还剩64页未读，
继续阅读
所属成套资源：人教版九年级数学下册同步精品讲义（原卷版+解析）
成套系列资料，整套一键下载
人教版九年级数学下册同步精品讲义 第04讲 相似三角形（原卷版+解析）
展开
这是一份人教版九年级数学下册同步精品讲义 第04讲 相似三角形（原卷版+解析），共67页。试卷主要包含了2 相似三角形，相似三角形的定义，平行线分线段成比例，判定三角形相似的思路等内容，欢迎下载使用。
目标导航
知识精讲
知识点01 相似三角形的概念
1.相似三角形的定义：对应角相等，对应边成比例的三角形叫作相似三角形。
【微点拨】相似用符号“∽”表示，写两三角形相似与写两三角形全等一样，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上，以便于找出相似三角形的对应角和对应边。
2.平行线分线段成比例
平行线分线段成比例定理：3条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
如图，如果// //，那么a：b=c：d.
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例。
【即学即练1】如图，在中，，，则下列比例式中正确的是（ ）
A．B．C．D．
知识点02 三角形相似的判定定理
1.平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
2.如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.可简单说成：三边对应
成比例，两三角形相似。
3.如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。可简单说成：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。
4.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
可简单说成：两角对应相等，两三角形相似。
点拨①由三角形相似的条件可知，若两个直角三角形满足一个锐角对应相等，或两组角直角边的比相等，或斜边的比与一组直角边的比相等，则这两个直角三角形相似。
②直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形彼此相似。如图，△ADC∽△ACB，△BDC∽△BCA，△ADC∽△CDB。
5.判定三角形相似的思路
（1）判有平行截线，用判定定理；
（2）有一对等角，找另一对等角或找夹边成比例；
（3）有两边对应成比例，找夹角相等或找第三边也成比例或者有一对直角；
（4）直角三角形，找一对锐角相等或斜边、直角边对应成比例；
（5）等腰三角形，找顶角相等或一对底角相等或者底和腰成比例；
【即学即练2】如图，是的边上一点，那么下面四个命题中错误的是（ ）
A．如果，那么
B．如果，那么
C．如果，那么
D．如果，那么
知识点03 相似三角形的性质
(1)相似三角形的对应角相等，对应边的比等于相似比。
(2)相似三角形周长的比等于相似比。
(3)相似三角形面积的比等于相似比的平方。
(4)相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。
【即学即练3】如图，已知菱形的边长为4，E是的中点，平分交于点F，交于点G，若，则的长是（ ）
A．3B．C．D．
知识点04 相似三角形的应用举例
运用相似三角形可以测量物体的高度或宽度，一般步骤如下：
①画：根据实际问题画出几何图形；
②判：判定图中有关三角形相似；
③解：利用相似三角形的性质得到比例式，解方程得到数学问题的解；
④答：写出实际问题的答案。
【即学即练4】如图，小明在A时测得某树的影长为，B时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（ ）．
A．B．C．6D．
能力拓展
考法01 证明两三角形相似
【典例1】已知： 如图，在中，D是AB上一点， 且，求证：．
考法02 利用相似三角形的性质求解
【典例2】如图．已知是的角平分线，E是延长线上的一点且．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
分层提分
题组A 基础过关练
1．如图，，若，，则DE等于（ ）
A．5B．6C．7D．9
2．如图，，与交于点，过点作，交线段于点，则下列各式错误的是（ ）
A．B．C．D．
3．已知，如果，，那么与的周长比为（ ）
A．3：2B．3：4C．2：5D．5：2
4．一个钢筋三脚架三边长分别为，现在要做一个和它相似的钢筋三脚架，而只有长为和的两根钢筋，要求以其中的一根为一边，从另一根上截两段（允许有余料）作为另两边，则不同的截法有（ ）
A．一种B．两种
C．三种D．四种或四种以上
5．如图，已知等边，点分别是边上的动点，，则图中相似的三角形的对数是( )
A．3对B．4对C．5对D．6对
6．如图，在三角形ABC中，，，则的长为______．
7．如图，在离某建筑物4米处有一棵树，在某时刻，将1.2m长的竹竿竖直立在地面上，影长为2m，此时，树的影子照射到地面，还有一部分影子投影在建筑物的墙上，墙上的影子长为2m，那么这棵树高约为_____米．
8．如图，是斜边上的高，其中，，则__．
9．如图，已知正方形，点E在边上，连接．
(1)利用尺规在上求作一点F，使得．（不写作法，保留作图痕迹）
(2)若，求的长．
10．如图，在正中，点是的中点，点在上，且．
(1)求证：；
(2)连结，交于点，求．
题组B 能力提升练
1．如图，已知直线，，，则的值为（ ）
A．B．C．D．1
2．如图，在中，点、分别在边、上，连接、交于点，且，，，，则的长为（ ）
A．4B．6C．8D．9
3．如图，矩形中，，，点E为的中点，点F为上一点，连接、交于点P，连接，当时，线段的长度为（ ）
A．B．C．D．
4．如图，在中，，点D是的中点，连结，过点B作分别交于点E、F．与过点A且垂直于的直线相交于点G，连接，现给出以下几个结论：①；②；③点F是的中点；④；⑤．
其中所有正确的结论是（ ）
A．①②③B．①②④C．②③④D．①④⑤
5．如图，矩形的对角线相交于点，点分别是边上的点，且．若，，那么___________．
6．在中，矩形的一边在边上，顶点G、F分别在上，是边上的高，与交与点K，若，矩形周长为76，则_________．
7．如图，点为半圆的中点，是直径，点D是半圆上一点，、交于点E，若，，则______， _______．
8．如图，在中，，点A在反比例函数图象上，且y轴平分，则_______．
9．如图，矩形的边在的边上，顶点、分别在边、上，，垂足为．已知，．
(1)当矩形为正方形时，求该正方形的边长；
(2)当矩形面积为18时，求矩形的长和宽．
10．如图，点在同一条直线上，且，，与交于点G．
(1)求证：．
(2)连接，若，求的长．
题组C 培优拔尖练
1．已知菱形，边长为，，、是菱形边和上的动点，且，则下列结论①；②为等边三角形；③；④若，则正确的有个．（ ）
A．B．C．D．
2．如图，中，，点是上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转90°得到线段，连接，当面积最大时，的长为（ ）
A．2B．C．D．
3．如图，在边长为1的正方形中，E、F是边上的两个动点，且，连接与交于点G，连接交于点H，连接，下列结论：①；②平分；③；④；⑤线段的最小值是．正确的个数是（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
4．如图，在矩形中，相交于点O，过点B作于点M，交于点F，过点D作交于点N．交于点E，连接．有下列结论：①四边形为平行四边形；②；③为等边三角形；④当时，四边形是菱形．其中，正确结论的序号是（ ）
A．①②④B．①②③C．①③D．②③④
5．如图，已知菱形的边长为2，对角线、相交于点，点，分别是边、上的动点，，分别与交于点，，连接、．以下结论正确的是______．
①的最大值是2
②当最小时，
③当时，则
④当时，．
6．如图，已知在中，，．点D为的中点，点E，F分别为上的点，且，连接．若，则 _______．
7．如图，在中，，以，为边分别向外作正方形和正方形，交于点，交于点若，则的值为______．
8．如图，等腰中，，，D是三角形外一点，，连接AD，点E在AD上，连接CE，，若，，则线段AC的长度等于______．
9．已知：如图（1），边长为的菱形的对角线与相交于点O，若．
(1)求证：四边形是正方形．
(2)如图（2），E是上一点，，且，垂足为H，与相交于点F，求线段的长．
(3)在（2）的条件下，连接，求的长．
10．如图，是的直径，点C在上，的平分线交于点D，过点D作的垂线交的延长线于点E．
(1)证明：是的切线；
(2)已知 ，求的长．
11．(1)【问题呈现】如图1，和都是等边三角形，连接．求证：．
(2)【类比探究】如图2，和都是等腰直角三角形，．连接．则=_______．
(3)【拓展提升】如图3，和都是直角三角形，，且．连接．
①求的值；
②延长交于点，交于点．若，，求的长．
12．如图，在矩形中，，．如果点E由点B出发沿方向向点C匀速运动，同时点F由点D出发沿方向向点A匀速运动，它们的速度分别为和．已知，分别交，于点P和点Q，设运动时间为（）．
(1)连接，，当_____s时，四边形为平行四边形；
(2)连接，若的面积为，求t的值；
(3)若与相似，求t的值．
13．如图，在中，是的平分线，是上一点，以为半径的经过点．
(1)求证：是切线；
(2)若求的长．
14．我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．凸四边形就是没有角度大于的四边形，把四边形的任何一边向两方延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫凸四边形．
(1)已知四边形是“等对角四边形”，，，，则____________，____________．
(2)如图1，在中，，为斜边边上的中线，过点D作垂直于交于点E，试说明四边形是“等对角四边形”．
(3)如图2，在中，，，，平分，点E在线段延长线上，以点B、C、E、D为顶点构成的四边形为“等对角四边形”，求线段的长．
课程标准
课标解读
1.掌握基本事实∶两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
2.了解相似三角形的判定定理∶两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似。
3.了解相似三角形的性质定理∶相似三角形对应线段的比等于相似比；面积比等于相似比的平方。
4.会利用图形的相似解决一些简单的实际问题。
1.理解和掌握平行线分线段成比例定理及其推论；。
2.掌握三角形相似的证明方法，能够证明三角形相似。
3.掌握相似三角形的性质，能够利用相似三角形的性质证明角相等，探索线段之间的数量关系等。
4.能够运用三角形相似解决一些简单的实际问题。
第二十七章 相似
27.2 相似三角形
目标导航
知识精讲
知识点01 相似三角形的概念
1.相似三角形的定义：对应角相等，对应边成比例的三角形叫作相似三角形。
【微点拨】相似用符号“∽”表示，写两三角形相似与写两三角形全等一样，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上，以便于找出相似三角形的对应角和对应边。
2.平行线分线段成比例
平行线分线段成比例定理：3条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
如图，如果// //，那么a：b=c：d.
