人教版九年级数学下册综合训练卷 专题04 相似三角形（重难点突破）（原卷版+解析）

这是一份人教版九年级数学下册综合训练卷 专题04 相似三角形（重难点突破）（原卷版+解析），共29页。试卷主要包含了相似三角形的判定，相似三角形的性质，相似三角形应用举例等内容，欢迎下载使用。

一、相似三角形的判定
1．相似三角形的判定定理
①判定定理1：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．
②判定定理2：三边成比例的两个三角形相似．
③判定定理3：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
④判定定理4：两角分别相等的两个三角形相似．
2．直角三角形相似的判定方法
如果两个直角三角形满足一个锐角相等，或两组直角边成比例，那么这两个直角三角形相似．
3．判定三角形相似的几条思路：
（1）条件中若有平行线，可采用相似三角形的判定（1）；
（2）条件中若有一对等角，可再找一对等角[用判定（1）]或再找夹边成比例[用判定（2）]；
（3）条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等；
（4）条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例；
（5）条件中若有等腰条件，可找顶角相等，或找一个底角相等，也可找底和腰对应成比例．
【例1】如图，在中，高、相交于点F．图中与一定相似的三角形有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【例2】在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列比例式中不能得到DEBC的是（ ）
A．B．C．D．
二、相似三角形的性质
运用相似三角形性质的前提是先判定两三角形相似.特别注意“相似三角形面积的比等于相似比的平方”而不是等于相似比，即相似比应等于面积比的算术平方根．
【例3】如图，，若，，则与的相似比是（ ）
A．1∶2B．1∶3C．2∶3D．3∶2
【例4】如图，已知和的相似比是，且的面积为2，则四边形的面积为（ ）
A．6B．8C．4D．2
三、相似三角形应用举例
解相似三角形应用题的两个原则：
（1）核心是构造相似三角形，在构造的三角形中，被测物体的高度或宽度一般是其中的一边．
（2）构造三角形的方法多种多样，只需把握住所构造的三角形除被测量的边以外，其余的对应边易测这一原则．
【例5】如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点在同一直线上，已知纸板的两条直角边，，测得边DF离地面的高度，，则树高AB为（ ）m．
A．5B．C．7D．
【例6】地质勘探人员为了估算某条河的宽度，在河对岸选定一个目标点O，再在他们所在的这一侧选取点A，B，D，使得，然后找到和的交点C，如图所示，测得，则可计算出河宽为（ ）
A．16mB．15mC．14mD．13m
一、单选题
1．如图，，相交于点，且，若，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
2．若，其相似比为，则与的面积比为（ ）
A．B．C．D．
3．如图，已知，相似比为，则为（ ）
A．2B．5C．5D．1
4．如图，，，交于，图中相似三角形共有（ ）
A．3对B．4对C．5对D．6对
5．如图，E是的边的延长线上的一点，连接，交边于点P．若，则与的周长之比为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，在等边中，点，分别在边，上，且，则有（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
7．如图，已知，，是线段的中点，且，，那么______．
8．如图，已知中，D为边AC上一点，P为边AB上一点，，，，当的长度为______时，和相似．
三、解答题
9．如图，在和中，，．
(1)求证：；
(2)判断与是否相似？并证明．
10．如图，点是菱形的对角线上一点，连结并延长，交于，交的延长线于点．
(1)求证：．
(2)若，，直接写出的长．
一、单选题
1．如图，在和中，，且，，则（ ）
A．B．C．D．
2．如图，将沿边上的中线平移到的位置，已知的面积为，阴影部分三角形的面积为若，则等于（ ）
A．B．C．D．
3．如图，在中，D、E分别是边、上的点，且∥，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
4．如图，已知在中，，，，为的角平分线，过作于点，交于点．则线段的长为（ ）
A．B．C．D．
5．如图，在中，点D，E分别是边的中点，与交于点O，连接．下列结论：（1）；（2）；（3）；（4）．其中正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．如图，在正方形中，是等边三角形，、的延长线分别交于点、，连接、，与相交于点，给出下列结论：其中正确的是（ ）
①；②；③；④
A．①②③B．②③C．①②④D．①③④
二、填空题
7．如图，在中，，，，则______cm．
8．如图，、、、分别为矩形的边、、、的中点，连接、、、、，已知，，则下列结论：①；②∽；③；④正确的是______（填写序号）
三、解答题
9．如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，设移动时间为．
(1)当为多少时，的面积是？
(2)当为多少时，与是相似三角形？
10．如图，中，是直角，过斜边中点而垂直于斜边的直线交的延长线于，交于，连接.
