2023-2024学年辽宁省鞍山市八年级（上）期末数学试卷

这是一份2023-2024学年辽宁省鞍山市八年级（上）期末数学试卷，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.分式−13−x可变形为( )
A. 1x−3B. −1x−3C. 13+xD. −13+x
2.下列图形为轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.如图，将△ABC折叠，使AC边落在AB边上，展开后得到折痕l，则l是△ABC的( )
A. 中线
B. 中位线
C. 高线
D. 角平分线
4.已知三角形两边的长分别是3和7，则此三角形第三边的长可能是( )
A. 1B. 2C. 8D. 11
5.下列计算正确的是( )
A. a2⋅a3=a6B. (−2ab)2=4a2b2
C. x2+3x2=4x4D. −6a6÷2a2=−3a3
6.将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是( )
A. 45°
B. 60°
C. 75°
D. 85°
7.图1是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消溶，形状无一定规则，代表一种自然和谐美．图2是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=度．( )
A. 270°B. 300°C. 360°D. 400°
8.下列因式分解正确的是( )
A. −x2+4x=−x(x+4)B. x(x−y)+y(y−x)=(x−y)2
C. x2+xy+x=x(x+y)D. x2−4x+4=(x+2)(x−2)
9.如图，等腰△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，CE⊥AB，下列结论：①BD=CE；②∠BCE=∠CBD；③∠DBC=12∠BAC；④AF垂直平分BC；正确的个数是( )
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
10.观察等式：2+22=23−2；2+22+23=24−2；2+22+23+24=25−2…，如果设250=a，那么250+251+252+…+299+2100用含a的式子表示是( )
A. 2a2−2aB. 2a2−2a−2C. 2a2−aD. 2a2+a
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.国产手机芯片麒麟980是全球首个7纳米制程芯片，已知1纳米=0.000000001米，将7纳米用科学记数法表示为______米．
12.如图，△ABC的两条高AD，BE相交于点F，请添加一个条件，使得△ADC≌△BEC(不添加其他字母及辅助线)，你添加的条件是______．
13.如图，点A的坐标(−1,2)，点B的坐标(−3,−2)，在y轴上存在一点P，满足AP+BP的值最小，则点P的坐标是______ ．
14.如图，把R1、R2、R3三个电阻串联起来，线路AB上的电流为I，电压为U，则U=IR1+IR2+IR3.当R1=19.7，R2=32.4，R3=35.9，I=2.5时，则U的值为______．
15.如图，边长为4的等边三角形ABC中，E是高AD上的任意一点，连结CE，以CE为边作等边三角形CEF，连结BF，DF.若BF⊥DF，则DF的长度是______ ．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
16.运用乘法公式计算：(2x+y+z)(2x−y−z)
四、解答题：本题共7小题，共59分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
计算：
(1)a2a−1−a−1；
(2)2xyx2−y2÷(1x−y+1x+y)．
18.(本小题6分)
如图，4张长为a、宽为b(a>b)的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为(a+b)的正方形，计算阴影部分的面积S(用含a，b的代数式表示)．
19.(本小题7分)
已知：如图，点A、D、C、B在同一条直线上，AD=BC，AE=BF，CE=DF，求证：AE/​/BF．
20.(本小题8分)
如图，在8×8的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，线段OM，ON的端点均在格点上．
(1)利用尺规作图，作出∠MON的平分线(不写画法，保留作图痕迹)；
(2)画一个四边形OMPN，使其是轴对称图形，且点P在格点上．
21.(本小题8分)
为筹办元旦联欢会，八年一班两次到超市购买同一款饮料，第一次按标价购买，用了96元；第二次超市有优惠活动，按标价的6折购买，用了72元，若两次一共购买了60瓶饮料，这种饮料的标价是多少？
22.(本小题10分)
