第08讲 等比数列及其求和-【寒假讲义】高二数学寒假讲义练习（人教B版 选择性必修三）

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1.理解等比数列的概念.
2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式
3.了解等比数列与指数函数的关系．
【知识导航】
1.等比数列的概念
(1)定义：如果数列{an}从第2项起，每一项与它的前一项之比都等于同一个常数q，即eq \f(an＋1,an)＝q恒成立，则称{an}为等比数列，其中q称为等比数列的公比.
数学语言表达式：eq \f(an,an－1)＝q(n≥2，q为非零常数).
(2)等比中项：如果x，G，y是等比数列，则称G为x与y的等比中项，且G2＝xy.
2.等比数列的通项公式及前n项和公式
(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1；
通项公式的推广：an＝amqn－m.
(2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝eq \f(a1（1－qn）, 1－q )＝eq \f(a1－anq,1－q).
3.等比数列的性质
已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和.
(1)若正整数s，t，p，q满足s＋t＝p＋q，则as·at＝apaq，特别地，如果2s＝p＋q，则aeq \\al(2,s)＝ap·aq.
(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm.
(3)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，其公比为qn.
1.若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则数列{c·an}(c≠0)，{|an|}，{aeq \\al(2,n)}，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))，{an·bn}，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(an,bn)))也是等比数列.
2.三个数成等比数列，通常设为eq \f(x,q)，x，xq；四个符号相同的数成等比数列，通常设为eq \f(x,q3)，eq \f(x,q)，xq，xq3.
【知识预习】
考点一：等比数列
11．在等比数列中，则（ ）
A．16B．16或－1
C．32D．32或－32
【答案】A
【详解】设公比为，则，解得：，所以.
故选：A
12．设是等比数列，且，则（ ）
A．4B．8C．16D．32
【答案】B
【详解】由题意可得：，解得，
故.
故选：B.
13．已知等比数列，，则（ ）
A．1B．2C．4D．8
【答案】C
【详解】
故选：C.
14．在等比数列中，且，则（ ）
A．16B．8C．4D．2
【答案】C
【详解】由题意可知，根据等比数列性质，若，则；
所以，因为，所以.
故选：C.
15．在各项均为正数的等比数列中，若，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由等比数列性质可得：
故选：C
考点二：等比数列的前n项和
16．已知等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．83B．108C．75D．63
【答案】D
【详解】由题知，等比数列的前项和为，
所以也是等比数列，即也是等比数列，
根据等比中项性质解得，
故选：D
17．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯.”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，问塔的顶层灯的盏数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【详解】解：设顶层的灯数是，则每一层灯数形成以2为公比的等比数列，
所以，由题可得，解得，
所以，塔的顶层的灯数是3.
故选：C.
18．记为等比数列的前项和.若，则（ ）
A．1B．2C．4D．7
【答案】D
【详解】因为为等比数列的前项和，
所以成等比数列，
所以，
因为，
所以，解得7，
故选：D.
19．已知是各项均为正数的等比数列的前n项和，若，，则（ ）
A．2B．3C．6D．9
【答案】B
【详解】因为等比数列的各项均为正数，
所以由，
当 时，，所以，不符合题意；
当时，由，
或，
因为等比数列的各项均为正数，所以，
故选：B
20．集合论是德国数学家康托尔于十九世纪末创立的，希尔伯特赞誉其为“数学思想的惊人产物，在纯粹理性范畴中人类活动的最美表现之一”.取一条长度为1的线段，将它三等分，去掉中间一段，留下的两段分割三等分，各去掉中间一段，留下更短的四段，……，将这样操作一直继续下去，直至无穷.由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段的数目越来越多，长度越来越小，在极限情况下，得到一个离散的点集，称为康托尔三分集.若在前次操作中共去掉的线段长度之和不小于，则的最小值为（ ）
（参考数据：，）
A．9B．8C．7D．6
【答案】A
【详解】第一次操作去掉的线段长度为，第二次操作去掉的线段长度和为，第三次操作去掉的线段长度和为，…，第操作去掉的线段长度和为，
由此得，
所以，，
，，
所以的最小值是9.
故选：A．
【对点训练】
一、单选题
1．在数列中，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】∵，即： ，
∴为等比数列，公比，
∴
故选：D.
2．与的等差中项和等比中项分别是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】与的等差中项是，
与的等比中项是
故选：A
3．在正项等比数列 中，，则数列的前 5 项之和为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【详解】由等比数列的性质得,
数列的前 5 项之和为，
故选：C
4．已知数列是各项均为正数的等比数列，是它的前项和，若，且，则（ ）
A．128B．127C．126D．125
【答案】C
【详解】设等比数列的公比为，且，，
，，
所以，即
故选：C
5．已知正项等比数列前项和为，且，，则等比数列的公比为（ ）
A．B．2C．D．3
【答案】A
【详解】因为，
所以
设公比为q，可得：，
两式相除得：
故选：A
6．已知等比数列的前项积满足，则（ ）.
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】等比数列的前项积，，，
.
故选：C
7．若数列为等比数列，且是方程的两根，则的值等于（ ）
A．B．1C．D．
【答案】C
【详解】由题意得,,
故
所以
故选: .
8．已知数列是等比数列，若，且数列的前n项乘积，n的最大值为（ ）
A．10B．11C．20D．21
【答案】C
【详解】数列是等比数列， ，
，
，
所以使的n的最大值为20.
