专题1.6 直线和圆的方程（基础巩固卷）-2023-2024学年高二数学必考考点各个击破（北师大版选择性必修第一册）

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姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！
选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（2022·浙江·高三学业考试）圆(x-1)2+y2=3的圆心坐标和半径分别是（ ）
A．(-1，0)，3B．(1，0)，3
C．-1,0,3D．1,0,3
【答案】D
【分析】根据圆的标准方程，直接进行判断即可.
【详解】根据圆的标准方程可得，
(x-1)2+y2=3的圆心坐标为(1,0)，半径为3，
故选：D.
2．（2022·全国·高二单元测试）若点P(1,1)在圆C:x2+y2+x-y+k=0的外部，则实数k的取值范围是（ ）
A．(-2,+∞)B．[-2,-12)C．(-2,12)D．(-2,2)
【答案】C
【分析】由于点P(1,1)在圆C:x2+y2+x-y+k=0的外部，所以{1+1+1-1+k>01+1-4k>0，从而可求出k的取值范围
【详解】解：由题意得{1+1+1-1+k>01+1-4k>0，解得-2故选：C．
3．（2022·江苏·高二课时练习）直线2x+3y-6=0关于点(1,1)对称的直线方程为（ ）
A．3x-2y+2=0B．2x+3y+7=0
C．3x-2y-12=0D．2x+3y-4=0
【答案】D
【分析】设对称的直线方程上的一点的坐标为x，y,则其关于点1,1对称的点的坐标为(2-x,2-y),代入已知直线即可求得结果.
【详解】设对称的直线方程上的一点的坐标为x，y,则其关于点1,1对称的点的坐标为(2-x,2-y)，以(2-x,2-y)代换原直线方程中的(x,y)得22-x+32-y-6=0，即2x+3y-4=0.
故选：D.
4．（2020·全国·高考真题（理））若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x-y-3=0的距离为（ ）
A．55B．255C．355D．455
【答案】B
【分析】由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为(a,a),a>0，可得圆的半径为a，写出圆的标准方程，利用点(2,1)在圆上，求得实数a的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线2x-y-3=0的距离.
【详解】由于圆上的点(2,1)在第一象限，若圆心不在第一象限，
则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，
设圆心的坐标为(a,a)，则圆的半径为a，
圆的标准方程为(x-a)2+(y-a)2=a2.
由题意可得(2-a)2+(1-a)2=a2，
可得a2-6a+5=0，解得a=1或a=5，
所以圆心的坐标为(1,1)或(5,5)，
圆心到直线的距离均为d1=|2×1-1-3|5=255；
圆心到直线的距离均为d2=|2×5-5-3|5=255
圆心到直线2x-y-3=0的距离均为d=|-2|5=255；
所以，圆心到直线2x-y-3=0的距离为255.
故选：B.
【点睛】本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.
5．（2022·全国·高二单元测试）在直角坐标平面内，与点A(0,3)距离为2，且与点B(4,0)距离为3的直线共有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
【答案】C
【分析】根据直线是否存在斜率，分类讨论，利用点到直线距离公式进行求解即可.
【详解】当直线不存在斜率时，设为x=a，由题意可知：a-0=2且a-4=3，
没有实数a使得两个式子同时成立；
当直线存在斜率时，设直线方程为：y=kx+b⇒kx-y+b=0，
点A(0,3)到该直线的距离为2，所以有-3+bk2+(-1)2=2(1)，
点B(4,0)到该直线的距离为3，所以有4k+bk2+(-1)2=3(2)，
由(1)(2)得：b=8k+9或b=9-8k5，
当b=8k+9时，代入(1)中，得15k2+24k+8=0，
该方程的判别式Δ=242-4×15×8=96>0，该方程有两个不相等的实数根，
当b=9-8k5时，代入(1)中，得9k2-24k+16=0，
该方程的判别式Δ=(-24)2-4×9×16=0，该方程有两个相等的实数根，
所以这样的直线共有三条，
故选：C.
【点睛】关键点睛：本题的关键是解方程组.
6．（2023·全国·高三专题练习）已知圆C1:x2+y2+4x-2y-4=0，C2:x+322+y-322=112，则这两圆的公共弦长为（ ）
A．4B．22C．2D．1
【答案】C
【分析】先求出两圆的公共弦所在直线的方程，用垂径定理求弦长.
【详解】由题意知C1:x2+y2+4x-2y-4=0，C2:x2+y2+3x-3y-1=0，将两圆的方程相减，得x+y-3=0，所以两圆的公共弦所在直线的方程为x+y-3=0.
又因为圆C1的圆心为(-2,1)，半径r=3，所以圆C1的圆心到直线x+y-3=0的距离d=-2+1-32=22.所以这两圆的公共弦的弦长为2r2-d2=232-222=2.
故选：C.
7．（2021·全国·高二课时练习）设A2,-3，B-3,-2，直线l过点P1,2且与线段AB相交，则l的斜率k的取值范围是（ ）
A．k≤-1或k≥5B．-5≤k≤1
C．-1≤k≤5D．k≤-5或k≥1
【答案】D
【分析】如图，求出kPA,kPB可得斜率k的取值范围.
