第03讲 圆锥曲线-【寒假讲义】高二数学寒假讲义练习（人教B版 选择性必修一）

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【易错点总结】
1.椭圆的定义
如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个常数，且2a＞|F1F2|，则平面内满足|PF1|＋|PF2|＝2a的动点P的轨迹称为椭圆，其中两个定点F1，F2称为椭圆的焦点，两个焦点之间的距离|F1F2|称为椭圆的焦距.
其数学表达式：集合M＝{P||PF1|＋|PF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：
(1)若a＞c，则点P的轨迹为椭圆；
(2)若a＝c，则点P的轨迹为线段；
(3)若a＜c，则点P的轨迹不存在.
2.椭圆的标准方程和几何性质
2.双曲线的定义
一般地，如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个正常数，且2a＜|F1F2|，则平面上满足||PF1|－|PF2||＝2a的动点P的轨迹称为双曲线，其中，两个定点F1，F2称为双曲线的焦点，两个焦点的距离|F1F2|称为双曲线的焦距.
其数学表达式：集合M＝{P|||PF1|－|PF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.
(1)若a(2)若a＝c，则点P的轨迹为两条射线；
(3)若a>c，则点P的轨迹不存在.
2.双曲线的标准方程和几何性质
3.抛物线的定义
(1)一般地，设F是平面内的一个定点，l是不过点F的一条定直线，则平面上到F的距离与到l的距离相等的点的轨迹称为抛物线，其中定点F称为抛物线的焦点，定直线l称为抛物线的准线.
(2)其数学表达式：{M||MF|＝d}(d为点M到准线l的距离).
2.抛物线的标准方程与几何性质
【重难点剖析】
考点一：椭圆方程及其性质
1．如果椭圆上一点到焦点的距离等于6，则点到另一个焦点的距离是（ ）
A．6B．26C．4D．14
【答案】D
【详解】解：根据椭圆的定义，
又椭圆上一点到焦点的距离等于6，
，则，
故选：D.
2．己知是椭圆的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ）
A．36B．25C．20D．16
【答案】B
【详解】由椭圆易知，根据椭圆定义可知，
所以，
当且仅当时，等号成立，
所以，即的最大值为.
故选：B.
3．已知椭圆的一个焦点为，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由已知可得，，
则，
所以，
则离心率．
故选：D.
4．已知为圆的一个动点，定点，线段的垂直平分线交线段于点，则点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】根据题意，作图如下：
易知，则，即，
故点的轨迹是以为焦点且长轴长为6的椭圆，
设其方程为，则，则，
故，则椭圆方程为：.
故选：C.
5．设分别是椭圆的左、右焦点，若在其右准线上存在P，使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】设点，
因为线段的中垂线过点，所以，即，
化简得，
因为，所以，即，
所以，
又因为，所以，解得.
故选：D.
考点二：双曲线方程及其性质
6．一动圆过定点，且与已知圆：相切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】解：已知圆：圆心，半径为4，
动圆圆心为，半径为，
当两圆外切时：，所以；
当两圆内切时：，所以；
即，表示动点P到两定点的距离之差为常数4，符合双曲线的定义，
所以P在以M、N为焦点的双曲线上，且，，
，
所以动圆圆心的轨迹方程为：，
故选：C.
7．设，分别是双曲线的左、右焦点，过作轴的垂线与交于，两点，若为正三角形，则（ ）
A．B．的焦距为
C．的离心率为D．的面积为
【答案】B
【详解】由双曲线，可得，，，，，
把，代入双曲线方程可得：，解得，
不妨取，，，，
为正三角形，
，
解得，
，，，，
．
故选：．
8．已知是双曲线 的左、右焦点，点M是过坐标原点O且倾斜角为60°的直线l与双曲线C的一个交点，且 则双曲线C的离心率为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】C
【详解】不妨设点M在第一象限，
由题意得：，
即，
故，故，
因为O为的中点，
所以，
因为，故为等边三角形，
故，，
由双曲线定义可知：，
即，解得：.
故选：C.
9．已知双曲线的一个焦点为，则双曲线C的一条渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由题意可知，，
则由得；
所以，渐近线方程为，即
故选：A.
