专题1.7 直线和圆的方程（能力提升卷）-2023-2024学年高二数学必考考点各个击破（北师大版选择性必修第一册）

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姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！
选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（2022·山西·运城市景胜中学高二阶段练习）已知直线kx-y-3k+1=0，当k变化时，所有直线都恒过点（ ）
A．(0,0)
B．(0,1)
C．(2,1)
D．(3,1)
【答案】D
【分析】将直线方程整理为k(x-3)-(y-1)=0，从而可得直线所过的定点.
【详解】kx-y-3k+1=0可化为k(x-3)-(y-1)=0，∴直线过定点(3,1)，
故选：D.
2．（2023·全国·高三专题练习）设直线l的斜率为k，且-3A．0,π4∪2π3,πB．0,π6∪3π4,π
C．π4,2π3D．π3,3π4
【答案】A
【分析】根据斜率的定义，由斜率的范围可得倾斜角的范围.
【详解】因为直线l的斜率为k，且-3∴-3∴α∈2π3,π∪0,π4.
故选：A.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知直线l:ax-y+1=0，点A(1,-3)，B(2,3)，若直线l与线段AB有公共点，则实数a的取值范围是（ ）
A．[-4，1]B．[-14，1]
C．(-∞，-14]∪1+∞D．(-∞，-4]∪1+∞
【答案】A
【分析】若直线l与线段AB有公共点，由A、B在直线l的两侧（也可以点在直线上），得f(1,-3)f(2,3)≤0（f(x,y)=ax-y+1）可得结论．
【详解】若直线l与线段AB有公共点，则A、B在直线l的两侧（也可以点在直线上）.
令f(x,y)=ax-y+1，则有f(1，-3)f(2，3)≤0，即(a+3+1)(2a-3+1)⩽0.
解得-4⩽a⩽1，
故选：A.
4．（2022·全国·高二单元测试）若圆x2+y2=1上总存在两个点到点(a,1)的距离为2，则实数a的取值范围是（ ）
A．(-22,0)∪(0,22)B．(-22,22)
C．(-1,0)∪(0,1)D．(-1,1)
【答案】A
【分析】将问题转化为圆(x-a)2+(y-1)2=4与x2+y2=1相交，从而可得2-1【详解】到点(a,1)的距离为2的点在圆(x-a)2+(y-1)2=4上，
所以问题等价于圆(x-a)2+(y-1)2=4上总存在两个点也在圆x2+y2=1上，
即两圆相交，故2-1解得-22所以实数a的取值范围为(-22,0)∪(0,22)，
故选：A．
5．（2023·全国·高三专题练习）已知直线l：mx-y-3m+1=0恒过点P，过点P作直线与圆C：(x-1)2+(y-2)2=25相交于A，B两点，则|AB|的最小值为（ ）
A．45B．2C．4D．25
【答案】A
【分析】写出直线的定点坐标并判断与圆的位置关系，进而确定|AB|最小时直线与直线CP的位置关系，即可得结果.
【详解】由m(x-3)-y+1=0恒过P(3,1)，
又(3-1)2+(1-2)2=5<25，即P在圆C内，
要使|AB|最小，只需圆心C(1,2)与P的连线与该直线垂直，所得弦长最短，
由|CP|=5，圆的半径为5，
所以|AB|=2×25-5=45.
故选：A
6．（2022·河北省故城县高级中学高二阶段练习）直线ax+y-a=0(a∈R)与圆(x-2)2+y2=4的位置关系是（ ）
A．相离B．相交C．相切D．无法确定
【答案】B
【分析】根据点与圆的位置关系进行判断即可.
【详解】由ax+y-a=0⇒y=-a(x-1)，
所以直线ax+y-a=0恒过定点1,0，
因为(1-2)2+02<4，所以点1,0在圆(x-2)2+y2=4的内部，所以直线ax+y-a=0与圆(x-2)2+y2=4相交.
故选：B
7．（2023·全国·高三专题练习）P为⊙C:x2+y2-2x-2y=0上一点，Q为直线l:2x-2y-7=0上一点，则线段PQ长度的最小值为（ ）
A．324B．233C．223D．22
【答案】A
【分析】将圆C的方程化为标准方程，求出圆心到直线l的距离，减去半径可得出PQ的最小值.
