2020-2021学年北京房山区初三上学期数学期末试卷及答案

这是一份2020-2021学年北京房山区初三上学期数学期末试卷及答案，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2. 的值等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据特殊角的三角函数值求解．
【详解】解：
故选A
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值.
3. 如图，在中，∥，若，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先根据平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出结果．
【详解】解：∵DE∥BC，AD＝2，AB＝3，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，由平行线分线段成比例定理得出比例式是解题的关键．
4. 如图，，是⊙的半径，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意及圆周角定理可直接进行排除选项．
【详解】解：∵，
∴；
故选A．
【点睛】本题主要考查圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
5. 在半径为的圆中，的圆心角所对的弧长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用弧长公式即可求出．
【详解】解：90°的圆心角所对的弧长 ，
故选 ：D．
【点睛】此题主要考查了圆心角所对弧长的公式，熟记公式是解题的关键．
6. 若点，，都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据反比例函数的增减性解答．
【详解】∵，k=6>0，
∴该反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小，
∵点，，，
∴点A在第三象限内，且x1最小，
∵2<3，
∴x2>x3，
∴，
故选：B．
【点睛】此题考查反比例函数的增减性，掌握反比例函数增减性及判断方法是解题的关键．
7. 在中，，， ，则的长为（ ）
A. B. C. 或D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】利用分类讨论的思想，①当AC边为长边时，作交AC于点D，设BD=x，由题意可求出AD、DC长，再根据勾股定理可列出关于x的一元二次方程，解出x即可求出AB长；②当AB边为长边时，作交AB于点E，由题意可求出CE、AE长，再根据勾股定理可求出BE长，从而得到AB长．
【详解】分类讨论：①当AC边为长边时，作交AC于点D，设BD=x，
∵，
∴，
∴，
在中，，即，
整理得：．
解得，．
当时，不合题意，所以此解舍去．
∴．
②当AB边为长边时，作交AB于点E，
∵，
∴，．
在中，，
∴．
【点睛】本题考查勾股定理以及解一元二次方程．根据题意结合勾股定理得到边的关系是解答本题的关键．
8. 如图，二次函数的图象经过，，三点，下面四个结论中正确的是（ ）
A. 抛物线开口向下
B. 当时，取最小值
C. 当时，一元二次方程 必有两个不相等实根
D. 直线经过点，，当时，的取值范围是
【答案】C
【解析】
【分析】把A、B、C三点代入二次函数即可求出函数解析式，根据函数解析式依次判断即可．
【详解】把A、B、C三点代入二次函数得：
解得：
故函数解析式为：，
∴开口朝上，
故A不正确；
函数对称轴为：，
∴时，函数值最小，，
故B不正确；
由题意得：时，一元二次方程有一个实根，时，有两个不等实根，
∵ ，
∴一元二次方程 必有两个不相等实根，
故C正确；
∵直线经过点，，
∴依据题意可知：时，或；
故D错误；
故选：C．
【点睛】本题主要考查的是二次函数的图像及性质，以及一次函数，熟练掌握二次函数图像与性质以及一次函数图像是解答本题的关键．
二、填空题
9. 已知，则____．
【答案】4
【解析】
【分析】先根据得到y=3x，再代入化简即可求解．
【详解】解：∵，
∴y=3x，
∴．
故答案为：4
【点睛】本题考查了比例的性质，根据已知得到x与y的关系是解题的关键．
10. 请写出一个过点的函数表达式：___．
【答案】y=x 或y= 或 y=x2（答案不唯一）．
【解析】
【分析】由函数图象过点（1，1），设该函数的表达式为y＝kx或y=或y=ax2，将点的坐标代入求函数的表达式．
【详解】解：设该函数的表达式为y＝kx或y=或y=ax2，
把点（1，1）代入，
可分别求出表达式为：y=x 或y= 或 y=x2，
故答案为：y=x 或y= 或 y=x2（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了反比例（一次、正比例或二次）函数的性质，根据点的坐标利用待定系数法求出函数表达式是解题的关键．
11. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=70°，则∠ADC的度数是______．
【答案】110°##110度
【解析】
【分析】根据圆的内接四边形对角互补计算∠ADC即可．
【详解】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ABC+∠ADC=180°．
∵∠ABC=70°，
∴∠ADC=180°-70°
=110°．
故答案为110°．
【点睛】本题考查了圆的内接四边形对角互补的性质，熟练掌握这个性质是解题的关键．
12. 函数的图象向下平移3个单位，得到函数图象的表达式是____．
【答案】y=x2-3
【解析】
【分析】根据函数图象平移的法则“上加下减”进行计算，即可求解结果．
【详解】解：由“上加下减”的原则可知，将二次函数的图象向下平移3个单位所得函数的解析式为：y=x2-3．
故答案为：y=x2-3．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握函数图象平移的法则是解答此题的关键．
13. 如图，点，分别在△的，边上．只需添加一个条件即可证明△∽△，这个条件可以是_____．(写出一个即可)
【答案】∠ADE=∠C或∠AED=∠B或
【解析】
【分析】由已知得到∠A是公共角，只需添加另一组角相等过夹角A的两条边成比例即可．
【详解】∵∠A=∠A，
∴当∠ADE=∠C或∠AED=∠B时，∽△；
当时，∽△；
故答案为：∠ADE=∠C或∠AED=∠B或．
【点睛】此题考查相似三角形的判定定理，熟记定理是解题的关键．
14. 如图，AB为的直径，弦于点H，若，，则OH的长度为__．
【答案】3
【解析】
【分析】连接OC，由垂径定理可求出CH的长度，在Rt△OCH中，根据CH和⊙O的半径，即可由勾股定理求出OH的长．
【详解】连接OC，
Rt△OCH中，OC=AB=5，CH=CD=4；
由勾股定理，得：OH=；
即线段OH的长为3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
15. 如图所示的网格是边长为1的正方形网格，，，是网格线交点，则____．
【答案】
【解析】
【分析】作AD⊥BC于D点，在Rt△ABD中根据余弦的定义求解即可．
【详解】如图，作AD⊥BC于D点，则△ABD为直角三角形，
其中，AD=3，BD=4，由勾股定理可得AB=5，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查求余弦值，根据余弦的定义构造合适的直角三角形是解题关键．
16. 我们将满足等式的每组，的值在平面直角坐标系中画出，便会得到如图所示的“心形”图形．下面四个结论中：
①“心形”图形是轴对称图形；
②“心形”图形所围成的面积小于3；
③“心形”图形上任意一点到原点的距离都不超过；
④“心形”图形恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数点）．
所有正确结论的序号是_____．
【答案】①③④
【解析】
【分析】①根据方程的特点，用（－x，y）代替（x，y）可知“心形”图形关于y轴对称；
②如图找出“心形”图形上的整点，，，，，，求出四边形ABCD和△ADE的面积，由“心形”图形的面积＞可得结论；
③当时，，则，可得“心形”图形右侧部分的点到原点的距离都不超过，再根据对称性可得结论；
④由②③可知“心形”图形上恰有6个整点．
【详解】①在中，用（－x，y）代替（x，y）得，即，所以“心形”图形关于y轴对称，故①正确；
②如图，分别令x=－1,0,1，求出对应的y值可得：
，，，，，，
∵，，
∴“心形”图形面积＞，故②错误；
③当时，∵，即，
∴，，
∴，
则，从而，
即“心形”图形右侧部分的点到原点的距离都不超过，
∵“心形”图形关于y轴对称，
∴“心形”图形上所有的点到原点的距离都不超过，故③正确；
④由③知“心形”图形上所有的点到原点的距离都不超过，
∴“心形”图形上的整点的横纵坐标都只能取－1，0，1中的一个，
则由②知“心形”图形恰好经过6个整点：，，，，，，故④正确．
综上所述，正确结论的序号是：①③④．
【点睛】本题考查了利用曲线的方程特征研究曲线的性质、命题真假的判断与应用，对学生的数形结合能力要求较高，属于综合题．
三、解答题
17. 如图，已知∥，．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据平行线的性质可得，结合可证△∽△，由相似三角形的性质即可证明结论．
【详解】证明：∵AB∥CD，
∴．
∵，
∴△ABD∽△DCE．
∴．
【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质并能根据已知准确选择判定方法是解题的关键．
18. 已知二次函数．
（1）求它的图象的顶点坐标和对称轴；