10．设为坐标原点，为双曲线的两个焦点，为双曲线的两条渐近线，垂直于的延长线交于，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
双曲线的渐近线方程为：，不妨令，
因为直线垂直，则，故，又，
则点到直线的距离为=，所以，
，又，可知直线的方程为：，与联立方程组可得：
，则 ，解得 ，故,
由,则,
中，由勾股定理可得:
,
故；
又,则，即，
因为的延长线交于，此时点的纵坐标大于0，即，故，所以 ，
所以化简得.则，
故，则.
故选：B.
考点三：抛物线方程及其性质
11．已知抛物线：的焦点为，抛物线上有一动点，，则的最小值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】C
【详解】解：抛物线：的焦点为，准线的方程为，
如图，过作于，
由抛物线的定义可知，所以
则当三点共线时，最小为.
所以的最小值为.
故选：C.
12．已知点P在抛物线上．若点P到抛物线焦点的距离为4，则点P的坐标是（ ）
A．B．C．或D．
【答案】C
【详解】对于抛物线 ，准线方程为 ，
设点，根据抛物线得定义得：
点P到抛物线焦点的距离等于点P到准线的距离为，所以，
则，，所以点P的坐标为或；
故选：C．
13．已知直线和直线，则抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是（ ）
A．B．C．2D．
【答案】C
【详解】是抛物线的准线，到的距离等于.
过P作于 Q，则到直线和直线的距离之和为
抛物线的焦点
过作于，和抛物线的交点就是，
∴（当且仅当F、P、Q三点共线时等号成立）
点到直线的距离和到直线的距离之和的最小值就是到直线距离，
最小值．
故选：C．
14．如图，过抛物线的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，准线与对称轴交于点M，若，且，则p为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【详解】如图，分别过点、作准线的垂线，垂足分别为点、，
设，则由己知得，由抛物线的定义得，
故，
在直角三角形中，，，
又因为，
则，从而得，
又因为，
所以.
故选：B.
15．已知双曲线的右焦点到其一条渐近线的距离等于，抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则抛物线上一动点M到直线和的距离之和的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】双曲线的渐近线，右焦点，
依题意，，解得，因此抛物线的焦点为，方程为，其准线为，
由消去x并整理得：，，即直线与抛物线相离，
过点F作于点P，交抛物线于点M，过M作于点Q，交直线于点N，
则有，
在抛物线上任取点，过作于点，作于点，交准线于点，连，如图，
显然，当且仅当点与点重合时取等号，
所以抛物线上一动点M到直线和的距离之和的最小值为.
故选：D
【基础过关】
一、单选题
1．若是椭圆上动点，则到该椭圆两焦点距离之和是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由椭圆方程得：，根据椭圆定义可知：到椭圆两焦点的距离之和为.
故选：B.
2．是抛物线上一点，是抛物线的焦点，则（ ）
A．B．3C．D．4
【答案】A
【详解】解：因为是抛物线上一点，
所以，
则抛物线的准线方程为，
由抛物线的定义可知，，
故选：A.
3．双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】令
得
即双曲线的渐近线方程为
故选：A.
4．双曲线的方程为 ​， 则该双曲线的离心率为（ ）
A．​B．​
C．​D．​
【答案】D
【详解】由双曲线方程得，，
则双曲线的离心率为.
故选：D.
5．已知直线与抛物线交于，两个点，求线段长（ ）
A．4B．C．2D．20
【答案】D
【详解】由抛物线的方程，可得焦点，而直线的方程也过，可得直线过抛物线的焦点，
设，，，，
联立，整理可得，
可得，
所以，
由抛物线的性质可得．
故选：D
6．直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则的取值范围为（ ）
A．或B．
C．D．
【答案】D
【详解】联立，消y得，.
因为直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，
所以方程有一正一负根，
所以，整理得，解得.
所以的取值范围为.
故选：D．
7．已知为双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】
由双曲线方程可知，
根据双曲线的几何意义可得，，又，
解得，，，
在中由余弦定理得,
故选：A
8．已知双曲线（a＞0，b＞0）与直线y＝2x有交点，则双曲线离心率的取值范围为（ ）
A．（1，）B．（1，]C．（，＋∞）D．[ ，＋∞）
【答案】C
【详解】因为双曲线的一条渐近线方程为，由题意得，
所以双曲线的离心率．
故选：C.