求证：
(1)；
(2).重点
探索两个三角形相似的条件，会选择恰当的方法识别两个三角形相似
难点
探索相似三角形的性质，能运用性质进行有关计算；综合运用相似三角形的判定和性质解决生活中的实际问题
易错
相似三角形的对应元素出错；用相似三角形相似比求面积关系时出错
专题04 相似三角形
一、相似三角形的判定
1．相似三角形的判定定理
①判定定理1：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．
②判定定理2：三边成比例的两个三角形相似．
③判定定理3：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
④判定定理4：两角分别相等的两个三角形相似．
2．直角三角形相似的判定方法
如果两个直角三角形满足一个锐角相等，或两组直角边成比例，那么这两个直角三角形相似．
3．判定三角形相似的几条思路：
（1）条件中若有平行线，可采用相似三角形的判定（1）；
（2）条件中若有一对等角，可再找一对等角[用判定（1）]或再找夹边成比例[用判定（2）]；
（3）条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等；
（4）条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例；
（5）条件中若有等腰条件，可找顶角相等，或找一个底角相等，也可找底和腰对应成比例．
【例1】如图，在中，高、相交于点F．图中与一定相似的三角形有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，，
∴，
即与一定相似的三角形有3个，
故选：C．
【例2】在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列比例式中不能得到DEBC的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：如图，
解：A．∵，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴∠ADE＝∠ABC，
∴DEBC；
故选项不符合题意；
B．当时，△ADE与△ABC不一定相似，
∴∠ADE不一定等于∠B，
∴不能得到DEBC，
故选项符合题意；
C．∵，
∴，
∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴∠ADE＝∠ABC，
∴DEBC；
故选项不符合题意；
D．∵，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴∠ADE＝∠ABC，
∴DEBC；
故选项不符合题意；
故选：B．
二、相似三角形的性质
运用相似三角形性质的前提是先判定两三角形相似.特别注意“相似三角形面积的比等于相似比的平方”而不是等于相似比，即相似比应等于面积比的算术平方根．
【例3】如图，，若，，则与的相似比是（ ）
A．1∶2B．1∶3C．2∶3D．3∶2
【答案】B
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴相似比为：，
故选B．
【例4】如图，已知和的相似比是，且的面积为2，则四边形的面积为（ ）
A．6B．8C．4D．2
【答案】A
【详解】解：∵和的相似比是，且的面积为2，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
三、相似三角形应用举例
解相似三角形应用题的两个原则：
（1）核心是构造相似三角形，在构造的三角形中，被测物体的高度或宽度一般是其中的一边．
（2）构造三角形的方法多种多样，只需把握住所构造的三角形除被测量的边以外，其余的对应边易测这一原则．
【例5】如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点在同一直线上，已知纸板的两条直角边，，测得边DF离地面的高度，，则树高AB为（ ）m．
A．5B．C．7D．
【答案】B
【详解】解：，
∵，
∴，
∴，即，
解得：，
∵，
∴，
即树高．
故答案为：．
【例6】地质勘探人员为了估算某条河的宽度，在河对岸选定一个目标点O，再在他们所在的这一侧选取点A，B，D，使得，然后找到和的交点C，如图所示，测得，则可计算出河宽为（ ）
A．16mB．15mC．14mD．13m
【答案】C
【详解】解：∵，
∴．
∴，即，
∴．
故选C．
一、单选题
1．如图，，相交于点，且，若，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴．
故选：C．
2．若，其相似比为，则与的面积比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：且相似比为
故选：C
3．如图，已知，相似比为，则为（ ）
A．2B．5C．5D．1
【答案】A
【详解】解：∵，相似比为，，
∴，
故选A．
4．如图，，，交于，图中相似三角形共有（ ）
A．3对B．4对C．5对D．6对
【答案】B
【详解】解：，，
，
，
，
，
，
，，
即，
，
，
，
，
，
．
图中相似三角形共有4对．
故选：B．
5．如图，E是的边的延长线上的一点，连接，交边于点P．若，则与的周长之比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴与的周长之比；
故选A．
6．如图，在等边中，点，分别在边，上，且，则有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】解：∵等边三角形，
∴，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
故选：．
二、填空题