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例。
【即学即练1】如图，在中，，，则下列比例式中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例可直接对A、C进行判断；利用得到，利用得到，可对B、D进行判断．
【详解】A：，
，故A错误；
B：，
，
由得：，
则，故B错误；
C：由得，，
故C错误；
D：由得到，
由 得到，
则，故D正确；
故选：D．
知识点02 三角形相似的判定定理
1.平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
2.如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.可简单说成：三边对应
成比例，两三角形相似。
3.如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。可简单说成：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。
4.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
可简单说成：两角对应相等，两三角形相似。
点拨①由三角形相似的条件可知，若两个直角三角形满足一个锐角对应相等，或两组角直角边的比相等，或斜边的比与一组直角边的比相等，则这两个直角三角形相似。
②直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形彼此相似。如图，△ADC∽△ACB，△BDC∽△BCA，△ADC∽△CDB。
5.判定三角形相似的思路
（1）判有平行截线，用判定定理；
（2）有一对等角，找另一对等角或找夹边成比例；
（3）有两边对应成比例，找夹角相等或找第三边也成比例或者有一对直角；
（4）直角三角形，找一对锐角相等或斜边、直角边对应成比例；
（5）等腰三角形，找顶角相等或一对底角相等或者底和腰成比例；
【即学即练2】如图，是的边上一点，那么下面四个命题中错误的是（ ）
A．如果，那么
B．如果，那么
C．如果，那么
D．如果，那么
【答案】D
【分析】根据相似三角形的判定逐项判断即可．
【详解】A．∵，，∴，故原说法正确，不符合题意；
B． ∵，，∴，故原说法正确，不符合题意；
C．∵， ，∴，故原说法正确，不符合题意；
D． ∵，而不一定等于 ，∴与不一定相似，故原说法错误，符合题意．
故选：D．
知识点03 相似三角形的性质
(1)相似三角形的对应角相等，对应边的比等于相似比。
(2)相似三角形周长的比等于相似比。
(3)相似三角形面积的比等于相似比的平方。
(4)相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。
【即学即练3】如图，已知菱形的边长为4，E是的中点，平分交于点F，交于点G，若，则的长是（ ）
A．3B．C．D．
【答案】B
【分析】作垂直于，延长和交于点，则有，由题意易得，，设，则，，然后根据相似三角形的性质与判定可进行求解．
【详解】解：如图，作垂直于，延长和交于点，
∵，
∴，，
菱形的边长为4，
，，
是的中点，
，
，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
设，
则，，，
由，
，
∴，
，
解得．
故选：B．
知识点04 相似三角形的应用举例
运用相似三角形可以测量物体的高度或宽度，一般步骤如下：
①画：根据实际问题画出几何图形；
②判：判定图中有关三角形相似；
③解：利用相似三角形的性质得到比例式，解方程得到数学问题的解；
④答：写出实际问题的答案。
【即学即练4】如图，小明在A时测得某树的影长为，B时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（ ）．
A．B．C．6D．
【答案】B
【分析】根据题意，画出示意图，易得，进而可得，即，代入数据可得答案．
【详解】解：根据题意，作，树高为，且；
∵，
∴，
又，
∴，
∴，即，
解得（负值舍去）．
故选：B．
能力拓展
考法01 证明两三角形相似
【典例1】已知： 如图，在中，D是AB上一点， 且，求证：．
【答案】见解析
【分析】利用有两角对应相等的两个三角形相似，即可求证．
【详解】证明：∵，
∴．
考法02 利用相似三角形的性质求解
【典例2】如图．已知是的角平分线，E是延长线上的一点且．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析；(2)
【分析】（1）是角平分线可得，可得，从而，再利用对顶角相等可得，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得结论；
（2）由（1）中的结论，利用相似三角形对应边成比例得出比例式，将已知线段代入可求．
【详解】（1）证明：∵是的角平分线，∴．
∵，∴．∴．
∵，∴；
（2）∵，∴，
∵，∴．
∵，∴．∴．
分层提分
题组A 基础过关练
1．如图，，若，，则DE等于（ ）
A．5B．6C．7D．9
【答案】B
【分析】根据平行线分线段成比例定理可得，根据题意，进而求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，整理得：，
∴，
故选：B．
2．如图，，与交于点，过点作，交线段于点，则下列各式错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据平行线分线段成比例定理一一判断即可．
【详解】解：对A、B选项．∵，，
∴，
∴，，故AB正确，不符合题意；
C．∵，，
∴，故C正确，不符合题意；
D．∵，而，
∴，故D错误，不符合题意．
故选：D．
3．已知，如果，，那么与的周长比为（ ）
A．3：2B．3：4C．2：5D．5：2
【答案】C
【分析】根据题意易得与的相似比为，然后根据相似三角形的性质可求解．
【详解】解：∵，，，
∴与的相似比为，
∴与的周长比为；
故选C．
4．一个钢筋三脚架三边长分别为，现在要做一个和它相似的钢筋三脚架，而只有长为和的两根钢筋，要求以其中的一根为一边，从另一根上截两段（允许有余料）作为另两边，则不同的截法有（ ）
A．一种B．两种
C．三种D．四种或四种以上
【答案】B
【分析】根据相似三角形对应边成比例，列方程即可解答．
【详解】解：由相似三角形对应边成比例得，只能将长的作为一边，将长的截成两段，设从的钢筋上载下的两段分别长，
当长的边对应长的边时，
，解得：，
此时，
所以此截法不可行；
当长的边对应长的边时，
，解得：，
此时，
所以此截法可行；
当长的边对应长的边时，
，解得：，
此时，
所以此截法可行，
综上所述，截法有两种，
故选：B．
5．如图，已知等边，点分别是边上的动点，，则图中相似的三角形的对数是( )
A．3对B．4对C．5对D．6对
【答案】D
【分析】依据等边三角形的性质，结合条件，证明，再根据“有两组角对应相等的两个三角形相似”，即可找到相似三角形．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴且，
又∵，
∴；
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴且，
又∵，
∴，
∵，
∴，
综上所述，图中相似的三角形的对数是6对．
故选：D．
6．如图，在三角形ABC中，，，则的长为______．
【答案】9
【分析】根据平行线得出相似，得出比例式，代入求出即可．
【详解】解 ∶，
故答案为：9
7．如图，在离某建筑物4米处有一棵树，在某时刻，将1.2m长的竹竿竖直立在地面上，影长为2m，此时，树的影子照射到地面，还有一部分影子投影在建筑物的墙上，墙上的影子长为2m，那么这棵树高约为_____米．
【答案】
【分析】根据树高与影长的关系求出在地上的影长＝，再利用（+4）：＝：2求出答案．
【详解】解：∵长为2米，
∴设在地上的影长为，，
解得＝．
∴在地上的影长为（4+）＝米，
∴．
∴＝．
∴树高约米．
故答案为：．
8．如图，是斜边上的高，其中，，则__．
【答案】
【分析】根据得到，然后利用算术平方根的定义得到的长．
【详解】解：在中，
∵是斜边上的高，即，
∴在，，中，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，且，，，
∴，
∴．
故答案为：．
9．如图，已知正方形，点E在边上，连接．
(1)利用尺规在上求作一点F，使得．（不写作法，保留作图痕迹）
(2)若，求的长．
【答案】(1)作图见解析
(2)
【分析】（1）只需要过点D作于F即可；
（2）根据相似三角形的性质求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，点F即为所求；
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，即，
∴．
10．如图，在正中，点是的中点，点在上，且．
(1)求证：；
(2)连结，交于点，求．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据等边三角形的性质，利用两组对应边对应成比例，及其夹角相等证明三角形相似即可；
（2）过点作，交点，得到，证明，再利用相似比即可得解．
【详解】（1）证明：∵为等边三角形，点是的中点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：过点作，交点，
则：，
∵，
∴，
∴；
设，则：，
∴，
∴．
题组B 能力提升练
1．如图，已知直线，，，则的值为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】A
【分析】根据平行线分线段成比例定理，即可求得．
【详解】解：，，
，
，
，
故选：A．
2．如图，在中，点、分别在边、上，连接、交于点，且，，，，则的长为（ ）
A．4B．6C．8D．9
【答案】B
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到，证明，根据相似三角形的性质计算即可．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
故选：B．
3．如图，矩形中，，，点E为的中点，点F为上一点，连接、交于点P，连接，当时，线段的长度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据矩形的性质和勾股定理可以求出和的长，再通过导角证明，进而证明，利用对应边成比例可求出的长，最后再由勾股定理即可求出的长．
【详解】解：如图，连接．