二、多选题
9．已知曲线，下列说法正确的是（ ）
A．若，，则是两条直线
B．若，则是圆，其半径为
C．若，则是椭圆，其焦点在轴上
D．若，则是双曲线，其渐近线方程为
【答案】AD
【详解】因为曲线，
若，，则：和，即表示两条直线，所以A选项正确；
若，则，即是以为圆心，半径为的圆，所以B选项错误；
若，即，则，即是焦点在轴上的椭圆，所以C选项错误；
若，则，即是渐近线方程为的双曲线，所以D选项正确.
故选：AD.
10．已知点在双曲线上，分别是左､右焦点，若的面积为20，则下列判断正确的有（ ）
A．点到轴的距离为
B．
C．为钝角三角形
D．
【答案】BC
【详解】设点．因为双曲线，所以．
又，所以，故A错误．
将代入得，得．
由双曲线的对称性，不妨取点P的坐标为，得．
由双曲线的定义得，所以，故B正确．
在中，，且，
则为钝角，所以为钝角三角形，故C正确．
由余弦定理得，所以，故D错误．
故选：BC．
三、填空题
11．抛物线的焦点为，为抛物线上一动点，定点，则的最小值为___________.
【答案】
【详解】由，得，准线方程为：，
过作准线的垂线，垂足为，
则，
当且仅当三点共线时，等号成立.
故答案为：
12．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作斜率为的弦．则的长是________．
【答案】25
【详解】设，，双曲线的左焦点为，
则直线的方程为，由得，，
，，则．
故答案为：25.
四、解答题
13．已知椭圆的四个顶点构成的四边形的面积为，离心率为．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过椭圆C右焦点且倾斜角为的直线l交椭圆C于M、N两点，求的值．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）由题得，解得，
∴椭圆C的标准方程为．
（2）由（1）知椭圆C的右焦点坐标为，
则直线l的方程为，
设，
联立，化简得，
，．
．
14．已知抛物线（）的焦点为，点为抛物线上一点，且.
(1)求抛物线的方程；
(2)不过原点的直线：与抛物线交于不同两点，，若，求的值.
【答案】(1)(2)
【详解】（1）由抛物线过点，且，
得
所以抛物线方程为；
（2）由不过原点的直线：与抛物线交于不同两点，
设，联立
得，
所以，
所以，
所以
因为，
所以，
则，
，即，
解得或，
又当时，直线与抛物线的交点中有一点与原点重合，
不符合题意，故舍去；
所以实数的值为.
15．已知双曲线的一条渐近线方程为，一个焦点到该渐近线的距离为1.
(1)求的方程；
(2)经过点的直线交于两点，且为线段的中点，求的方程.
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：双曲线的渐近线为，即，
所以，
又焦点到直线的距离，所以，
又，所以，，所以双曲线方程为
（2）解：设，，直线的斜率为，则，，
所以，，
两式相减得，即
即，所以，解得，
所以直线的方程为，即，
经检验直线与双曲线有两个交点，满足条件，
所以直线的方程为.
【能力提升】
一、单选题
1．设F为抛物线的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交抛物线C于A，B两点，O为坐标原点，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由题意知，
∴过A、B的直线方程为 ，即：

设 ，则
∴

故选：A.
2．已知双曲线：的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点，则的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】解：椭圆的焦点为，
又双曲线：的一条渐近线方程为，
所以，解得，所以双曲线方程为.
故选：C
3．设，分别是双曲线的左、右焦点，过作轴的垂线与交于，两点，若为正三角形，则（ ）
A．B．的焦距为
C．的离心率为D．的面积为
【答案】B
【详解】由双曲线，可得，，，，，
把，代入双曲线方程可得：，解得，
不妨取，，，，
为正三角形，
，
解得，
，，，，
．
故选：．
4．已知椭圆的右焦点是抛物线的焦点，则过作倾斜角为45°的直线分别交抛物线于，（在轴上方）两点，则的值为（ ）
A．B．C．3D．4
【答案】A
【详解】依题意，是抛物线的焦点，故，则，.
