人教版九年级数学下册综合训练卷 专题07 解直角三角形及其应用（重难点突破）（原卷版+解析）

这是一份人教版九年级数学下册综合训练卷 专题07 解直角三角形及其应用（重难点突破）（原卷版+解析），共31页。

解直角三角形
【例1】在中，，那么的值是（ ）
A．B．C．D．
【例2】如图，在中，，，，且为锐角，的值是（ ）
A．B．C．D．
解直角三角形在实际问题中的应用
【例1】3月中旬某中学校园内的樱花树正值盛花期，供全校师生驻足观赏．如图，有一棵樱花树垂直于水平平台，通往平台有一斜坡，、在同一水平地面上，、、、、均在同一平面内，已知米，米，米，斜坡的坡度是，李同学在水平地面处测得树冠顶端的仰角为，则樱花树的高度约为（ ）（参考数据：，，）
A．15米B．13米C．12米D．9米
【例2】如图，某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度m，从飞机上看地平面指挥台B的俯角，则飞机A与指挥台B的距离是（ ）
A．1200B．C．2400D．
三、用三角函数计算时，忽视了“在直角三角形中”这个条件
解锐角三角形或钝角三角形时，要注意添加适当的辅助线，构造直角三角形.
【例1】如图，在中，，，，平分交于点，则线段的长为（ ）
A．B．12C．D．6
【例2】如图在一笔直的海岸线l上有相距3km的A，B两个观测站，B站在A站的正东方向上，从A站测得船C在北偏东60°的方向上，从B站测得船C在北偏东30°的方向上，则船C到海岸线l的距离是（ ）
A．kmB．kmC．kmD．km
一、单选题
1．在学校操场旁边的台阶上有一个“翔”的雕塑，雕塑后面是很长的一段台阶CD，意寓拥抱梦想，展翅翱翔，如图，雕塑的上边缘点A距地面平台高度为AB的长，点B距台阶底端C的距离米，台阶底端C与顶端D的连线可视作坡度为1:0.75的斜坡，且米．若A，B，C，D四点在同一平面内，且在点D看石雕上边缘点A的俯角为，则雕塑“翔”的高度AB约为（ ）米．（参考数据：，，）
A．2.21B．2.20C．2.25D．2.31
2．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝6，点E是边BC上一动点，B关于AE的对称点为B′，过B′作B′F⊥DC于F，连接DB′，若△DB′F为等腰直角三角形，则BE的长是（ ）
A．6B．3C．3D．6﹣6
3．如图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A，点B，点A的坐标为（0，3），M是第三象限内⊙C上一点，∠BMO=120°，则⊙C的半径为（ ）
A．6B．5C．3D．
4．如图，一天晚上，小颖由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，当她继续往前走到D处时，测得此时影子DE的一端E到路灯A的仰角为45º，已知小颖的身高为1.5米，那么路灯A的高度AB为（ ）
A．3米B．4.5米C．6米D．8米
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，csB＝，则BC的长为( )
A．6B．2C．D．
6．如图，△ABC是等边三角形，AB=4，E是AC的中点，D是直线BC上一动点，线段ED绕点E逆时针旋转90°，得到线段EF，当点D运动时，则AF的最小值为（ ）
A．2B．C．D．
二、填空题
7．要测量河岸相对两点A，B的距离，已知AB垂直于河岸BF，先在BF上取两点C，D，使CD＝CB，再过点D作BF的垂线段DE，使点A，C，E在一条直线上，如图，测出DE＝20米，则AB的长是_____米．
8．已知△ABC，O为AC中点，点P在AC上，若OP= ，tan∠A= ，∠B=120°，BC=2，则AP=________．
三、解答题
9．如图，已知中，，，将绕点A顺时针方向旋转60°到，点B，C的对应点分别为点，，连接，
（1）依题意，尺规作图补全图形；（保留作图痕迹，不写作法与证明）
（2）求的长．
10．若商场为方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式动扶梯，如图所示，已知原阶梯式自动扶梯长为10m，扶梯的坡度为．改造后的斜坡式动扶梯的坡角为
（1）请你求出的长度；
（2）请你计算改造后的斜坡式自动扶梯的长度．（结果精确到0.1m．参考数据：）
一、单选题
1．如图，四边形内接于，，，，点为的中点，则线段的长为（ ）
A．B．C．D．
2．如图，沿AB方向架桥，以桥两端B、D出发，修公路和，测得，，，则公路的长为（ ）
A．900mB．mC．mD．750m
3．如图，直线，与和分别相切于点A和点B，点M和点N分别是和上的动点，MN沿和平移，若的半径为1，，则下列结论不正确的是（ ）
A．和的距离为2B．当与相切时，
C．D．当时，MN与相切
4．如图，在四边形中，，，， ，则对角线的最小值为（ ）
A．B．5C．6D．
5．为了疫情防控工作的需要，某学校在学校门口的大门上方安装了一个人体体外测温摄像头，摄像头到地面的距离米，小明身高米，他在点A测得点D的仰角是在点B测得点D仰角的2倍，已知小明在点B测得的仰角是a，则体温监测有效识别区域的长为（ ）米．（ ）
A．B．
C．D．