矩形中，，，点E为的中点，
，，，
，
．
，，
，
，
，，
，
，即，
，
，
，
．
故选B．
4．如图，在中，，点D是的中点，连结，过点B作分别交于点E、F．与过点A且垂直于的直线相交于点G，连接，现给出以下几个结论：①；②；③点F是的中点；④；⑤．
其中所有正确的结论是（ ）
A．①②③B．①②④C．②③④D．①④⑤
【答案】B
【分析】根据题意证明，进而可确定①；由，，得出，进而判断结论② ，由，可得由，进而判断结论③，可得，进而由可得，即可判断③，根据，以及是的中点即可判断④和⑤．
【详解】依题意得，，，
，
，
，
又，
，
故①正确；
如图，标记如下角，
，，
，，
，，
∴，
故②正确；
在与中，
（ASA），
，
又点是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
在与中，
（SAS），
，
是直角三角形，
，
，
即点不是线段的中点，
故③不正确；
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
故④正确；
，
，
点是的中点，
，
，
即，
故⑤错误．
综上所述，①②④正确．
故选：B．
5．如图，矩形的对角线相交于点，点分别是边上的点，且．若，，那么___________．
【答案】
【分析】作于于，如图，根据矩形的性质得到，，，根据相似三角形的性质得到，推出，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：如图，作于于，如图，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
，
∴，
∴
∴
∵，
∴，即，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴
故答案为：
6．在中，矩形的一边在边上，顶点G、F分别在上，是边上的高，与交与点K，若，矩形周长为76，则_________．
【答案】20
【分析】设为x，根据矩形的性质得出为，再由相似三角形的判定和性质得出，然后将各线段代入求解即可．
【详解】解：设为x，
∵矩形的周长为76，
∴为，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴是边上的高，与交于点K，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：20．
7．如图，点为半圆的中点，是直径，点D是半圆上一点，、交于点E，若，，则______， _______．
【答案】
【分析】首先利用勾股定理求出，进而求出，通过证明推出，，再证即可求解．
【详解】解：是直径，
，
在中，，，
，
点C为半圆的中点，
，
，
，
解得．
，，
，
，
，，
，即，
，
解得，．
，，
，
，
．
故答案为：，．
8．如图，在中，，点A在反比例函数图象上，且y轴平分，则_______．
【答案】
【分析】作轴的垂线，构造相似三角形，利用和，可以求出的纵坐标，再利用三角形相似，设未知数，由相似三角形对应边成比例，列出方程，求出待定未知数，从而确定点的坐标，进而确的值．
【详解】解：过作轴，垂足为，
∵，
∴，
∵
∴，
又
∴，
∴；
又∵轴平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴
∴
∴
∴
∴
故答案为：
9．如图，矩形的边在的边上，顶点、分别在边、上，，垂足为．已知，．
(1)当矩形为正方形时，求该正方形的边长；
(2)当矩形面积为18时，求矩形的长和宽．
【答案】(1)
(2)矩形的长宽分别为2、9或6、3
【分析】（1）得，利用相似三角形对应边上高的比等于相似比，列方程求解．
（2）设，，利用相似三角形得到，再根据矩形面积为18列出方程求得值代入求得值即可．
【详解】（1）记与的交点为，
设正方形边长为，
正方形，在边上
∴
得
由
可得
（2）设，
矩形，在边上
∴
∴
∴
即
矩形面积为18
即
解得，
当时，；
当时，
矩形的长宽分别为2、9或6、3．
10．如图，点在同一条直线上，且，，与交于点G．
(1)求证：．
(2)连接，若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)8
【分析】（1）根据平行线的性质可得，根据等式的性质可得，从而利用证明即可解答；
（2）利用（1）的结论可得，从而可得四边形是平行四边形，进而可得，，然后证明8字模型相似三角形，利用相似三角形的性质即可解答．
【详解】（1）证明∶，
在和中，
（2）解：如图
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
的长为8．
题组C 培优拔尖练
1．已知菱形，边长为，，、是菱形边和上的动点，且，则下列结论①；②为等边三角形；③；④若，则正确的有个．（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由证明，正确；由全等三角形的形状得，，再由，得，得是等边三角形，正确；由，，得，进而得正确；过点作交下点点，易证是等边三角形，则，由，则，从而得错误，
【详解】解：四边形是菱形，
，，
，
，
和都是等边三角形，
，，
，
，故正确；
∵，
，，
，
，
是等边三角形，故正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
；
，
，故正确；
过点作交于点，
，，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，故错误，
正确个数为3个，
故选：B．
2．如图，中，，点是上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转90°得到线段，连接，当面积最大时，的长为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】C
【分析】连接点A和中点F，过点F作，垂足为点H，连接，证明点H、F、E三点共线，则为的高，根据三角形的面积公式将的面积表示出来即可解答．
【详解】
连接点A和中点F，过点F作，垂足为点H，连接，
∵点F为中点F，
∴，
∵，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，则点H、F、E三点共线，
故为的高，
设，则，
根据勾股定理得：，
∴，
∵，
∴，
∴，即，解得：，
∴，
，
∴当面积最大时，，
故选：C．
3．如图，在边长为1的正方形中，E、F是边上的两个动点，且，连接与交于点G，连接交于点H，连接，下列结论：①；②平分；③；④；⑤线段的最小值是．正确的个数是（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
【答案】C
【分析】首先证明，利用全等三角形的性质，相似三角形的性质，等高模型、三边关系一一判断即可．
【详解】解：四边形是正方形，
，，，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
∴，故①正确；
同法可证：，
∵，
∴，
∴，故③正确；
∵，
又∵F为动点，
∴长度不确定，
∴值不确定，故④错误；
取的中点，连接、，
正方形的边长为1，
，
由勾股定理得，，
，
、、三点共线时，最小，
最小值，故⑤正确;
如图，连接交于K，连接，
由正方形的对称性质可得，
∴，
在点E的运动过程中，当时，，
∵，
∴，即，
此时不平分，故②错误；
故选：C．
4．如图，在矩形中，相交于点O，过点B作于点M，交于点F，过点D作交于点N．交于点E，连接．有下列结论：①四边形为平行四边形；②；③为等边三角形；④当时，四边形是菱形．其中，正确结论的序号是（ ）
A．①②④B．①②③C．①③D．②③④
【答案】A
【分析】通过全等三角形的判定和性质，证明，，判断结论①；通过证明，然后利用全等三角形和相似三角形的性质判断结论②；假设结论成立，找出与题意的矛盾之处，判断结论③，结合等腰三角形的判定和性质求得，可得结论④
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，即，
∵，
∴四边形是平行四边形，故①正确，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，故②正确，
若是等边三角形，则，
即，不符合题意，故③错误，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形；故④正确．
故选：A．
5．如图，已知菱形的边长为2，对角线、相交于点，点，分别是边、上的动点，，分别与交于点，，连接、．以下结论正确的是______．
①的最大值是2
②当最小时，
③当时，则
④当时，．
【答案】①③④
【分析】①依据题意，利用菱形的性质及等边三角形的判定与性质，证出，然后证，得到，即可证出为等边三角形，．当最大时，即为最大；②当最小时，点M、N分别为中点，利用三角形中位线定理得到，即可证明，得到，则；③当时，则，是等腰直角三角形，得到，可得，过点E作于H，由，得到，则，进而求出，，，即可判断③；④当时，可证，利用相似三角形对应边成比例可，根据等量代换，最后得到答案．
【详解】解：如图：在菱形中，，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴为等边三角形，
又∵，，
∴，
在与中，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴当最大时，即最大，
∴当M与B或C重合时最大为2，即的最大值为2，故①正确；
当最小时，则最小，此时，则点M、N分别为中点，
∴，
∴，
∴，
∴，故②错误；
当时，则，
∴是等腰直角三角形，
∴，
在中，，则，
∴，，
∴，
过点E作于H，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
同理可证，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵,，
∴，故③正确；
当时，
∴
∴
∴，
∵
∴
故④正确；
故答案为①③④．
6．如图，已知在中，，．点D为的中点，点E，F分别为上的点，且，连接．若，则 _______．
【答案】
【分析】如图，连接，过点E作于点H．利用相似三角形的性质求出，利用勾股定理求出，再利用相似三角形的性质求出，利用勾股定理求出，可得结论．
【详解】解：如图，连接，过点E作于点H．
在在中，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴E，C，F，D四点共圆，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