（2）在如图平面直角坐标系中画出它的图象．并结合图象，当时，求y的取值范围．
【答案】（1）顶点坐标为（1，-4），对称轴为：直线x=1
（2）y≥-4
【解析】
【分析】（1）把解析式化成顶点式，即可得到结论；
（2）画函数图象，应该明确抛物线的顶点坐标，对称轴，与x轴（y轴）的交点，再根据图象求当x＞0时，y的取值范围．
【小问1详解】
y=x2-2x-3=（x-1）2-4
∴二次函数y=x2-2x-3的图象的顶点坐标为（1，-4），对称轴为：直线x=1；
【小问2详解】
∵y=x2-2x-3=（x+1）（x-3），
图象与x轴两交点坐标为（-1，0），（3，0），
二次函数图象如下图：
当x＞0时，则y的取值范围是y≥-4，
故答案为y≥-4．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键．
19. 已知： 线段．
求作：，使其斜边，一条直角边．
作法：①作线段；
②分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线交于点；
③以为圆心，长为半径作⊙；
④以点为圆心，线段的长为半径作弧交⊙于点，连接．就是所求作的直角三角形．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形(保留作图痕迹)；
（2）完成下面的证明．
证明：∵点在线段的垂直平分线上，
∴点为线段的中点，为⊙的半径．
∴为⊙的直径．
∵点在⊙上，
∴__________（__________）（填推理的依据）．
∴为直角三角形．
【答案】（1）见解析；（2）90；直径所对的圆周角是直角
【解析】
【分析】（1）根据作图步骤补全图即可
（2）根据直径所对的圆周角是直角即可解决问题．
【详解】解：（1）补全的图形如图所示：

（2）证明：∵点在线段的垂直平分线上，
∴点为线段的中点，为⊙的半径，
∴为⊙的直径，
∵点⊙上，
∴90（_直径所对的圆周角是直角 ）．
∴直角三角形．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆周角定理．
20. 在“综合与实践”活动中，某校九年级数学小组采用无人机辅助的方法测量一座桥的长度．如图，桥是水平并且笔直的，测量过程中，小组成员遥控无人机飞到桥 的上方的点处悬停，此时测得桥两端，两点的俯角分别为和，求桥的长度．（结果精确到．参考数据：，）
【答案】246m
【解析】
【分析】过点C作CD⊥AB，垂足为D，根据在C处测得桥两端A，B两点的俯角分别为60°和45°，可得∠A =30°，∠B=45°，再解直角三角形即可求解．
【详解】解：根据题意得∠A =30°，∠B=45°，
过点作，垂足为.

∴
在△中
∵，m，
∴m
在△中
∵，m
∴
∴ m
∴m
答：桥的长度约为246m.
【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用-仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义．
21. 如图，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点．
（1）求的值；
（2）点为轴上一动点．若的面积是，请直接写出点的坐标．
【答案】（1）；（2）或
【解析】
【分析】（1）先将点B（-2，0）代入一次函数求出k的值，进而求出A点坐标后，代入反比例函数求出m的值；
（2）设C（n，0），由S△ABC=6，列出方程即可求得n的值，要注意C点有两种可能．
【详解】解：（1）∵一次函数的图象与轴交于点，
∴.
∴.
∴.
∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，
∴.
把代入，得.
（2）设C（n，0），由（1）知点A的纵坐标为3，即△ABC的高为3，
依题S△ABC=|BC|×3=6，则|BC|=4
当C点在B点左侧时，
当C点在B点右侧时，
综上或
【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，利用待定系数法求解析式是解此题的关键．
22. 如图，为⊙的直径，⊙过的中点，，垂足为点．
（1）求证：与⊙相切；
（2）若，．求的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）连接，由题目已知条件可证明是△的中位线，进而可得到//，根据，可以推出，即可得到结论．
（2）连接，圆周角等于它所对的圆心角的一半可知,又因为是的中点，根据等腰三角形三线合一定理可得, ,再根据三角函数正切值求出的长．
【详解】（1）如图，连接，
∵为中点，是的中点，
∴是△的中位线，
∴//，
∴，
∵⊥，
∴，
∴，
∴⊥，
∵⊙过的中点，
∴与⊙相切．
（2）如图，连接，
∵是⊙的直径，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴，
∴，
在△中，
∵，，
∴，，
∵，
∴.