6．在四边形中，，，，，（如图）．点O是边上一点，如果以O为圆心，为半径的圆与边有交点，那么的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
7．如图，为的直径，弦、交于点P，若，则_______．
8．如图，线段，分别表示甲、乙建筑物的高，于点B，于点D，两座建筑物间的距离为．若甲建筑物的高为，在点A处测得点C的仰角为，则乙建筑物的高为___________m．
三、解答题
9．热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为30°，看这栋楼楼底的俯角为60°，热气球与楼的水平距离为180m，这栋楼有多高（结果取整数）？
10．如图，在平行四边形中，E为边上一点，连接，F为线段上一点，且．
(1)求证：；
(2)连接，当为直角三角形时，，，，______．
重点
会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形
难点
会用解直角三角形中的有关知识建立数学模型，解决某些简单的实际问题
易错
用三角函数计算式，忽视“在直角三角形中”这个条件
专题07 解直角三角形及其应用
解直角三角形
【例1】在中，，那么的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：设相邻直角边为x，
∵，
∴斜边=，
根据勾股定理可得
对边，
∴，
故选A．
【例2】如图，在中，，，，且为锐角，的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：如图，过点A作于点D．
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：A．
解直角三角形在实际问题中的应用
【例1】3月中旬某中学校园内的樱花树正值盛花期，供全校师生驻足观赏．如图，有一棵樱花树垂直于水平平台，通往平台有一斜坡，、在同一水平地面上，、、、、均在同一平面内，已知米，米，米，斜坡的坡度是，李同学在水平地面处测得树冠顶端的仰角为，则樱花树的高度约为（ ）（参考数据：，，）
A．15米B．13米C．12米D．9米
【答案】C
【详解】解：延长交水平面于，过点作水平面于，如图所示：
在中，斜坡的坡度是，米，设，则，解得，
米，米，
米，米，
米，
在中，，，则，
，米，米，
，解得米，
故选：C．
【例2】如图，某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度m，从飞机上看地平面指挥台B的俯角，则飞机A与指挥台B的距离是（ ）
A．1200B．C．2400D．
【答案】C
【详解】解：由题意得，，，
∴m，
答：飞机A与指挥台B的距离为2400m,
故选C．
三、用三角函数计算时，忽视了“在直角三角形中”这个条件
解锐角三角形或钝角三角形时，要注意添加适当的辅助线，构造直角三角形.
【例1】如图，在中，，，，平分交于点，则线段的长为（ ）
A．B．12C．D．6
【答案】B
【详解】解：如图，过点作的垂线，垂足分别为，
在中，，
在中，，
∵中，，，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选:B．
【例2】如图在一笔直的海岸线l上有相距3km的A，B两个观测站，B站在A站的正东方向上，从A站测得船C在北偏东60°的方向上，从B站测得船C在北偏东30°的方向上，则船C到海岸线l的距离是（ ）
A．kmB．kmC．kmD．km
【答案】C
【详解】解：过C作CD垂直于海岸线l交于D点，
根据题意得∠CAD=90°-60°=30°，∠CBD=90°-30°=60°，
∴∠ACB=∠CBD-∠CAD=30°，
∴∠CAB=∠ACB，
∴BC=AB=3km，
在Rt△CBD中，
CD=BC×sin60°=3×=(km)，
故选择：C．
一、单选题
1．在学校操场旁边的台阶上有一个“翔”的雕塑，雕塑后面是很长的一段台阶CD，意寓拥抱梦想，展翅翱翔，如图，雕塑的上边缘点A距地面平台高度为AB的长，点B距台阶底端C的距离米，台阶底端C与顶端D的连线可视作坡度为1:0.75的斜坡，且米．若A，B，C，D四点在同一平面内，且在点D看石雕上边缘点A的俯角为，则雕塑“翔”的高度AB约为（ ）米．（参考数据：，，）
A．2.21B．2.20C．2.25D．2.31
【答案】C
【详解】解：过作于，如图所示：
则四边形为矩形，
，，
台阶底端与顶端的连线可视作坡度为的斜坡，
设米，则米，
由勾股定理得：，即，
解得：，
则（米，（米，
（米，
米，
在点看石雕上边缘点的俯角为，
，
在中，，
（米，
则（米
故选：．
2．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝6，点E是边BC上一动点，B关于AE的对称点为B′，过B′作B′F⊥DC于F，连接DB′，若△DB′F为等腰直角三角形，则BE的长是（ ）
A．6B．3C．3D．6﹣6
【答案】D
【详解】解：,
又△DB′F 为等腰直角三角形，,
又在矩形 ABCD，,,
又， 等腰直角三角形,
,,
三点共线，
在等腰直角△RCE，CE=CD=6,
BE=BC-CE=,
故选D..