7．如图，在中，，以，为边分别向外作正方形和正方形，交于点，交于点若，则的值为______．
【答案】
【分析】设，，由“”可证，可得，，利用相似三角形的性质分别求出，的长，即可求解．
【详解】解：如图，过点作，交的延长线于点，交的延长线于点，
∵，
∴，
∴，
∴设 ，，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，，
∴ ，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：．
8．如图，等腰中，，，D是三角形外一点，，连接AD，点E在AD上，连接CE，，若，，则线段AC的长度等于______．
【答案】
【分析】如图，过点作，连接，证明，得出，过点作于点，证明，设，在中，，，设，得出，又，得出，解方程得出，在中，勾股定理求得，继而勾股定理求得，即可求解．
【详解】解：如图，过点作，连接，
∴，
∵，
∴
∴
∵，
∴是等腰直角三角形,
∴
又∵
∴，
∴，
∵等腰直角三角形,
∴
即
过点作于点
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
设，在中，，，设，
∴，
又，
∴，
解得或（舍去）
∴，
在中，，
∴，
∴．
故答案为：．
9．已知：如图（1），边长为的菱形的对角线与相交于点O，若．
(1)求证：四边形是正方形．
(2)如图（2），E是上一点，，且，垂足为H，与相交于点F，求线段的长．
(3)在（2）的条件下，连接，求的长．
【答案】(1)见解析；
(2)；
(3)．
【分析】（1）由菱形的性质得出，，，则，证出，求出，即可得出结论；
（2）由正方形的性质得出，，，，得出，，证出，再证明，可得，然后利用勾股定理求出即可；
（3）先证明，可得，然后可证，再根据相似三角形的性质列式计算即可．
【详解】（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是正方形；
（2）解：∵在正方形中，，
∴，，
∴，，，
∴，
∵，垂足为H，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图，连接，
∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
10．如图，是的直径，点C在上，的平分线交于点D，过点D作的垂线交的延长线于点E．
(1)证明：是的切线；
(2)已知 ，求的长．
【答案】(1)见解析；(2)
【分析】（1）连接，根据的平分线交于点D，则，依据垂径定理可以得到：，然后根据直径的定义，可以得到，从而证得：，则是圆的切线；
（2）连接，交BC于点G，根据勾股定理求出的长，利用相似三角形的判定与性质求出的长，可得的长，然后用勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明： 连接，
∵的平分线交于点D，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线．
（2）连接，交BC于点G，
∵是直径，
∴，
在直角中， ，
∴，
∴．
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
11．(1)【问题呈现】如图1，和都是等边三角形，连接．求证：．
(2)【类比探究】如图2，和都是等腰直角三角形，．连接．则=_______．
(3)【拓展提升】如图3，和都是直角三角形，，且．连接．
①求的值；
②延长交于点，交于点．若，，求的长．
【答案】(1)见解析；(2)；(3)①；②
【分析】(1)证明，从而得出结论；
(2)证明，进而得出结果；
(3)①先证明，再证得，进而得出结果；
②在①的基础上得出，进而，进一步得出结果．
【详解】(1)证明：∵和都是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
(2)解：∵和都是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴；
(3)解：①∵，设，
∴．
∴， ，
∴，
∴，
∴；
②由①得：，，，则
∴，
∵，
∴，
∴．
∴．
12．如图，在矩形中，，．如果点E由点B出发沿方向向点C匀速运动，同时点F由点D出发沿方向向点A匀速运动，它们的速度分别为和．已知，分别交，于点P和点Q，设运动时间为（）．
(1)连接，，当_____s时，四边形为平行四边形；
(2)连接，若的面积为，求t的值；
(3)若与相似，求t的值．
【答案】(1)
(2)t的值为2
(3)t的值为或或
【分析】（1）根据题意分别表示出，的代数式，令即可得出答案；
（2）由题意知，，，，，根据的面积为，构建方程求出t即可．
（3）分四种情况进行讨论：去①当点在点左侧，时；②当点在点左侧，时；③当到达点右侧时，时；④当到达点右侧时，时；分别根据相似三角形的性质以及等腰三角形的性质列方程求解即可．
【详解】（1）解：∵四边形是矩形，
∴
根据题意得：，
∵，
∴，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴,
即，
解得：，
故答案为：；
（2）由题意知，，，，，
∵，
∴，即，
∴，
∴，即，
∴，
∵的面积为，
∴，
∴，即t的值为2；
（3）∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
当点在点左侧，时，
∴，
∴，
∴，
由（2）知，，
∴，
∴，即t的值为2．
当点在点左侧，时，,
∵，
∴,
∵,
∴，
∴，即,
∴，
∴，
∴，
∴；
当到达点右侧时，时，
，
则,即，
解得：，
当到达点右侧时，时，点到达点，不符合题意；
综上所述：若与相似，t的值为或或．
13．如图，在中，是的平分线，是上一点，以为半径的经过点．
(1)求证：是切线；
(2)若求的长．
【答案】(1)见解析
(2)6
【分析】（1）要证是的切线，只要连接，再证即可．
（2）过点作，根据角平分线的性质可知，由勾股定理得到的长，再通过证明，根据相似三角形的性质得出的长．
【详解】（1）连接；
∵是的平分线，
．
，
．
．
．
∵
．
．
∵是的半径，
∴是的切线．
（2）过点作，
∵是的平分线，
．
∴,
在中，，
由勾股定理得： ，
∵，
∴ ．
∴．
∴．
∴．
14．我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．凸四边形就是没有角度大于的四边形，把四边形的任何一边向两方延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫凸四边形．
(1)已知四边形是“等对角四边形”，，，，则____________，____________．
(2)如图1，在中，，为斜边边上的中线，过点D作垂直于交于点E，试说明四边形是“等对角四边形”．
(3)如图2，在中，，，，平分，点E在线段延长线上，以点B、C、E、D为顶点构成的四边形为“等对角四边形”，求线段的长．
【答案】(1)140；70
(2)见解析
(3)线段的长为2或或或5
【分析】（1）根据“等对角四边形”的定义，当四边形是“等对角四边形”时，由可得，即可求出的度数，再利用四边形内角和定理，即可求出；
（2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得出，由等边对等角得出，再由，，利用同角的余角相等，得出，又，根据“等对角四边形”的定义，即可得出结论；
（3）根据“等对角四边形”的定义，当四边形为“等对角四边形”时，分两种情况进行讨论：①若，，可证得，利用全等三角形对应边相等，得出，那么；②若，，先利用勾股定理求出，再根据圆周角定理得出是等腰直角三角形，则，设，则，再证明，则，可求得，，再利用勾股定理，即可求得的长；③如图，点E在的延长线上，，，连接，过点C作于H，于F，推出是等腰直角三角形，得到，通过，得到，即可求得，再根据，得到，可得，即可求得的长；④点E在的延长线上，如图，，，连接，过E作交的延长线于H，推出是等腰直角三角形，根据相似三角形的性质得到，得到，根据勾股定理得到，即可求解．
【详解】（1）解：四边形是“等对角四边形”，，，，
，
．
故答案为：；．
（2）证明：如图1，在中，，为斜边边上的中线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是“等对角四边形”．
（3）①若，，如图，
平分，
，
在和中，
，
，
；
②若，，如图，连接，
在中，，，，
，
平分，
，
，
点四点共圆，
，
是等腰直角三角形，
，
设，则，
，
，
在和中，
，
，
，
解得，
，，
在中，；
③如图，点E在的延长线上，，，连接，过点C作于H，于F，
，
平分，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，即，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，，
，
，
，
；
④点E在的延长线上，如图，，，连接，过E作交的延长线于H，
平分，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，，
，
，即，
，
，
，
，
；
综上所述，线段的长为2或或或5．
课程标准
课标解读
1.掌握基本事实∶两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
2.了解相似三角形的判定定理∶两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似。
3.了解相似三角形的性质定理∶相似三角形对应线段的比等于相似比；面积比等于相似比的平方。
4.会利用图形的相似解决一些简单的实际问题。
1.理解和掌握平行线分线段成比例定理及其推论；。
2.掌握三角形相似的证明方法，能够证明三角形相似。
3.掌握相似三角形的性质，能够利用相似三角形的性质证明角相等，探索线段之间的数量关系等。
4.能够运用三角形相似解决一些简单的实际问题。
目标导航
知识精讲
知识点01 相似三角形的概念
1.相似三角形的定义：对应角相等，对应边成比例的三角形叫作相似三角形。
【微点拨】相似用符号“∽”表示，写两三角形相似与写两三角形全等一样，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上，以便于找出相似三角形的对应角和对应边。
2.平行线分线段成比例
平行线分线段成比例定理：3条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
如图，如果// //，那么a：b=c：d.