在分式运算中，有时候逆用运算法则可以使问题得到简化.例如：由1n−1n+1=1n(n+1)，反过来可以得到1n(n+1)=1n−1n+1，从而把一个复杂的分式转化为两个分式的差，使计算更为简便，利用这种转化的思想解决下面问题：
(1)计算：12×3+13×4+14×5+15×6；
(2)一个容器装有1L水，按照如下要求把水倒出：第1次倒出12L第2次倒出的水量是12L的13，第3次倒出的水量是13L的14，第4次倒出的水量是14L的15……第n次倒出的水量是1nL的1n+1……按照这种倒水的方法，这1L水经过多少次可以倒完？
23.(本小题10分)
我们知道，角的平分线有很多特殊的性质.例如：
(1)如图①，已知DP是∠MDN的平分线，点A是DP上一点，若∠ABD+∠ACD=180°，则可以得到AB=AC，请说明理由．
(2)发现规律：连结BC，则△ABC是等腰三角形，如图②，在等腰三角形ABC底边的另一侧存在一点D，当∠ABD+∠ACD=180°时，请直接写出∠BDA与∠CDA的数量关系．
(3)请解决下列问题：如图③，等腰△ABC中，AB=AC，D是△ABC外一点，∠ABD=60°且2∠ADB+∠BDC=180°.求证：AB=BD+DC．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：−13−x=1−(3−x)=1x−3，
故选：A．
根据分式的基本性质即可求得答案．
本题考查分式的性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
2.【答案】D
【解析】【分析】
此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据轴对称图形的概念求解．
【解答】
解：A、不是轴对称图形，不合题意；
B、不是轴对称图形，不合题意；
C、不是轴对称图形，不合题意；
D、是轴对称图形，符合题意．
故选D．
3.【答案】D
【解析】解：由已知可得，
∠1=∠2，
则l为△ABC的角平分线，
故选：D．
根据翻折的性质和图形，可以判断直线l与△ABC的关系．
本题考查翻折变换、角平分线，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
4.【答案】C
【解析】解：设三角形第三边的长为x，由题意得：7−3所以4故选C．
5.【答案】B
【解析】解：A、a2⋅a3=a5，故此选项错误；
B、(−2ab)2=4a2b2，正确；
C、x2+3x2=4x2，故此选项错误；
D、−6a6÷2a2=−3a4，故此选项错误；
故选：B．
直接利用同底数幂的乘除运算法则以及合并同类项法则、整式的除法运算法则分别化简得出答案．
此题主要考查了整式的有关运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查三角形的内角和，解题的关键是掌握三角形的内角和定理．
先根据三角形的内角和得出∠CGF=∠DGB=45°，根据三角形的内角和算出∠DHG，再利用∠α=180°−∠DHG可得答案．
【解答】
解：如图，
∵∠ACD=GCF=90°，∠F=45°，
∴∠CGF=∠DGB=45°，
∵∠DHG=180°−∠D−∠DGB=180°−30°−45°=105°，
∴∠α=180°−∠DHG=180°−105°=75°，
故选：C．
7.【答案】C
【解析】解：由多边形的外角和等于360度，可得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360度．
故选：C．
多边形的外角和等于360度，依此即可求解．
考查了多边形内角与外角，关键是熟悉多边形的外角和等于360度的知识点．
8.【答案】B
【解析】解：A、−x2+4x=−x(x−4)，故A不符合题意；
B、x(x−y)+y(y−x)=(x−y)2，故B符合题意；
C、x2+xy+x=x(x+y+1)，故C不符合题意；
D、x2−4x+4=(x−2)2，故D不符合题意；
故选：B．
利用提公因式法与公式法，进行分解逐一判断即可解答．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
9.【答案】D
【解析】解：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠BEC=∠CDB=90°，
在△BCE和△CBD中，
∠BEC=∠CDB∠CBE=∠BCDBC=CB，
∴△BCE≌△CBD(AAS)，
∴CE=BD，∠BCE=∠CBD，
故①②正确，符合题意；
∵∠ABC=∠ACB，∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，
∴12∠BAC+∠ACB=90°，
∵BD⊥AC，
∴∠DBC+∠ACB=90°，
∴DBC=12∠BAC，
故③正确，符合题意；
∵∠BCE=∠CBD，
∴BF=CF，
在△ABF和△ACF中，
AB=ACBF=CFAF=AF，
∴△ABF≌△ACF(SSS)，