根据已知条件如图所示，在轴上方，分别过A，B作准线的垂线，垂足为，
过B作的垂线，垂足为P，设，
根据抛物线的定义知，所以直角梯形中，
，，
又直线AB的倾斜角，故，
解得，即，
故选：A.
5．过抛物线的焦点的直线交该抛物线于两点，为坐标原点．若，且的面积为，则点的纵坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】抛物线焦点为，准线方程为，
，，，
代入抛物线方程可得，不妨设点在x轴上方，即，
又，
所以，即，同理可得
所以点的纵坐标为
故选：C．
二、填空题
6．第24届冬奥会，是中国历史上第一次举办的冬季奥运会，国家体育场(鸟巢)成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点A和短轴一端点B分别向内层椭圆引切线AC，BD，且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为______．
【答案】
【详解】设内层椭圆方程为，由于内外椭圆离心率相同，由题意可设外层椭圆方程为.
所以点坐标为，点坐标为，设切线的方程为，切线的方程为，
联立直线的方程与内层椭圆方程得，，因为直线与椭圆相切，
所以，
整理可得，.
同理，联立直线的方程与内层椭圆方程，可推出，
所以.
因为，所以，则，
所以.
故答案为：.
7．已知抛物线C：，点，O是坐标原点，A，B，M，N是抛物线C上的四个动点，，过点P分别作，的垂线，垂足分别为E，F，则点距离的最大值为__________．
【答案】
【详解】设直线为，，，由题知：
，则.
，解得.
所以直线为，恒过定点.
同理直线恒过定点.
因为，，
则在以为直径的圆上.
所以的最大值为直径.
故答案为：2
三、解答题
8．已知椭圆离心率为，左右顶点，.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点作斜率为的直线与曲线交于不同的两点，（异于A，B两点），直线，分别交直线于，两点，当时，求的值.
【答案】(1)(2)
【详解】（1）由题意可知：，所以， ，
所以椭圆的方程为
（2）设直线的方程为，联立直线与椭圆的方程，
设，则 ，
直线的方程为：，令，则，所以，
直线的方程为：，令，则，所以，
因此，即，
化简得，
将代入得，进而，
所以，化简得，进而得，
故
9．已知双曲线过点，点在双曲线的渐近线上，点，过作直线交双曲线于两点（其中不平行于轴），直线与轴交于点，直线与轴交于点.
(1)求的方程；
(2)若，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)或
【详解】（1）由题意知，
可得，所以的方程为.
（2）设，即，设点
联立方程得，整理可得：，
由韦达定理得，
又，
且.
直线，令可得，
直线，令可得，
.
，即
即
且
的方程为：或.
10．已知点在抛物线上，且到的焦点的距离与到轴的距离之差为.
(1)求的方程；
(2)当时，是上不同于点的两个动点，且直线的斜率之积为为垂足.证明：存在定点，使得为定值.
【答案】(1)或
(2)证明见解析
【详解】（1）解：抛物线的焦点为，准线为，
又点在抛物线上，即，所以，即，
依题意可得，解得或，
或.
（2）解：，，.
设：，，，联立，
消去整理得，①，
且，，
，
，即，
适合①，
将m代入得，令，解得，
直线恒过定点.
又，点在以为直径的圆上，因为、的中点为，，
所以以为直径的圆方程为，
所以存在使得.
标准方程
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)
图形
性质
范围
－a≤x≤a
－b≤y≤b
－b≤x≤b
－a≤y≤a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)
轴
长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b
焦距
|F1F2|＝2c
离心率
e＝eq \f(c,a)∈(0，1)
a，b，c的关系
c2＝a2－b2
标准方程
eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)
eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)
图 形
性 质
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
x∈R，y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±eq \f(b,a)x
y＝±eq \f(a,b)x
离心率
e＝eq \f(c,a)，e∈(1，＋∞)
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长度|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长度|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2
图形
标准方程
y2＝2px (p>0)
y2＝－2px (p>0)
x2＝2py (p>0)
x2＝－2py (p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
性
质
顶点
O(0，0)
对称轴
y＝0
x＝0
焦点
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2)))
离心率
e＝1
准线方程
x＝－eq \f(p,2)
x＝eq \f(p,2)
y＝－eq \f(p,2)
y＝eq \f(p,2)
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
开口方向
向右
向左
向上
向下