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例。
【即学即练1】如图，在中，，，则下列比例式中正确的是（ ）
A．B．C．D．
知识点02 三角形相似的判定定理
1.平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
2.如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.可简单说成：三边对应
成比例，两三角形相似。
3.如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。可简单说成：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。
4.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
可简单说成：两角对应相等，两三角形相似。
点拨①由三角形相似的条件可知，若两个直角三角形满足一个锐角对应相等，或两组角直角边的比相等，或斜边的比与一组直角边的比相等，则这两个直角三角形相似。
②直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形彼此相似。如图，△ADC∽△ACB，△BDC∽△BCA，△ADC∽△CDB。
5.判定三角形相似的思路
（1）判有平行截线，用判定定理；
（2）有一对等角，找另一对等角或找夹边成比例；
（3）有两边对应成比例，找夹角相等或找第三边也成比例或者有一对直角；
（4）直角三角形，找一对锐角相等或斜边、直角边对应成比例；
（5）等腰三角形，找顶角相等或一对底角相等或者底和腰成比例；
【即学即练2】如图，是的边上一点，那么下面四个命题中错误的是（ ）
A．如果，那么
B．如果，那么
C．如果，那么
D．如果，那么
知识点03 相似三角形的性质
(1)相似三角形的对应角相等，对应边的比等于相似比。
(2)相似三角形周长的比等于相似比。
(3)相似三角形面积的比等于相似比的平方。
(4)相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。
【即学即练3】如图，已知菱形的边长为4，E是的中点，平分交于点F，交于点G，若，则的长是（ ）
A．3B．C．D．
知识点04 相似三角形的应用举例
运用相似三角形可以测量物体的高度或宽度，一般步骤如下：
①画：根据实际问题画出几何图形；
②判：判定图中有关三角形相似；
③解：利用相似三角形的性质得到比例式，解方程得到数学问题的解；
④答：写出实际问题的答案。
【即学即练4】如图，小明在A时测得某树的影长为，B时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（ ）．
A．B．C．6D．
能力拓展
考法01 证明两三角形相似
【典例1】已知： 如图，在中，D是AB上一点， 且，求证：．
考法02 利用相似三角形的性质求解
【典例2】如图．已知是的角平分线，E是延长线上的一点且．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
分层提分
题组A 基础过关练
1．如图，，若，，则DE等于（ ）
A．5B．6C．7D．9
2．如图，，与交于点，过点作，交线段于点，则下列各式错误的是（ ）
A．B．C．D．
3．已知，如果，，那么与的周长比为（ ）
A．3：2B．3：4C．2：5D．5：2
4．一个钢筋三脚架三边长分别为，现在要做一个和它相似的钢筋三脚架，而只有长为和的两根钢筋，要求以其中的一根为一边，从另一根上截两段（允许有余料）作为另两边，则不同的截法有（ ）
A．一种B．两种
C．三种D．四种或四种以上
5．如图，已知等边，点分别是边上的动点，，则图中相似的三角形的对数是( )
A．3对B．4对C．5对D．6对
6．如图，在三角形ABC中，，，则的长为______．
7．如图，在离某建筑物4米处有一棵树，在某时刻，将1.2m长的竹竿竖直立在地面上，影长为2m，此时，树的影子照射到地面，还有一部分影子投影在建筑物的墙上，墙上的影子长为2m，那么这棵树高约为_____米．
8．如图，是斜边上的高，其中，，则__．
9．如图，已知正方形，点E在边上，连接．
(1)利用尺规在上求作一点F，使得．（不写作法，保留作图痕迹）
(2)若，求的长．
10．如图，在正中，点是的中点，点在上，且．
(1)求证：；
(2)连结，交于点，求．
题组B 能力提升练
1．如图，已知直线，，，则的值为（ ）
A．B．C．D．1
2．如图，在中，点、分别在边、上，连接、交于点，且，，，，则的长为（ ）
A．4B．6C．8D．9
3．如图，矩形中，，，点E为的中点，点F为上一点，连接、交于点P，连接，当时，线段的长度为（ ）
A．B．C．D．
4．如图，在中，，点D是的中点，连结，过点B作分别交于点E、F．与过点A且垂直于的直线相交于点G，连接，现给出以下几个结论：①；②；③点F是的中点；④；⑤．
其中所有正确的结论是（ ）
A．①②③B．①②④C．②③④D．①④⑤
5．如图，矩形的对角线相交于点，点分别是边上的点，且．若，，那么___________．
6．在中，矩形的一边在边上，顶点G、F分别在上，是边上的高，与交与点K，若，矩形周长为76，则_________．
7．如图，点为半圆的中点，是直径，点D是半圆上一点，、交于点E，若，，则______， _______．
8．如图，在中，，点A在反比例函数图象上，且y轴平分，则_______．
9．如图，矩形的边在的边上，顶点、分别在边、上，，垂足为．已知，．
(1)当矩形为正方形时，求该正方形的边长；
(2)当矩形面积为18时，求矩形的长和宽．
10．如图，点在同一条直线上，且，，与交于点G．
(1)求证：．
(2)连接，若，求的长．
题组C 培优拔尖练
1．已知菱形，边长为，，、是菱形边和上的动点，且，则下列结论①；②为等边三角形；③；④若，则正确的有个．（ ）
A．B．C．D．
2．如图，中，，点是上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转90°得到线段，连接，当面积最大时，的长为（ ）
A．2B．C．D．
3．如图，在边长为1的正方形中，E、F是边上的两个动点，且，连接与交于点G，连接交于点H，连接，下列结论：①；②平分；③；④；⑤线段的最小值是．正确的个数是（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
4．如图，在矩形中，相交于点O，过点B作于点M，交于点F，过点D作交于点N．交于点E，连接．有下列结论：①四边形为平行四边形；②；③为等边三角形；④当时，四边形是菱形．其中，正确结论的序号是（ ）
A．①②④B．①②③C．①③D．②③④
5．如图，已知菱形的边长为2，对角线、相交于点，点，分别是边、上的动点，，分别与交于点，，连接、．以下结论正确的是______．
①的最大值是2
②当最小时，
③当时，则
④当时，．
6．如图，已知在中，，．点D为的中点，点E，F分别为上的点，且，连接．若，则 _______．
7．如图，在中，，以，为边分别向外作正方形和正方形，交于点，交于点若，则的值为______．
8．如图，等腰中，，，D是三角形外一点，，连接AD，点E在AD上，连接CE，，若，，则线段AC的长度等于______．
9．已知：如图（1），边长为的菱形的对角线与相交于点O，若．
(1)求证：四边形是正方形．
(2)如图（2），E是上一点，，且，垂足为H，与相交于点F，求线段的长．
(3)在（2）的条件下，连接，求的长．
10．如图，是的直径，点C在上，的平分线交于点D，过点D作的垂线交的延长线于点E．
(1)证明：是的切线；
(2)已知 ，求的长．
11．(1)【问题呈现】如图1，和都是等边三角形，连接．求证：．
(2)【类比探究】如图2，和都是等腰直角三角形，．连接．则=_______．
(3)【拓展提升】如图3，和都是直角三角形，，且．连接．
①求的值；
②延长交于点，交于点．若，，求的长．
12．如图，在矩形中，，．如果点E由点B出发沿方向向点C匀速运动，同时点F由点D出发沿方向向点A匀速运动，它们的速度分别为和．已知，分别交，于点P和点Q，设运动时间为（）．
(1)连接，，当_____s时，四边形为平行四边形；
(2)连接，若的面积为，求t的值；
(3)若与相似，求t的值．
13．如图，在中，是的平分线，是上一点，以为半径的经过点．
(1)求证：是切线；
(2)若求的长．
14．我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．凸四边形就是没有角度大于的四边形，把四边形的任何一边向两方延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫凸四边形．
(1)已知四边形是“等对角四边形”，，，，则____________，____________．
(2)如图1，在中，，为斜边边上的中线，过点D作垂直于交于点E，试说明四边形是“等对角四边形”．
(3)如图2，在中，，，，平分，点E在线段延长线上，以点B、C、E、D为顶点构成的四边形为“等对角四边形”，求线段的长．
课程标准
课标解读
1.掌握基本事实∶两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
2.了解相似三角形的判定定理∶两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似。
3.了解相似三角形的性质定理∶相似三角形对应线段的比等于相似比；面积比等于相似比的平方。
4.会利用图形的相似解决一些简单的实际问题。
1.理解和掌握平行线分线段成比例定理及其推论；。
2.掌握三角形相似的证明方法，能够证明三角形相似。
3.掌握相似三角形的性质，能够利用相似三角形的性质证明角相等，探索线段之间的数量关系等。
4.能够运用三角形相似解决一些简单的实际问题。
第二十七章 相似
27.2 相似三角形
目标导航
知识精讲
知识点01 相似三角形的概念
1.相似三角形的定义：对应角相等，对应边成比例的三角形叫作相似三角形。
【微点拨】相似用符号“∽”表示，写两三角形相似与写两三角形全等一样，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上，以便于找出相似三角形的对应角和对应边。
2.平行线分线段成比例
平行线分线段成比例定理：3条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
如图，如果// //，那么a：b=c：d.
