ED=90°时，根据折叠的性质可得∠AEB=∠AEB，以此可推出△ABE为等腰直角三角形，AB=AE=5，再根据DE=AD−AE即可求解．
本题主要考查勾股定理、矩形的性质、折叠的性质，据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案是解题关键．
16.【答案】解：(1)原式=−3−(2− 2)+2
=−3−2+ 2+2
=−3+ 2；
(2)3x3−12xy2
=3x(x2−4y2)
=3x(x+2y)(x−2y)．
【解析】(1)直接利用二次根式的性质以及绝对值的性质、立方根的性质分别化简，进而得出答案；
(2)直接提取公因式3x，再利用平方差公式分解因式即可．
此题主要考查了实数的运算、提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用公式法分解因式是解题关键．
17.【答案】解：原式=4x2−8xy+4y2−4x2+6xy
=−2xy+4y2，
当x=−3，y=−12时，
原式=−2×(−3)×(−12)+4×(−12)2
=−3+1
=−2．
【解析】原式利用完全平方公式，以及多项式除以单项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．
此题考查了整式的混合运算−化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18.【答案】证明：(1)∵AB/​/DE，
∴∠A=∠D，
∵AF=CD，
∴AF+FC=CD+FC，
即AC=DF，
在△BAC和△EDF中，
AB=DE∠A=∠DAC=DF，
∴△BAC≌△EDF(SAS)；
(2)∵△BAC≌△EDF，
∴∠ACB=∠DFE，
∴BC/​/EF．
【解析】(1)根据AB//DE，得∠A=∠D，由AF=CD，可得AC=DF，通过SAS即可证明△BAC≌△EDF；
(2)由全等三角形的性质得∠ACB=∠DFE，从而BC/​/EF．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质等知识，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
19.【答案】解：作射线CM，在射线CM上取CB=a，过C作CN⊥CM，以B为圆心，c为半径画弧交CN于A，连接AB，如图：

△ABC即为所求．
【解析】作射线CM，在射线CM上取CB=a，过C作CN⊥CM，以B为圆心，c为半径画弧交CN于A，连接AB，△ABC即为所求．
本题考查作图−复杂作图，解题的关键是掌握过已知点作已知直线的垂线的尺规作图方法．
20.【答案】200 86 27
【解析】解：(1)这次调查活动共抽取20÷10%=200(人)，
故答案为：200；
(2)m=200×43%=86，
n%=54÷200×100%=27%，即n的值为27；
故答案为：86，27；
(3)一周劳动2次的学生有：200×20%=40(人)，
补全统计图如下：
(4)扇形统计图中劳动次数为1次及以下对应的圆心角度数是：360°×10%=36°．
(1)根据一周劳动次数1次以下的人数和所占的百分比，即可求得本次抽取的人数；
(2)用总人数乘以3次的人数所占的百分比求出m的值，再用4次及以上的人数除以总人数即可得出n的值；
(3)先求出2次的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
(4)用360°乘以劳动次数为1次及以下的人数所占的百分比即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
21.【答案】4 17−4
【解析】解：(1)∵4< 17<5，
∴ 17的整数部分是4，小数部分是 17−4，
故答案为：4， 17−4；
(2)∵2< 7<3，
∴2+3<3+ 7<3+3，即5<3+ 7<6，
∴3+ 7的整数部分是5，小数部分a= 7−2，
∵1< 3<2，
∴−2<− 3<−1，
∴5−2<5− 3<5−1，即3<5− 3<4，
∴5− 3的整数部分b=3，
∴a+ 3b= 7−2+ 3×3= 7+1．
(1)根据4< 17<5求出 17的整数部分和小数部分；
(2)先求出a、b，再根据算术平方根计算，得到答案．
本题考查的是二次根式的化简求值、估算无理数的大小，根据算术平方根的定义进行无理数的估算是解题的关键．
22.【答案】(1)证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠E=∠DFC=90°，
∴在Rt△BED和Rt△CFD中，
BD=CDBE=CF，
∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL)，
∴DE=DF，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD平分∠BAC；
(2)解：∵Rt△BED≌Rt△CFD，
∴AE=AF，CF=BE=4，
∵AC=20，
∴AE=AF=20−4=16，
∴AB=AE−BE=16−4=12．
【解析】(1)求出∠E=∠DFC=90°，根据全等三角形的判定定理得出Rt△BED≌Rt△CFD，推出DE=DF，根据角平分线性质得出即可；
(2)根据全等三角形的性质得出AE=AF，BE=CF，即可求出答案．
本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应边相等，对应角相等．
23.【答案】解：(1)BE=CD，∠ADC=∠AEB，理由如下：
∵△ABC与△ADE均为等边三角形∴∠BAC=∠EAD=60°，
又∠BAE=∠BAC+∠CAE∠CAD=∠EAD+∠CAE∴∠BAE=∠CAD，
在△BAE与△CAD中，
BA=CA∠BAE=∠CADAE=AD，
∴△BAE≌△CAD( SAS)，
∴BE=CD，∠ADC=∠AEB；
(2)由(1)可知 BE=CD，∠ADC=∠AEB，
在等边△ADE中，由DC⊥AE可得∠ADC=30°，
则∠AEB=∠ADC=30°，∠AED=60°+30°=90°，
在Rt△BDE中，BE=CD=4，DE=AE=3，
由勾股定理可得：BD= 32+42=5，
(3)CD2+CE2=BC2.理由如下：
连接BE，如图③，

∵∠BAC=∠EAD=90°，
∴∠BAE=∠CAD，
在△BAE与△CAD中，
BA=CA∠BAE=∠CADAE=AD，
∴△BAE≌△CAD( SAS)，
∴BE=CD，∠ADC=∠AEB=45°，
∴∠BEC=90°，
∴BE2+CE2=BC2，
∴CD2+CE2=BC2．
【解析】(1)通过SAS判定证明全等即可；
(2)由(1)可知边长与角度的关系，然后利用勾股定理求解即可；
(3)与(1)相同，证明全等后，利用勾股定理证明三边关系即可．
此题属于几何变换综合题，主要考查旋转模型以及勾股定理，解题关键是找准边与角的关系证明全等，然后利用勾股定理求解．