【详解】圆C的标准方程为x-12+y-12=2，圆心为C1,1，半径r=2，
则圆心C到直线l的距离为d=2-2-722+22=722=724，
所以圆C上的点P到直线l上的点Q的最小距离PQmin=d-r=724-2=324，
故选：A．
【点睛】结论点睛：若直线l与圆C相离，点P是半径为r的圆C上的一点，圆心C到直线l的距离为d，则点P到直线l的距离h的取值范围是d-r≤h≤d+r.
8．（2022·全国·高三专题练习）已知直线l1：x-y+2=0，l2：x-y-2=0，直线l3垂直于l1，l2，且垂足分别为A，B，若C(-4，0)，D(4，0)，则|CA|+|AB|+|BD|的最小值为（ ）
A．10+22B．8+2C．210+22D．8
【答案】C
【分析】根据条件设出直线l3的方程x+y=2m，求出点A，B坐标，用m表示出|CA|+|AB|+|BD|，再借助几何意义即可计算得解.
【详解】因直线l3垂直于l1，l2，则设直线l3的方程为：x+y=2m(m∈R)，
由{x+y=2mx-y=-2得点A(m-1,m+1)，由{x+y=2mx-y=2得点B(m+1,m-1)，而C(-4，0)，D(4，0)，
于是得|CA|+|AB|+|BD|=(m+3)2+(m+1)2+22+(m-3)2+(m-1)2，
而(m+3)2+(m+1)2+(m-3)2+(m-1)2表示动点M(m,m)到定点E(-3,-1)与F(3,1)的距离的和，
显然，动点M(m,m)在直线y=x上，点E(-3,-1)与F(3,1)在直线y=x两侧，因此，|ME|+|MF|≥|EF|=210，
当且仅当点M是直线y=x与线段EF：y=13x(-3≤x≤3)的交点，即原点时取“=”，此时m=0，
从而得(m+3)2+(m+1)2+(m-3)2+(m-1)2取最小值210，
所以，当直线l3方程为：x+y=0时，|CA|+|AB|+|BD|取最小值210+22.
故选：C
多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（2021·福建·泉州市第六中学高二期中）已知圆C1：x2+y2-10x-10y=0和圆C2：x2+y2-6x+2y-40=0则（ ）
A．两圆相交B．公共弦长为410
C．两圆相离D．公切线长410
【答案】AB
【分析】先将圆的一般方程化为标准，再计算圆心间距离判断两圆的位置关系，最后根据两圆的位置关系求解公共弦长或公切线长得出答案.
【详解】圆C1的标准方程为：(x-5)2+(y-5)2=50，圆心为（5，5）半径为 r1=52
圆C2 的标准方程为：(x-3)2+(y+1)2=50，圆心为（3，-1）半径为 r2=52
所以两圆心的距离：d=(5-3)2+[5-(-1)]2=210，
∴0设两圆公共弦长为L，则有：(L2)2+(d2)2=r2(r=r1=r2)
∴L=410，选项B正确，选项D错误.
故选：AB
10．（2022·山东·菏泽市第三中学高二阶段练习）已知直线l:kx-y+2k=0和圆O:x2+y2=16，则（ ）
A．直线l恒过定点2,0
B．存在k使得直线l与直线l0:x-2y+2=0垂直
C．直线l与圆O相交
D．若k=-1，直线l被圆O截得的弦长为4
【答案】BC
【分析】利用直线系方程求出直线l所过定点坐标判断A、C；求出使得直线l与直线l0:x-2y+2=0垂直的k值判断B；根据弦长公式求出弦长可判断D.
【详解】解：对于A、C，由l:kx-y+2k=0，得k(x+2)-y=0，令x+2=0-y=0，解得x=-2y=0，
所以直线l恒过定点(-2,0)，故A错误；
因为直线l恒过定点(-2,0)，而-22+02=4<16，即(-2,0)在圆O:x2+y2=16内，
所以直线l与圆O相交，故C正确；
对于B，直线l0:x-2y+2=0的斜率为12，则当k=-2时，满足直线l与直线l0:x-2y+2=0垂直，故B正确；
对于D，k=-1时，直线l:x+y+2=0，圆心到直线的距离为d=0+0+212+12=2，
所以直线l被圆O截得的弦长为2r2-d2=242-22=214，故D错误.
故选：BC.
