新疆兵团地州学校2022-2023学年高二上学期期中联考数学试题（含答案）

兵团地州学校2022~2023学年第一学期期中联考

高二数学试卷

考生注意：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.

2.请将各题答案填写在答题卡上.

3.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册第一章至第三章第2节.

第I卷

一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.双曲线的焦距为（    ）

A.2    B.4    C.    D.

2.直线与直线的位置关系是（    ）

A.平行    B.垂直    C.重合    D.相交但不垂直

3.若三点共线，则（    ）

A.    B.    C.1    D.0

4.直线关于轴对称的直线方程为（    ）

A.    B.

C.    D.

5.如图，在四棱锥中，分别是的中点，则（    ）

A.    B.

C.    D.

6.如图，在正方体中，分别为的中点，则（    ）

A.平面    B.平面

C.平面    D.平面

7.已知点分别为圆与上一点，则的最小值为（    ）

A.    B.    C.3    D.6

8.已知斜率为且不经过原点的直线与椭圆相交于两点，若为线段的中点，且在轴上，则（    ）

A.    B.1    C.2    D.0

9.已知直线始终平分圆的周长，则的最小值为（    ）

A.    B.2    C.    D.

10.已知分别是椭圆的左､右焦点，过的直线与交于点，若，且，则（    ）

A.3    B.6    C.9    D.12

11.如图，在长方体中，点分别在棱上，且.若，则的最小值为（    ）

A.0    B.1    C.2    D.3

12.已知椭圆的左，右焦点分别为，上顶点为，离心率为，直线将分成面积相等的两部分，则的取值范围是（    ）

A.    B.    C.    D.

第II卷

二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.

13.若点关于原点的对称点为，则___________.

14.已知双曲线与直线无交点，则的取值范围是___________.

15.坐标原点到直线的距离的取值范围是___________.

16.很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数为24，棱长为的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得.若为线段的中点，则直线与直线所成角的余弦值为___________.

三､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17.（10分）

已知不过原点的直线在两坐标轴上的截距相等，且过点.

（1）求直线的方程；

（2）若圆经过原点和点，且圆心在直线上，求圆的标准方程.

18.（12分）

在平面直角坐标系中，已知点，点的轨迹为.

（1）求的方程；

（2）过点且倾斜角为的直线与交于两点，求的长度.

19.（12分）

如图，在棱长为2的正方体中，分别为棱的中点.

（1）求的长度；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

20.（12分）

已知圆，直线过点.

（1）若直线与圆相切，求直线的方程；

（2）若直线与圆相交于两点，求面积的最大值，并求此时直线的斜率.

21.（12分）

如图，点在内，是三棱锥的高，且是边长为6的正三角形，.

（1）求点到平面的距离；

（2）点是棱上的一点（不含端点），求平面与平面夹角余弦值的最大值.

22.（12分）

双曲线的左､右焦点分别是上的点到焦点的最小距离为1，一条渐近线的斜率为.

（1）求的方程.

（2）经过点且不垂直于轴的直线与交于两点.设是直线上关于轴对称的两点，试问直线与直线的交点是否在定直线上？若在，求出该定直线的方程；若不在，请说明理由.

兵团地州学校20222023学年第一学期期中联考

高二数学试卷参考答案

1.B  双曲线的焦距为4.

2.B  因为，所以这两条直线的位置关系是垂直.

3.A  因为，所以.

因为三点共线，所以，解得故.

4.C  设点是所求直线上任意一点，则关于轴的对称点为，且在直线上，代入可得，即.

5.A  .

6.C  以点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设，

则.

，

设平面的法向量为，则取.

因为与不平行，所以与平面不垂直，错误；

因为与不平行，所以与平面不垂直，B错误；

因为，所以平面，C正确；

因为，所以与平面不平行，错误.

7.A  圆的圆心坐标为，半径为1；圆的圆心坐标为，半径为.因为两圆的圆心距，所以两圆外离，.

8.D  设，则两式相减，得，

即.若在轴上，则.因为不经过原点，所以，则，故.

9.A  由题意得圆的标准方程为，则圆心的坐标为.

因为直线始终平分圆的周长，所以直线过圆的圆心，所以，

可得点在直线上，是原点到点的距离的平方.

因为原点到直线的距离，所以的最小值为.

10.B  由椭圆的定义可得.

在中，，则，即轴，故.

11.C  以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则.设，则，.

因为，所以，即，化简得.当时，

显然不符合题意.故，当且仅当时，等号成立.故的最小值为2.

12.D  由题意可得解得，所以椭圆的方程为.设直线与轴的交点为.因为直线将分成面积相等的两部分，所以，点在射线上.

设直线和的交点为，由可得即点的坐标为.

①如图1，若点和点重合，则点为线段的中点，即，此时.

②如图2，若点在点和点之间，此时，点在点和点之间.

易得，则，即，整理得，解得，所以.

③如图3，若点在点的左侧，则且，即.

设直线和的交点为，由，得即点的坐标为.，即，化简可得，两边开方可得，解得，所以.

综上，的取值范围是.

13.  点到原点的距离为，则.

14.  因为与直线无交点，所以直线应在两渐近线之间，故，解得.

15.  ，直线恒过点，且直线的斜率满足.如图所示，当直线的斜率为时，坐标原点到直线的距离最大，最大值为；当直线的斜率趋于时，坐标原点到直线的距离趋近1.故原点到直线的距离的取值范围为.

16.  将该半正多面体补成正方体，建立如图所示的空间直角坐标系.因为该半正多面体的棱长为，所以正方体的棱长为，，，故直线与直线所成角的

余弦值为.

17.解：（1）设直线，

将点代入可得，

所以直线的方程为.

（2）设原点为，直线的方程为.

线段的中点坐标为，线段的垂直平分线方程为，即.

联立解得所以圆的圆心坐标为.

圆的半径.

故圆的标准方程为.

18.解：（1）因为，

所以轨迹是以点为左､右焦点的椭圆.

设轨迹的方程为，则，解得，

所以轨迹的方程为.

（2）直线，即.

联立整理得.

设点，则.

故.

19.解：（1）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则.

.

（2）因为，所以.

设平面的法向量为，

则令，得.

因为，所以.

故直线与平面所成角的正弦值为.

20.解：（1）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时直线与圆相切，符合题意.

当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，

由题意知，圆心到直线的距离等于半径，

即，解得，可得直线的方程为，

当直线与圆相切时，直线的方程为或.

（2）直线与圆相交，斜率必定存在，设直线的方程为，即，则圆心，到直线的距离.

的面积为，

当时，面积的最大值为

，解得，

故面积的最大值为，此时直线的斜率为.

21.解：（1）取的中点，连接.

因为是三棱锥的高，即平面，所以.

易得，所以平面，所以.

又因为，所以点在上.

.

以为坐标原点，的方向分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则

，

.

设平面的法向量为，则即

取，则.

故点到平面的距离为.

（2）设平面的法向量为，

则即取，则.

，设，则.

.

设平面的法向量为，

则即取，则.

，

当且仅当时，等号成立.

故平面与平面夹角余弦值的最大值为.

22.解：（1）依题意解得.

故双曲线的方程为.

（2）由题意可设直线的方程为.

联立整理得.

设.

设，则直线的方程为，

直线的方程为，

两式相减得.

因为，

所以.

故直线与直线的交点在定直线上，该定直线的方程为.