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例。
【即学即练1】如图，在中，，，则下列比例式中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例可直接对A、C进行判断；利用得到，利用得到，可对B、D进行判断．
【详解】A：，
，故A错误；
B：，
，
由得：，
则，故B错误；
C：由得，，
故C错误；
D：由得到，
由 得到，
则，故D正确；
故选：D．
知识点02 三角形相似的判定定理
1.平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
2.如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.可简单说成：三边对应
成比例，两三角形相似。
3.如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。可简单说成：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。
4.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
可简单说成：两角对应相等，两三角形相似。
点拨①由三角形相似的条件可知，若两个直角三角形满足一个锐角对应相等，或两组角直角边的比相等，或斜边的比与一组直角边的比相等，则这两个直角三角形相似。
②直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形彼此相似。如图，△ADC∽△ACB，△BDC∽△BCA，△ADC∽△CDB。
5.判定三角形相似的思路
（1）判有平行截线，用判定定理；
（2）有一对等角，找另一对等角或找夹边成比例；
（3）有两边对应成比例，找夹角相等或找第三边也成比例或者有一对直角；
（4）直角三角形，找一对锐角相等或斜边、直角边对应成比例；
（5）等腰三角形，找顶角相等或一对底角相等或者底和腰成比例；
【即学即练2】如图，是的边上一点，那么下面四个命题中错误的是（ ）
A．如果，那么
B．如果，那么
C．如果，那么
D．如果，那么
【答案】D
【分析】根据相似三角形的判定逐项判断即可．
【详解】A．∵，，∴，故原说法正确，不符合题意；
B． ∵，，∴，故原说法正确，不符合题意；
C．∵， ，∴，故原说法正确，不符合题意；
D． ∵，而不一定等于 ，∴与不一定相似，故原说法错误，符合题意．
故选：D．
知识点03 相似三角形的性质
(1)相似三角形的对应角相等，对应边的比等于相似比。
(2)相似三角形周长的比等于相似比。
(3)相似三角形面积的比等于相似比的平方。
(4)相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。
【即学即练3】如图，已知菱形的边长为4，E是的中点，平分交于点F，交于点G，若，则的长是（ ）
A．3B．C．D．
【答案】B
【分析】作垂直于，延长和交于点，则有，由题意易得，，设，则，，然后根据相似三角形的性质与判定可进行求解．
【详解】解：如图，作垂直于，延长和交于点，
∵，
∴，，
菱形的边长为4，
，，
是的中点，
，
，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
设，
则，，，
由，
，
∴，
，
解得．
故选：B．
知识点04 相似三角形的应用举例
运用相似三角形可以测量物体的高度或宽度，一般步骤如下：
①画：根据实际问题画出几何图形；
②判：判定图中有关三角形相似；
③解：利用相似三角形的性质得到比例式，解方程得到数学问题的解；
④答：写出实际问题的答案。
【即学即练4】如图，小明在A时测得某树的影长为，B时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（ ）．
A．B．C．6D．
【答案】B
【分析】根据题意，画出示意图，易得，进而可得，即，代入数据可得答案．
【详解】解：根据题意，作，树高为，且；
∵，
∴，
又，
∴，
∴，即，
解得（负值舍去）．
故选：B．
能力拓展
考法01 证明两三角形相似
【典例1】已知： 如图，在中，D是AB上一点， 且，求证：．
【答案】见解析
【分析】利用有两角对应相等的两个三角形相似，即可求证．
【详解】证明：∵，
∴．
考法02 利用相似三角形的性质求解
【典例2】如图．已知是的角平分线，E是延长线上的一点且．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析；(2)
【分析】（1）是角平分线可得，可得，从而，再利用对顶角相等可得，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得结论；
（2）由（1）中的结论，利用相似三角形对应边成比例得出比例式，将已知线段代入可求．
【详解】（1）证明：∵是的角平分线，∴．
∵，∴．∴．
∵，∴；
（2）∵，∴，
∵，∴．
∵，∴．∴．
分层提分
题组A 基础过关练
1．如图，，若，，则DE等于（ ）
A．5B．6C．7D．9
【答案】B
【分析】根据平行线分线段成比例定理可得，根据题意，进而求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，整理得：，
∴，
故选：B．
2．如图，，与交于点，过点作，交线段于点，则下列各式错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据平行线分线段成比例定理一一判断即可．
【详解】解：对A、B选项．∵，，
∴，
∴，，故AB正确，不符合题意；
C．∵，，
∴，故C正确，不符合题意；
D．∵，而，
∴，故D错误，不符合题意．
故选：D．
3．已知，如果，，那么与的周长比为（ ）
A．3：2B．3：4C．2：5D．5：2
【答案】C
【分析】根据题意易得与的相似比为，然后根据相似三角形的性质可求解．
【详解】解：∵，，，
∴与的相似比为，
∴与的周长比为；
故选C．
4．一个钢筋三脚架三边长分别为，现在要做一个和它相似的钢筋三脚架，而只有长为和的两根钢筋，要求以其中的一根为一边，从另一根上截两段（允许有余料）作为另两边，则不同的截法有（ ）
A．一种B．两种
C．三种D．四种或四种以上
【答案】B
【分析】根据相似三角形对应边成比例，列方程即可解答．
【详解】解：由相似三角形对应边成比例得，只能将长的作为一边，将长的截成两段，设从的钢筋上载下的两段分别长，
当长的边对应长的边时，
，解得：，
此时，
所以此截法不可行；
当长的边对应长的边时，
，解得：，
此时，
所以此截法可行；
当长的边对应长的边时，
，解得：，
此时，
所以此截法可行，
综上所述，截法有两种，
故选：B．
5．如图，已知等边，点分别是边上的动点，，则图中相似的三角形的对数是( )
A．3对B．4对C．5对D．6对
【答案】D
【分析】依据等边三角形的性质，结合条件，证明，再根据“有两组角对应相等的两个三角形相似”，即可找到相似三角形．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴且，
又∵，
∴；
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴且，
又∵，
∴，
∵，
∴，
综上所述，图中相似的三角形的对数是6对．
故选：D．
6．如图，在三角形ABC中，，，则的长为______．
【答案】9
【分析】根据平行线得出相似，得出比例式，代入求出即可．
【详解】解 ∶，
故答案为：9
7．如图，在离某建筑物4米处有一棵树，在某时刻，将1.2m长的竹竿竖直立在地面上，影长为2m，此时，树的影子照射到地面，还有一部分影子投影在建筑物的墙上，墙上的影子长为2m，那么这棵树高约为_____米．
【答案】
【分析】根据树高与影长的关系求出在地上的影长＝，再利用（+4）：＝：2求出答案．
【详解】解：∵长为2米，
∴设在地上的影长为，，
解得＝．
∴在地上的影长为（4+）＝米，
∴．
∴＝．
∴树高约米．
故答案为：．
8．如图，是斜边上的高，其中，，则__．
【答案】
【分析】根据得到，然后利用算术平方根的定义得到的长．
【详解】解：在中，
∵是斜边上的高，即，
∴在，，中，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，且，，，
∴，
∴．
故答案为：．
9．如图，已知正方形，点E在边上，连接．
(1)利用尺规在上求作一点F，使得．（不写作法，保留作图痕迹）
(2)若，求的长．
【答案】(1)作图见解析
(2)
【分析】（1）只需要过点D作于F即可；
（2）根据相似三角形的性质求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，点F即为所求；
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，即，
∴．
10．如图，在正中，点是的中点，点在上，且．
(1)求证：；
(2)连结，交于点，求．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据等边三角形的性质，利用两组对应边对应成比例，及其夹角相等证明三角形相似即可；
（2）过点作，交点，得到，证明，再利用相似比即可得解．
【详解】（1）证明：∵为等边三角形，点是的中点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：过点作，交点，
则：，
∵，
∴，
∴；
设，则：，
∴，
∴．
题组B 能力提升练
1．如图，已知直线，，，则的值为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】A
【分析】根据平行线分线段成比例定理，即可求得．
【详解】解：，，
，
，
，
故选：A．
2．如图，在中，点、分别在边、上，连接、交于点，且，，，，则的长为（ ）
A．4B．6C．8D．9
【答案】B
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到，证明，根据相似三角形的性质计算即可．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
故选：B．
3．如图，矩形中，，，点E为的中点，点F为上一点，连接、交于点P，连接，当时，线段的长度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据矩形的性质和勾股定理可以求出和的长，再通过导角证明，进而证明，利用对应边成比例可求出的长，最后再由勾股定理即可求出的长．
【详解】解：如图，连接．
矩形中，，，点E为的中点，
，，，
，
．
，，
，
，
，，
，
，即，
，
，
，
．