∴∠BAF=∠CAF，
∵AB=AC，
∴AF垂直平分BC，
故④正确，符合题意；
故选：D．
根据等腰三角形的性质得出∠ABC=∠ACB，利用AAS证明△BCE≌△CBD，根据全等三角形的性质可判断①②，根据三角形内角和定理及直角三角形的性质可判断③，利用SSS证明△ABF≌△ACF，根据全等三角形的性质及等腰三角形的性质可判断④．
此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：∵2+22=23−2；
2+22+23=24−2；
2+22+23+24=25−2，
…
∴2+22+23+…+2n=2n+1−2，
∴250+251+252+…+299+2100
=250×(1+2+22+…+249+250)
=250×(251−2)
=250×(2×250−2)，
∵250=a，
∴原式=a(2a−2)
=2a2−2a．
故选：A．
把所求的式子提取250，可得250×(1+2+22+…+249+250)，再利用所给的规律求解即可．
本题主要考查规律型：数字的变化类，解答的关键是对所给的规律的理解并运用．
11.【答案】7×10−9
【解析】【分析】
本题考查用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．与绝对值较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，据此可得答案．
【解答】
解：7纳米=0.000000007米=7×10−9米．
故答案为7×10−9．
12.【答案】AC=BC(答案不唯一)
【解析】【试题解析】
【分析】
此题主要考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．添加AC=BC，根据三角形高的定义可得∠ADC=∠BEC=90°，再证明∠EBC=∠DAC，然后再添加AC=BC可利用AAS判定△ADC≌△BEC．
【解答】
解：添加AC=BC，
∵△ABC的两条高AD，BE，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠DAC+∠C=90°，∠EBC+∠C=90°，
∴∠EBC=∠DAC，
在△ADC和△BEC中∠BEC=∠ADC∠EBC=∠DACAC=BC，
∴△ADC≌△BEC(AAS)，
故答案为：AC=BC(答案不唯一)．
13.【答案】(0,1)
【解析】解：如图所示：作B点关于y轴对称点B′点，连接AB′，交y轴于点P，则此时AP+PB=AP+PB′=AB′的值最小，
∵点B坐标为(−3,−2)，
∴B′(3,−2)，
∴DB′=3，
∵点A的坐标(−1,2)，
∴AC=5，
∴B′C=AC=5，
∴∠AB′C=45°，
∴PD=B′D=3，
∴OP=1
∴P(0,1)，
故答案为：(0,1)．
作B点关于y轴对称点B′点，连接AB′，交y轴于点P，则此时AP+PB最小，进而利用等腰直角三角形的性质与判定求得PD，便可求得P点的坐标．
此题主要考查了利用轴对称求最短路线，等腰直角三角形的性质与判定，两点的距离公式等知识，得出P点位置是解题关键．
14.【答案】220
【解析】解：由题意可得：U=IR1+IR2+IR3=I(R1+R2+R3)，
当R1=19.7，R2=32.4，R3=35.9，I=2.5时，
原式=2.5×(19.7+32.4+35.9)=220．
故答案为：220．
直接把已知数据代入进而求出答案．
此题主要考查了代数式求值，正确代入相关数据是解题关键．
15.【答案】1
【解析】解：∵△ABC为等边三角形，AD⊥BC，AB=4，
∴BC=AC=AB=4，BD=DC=2，∠BAC=∠ACB=60°，∠CAE=30°，
∵△CEF为等边三角形，
∴CF=CE，∠FCE=60°，
∴∠FCE=∠ACE，
∴∠BCF=∠ACE，
在△BCF和△ACE中，
BC=AC∠BCF=∠ACECF=CE，
∴△BCF≌△ACE(SAS)，
∴∠CBF=∠CAE=30°，
∵BF⊥DF，
∴∠BFD=90°，
∴DF=12BD=1，
故答案为：1．
由等边三角形的性质可得三角形全等的条件，从而可证△BCF≌△ACE，推出∠CBF=∠CAE=30°，利用含30°的直角三角形的性质定理可求DF的值．
本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，熟记全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质是解题的关键．
16.【答案】解：原式=4x2−(y+z)2=4x2−y2−2yz−z2．
【解析】原式先利用平方差公式化简，再利用完全平方公式展开即可得到结果．
此题考查了平方差公式，以及完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键．
17.【答案】解：(1)a2a−1−a−1
=a2a−1−(a+1)(a−1)a−1
=a2−(a2−1)a−1
=1a−1；