【点睛】本题考查了切线的判定，中位线的性质，平行线的性质，圆周角定理，等腰三角形三线合一定理，三角函数等，综合运用以上知识是解题的关键．
23. 已知抛物线经过点．
（1）当抛物线与轴交于点时，求抛物线的表达式；
（2）设抛物线与轴两交点之间的距离为．当时，求的取值范围．
【答案】（1）；（2），或
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解；
（2）先确定，令，求出方程的两个根分别为，，由，得到或，求出或，再分情况：①当时，或，②当时，恒成立，故．
【详解】（1）解：由题意得，
，
∴，
∴抛物线的表达式为；
（2）解: ∵抛物线经过点，
∴ ，
∴ ，
令，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴或，
即或，
①当时，或，
②当时，恒成立，故，
∴综上所述，，或．
【点睛】此题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数与坐标轴的交点，数轴上两点之间的距离，分情况讨论取值，是一道较基础的二次函数习题．
24. 如图，已知BD是矩形ABCD的一条对角线，点E在BA的延长线上，且AE＝AD．连接EC，与AD相交于点F，与BD相交于点G．
（1）依题意补全图形；
（2）若AF＝AB，解答下列问题：
①判断EC与BD的位置关系，并说明理由；
②连接AG，用等式表示线段AG，EG，DG之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）见解析；（2）①EC⊥BD，理由见解析；②，证明见解析．
【解析】
【分析】（1）根据题意补全图形即可；
（2）①EC⊥BD，证明△AEF≌△ADB（SAS），则∠AEF＝∠ADB，∠GEB＋∠GBE＝∠ADB＋∠ABD＝90°，即可求解；
②方法一：在线段EG上取点P，使得EP＝DG，连接AP，证明△AEP≌△ADG，得到△PAG为等腰直角三角形，故可求解；
方法二：过点A作AG的垂线，与DB的延长线交于点Q，连接AQ，BQ，证明△AEG≌△ADQ，得到△GAQ为等腰直角三角形，故可求解．
【详解】解：（1）补全的图形，如图1所示：
（2）①解：EC⊥BD．
理由如下：由矩形性质知∠DAB＝90°，
∴∠EAF＝90°．
在△AEF与△ADB中，
∴△AEF≌△ADB（SAS）．
∴∠E＝∠ADB．
∴∠GEB＋∠GBE＝∠ADB＋∠ABD＝90°．
∴EC⊥BD．
②线段AG，EG，DG之间的数量关系：．
证法一：如图2，在线段EG上取点P，使得EP＝DG，连接AP．
在△AEP与△ADG中，
，
∴△AEP≌△ADG（SAS）．
∴AP＝AG，∠EAP＝∠DAG．
∴∠PAG＝∠PAD+∠DAG＝∠PAD+∠EAP＝∠DAE＝90°．
∴△PAG为等腰直角三角形．
∴．
∴．
证法二：如图3，过点A作AG的垂线，与DB的延长线交于点Q，连接AQ，BQ．
在△AEG与△ADQ中，
，
∴△AEG≌△ADQ（ASA）．
∴EG＝DQ，AG＝AQ．
∴△GAQ为等腰直角三角形．
∴．
∴，即EG﹣DG＝AG．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
25. 定义：在平面直角坐标系中，点为图形上一点，点为图形上一点．若存在，则称图形与图形关于原点“平衡”．
（1）如图，已知⊙是以为圆心，为半径的圆，点，，．
①在点，，中，与⊙关于原点“平衡”点是__________；
②点为直线上一点，若点与⊙关于原点“平衡”，求点的横坐标的取值范围；
（2）如图，已知图形是以原点为中心，边长为的正方形．⊙的圆心在轴上，半径为．若⊙与图形关于原点“平衡”，请直接写出圆心的横坐标的取值范围．
【答案】（1）①点，；②或；（2）或．
【解析】
【分析】（1）①由，，，依据勾股定理分别求出，，的长度，由新定义得到距离的取值范围，比较大小即可求解；
②由点可以与⊙关于原点“平衡”，得到，又因为点为直线上一点，得到直线与直线的较小的夹角为，分两种情况讨论，根据特殊角的三角函数值可以求得点的横坐标，根据新定义的意义最后得出点的横坐标的取值范围；
（2）由图形是以原点为中心，边长为的正方形，得到原点到正方形的最短距离是，最长距离是，即，再根据⊙的圆心在轴上，半径为，分两种情况来讨论，根据新定义的意义即可求出圆心的横坐标的取值范围．
【详解】（1）①由，，，
可知，，，
⊙是以为圆心，为半径的圆，
原点到⊙的最短距离是，最长距离是，
，，
点，与⊙关于原点“平衡”．
故答案为：，．
② 解：若点可以与⊙关于原点“平衡”，则，
点为直线上一点，
直线与直线的较小的夹角为，
点在第四象限时，
当时，可求得点的横坐标为：，
当时，可求得点的横坐标为：，
点横坐标的取值范围是：，
点在第二象限时，点横坐标的取值范围与点在第四象限时的取值范围关于原点对称，
点横坐标的取值范围是：，
综上所述，点横坐标的取值范围是：或．
（2）图形是以原点为中心，边长为的正方形，
原点到正方形的最短距离是，最长距离是，
⊙与图形关于原点“平衡”，
原点到⊙上一点的距离，
⊙的圆心在轴上，半径为，
当⊙在轴正半轴时，圆心的横坐标的取值范围为：，
当⊙在轴负半轴时，圆心的横坐标的取值范围为：，
综上所述，圆心的横坐标的取值范围或．
．
【点睛】本题考查了新定义题型，一次函数的性质，特殊角的三角函数值，圆的性质，点和圆的位置关系，解题的关键是理解新定义的意义．