故选B．
4．如图，在中，，点D是的中点，连结，过点B作分别交于点E、F．与过点A且垂直于的直线相交于点G，连接，现给出以下几个结论：①；②；③点F是的中点；④；⑤．
其中所有正确的结论是（ ）
A．①②③B．①②④C．②③④D．①④⑤
【答案】B
【分析】根据题意证明，进而可确定①；由，，得出，进而判断结论② ，由，可得由，进而判断结论③，可得，进而由可得，即可判断③，根据，以及是的中点即可判断④和⑤．
【详解】依题意得，，，
，
，
，
又，
，
故①正确；
如图，标记如下角，
，，
，，
，，
∴，
故②正确；
在与中，
（ASA），
，
又点是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
在与中，
（SAS），
，
是直角三角形，
，
，
即点不是线段的中点，
故③不正确；
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
故④正确；
，
，
点是的中点，
，
，
即，
故⑤错误．
综上所述，①②④正确．
故选：B．
5．如图，矩形的对角线相交于点，点分别是边上的点，且．若，，那么___________．
【答案】
【分析】作于于，如图，根据矩形的性质得到，，，根据相似三角形的性质得到，推出，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：如图，作于于，如图，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
，
∴，
∴
∴
∵，
∴，即，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴
故答案为：
6．在中，矩形的一边在边上，顶点G、F分别在上，是边上的高，与交与点K，若，矩形周长为76，则_________．
【答案】20
【分析】设为x，根据矩形的性质得出为，再由相似三角形的判定和性质得出，然后将各线段代入求解即可．
【详解】解：设为x，
∵矩形的周长为76，
∴为，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴是边上的高，与交于点K，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：20．
7．如图，点为半圆的中点，是直径，点D是半圆上一点，、交于点E，若，，则______， _______．
【答案】
【分析】首先利用勾股定理求出，进而求出，通过证明推出，，再证即可求解．
【详解】解：是直径，
，
在中，，，
，
点C为半圆的中点，
，
，
，
解得．
，，
，
，
，，
，即，
，
解得，．
，，
，
，
．
故答案为：，．
8．如图，在中，，点A在反比例函数图象上，且y轴平分，则_______．
【答案】
【分析】作轴的垂线，构造相似三角形，利用和，可以求出的纵坐标，再利用三角形相似，设未知数，由相似三角形对应边成比例，列出方程，求出待定未知数，从而确定点的坐标，进而确的值．
【详解】解：过作轴，垂足为，
∵，
∴，
∵
∴，
又
∴，
∴；
又∵轴平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴
∴
∴
∴
∴
故答案为：
9．如图，矩形的边在的边上，顶点、分别在边、上，，垂足为．已知，．
(1)当矩形为正方形时，求该正方形的边长；
(2)当矩形面积为18时，求矩形的长和宽．
【答案】(1)
(2)矩形的长宽分别为2、9或6、3
【分析】（1）得，利用相似三角形对应边上高的比等于相似比，列方程求解．
（2）设，，利用相似三角形得到，再根据矩形面积为18列出方程求得值代入求得值即可．
【详解】（1）记与的交点为，
设正方形边长为，
正方形，在边上
∴
得
由
可得
（2）设，
矩形，在边上
∴
∴
∴
即
矩形面积为18
即
解得，
当时，；
当时，
矩形的长宽分别为2、9或6、3．
10．如图，点在同一条直线上，且，，与交于点G．
(1)求证：．
(2)连接，若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)8
【分析】（1）根据平行线的性质可得，根据等式的性质可得，从而利用证明即可解答；
（2）利用（1）的结论可得，从而可得四边形是平行四边形，进而可得，，然后证明8字模型相似三角形，利用相似三角形的性质即可解答．
【详解】（1）证明∶，
在和中，
（2）解：如图
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
的长为8．
题组C 培优拔尖练
1．已知菱形，边长为，，、是菱形边和上的动点，且，则下列结论①；②为等边三角形；③；④若，则正确的有个．（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由证明，正确；由全等三角形的形状得，，再由，得，得是等边三角形，正确；由，，得，进而得正确；过点作交下点点，易证是等边三角形，则，由，则，从而得错误，
【详解】解：四边形是菱形，
，，
，
，
和都是等边三角形，
，，
，
，故正确；
∵，
，，
，
，
是等边三角形，故正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
；
，
，故正确；
过点作交于点，
，，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，故错误，
正确个数为3个，
故选：B．
2．如图，中，，点是上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转90°得到线段，连接，当面积最大时，的长为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】C
【分析】连接点A和中点F，过点F作，垂足为点H，连接，证明点H、F、E三点共线，则为的高，根据三角形的面积公式将的面积表示出来即可解答．
【详解】
连接点A和中点F，过点F作，垂足为点H，连接，
∵点F为中点F，
∴，
∵，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，则点H、F、E三点共线，
故为的高，
设，则，
根据勾股定理得：，
∴，
∵，
∴，
∴，即，解得：，
∴，
，
∴当面积最大时，，
故选：C．
3．如图，在边长为1的正方形中，E、F是边上的两个动点，且，连接与交于点G，连接交于点H，连接，下列结论：①；②平分；③；④；⑤线段的最小值是．正确的个数是（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
【答案】C
【分析】首先证明，利用全等三角形的性质，相似三角形的性质，等高模型、三边关系一一判断即可．
【详解】解：四边形是正方形，
，，，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
∴，故①正确；
同法可证：，
∵，
∴，
∴，故③正确；
∵，
又∵F为动点，
∴长度不确定，
∴值不确定，故④错误；
取的中点，连接、，
正方形的边长为1，
，
由勾股定理得，，
，
、、三点共线时，最小，
最小值，故⑤正确;
如图，连接交于K，连接，
由正方形的对称性质可得，
∴，
在点E的运动过程中，当时，，
∵，
∴，即，
此时不平分，故②错误；
故选：C．
4．如图，在矩形中，相交于点O，过点B作于点M，交于点F，过点D作交于点N．交于点E，连接．有下列结论：①四边形为平行四边形；②；③为等边三角形；④当时，四边形是菱形．其中，正确结论的序号是（ ）
A．①②④B．①②③C．①③D．②③④
【答案】A
【分析】通过全等三角形的判定和性质，证明，，判断结论①；通过证明，然后利用全等三角形和相似三角形的性质判断结论②；假设结论成立，找出与题意的矛盾之处，判断结论③，结合等腰三角形的判定和性质求得，可得结论④
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，即，
∵，
∴四边形是平行四边形，故①正确，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，故②正确，
若是等边三角形，则，
即，不符合题意，故③错误，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形；故④正确．
故选：A．
5．如图，已知菱形的边长为2，对角线、相交于点，点，分别是边、上的动点，，分别与交于点，，连接、．以下结论正确的是______．
①的最大值是2
②当最小时，
③当时，则
④当时，．
【答案】①③④
【分析】①依据题意，利用菱形的性质及等边三角形的判定与性质，证出，然后证，得到，即可证出为等边三角形，．当最大时，即为最大；②当最小时，点M、N分别为中点，利用三角形中位线定理得到，即可证明，得到，则；③当时，则，是等腰直角三角形，得到，可得，过点E作于H，由，得到，则，进而求出，，，即可判断③；④当时，可证，利用相似三角形对应边成比例可，根据等量代换，最后得到答案．
【详解】解：如图：在菱形中，，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴为等边三角形，
又∵，，
∴，
在与中，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴当最大时，即最大，
∴当M与B或C重合时最大为2，即的最大值为2，故①正确；
当最小时，则最小，此时，则点M、N分别为中点，
∴，
∴，
∴，
∴，故②错误；
当时，则，
∴是等腰直角三角形，
∴，
在中，，则，
∴，，
∴，
过点E作于H，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
同理可证，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵,，
∴，故③正确；
当时，
∴
∴
∴，
∵
∴
故④正确；
故答案为①③④．
6．如图，已知在中，，．点D为的中点，点E，F分别为上的点，且，连接．若，则 _______．
【答案】
【分析】如图，连接，过点E作于点H．利用相似三角形的性质求出，利用勾股定理求出，再利用相似三角形的性质求出，利用勾股定理求出，可得结论．
【详解】解：如图，连接，过点E作于点H．
在在中，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴E，C，F，D四点共圆，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
7．如图，在中，，以，为边分别向外作正方形和正方形，交于点，交于点若，则的值为______．
【答案】
【分析】设，，由“”可证，可得，，利用相似三角形的性质分别求出，的长，即可求解．