(2)2xyx2−y2÷(1x−y+1x+y)
=2xy(x+y)(x−y)÷x+y+x−y(x−y)(x+y)
=2xy(x+y)(x−y)÷2x(x+y)(x−y)
=2xy(x+y)(x−y)⋅(x+y)(x−y)2x
=y．
【解析】(1)先通分，再把分子相加减即可；
(2)先算括号里面的，再算除法即可．
本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
18.【答案】解：由图知，阴影部分的面积=(a+b)2−12×b×(a+b)−12a×b−12×b×(a+b)−12a×b−(a−b)2=2ab−b2．
【解析】根据阴影部分的面积等于大正方形面积减空白部分面积列代数式整理计算即可．
本题主要考查完全平方公式的几何背景，根据阴影部分的面积等于大正方形面积减空白部分面积列代数式是解题的关键．
19.【答案】证明：∵AD=BC，
∴AC=BD，且AE=BF，CE=DF
∴△ACE≌△BDF(SSS)
∴∠A=∠B
∴AE/​/BF
【解析】由“SSS”可证△ACE≌△BDF，可得∠A=∠B，即可证AE/​/BF．
本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键．
20.【答案】解：(1)如图，OA即为所求．
(2)如图，四边形OMPN即为所求(答案不唯一)．

【解析】(1)根据角平分线的作图方法利用尺规作图即可．
(2)根据轴对称图形的性质作图即可．
本题考查作图−轴对称变换，熟练掌握轴对称图形的性质是解答本题的关键．
21.【答案】解：设这种饮料的标价是x元/瓶，
根据题意得：96x+720.6x=60，
解得：x=3.6，
经检验，x=3.6是所列方程的解，且符合题意．
答：这种饮料的标价是3.6元/瓶．
【解析】设这种饮料的标价是x元/瓶，利用数量=总价÷单价，结合两次一共购买了60瓶饮料，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
22.【答案】解：(1)12×3+13×4+14×5+15×6
=12−13+13−14+14−15+15−16
=12−16
=13；
(2)∵12+12×13+13×14+……+1n×1n+1
=1−1n+1
=nn+1≠1，
∴这1L水永远倒不完．
【解析】(1)根据题中的运算法则进行拆项计算；
(2)根据题中的运算法则进行拆项计算．
本题考查了数字的变化类，找到变化规律是解题的关键．
23.【答案】(1)证明：如图①，过点A作AE⊥DM于点E，AF⊥DN于点F，
则∠AEB=∠AFC=90°，
∵DP是∠MDN的平分线，
∴AE=AF，
∵∠ABD+∠ACD=180°，∠ABD+∠ABE=180°，
∴∠ABE=∠ACF，
在△ABE和△ACF中，
∠ABE=∠ACF∠AEB=∠AFCAE=AF，
∴△ABE≌△ACF(AAS)，
∴AB=AC；
(2)解：∠BDA=∠CDA，理由如下：
如图②，过点A作AE⊥DB于点E，AF⊥DC于点F，
则∠AEB=∠AFC=90°，
∵∠ABD+∠ACD=180°，∠ABD+∠ABE=180°，
∴∠ABE=∠ACF，
∵△ABC是等腰三角形，BC是底边，
∴AB=AC，
在△ABE和△ACF中，
∠AEB=∠AFC∠ABE=∠ACFAB=AC，
∴△ABE≌△ACF(AAS)，
∴AE=AF，
∵AE⊥DB，AF⊥DC，
∴DA平分∠BDC，
∴∠BDA=∠CDA；
(3)证明：延长CD到点E，使ED=BD，连接AE，
∵∠BDC+2∠ADB=180°，
∴∠ADB=90°−12∠BDC，
∴∠ADE=180°−(90°−12∠BDC)−∠BDC=90°−12∠BDC，
∴∠ADE=∠ADB，
在△ADE和△ADB中，
ED=BD∠ADE=∠ADBAD=AD，
∴△ADE≌△ADB(SAS)，
∴AE=AB，∠E=∠ABD=60°，
∵AB=AC，
∴AE=AC，
∴△ACE是等边三角形，
∴CE=AC=AB，
∵CD=ED+DC，
∴AB=BD+DC．
【解析】(1)过点A作AE⊥DM于点E，AF⊥DN于点F，由角平分线的性质得AE=AF，再证∠ABE=∠ACF，然后证△ABE≌△ACF(AAS)，即可得出结论；
(2)过点A作AE⊥DB于点E，AF⊥DC于点F，证△ABE≌△ACF(AAS)，得AE=AF，再由角平分线的判定得DA平分∠BDC，即可得出结论；
(3)延长CD到点E，使ED=BD，连接AE，证△ADE≌△ADB(SAS)，得AE=AB，∠E=∠ABD=60°，再证△ACE是等边三角形，得CE=AC=AB，即可得出结论．
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定与性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质等知识，本题综合性强，熟练掌握角平分线的判定与性质和等边三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型．