3．如图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A，点B，点A的坐标为（0，3），M是第三象限内⊙C上一点，∠BMO=120°，则⊙C的半径为（ ）
A．6B．5C．3D．
【答案】C
【详解】∵∠AOB=90°，
∴AB是直径，
∴∠BAM+∠OAM=∠BOM+∠OBM=180°﹣120°=60°，
∴∠BAO=60°，
∵点A的坐标为（0，3），
∴AO=3，
∴cs∠BAO=，
∴AB==6，
∴⊙C的半径为3，
故选：C．
4．如图，一天晚上，小颖由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，当她继续往前走到D处时，测得此时影子DE的一端E到路灯A的仰角为45º，已知小颖的身高为1.5米，那么路灯A的高度AB为（ ）
A．3米B．4.5米C．6米D．8米
【答案】B
【详解】解：如图所示,
设两个交点分别为F、P, 根据题意得FC=DP=DE=1.5米,故
∠DPE=∠E, 在Rt△PDE中, ∠DPE=∠E=45,
又知DP//BA,故∠BAE=∠DPE=∠E,则AB=BE.
设AB=x米,BD=(x-1.5)米.因为FC//AB,即∠DFC=∠DAB,∠FDC=∠ADB,
所以△ABD~△FCD, 则
即：，移项并合并系数化为1, 解得：x=4.5,
即AB=4.5米，
故选B.
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，csB＝，则BC的长为( )
A．6B．2C．D．
【答案】A
【详解】解：因为在直角△ABC中,csB=,
所以,
解得:BC=6．
故选A．
6．如图，△ABC是等边三角形，AB=4，E是AC的中点，D是直线BC上一动点，线段ED绕点E逆时针旋转90°，得到线段EF，当点D运动时，则AF的最小值为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】D
【详解】解：作DM⊥AC于M，FN⊥AC于N，
设DM＝x，
在Rt△CDM中，CM＝DM＝x，
∵线段ED绕点E逆时针旋转90°，得到线段EF，
∴ED＝EF，∠DEF＝90°，易得△EDM≌△FEN，
当D在BC上时，如图1，DM＝EN＝x，EM＝NF＝2−x，
在Rt△AFN中，AF2＝(2−x) 2＋(2+x)2＝，
当D在BC的延长线上时，如图2，DM＝EN＝x，EM＝NF＝x＋2，
在Rt△AFN中，AF2＝(x+2) 2＋(2-x)2＝，
当x＝时，AF2有最小值，
∵＞
∴AF的最小值为：，
故选D.
二、填空题
7．要测量河岸相对两点A，B的距离，已知AB垂直于河岸BF，先在BF上取两点C，D，使CD＝CB，再过点D作BF的垂线段DE，使点A，C，E在一条直线上，如图，测出DE＝20米，则AB的长是_____米．
【答案】20
【详解】解：∵AB⊥BD，ED⊥AB，
∴∠ABC＝∠EDC＝90°，
在△ABC和△EDC中，，
∴△ABC≌△EDC（ASA），
∴AB＝ED＝20．
故答案为：20．
8．已知△ABC，O为AC中点，点P在AC上，若OP= ，tan∠A= ，∠B=120°，BC=2，则AP=________．
【答案】2或
【详解】作CD⊥AB的延长线于D．
∵∠ABC＝120°，∴∠CBD＝60°．
∵BC＝2，∴DC＝BC•sin60°＝2•3．
∵tan∠A，∴AD＝6，∴AC，∴AO．
∵OP，∴AP＝2或．
故答案为2或．
三、解答题
9．如图，已知中，，，将绕点A顺时针方向旋转60°到，点B，C的对应点分别为点，，连接，
（1）依题意，尺规作图补全图形；（保留作图痕迹，不写作法与证明）
（2）求的长．
【答案】（1）见图
（2）
【详解】解（1）
（2）
∵图形旋转后，对应各边相等，绕顺时针旋转，可得
∴ 是等边三角形
又∵在 和 中

∴，即平分
延长交 于
因为中，，所以
∵ 是等边三角形， 平分
∴根据等腰三角形“三线合一”得垂直平分
所以
由于 ，又是等腰直角三角形，垂直平分，则
所以
故答案为： .