【详解】解：如图，过点作，交的延长线于点，交的延长线于点，
∵，
∴，
∴，
∴设 ，，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，，
∴ ，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：．
8．如图，等腰中，，，D是三角形外一点，，连接AD，点E在AD上，连接CE，，若，，则线段AC的长度等于______．
【答案】
【分析】如图，过点作，连接，证明，得出，过点作于点，证明，设，在中，，，设，得出，又，得出，解方程得出，在中，勾股定理求得，继而勾股定理求得，即可求解．
【详解】解：如图，过点作，连接，
∴，
∵，
∴
∴
∵，
∴是等腰直角三角形,
∴
又∵
∴，
∴，
∵等腰直角三角形,
∴
即
过点作于点
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
设，在中，，，设，
∴，
又，
∴，
解得或（舍去）
∴，
在中，，
∴，
∴．
故答案为：．
9．已知：如图（1），边长为的菱形的对角线与相交于点O，若．
(1)求证：四边形是正方形．
(2)如图（2），E是上一点，，且，垂足为H，与相交于点F，求线段的长．
(3)在（2）的条件下，连接，求的长．
【答案】(1)见解析；
(2)；
(3)．
【分析】（1）由菱形的性质得出，，，则，证出，求出，即可得出结论；
（2）由正方形的性质得出，，，，得出，，证出，再证明，可得，然后利用勾股定理求出即可；
（3）先证明，可得，然后可证，再根据相似三角形的性质列式计算即可．
【详解】（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是正方形；
（2）解：∵在正方形中，，
∴，，
∴，，，
∴，
∵，垂足为H，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图，连接，
∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
10．如图，是的直径，点C在上，的平分线交于点D，过点D作的垂线交的延长线于点E．
(1)证明：是的切线；
(2)已知 ，求的长．
【答案】(1)见解析；(2)
【分析】（1）连接，根据的平分线交于点D，则，依据垂径定理可以得到：，然后根据直径的定义，可以得到，从而证得：，则是圆的切线；
（2）连接，交BC于点G，根据勾股定理求出的长，利用相似三角形的判定与性质求出的长，可得的长，然后用勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明： 连接，
∵的平分线交于点D，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线．
（2）连接，交BC于点G，
∵是直径，
∴，
在直角中， ，
∴，
∴．
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
11．(1)【问题呈现】如图1，和都是等边三角形，连接．求证：．
(2)【类比探究】如图2，和都是等腰直角三角形，．连接．则=_______．
(3)【拓展提升】如图3，和都是直角三角形，，且．连接．
①求的值；
②延长交于点，交于点．若，，求的长．
【答案】(1)见解析；(2)；(3)①；②
【分析】(1)证明，从而得出结论；
(2)证明，进而得出结果；
(3)①先证明，再证得，进而得出结果；
②在①的基础上得出，进而，进一步得出结果．
【详解】(1)证明：∵和都是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
(2)解：∵和都是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴；
(3)解：①∵，设，
∴．
∴， ，
∴，
∴，
∴；
②由①得：，，，则
∴，
∵，
∴，
∴．
∴．
12．如图，在矩形中，，．如果点E由点B出发沿方向向点C匀速运动，同时点F由点D出发沿方向向点A匀速运动，它们的速度分别为和．已知，分别交，于点P和点Q，设运动时间为（）．
(1)连接，，当_____s时，四边形为平行四边形；
(2)连接，若的面积为，求t的值；
(3)若与相似，求t的值．
【答案】(1)
(2)t的值为2
(3)t的值为或或
【分析】（1）根据题意分别表示出，的代数式，令即可得出答案；
（2）由题意知，，，，，根据的面积为，构建方程求出t即可．
（3）分四种情况进行讨论：去①当点在点左侧，时；②当点在点左侧，时；③当到达点右侧时，时；④当到达点右侧时，时；分别根据相似三角形的性质以及等腰三角形的性质列方程求解即可．
【详解】（1）解：∵四边形是矩形，
∴
根据题意得：，
∵，
∴，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴,
即，
解得：，
故答案为：；
（2）由题意知，，，，，
∵，
∴，即，
∴，
∴，即，
∴，
∵的面积为，
∴，
∴，即t的值为2；
（3）∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
当点在点左侧，时，
∴，
∴，
∴，
由（2）知，，
∴，
∴，即t的值为2．
当点在点左侧，时，,
∵，
∴,
∵,
∴，
∴，即,
∴，
∴，
∴，
∴；
当到达点右侧时，时，
，
则,即，
解得：，
当到达点右侧时，时，点到达点，不符合题意；
综上所述：若与相似，t的值为或或．
13．如图，在中，是的平分线，是上一点，以为半径的经过点．
(1)求证：是切线；
(2)若求的长．
【答案】(1)见解析
(2)6
【分析】（1）要证是的切线，只要连接，再证即可．
（2）过点作，根据角平分线的性质可知，由勾股定理得到的长，再通过证明，根据相似三角形的性质得出的长．
【详解】（1）连接；
∵是的平分线，
．
，
．
．
．
∵
．
．
∵是的半径，
∴是的切线．
（2）过点作，
∵是的平分线，
．
∴,
在中，，
由勾股定理得： ，
∵，
∴ ．
∴．
∴．
∴．
14．我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．凸四边形就是没有角度大于的四边形，把四边形的任何一边向两方延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫凸四边形．
(1)已知四边形是“等对角四边形”，，，，则____________，____________．
(2)如图1，在中，，为斜边边上的中线，过点D作垂直于交于点E，试说明四边形是“等对角四边形”．
(3)如图2，在中，，，，平分，点E在线段延长线上，以点B、C、E、D为顶点构成的四边形为“等对角四边形”，求线段的长．
【答案】(1)140；70
(2)见解析
(3)线段的长为2或或或5
【分析】（1）根据“等对角四边形”的定义，当四边形是“等对角四边形”时，由可得，即可求出的度数，再利用四边形内角和定理，即可求出；
（2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得出，由等边对等角得出，再由，，利用同角的余角相等，得出，又，根据“等对角四边形”的定义，即可得出结论；
（3）根据“等对角四边形”的定义，当四边形为“等对角四边形”时，分两种情况进行讨论：①若，，可证得，利用全等三角形对应边相等，得出，那么；②若，，先利用勾股定理求出，再根据圆周角定理得出是等腰直角三角形，则，设，则，再证明，则，可求得，，再利用勾股定理，即可求得的长；③如图，点E在的延长线上，，，连接，过点C作于H，于F，推出是等腰直角三角形，得到，通过，得到，即可求得，再根据，得到，可得，即可求得的长；④点E在的延长线上，如图，，，连接，过E作交的延长线于H，推出是等腰直角三角形，根据相似三角形的性质得到，得到，根据勾股定理得到，即可求解．
【详解】（1）解：四边形是“等对角四边形”，，，，
，
．
故答案为：；．
（2）证明：如图1，在中，，为斜边边上的中线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是“等对角四边形”．
（3）①若，，如图，
平分，
，
在和中，
，
，
；
②若，，如图，连接，
在中，，，，
，
平分，
，
，
点四点共圆，
，
是等腰直角三角形，
，
设，则，
，
，
在和中，
，
，
，
解得，
，，
在中，；
③如图，点E在的延长线上，，，连接，过点C作于H，于F，
，
平分，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，即，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，，
，
，
，
；
④点E在的延长线上，如图，，，连接，过E作交的延长线于H，
平分，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，，
，
，即，
，
，
，
，
；
综上所述，线段的长为2或或或5．
课程标准
课标解读
1.掌握基本事实∶两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
2.了解相似三角形的判定定理∶两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似。
3.了解相似三角形的性质定理∶相似三角形对应线段的比等于相似比；面积比等于相似比的平方。
4.会利用图形的相似解决一些简单的实际问题。
1.理解和掌握平行线分线段成比例定理及其推论；。
2.掌握三角形相似的证明方法，能够证明三角形相似。
3.掌握相似三角形的性质，能够利用相似三角形的性质证明角相等，探索线段之间的数量关系等。
4.能够运用三角形相似解决一些简单的实际问题。
相关试卷
人教版九年级数学下册同步精品讲义 第06讲 锐角三角函数（原卷版+解析）： 这是一份人教版九年级数学下册同步精品讲义 第06讲 锐角三角函数（原卷版+解析），共49页。试卷主要包含了1 锐角三角函数，锐角三角函数，三角函数的增减性，互余两角的正弦和余弦之间的关系，同角三角函数关系等内容，欢迎下载使用。
人教版九年级数学下册同步精品讲义 第05讲 位似（原卷版+解析）： 这是一份人教版九年级数学下册同步精品讲义 第05讲 位似（原卷版+解析），共43页。试卷主要包含了3 位似，位似图形，位似变换的坐标特点，画位似图形的一般步骤等内容，欢迎下载使用。
人教版九年级数学下册同步精品讲义 第03讲 图形的相似（原卷版+解析）： 这是一份人教版九年级数学下册同步精品讲义 第03讲 图形的相似（原卷版+解析），共26页。试卷主要包含了1 图形的相似，形状相同的图形叫作相似图形，相似多边形，黄金分割等内容，欢迎下载使用。