11．（2021·重庆市青木关中学校高二阶段练习）（多选）已知直线l:x-my+m-1=0，则下列说法正确的是（ ）．
A．直线l的斜率可以等于0
B．若直线l与y轴的夹角为30°，则m=33或m=-33
C．直线l恒过点2,1
D．若直线l在两坐标轴上的截距相等，则m=1或m=-1
【答案】BD
【分析】讨论m=0和m≠0时直线的斜率和截距情况，判断AD的正误；利用倾斜角和斜率的关系判断B的正误；将方程化为x-1-my-1=0判断直线过定点，判断C的正误.
【详解】当m=0时，直线l:x=1，斜率不存在，
当m≠0时，直线l的斜率为1m，不可能等于0，故A选项错误；
∵直线l与y轴的夹角角为30°，
∴直线l的倾斜角为60°或120°，而直线l的斜率为1m，
∴1m=tan60°=3或1m=tan120°=-3，∴m=33或m=-33，故B选项正确；
直线l的方程可化为x-1-my-1=0，所以直线l过定点1,1，故C选项错误；
当m=0时，直线l:x=1，在y轴上的截距不存在，
当m≠0时，令x=0，得y=m-1m，令y=0，得x=1-m，
令m-1m=1-m，得m=±1，故D选项正确．
故选：BD．
12．（2022·江苏·盐城中学高三开学考试）设圆O：x2+y2=1与y轴的正半轴交于点A，过点A作圆О的切线为l，对于切线l上的点B和圆О上的点C，下列命题中正确的是（ ）
A．若∠ABO=30°，则点B的坐标为3,1
B．若OB=2，则0°≤∠OBC≤30°
C．若∠OBC=30°，则OB=2
D．若∠ABC=60°，则OB≤2
【答案】BD
【分析】对A：在直角三角形OAB中即可求解；对B：当BC与圆О相切时，∠OBC最大；当B、O、C三点共线时，∠OBC最小，分两种情况讨论即可；对C、D：当BC与圆О相切时，∠OBC最大，即∠ABC最大，此时∠ABC=2∠OBC，分析点B在点-3,1和3,1之间变动即可求解.
【详解】解：对A：若∠ABO=30°，在直角三角形OAB中，由OA=1可得AB=3，所以点B的坐标为3,1或-3,1，故选项A错误；
对B：当BC与圆О相切时，∠OBC最大，此时在直角三角形OCB中，因为OB=2,OC=1，所以易得∠OBC=30∘；当B、O、C三点共线时，∠OBC最小，此时∠OBC=0∘.综上，0°≤∠OBC≤30°，故选项B正确；
对C、D：当BC与圆О相切时，∠OBC最大，即∠ABC最大，此时∠ABC=2∠OBC，当OB=2时，∠ABC=60∘，∠OBC=30∘.当点B在点-3,1和3,1之间变动时，∠ABC≥60∘，∠OBC≥30∘，所以若∠ABC=60°，即∠OBC=30°，则OB≤2.故选项C错误，选项D正确.
故选项：BD.
填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（2023·全国·高三专题练习）直线l1的斜率为k1=3，直线l2的倾斜角为l1的12，则直线l1与l2的倾斜角之和为________.
【答案】90°
【分析】由已知求得两直线的倾斜角，由此可求得答案．
【详解】解：因为l1的斜率k1=3，所以倾斜角为60°.
又l1的倾斜角为l1的12，所以l2的倾斜角为30°，
所以l1与l2的倾斜角之和为60°+30°=90°.
故答案为：90°．
14．（2020·天津·高考真题）已知直线x-3y+8=0和圆x2+y2=r2(r>0)相交于A,B两点．若|AB|=6，则r的值为_________．
【答案】5
【分析】根据圆的方程得到圆心坐标和半径，由点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离d，进而利用弦长公式|AB|=2r2-d2，即可求得r．
【详解】因为圆心(0,0)到直线x-3y+8=0的距离d=81+3=4，
由|AB|=2r2-d2可得6=2r2-42，解得r=5．
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查圆的弦长问题，涉及圆的标准方程和点到直线的距离公式，属于基础题．
15．（2022·全国·高二课时练习）已知圆C：(x﹣1)2+y2=1，点P(x0，y0)在直线x﹣y+1=0上运动.若C上存在点Q，使∠CPQ=30°，则x0的取值范围是___________.
【答案】-1,1
【分析】首先根据题意画出图形，根据题意得到符合条件的点在以1,0为圆心，2为半径的圆与直线交于P，P1两点之间，再联立方程组求解即可.
【详解】
如图圆C1,0，P在直线x-y+1=0上，
若圆存在点Q，使得∠CPQ=30∘，
当P在直线x-y+1=0上运动，极端情况，PQ与圆C相切，∠CPQ=30∘.