10．若商场为方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式动扶梯，如图所示，已知原阶梯式自动扶梯长为10m，扶梯的坡度为．改造后的斜坡式动扶梯的坡角为
（1）请你求出的长度；
（2）请你计算改造后的斜坡式自动扶梯的长度．（结果精确到0.1m．参考数据：）
【答案】（1）AD=5；（2）19.2m
【详解】（1）解∵扶梯的坡度为，
即．
在中，
，
解得．
因为不合题意，
所以．
（2）在中， ，

答：改造后的自动扶梯AC的长约为．
一、单选题
1．如图，四边形内接于，，，，点为的中点，则线段的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：过C作交延长线于点E，于F，
则，
∵A、B、C、D四点共圆，
∴，
∵
∴
∵点C为弧的中点，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∵A、B、C、D四点共圆，
∴，
在和中
∴，
∴，
在和中
∴，
∴，
设，
∵，，
∴，
∴，
解得：，
即，
∴，
故选：B．
2．如图，沿AB方向架桥，以桥两端B、D出发，修公路和，测得，，，则公路的长为（ ）
A．900mB．mC．mD．750m
【答案】D
【详解】过点C作，垂足为E，
，
，
，
，
，
在Rt中，，m，
m，
在Rt中，，
m，
故选：D．
3．如图，直线，与和分别相切于点A和点B，点M和点N分别是和上的动点，MN沿和平移，若的半径为1，，则下列结论不正确的是（ ）
A．和的距离为2B．当与相切时，
C．D．当时，MN与相切
【答案】B
【详解】连结，如图1，
∵与和分别相切于点A和点B，
∴，，
∵，
∴点A、O、B共线，
∴为的直径，
∴和的距离为2；
作于H，如图1，
则，
∵，
∴，
∴；
当与相切，如图2，连结，
当在左侧时，，
在中，，即，
在中，，，即，
当在右侧时，，
∴的长为或；
当时，作于E，延长交于F，如图2，
∵，
∴，
∴，
∴垂直平分，
∴平分，
∴，
∴为的切线．
故选：B．
4．如图，在四边形中，，，， ，则对角线的最小值为（ ）
A．B．5C．6D．
【答案】B
【详解】解：过点A作，且，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴最小时，最小，
∵，
∴最小为，
∴的最小值为，
故选B．
5．为了疫情防控工作的需要，某学校在学校门口的大门上方安装了一个人体体外测温摄像头，摄像头到地面的距离米，小明身高米，他在点A测得点D的仰角是在点B测得点D仰角的2倍，已知小明在点B测得的仰角是a，则体温监测有效识别区域的长为（ ）米．（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】解：由题意可知：四边形是矩形，
，米，
米，
（米），
在中，，
（米），
在中，，
（米），
(米)，
故选：B．
6．在四边形中，，，，，（如图）．点O是边上一点，如果以O为圆心，为半径的圆与边有交点，那么的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】解：如图1，过点D作于H，
则，，，
在中，，
当与相切时，此时与线段有一个公共点，此时半径最小，
设，则，
在中，，
∴，
由得，，
解得；
如图2，当以为半径的过点B时，半径最大，过点O作于F，
设，则，
在中，，
∴，，
∴，
在中，由勾股定理得，
即，
解得，即的最大半径为，
所以当以O为圆心，为半径的圆与边有交点，那么的取值范围为，
故选：C．
二、填空题
7．如图，为的直径，弦、交于点P，若，则_______．
【答案】##
【详解】解：连接，
∵，
∴，
∴，
∴设，则，
∵为的直径，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
8．如图，线段，分别表示甲、乙建筑物的高，于点B，于点D，两座建筑物间的距离为．若甲建筑物的高为，在点A处测得点C的仰角为，则乙建筑物的高为___________m．
【答案】55
【详解】解：过点A作于点E，如图，
可得，四边形是矩形，
∴
∵
∴
∴
故答案为：55
三、解答题
9．热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为30°，看这栋楼楼底的俯角为60°，热气球与楼的水平距离为180m，这栋楼有多高（结果取整数）？
【答案】415m
【详解】解：如图，
由题意可得，，
在中，m，
∴m
在中，m，
∴m，
∴m，
即这栋楼的高度约为415m．
10．如图，在平行四边形中，E为边上一点，连接，F为线段上一点，且．
(1)求证：；
(2)连接，当为直角三角形时，，，，______．
【答案】(1)见解析；
(2)．
【详解】（1）证明：在平行四边形中，，，
∴，，
又∵，，
∴，
∴；
（2）解：连接，
∵
∴，即，解得，
∴
当时，如下图：
则，
由勾股定理可得：，
，
当时，如下图：
由题意可得：，，
∴
∴，
∴
∴与矛盾，
∴，即此种情况无解，
综上，故答案为：
重点
会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形
难点
会用解直角三角形中的有关知识建立数学模型，解决某些简单的实际问题
易错
用三角函数计算式，忽视“在直角三角形中”这个条件