7．如图，已知，，是线段的中点，且，，那么______．
【答案】
【详解】解：是线段的中点，，
，
，，
，，
，即，
，
∽，
，
，
，
故答案为：．
8．如图，已知中，D为边AC上一点，P为边AB上一点，，，，当的长度为______时，和相似．
【答案】10或6.4
【详解】解：当时，
∴，
∴，
解得：，
当时，
∴，
∴，
解得：，
∴当的长度为10或6.4时，和相似．
故答案为：10或6.4．
三、解答题
9．如图，在和中，，．
(1)求证：；
(2)判断与是否相似？并证明．
【答案】(1)见解析
(2)与相似，理由见解析
【详解】（1）证明：，
，
，
又，
，
；
（2）与相似，
证明：由（1）知：∽，
，
，
又，
与相似．
10．如图，点是菱形的对角线上一点，连结并延长，交于，交的延长线于点．
(1)求证：．
(2)若，，直接写出的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，
在和中，
，
∴．
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∵
∴
∵，，
∴，
∴．
一、单选题
1．如图，在和中，，且，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】在中，，，
,
在和中，
，
，
，
故选：B．
2．如图，将沿边上的中线平移到的位置，已知的面积为，阴影部分三角形的面积为若，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：如图，
、，且为边的中线，
，，
将沿边上的中线平移得到，
，
，
∴，即，
解得或（舍去），
．
故选：B．
3．如图，在中，D、E分别是边、上的点，且∥，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】∵，
∴，
∵∥，
∴，，
∴，
∴的值为，
故选：D．
4．如图，已知在中，，，，为的角平分线，过作于点，交于点．则线段的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：∵中，，，，
∴，
∵为的角平分线，设到的距离为，则，
∴
∴
即
解得
如图，过点作，交的延长线于，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又
∴
∴
即
解得,
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
5．如图，在中，点D，E分别是边的中点，与交于点O，连接．下列结论：（1）；（2）；（3）；（4）．其中正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【详解】解：∵点D，E分别是边的中点
∴是三角形的中位线
∴，，即②正确；
∴，
∴,
∴，故③错误；，故①正确；
∵，
∴，即，
∴＝，故④正确；
综上①②④正确，
故选：C．
6．如图，在正方形中，是等边三角形，、的延长线分别交于点、，连接、，与相交于点，给出下列结论：其中正确的是（ ）
①；②；③；④
A．①②③B．②③C．①②④D．①③④
【答案】C
【详解】∵四边形是正方形，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，故①正确，
∵，
∴，
∵，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，故②正确，
∵，
∴与不相似，故③错误，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故④正确，
故选：C．
二、填空题
7．如图，在中，，，，则______cm．
【答案】4
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
解得：．
故答案为：4
8．如图，、、、分别为矩形的边、、、的中点，连接、、、、，已知，，则下列结论：①；②∽；③；④正确的是______（填写序号）
【答案】②③④
【详解】解：，
，
不能说明，
故①错误，不符合题意；
，
，
又，
，
故②正确，符合题意；
如图，连接，
由题意得：，
，分别是与的中点，
，
，
，
即，
，
在中，，
，
解得：，
，
故③正确，符合题意；
，
，
即，
故④正确，符合题意，
正确的是②③④，
故答案为：②③④．
三、解答题
9．如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，设移动时间为．
(1)当为多少时，的面积是？
(2)当为多少时，与是相似三角形？
【答案】(1)．
(2)或3．
【详解】（1）点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，
，，
；
的面积是，
，
解得，．
即当为3时，的面积是；
（2）由运动知，，，
、是直角三角形，
当与相似时有两种情况，
即或，
当时，则有，解得；
当时，则有，解得；
当或3时，与相似．
10．如图，中，是直角，过斜边中点而垂直于斜边的直线交的延长线于，交于，连接.
求证：
(1)；
(2).
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【详解】（1）∵是直角，，
∴，
∵ ，
∴；
（2）∵，
∴，
∵点为直角斜边的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴.
∴，
∴．
重点
探索两个三角形相似的条件，会选择恰当的方法识别两个三角形相似
难点
探索相似三角形的性质，能运用性质进行有关计算；综合运用相似三角形的判定和性质解决生活中的实际问题
易错
相似三角形的对应元素出错；用相似三角形相似比求面积关系时出错