在RT△CPQ中，CQ=1，所以CP=2.
所以以1,0为圆心，2为半径的圆与直线交于P，P1两点.
符合条件的点在线段PP1之间.
所以x-y+1=0x-12+y2=4⇒x=1y=2或x=-1y=0.
故x0的取值范围为-1,1.
故答案为：-1,1
16．（2022·全国·高二课时练习）已知实数x、y满足方程x2+y2-4x+1=0．求：yx的取值范围为_______；y-x的最小值为________ ；x2+y2的取值范围为__________.
【答案】 -3,3 -2-6 7-43,7+43
【分析】设yx=k，可得出直线kx-y=0与圆x-22+y2=3有公共点，可求得k的取值范围；设y-x=b，可得出直线x-y+b=0与圆x-22+y2=3有公共点，可求得b的取值范围；设x2+y2=r2r>0，可得出圆x2+y2=r2与圆x-22+y2=3有公共点，可求得r的取值范围，即可求得x2+y2的取值范围.
【详解】圆x2+y2-4x+1=0的标准方程为x-22+y2=3，圆心为2,0，半径为3.
设yx=k，可得kx-y=0，则直线kx-y=0与圆x-22+y2=3有公共点，
则2kk2+1≤3，解得-3≤k≤3，则yx的取值范围为-3,3；
设y-x=b，可得x-y+b=0，则直线x-y+b=0与圆x-22+y2=3有公共点，
则b+22≤3，解得-2-6≤b≤-2+6，则y-x的最小值为-2-6；
设x2+y2=r2r>0，由于0-22+02>3，则原点在圆x-22+y2=3外，
因为圆x2+y2=r2与圆x-22+y2=3有公共点，圆心距为d=2，
故r+3≤2≤r-3，解得2-3≤r≤2+3，故7-43≤x2+y2≤7+43.
即x2+y2的取值范围为7-43,7+43.
故答案为：-3,3；-2-6；7-43,7+43.
解答题（共6小题，满分70分）
17．（2021·全国·高二课时练习）已知直线l1经过点A3,a，Ba-2,3，直线l2经过点A,C6,5，且l1⊥l2，求实数a的值.
【答案】0或5
【分析】分直线l1的斜率存在和不存在两种情况讨论，即得解
【详解】①当直线l1的斜率不存在时，a-2=3，解得a=5.
此时A3,5，C6,5，直线l2的斜率为0，满足l1⊥l2.
②当直线l1的斜率存在时，
直线l1的斜率k1=3-aa-2-3=3-aa-5，
直线l2的斜率k2=a-53-6=5-a3，
∵l1⊥l2，∴k1⋅k2=3-aa-5⋅5-a3=-1，∴a=0.
综上，实数a的值为0或5.
18．（2023·全国·高三专题练习）已知直线l：5ax-5y-a+3=0.
（1）求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；
（2）为使直线l不经过第二象限，求a的取值范围.
【答案】（1）证明见解析；（2）a≥3.
【分析】（1）将直线方程整理得到a5x-1+-5y+3=0，求出直线所过定点，即可证明结论成立；
（2）根据直线的特征，列出不等式求解，即可得出结果.
【详解】（1）∵直线l为5ax-5y-a+3=0，
即a5x-1+-5y+3=0，
∴5x-1=0-5y+3=0，解得x=15y=35，
∴不论a为何值，直线l总过第一象限的点15,35，
即直线l过第一象限；
（2）因为直线5ax-5y-a+3=0的斜率显然存在，
又直线l不经过第二象限，直线l过第一象限，
所以斜率只能为正，且直线与y轴不能交于正半轴；
因此a>0-a+35≤0；解得a≥3，
∴a的取值范围是a≥3.
19．（2021·全国·高二专题练习）已知圆C过点A3,1,B5,3，圆心在直线y=x上.
（1）求圆C的方程.
（2）判断点P(2，4)与圆C的关系
【答案】（1）x-32+y-32=4；（2）P在圆C内部.
【分析】(1)由给定条件设出圆心Ca,a、半径r，进而写出圆的标准方程，再列出关于a，r的方程组即可得解
(2)求出点P与点C的距离，再将它与r比较即可得解.