故选：C
二、多选题
9．下列说法中正确的是（ ）
A．若b2=ac，则a，b，c成等比数列
B．等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数
C．数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有
D．若一个常数列是等比数列，则这个数列的公比是1
【答案】CD
【详解】A. 如数列0，0，0，满足b2=ac，但a，b，c不成等比数列，故错误；
B.如数列1，1，1，…，是等差数列，其前n项和为n，不是常数项为0的二次函数，故错误；
C.若数列{an}为等差数列，则，即，故必要，若，即为，则数列{an}为等差数列，故充分，故正确；D.若一个常数列是等比数列，即，则这个数列的公比是，故正确；
故选：CD
10．设数列的前项和为，若，则下列说法正确的是（ ）
A．B．为等比数列
C．D．
【答案】ABD
【详解】∵，则，即，
∴数列是以首项，公比的等比数列，则，
故A、B正确；
又∵，
显然不符合上式，则，
故C错误，D正确；
故选：ABD.
三、填空题
11．已知各项均为正数且单调递减的等比数列满足，，成等差数列，则______．
【答案】
【详解】设等比数列的公比为，
，，成等差数列，
，则，
即，解得或(不合题意，舍去)，
．
故答案为：．
12．《九章算术》叙述了一个老鼠打洞的趣事：今有垣厚十尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠亦一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半.问：何日相逢？各穿几何？意思就是说，有一堵十尺厚的墙，两只老鼠从两边向中间打洞.大老鼠第一天打一尺，小老鼠也是一尺.大老鼠每天的打洞进度是前一天的2倍，小老鼠每天的进度是前一天的一半.第3天结束后，两只老鼠相距______尺.
【答案】
【详解】设大老鼠第n天打洞的距离为，则数列是首项为1，公比为2的等比数列，其前n项和为；小老鼠第n天打洞的距离为，则数列是首项为1，公比为的等比数列，其前n项和为.则，则，从而相距尺.
故答案为：
四、解答题
13．在数列中，，，．
(1)设，求证：数列是等比数列；
(2)求数列的前项和．
【答案】(1)证明见解析(2)
【详解】（1）证明：
又
数列是首项为、公比为的等比数列；
（2）由（1）可知，即，
.
14．已知等差数列满足，前4项和．
(1)求的通项公式；
(2)设等比数列满足，，数列的通项公式．
【答案】(1)(2)或
【详解】（1）设等差数列首项为，公差为d．
∵
∴
解得：
∴等差数列通项公式
（2）设等比数列首项为，公比为q
∵
∴
解得：
即或
∴等比数列通项公式或
15．已知是等差数列，是首项为1、公比为3的等比数列，且，．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）依题意，知，则，，
设的公差为d，
则，
．
（2）由（1）知，，，
，
设的前n项和为，
则
．
【提升作业】
一、单选题
1．设正项等比数列的前n项和为，若，则公比（ ）
A．2B．C．2或D．2或
【答案】A
【详解】由，有，即．
由等比数列的通项公式得，即，解得或，由数列为正项等比数列，∴．
故选：A
2．若成等差数列；成等比数列，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由题意得：，
设的公比为，则，，
解得：，
.
故选：B
3．等比数列前项和为.若，则数列前项和的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】设等比数列的公比为，则，解得，
又，解得，
所以，则，即是首项为，公差为的等差数列，
令，则，易知，
所以，
故当或6时，取最小值，最小值为，
故选：
4．已知数列满足，，数列的前项和为，若对任意的正整数，都有，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】当，，
所以，
解得：，当n=1适合
因为，
所以
，
又因为是单调递增数列，
所以有，对任意的正整数，都有，
所以，
故选：C
5．已知数列的前n项和为，，且，则下列说法中错误的是（ ）
A．B．
C．是等比数列D．是等比数列
【答案】C
【详解】由题意数列的前项和为，，且，
则，即，
所以即选项A正确；
因为①，
∴当 时，②，
①-②可得，，即，
当时，，不满足 ，
故数列不是等比数列，故C错误，
由时，可得，则，
故，故B正确；
由得：
所以
令，则
所以
所以，即，
故是首项为，
公比为4的等比数列，D正确，
故选：C.
二、填空题
6．已知等比数列的公比成等差数列，则公比____________．
【答案】2
【详解】由题意得，
而为等比数列，化简得，而，解得，
故答案为：2
7．已知数列的各项均为正数，，，则数列前10项的和为___________.
【答案】
【详解】由，或，
当时，即，所以数列是以为公比的等比数列，这不符合数列的各项均为正数；
当时，即，所以数列是以为公比的等比数列，又，
所以，
因为，
所以前10项的和为，
故答案为：
三、解答题
8．设是等比数列，已知，．
(1)求的通项公式；
(2)求的前项和．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）设数列的公比为q，
则由已知有，，所以，．
因此．
（2）由(1)则前n项和
9．已知数列的前n项和为，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，数列的前n项和为，求．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）因为，，
所以，，
所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列，
所以，①，
当时，②，
①减②得：，
当时，成立，
所以．
（2）由（1）知，，
所以，
所以，
所以
10．已知数列为等差数列,数列为等比数列,数列的公差为2;
(1)若,求数列的通项公式;
(2)设数列的前n项和为,若,求;
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解:由题知,
为等比数列,不妨设公比为,
又数列的公差为2,
,
即,
解得,
故;
（2）由题知数列为等差数列,且公差为2,
,
解得:,
故.