【详解】（1）由题意设圆心为Ca,a，半径为r，则圆的标准方程为(x-a)2+y-a2=r2，
由题意得(3-a)2+1-a2=r2(5-a)2+3-a2=r2，解得a=3r=2，
所以圆C的标准方程为x-32+y-32=4；
（2）由(1)知PC=(3-2)2+(3-4)2=2 P(2，4)在圆C内.
20．（2021·广东肇庆·高二期末）已知圆C过点M-4,5，N0,5，且圆心在x轴上．
(1)求圆C的方程；
(2)设直线l:mx-y+1=0与圆C相交于A，B两点，若MA⊥MB，求实数m的值．
【答案】(1)x+22+y2=9
(2)m=12
【分析】（1）设圆C的半径为r，圆心Ca,0，由距离公式得出圆C的方程；
（2）由MA⊥MB得出直线l过圆心C-2,0，从而得出m的值.
(1)设圆C的半径为r，圆心Ca,0，由题意得
r2=a+42+52,r2=a2+52,解得a=-2,r=3,
∴圆C的方程为x+22+y2=9．
(2)∵点M在圆上，且MA⊥MB，
∴直线l过圆心C-2,0，∴-2m-0+1=0，解得m=12．
21．（2022·江苏省灌南高级中学高二开学考试）已知圆C经过坐标原点O，圆心在x轴正半轴上，且与直线3x+4y-8=0相切．
（1）求圆C的标准方程；
（2）直线l:y=kx+2与圆C交于A，B两点．
①求k的取值范围；
②证明：直线OA与直线OB的斜率之和为定值．
【答案】（1）x-12+y2=1；（2）（ⅰ）-∞,-34；（ⅱ）具体见解析.
【分析】（1）设出圆心，进而根据题意得到半径，然后根据圆与直线相切求出圆心，最后得到答案；
（2）（ⅰ）联立直线方程和圆的方程并化简，根据判别式大于零即可得到答案；
（ⅱ）设出两点坐标，进而通过根与系数的关系与坐标公式进行化简，即可得到答案.
【详解】（1）由题意，设圆心为Ca,0(a>0)，因为圆C过原点，所以半径r=a，
又圆C与直线3x+4y-8=0相切，所以圆心C到直线的距离d=|3a-8|5=a⇒a=1（负值舍去），所以圆 C的标准方程为：x-12+y2=1.
（2）（ⅰ）将直线l代入圆的方程可得：k2+1x2+4k-2x+4=0，因为有两个交点，
所以Δ=4k-22-16k2+1>0⇒k<-34，即k的取值范围是-∞,-34.
（ⅱ）设Ax1,y1,Bx2,y2，由根与系数的关系：x1+x2=-4k-2k2+1x1+x2=4k2+1，
所以kOA+kOB=y1x1+y2x2=kx1+2x1+kx2+2x2=2x1+x2x1x2+2k =-2⋅4k-2k2+14k2+1+2k=1.
即直线OA,OB斜率之和为定值.
22．（2022·江苏·高二单元测试）已知圆C1：x2+y2+2x+2y-8=0与C2：x2+y2-2x+10y-24=0相交于A、B两点．
(1)求公共弦AB所在的直线方程；
(2)求圆心在直线y＝－x上，且经过A、B两点的圆的方程；
(3)求经过A、B两点且面积最小的圆的方程．
【答案】(1)x－2y＋4＝0
(2)x2+y2+6x-6y+8=0
(3)(x+2)2+(y-1)2=5
【分析】（1）两圆相减，可得公共弦所在直线方程；
（2）首先设圆系方程x2+y2+2x+2y-8+λ(x2+y2-2x+10y-24)=0（λ为常数），根据圆心在直线y=-x上，求λ，即可求得圆的方程；
（3）面积最小的圆，就是以线段AB为直径的圆，即可求得圆心和半径.
（1）将两圆方程相减得x－2y＋4＝0，此即为所求直线方程．
（2）设经过A、B两点的圆的方程为x2+y2+2x+2y-8+λ(x2+y2-2x+10y-24)=0（λ为常数），
则圆心坐标为(λ-11+λ,-1-5λ1+λ)；又圆心在直线y＝－x上，故λ-11+λ+-1-5λ1+λ=0，
解得λ=-12，故所求方程为x2+y2+6x-6y+8=0．
（3）由题意可知以线段AB为直径的圆面积最小．两圆心所在直线方程为2x＋y＋3＝0，
与直线AB方程联立得所求圆心坐标为(-2,1)，由弦长公式可知所求圆的半径为5．
故面积最小的圆的方程为(x+2)2+(y-1)2=5．