【详解】
由题设可得kPA=2-(-3)1-2=-5,kPB=-2-2-3-1=1，
因为直线l与线段AB相交，则k≥1或k≤-5，
故选：D.
8．（2020·全国·高考真题（文））已知圆x2+y2-6x=0，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（ ）
A．1B．2
C．3D．4
【答案】B
【分析】当直线和圆心与点(1,2)的连线垂直时，所求的弦长最短，即可得出结论.
【详解】圆x2+y2-6x=0化为(x-3)2+y2=9，所以圆心C坐标为C(3,0)，半径为3，
设P(1,2)，当过点P的直线和直线CP垂直时，圆心到过点P的直线的距离最大，所求的弦长最短，此时|CP|=(3-1)2+(-2)2=22
根据弦长公式得最小值为29-|CP|2=29-8=2.
故选：B.
【点睛】本题考查圆的简单几何性质，以及几何法求弦长，属于基础题.
多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（2022·江西上饶·高二开学考试）如果AB<0，BC>0，那么直线Ax+By+C=0经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】ACD
【分析】把直线方程的一般式化为斜截式，从而可判断直线经过的象限.
【详解】因为AB<0，故B≠0，故直线的斜截式方程为：y=-ABx-CB，
因为AB<0，BC>0，故-AB>0,-CB<0，
故直线经过第一象限、第三象限、第四象限，
故选：ACD.
10．（2021·全国·高考真题）已知点P在圆x-52+y-52=16上，点A4,0、B0,2，则（ ）
A．点P到直线AB的距离小于10
B．点P到直线AB的距离大于2
C．当∠PBA最小时，PB=32
D．当∠PBA最大时，PB=32
【答案】ACD
【分析】计算出圆心到直线AB的距离，可得出点P到直线AB的距离的取值范围，可判断AB选项的正误；分析可知，当∠PBA最大或最小时，PB与圆M相切，利用勾股定理可判断CD选项的正误.
【详解】圆x-52+y-52=16的圆心为M5,5，半径为4，
直线AB的方程为x4+y2=1，即x+2y-4=0，
圆心M到直线AB的距离为5+2×5-412+22=115=1155>4，
所以，点P到直线AB的距离的最小值为1155-4<2，最大值为1155+4<10，A选项正确，B选项错误；
如下图所示：
当∠PBA最大或最小时，PB与圆M相切，连接MP、BM，可知PM⊥PB，
BM=0-52+2-52=34，MP=4，由勾股定理可得BP=BM2-MP2=32，CD选项正确.
故选：ACD.
【点睛】结论点睛：若直线l与半径为r的圆C相离，圆心C到直线l的距离为d，则圆C上一点P到直线l的距离的取值范围是d-r,d+r.
11．（2022·江苏省郑梁梅高级中学高二阶段练习）（多选题）光线自点2,4射入，经倾斜角为135∘的直线l:y=kx+1反射后经过点5,0，则反射光线还经过下列哪个点（ ）
A．14,2B．14,98C．13,2D．13,1
【答案】BD
【分析】求出点2,4关于直线l的对称点的坐标，求出反射光线所在直线的方程，逐一验证各选项中的点是否在反射光线所在直线上，由此可得出合适的选项.
【详解】因为直线l的倾斜角为135∘，所以直线l的斜率为k=-1，
设点2,4关于直线l:y=-x+1的对称点为m,n，
则n-4m-2=1n+42=-m+22+1，解得m=-3n=-1，
所以，反射光线经过点-3,-1和点5,0，反射光线所在直线的斜率为-1-0-3-5=18，
则反射光线所在直线的方程为y=18x-5，
当x=14时，y=98；当x=13时，y=1.
故选：BD.
【点睛】结论点睛：若点Px1,y1与点P2x2,y2关于直线l:Ax+By+C=0对称，由方程组A⋅x1+x22+B⋅y1+y22+C=0y2-y2x2-x1⋅-AB=-1可得到点P1关于直线l的对称点P2的坐标x2,y2（其中B≠0，x1≠x2）.
12．（2021·吉林·长春市第二实验中学高二期中）设圆:x2+y2-2x-2y-2=0的圆心为 C ，P5,1 为圆外一点，过P作圆C的两条切线，切点分别为A,B ，则（ ）
A．PA=PB=23B．P,A,C,B四点共圆C．∠APB=60∘D．直线AB的方程为：x=2
【答案】ABCD
【分析】首先将圆的方程配成标准式，即可求出圆心坐标与半径，再利用勾股定理求出切线上，利用锐角三角函数的性质求出∠CPB、A,B的横坐标，即可判断CD；依题意可得D3,1到P,A,C,B四点的距离相等，即可判断B；
【详解】解：因为C:x2+y2-2x-2y-2=0，即x-12+y-12=4，则圆心C1,1，半径r=2，PC=5-12+1-12=4所以PA=PB=PC2-r2=42-22=23，故A正确；在Rt△BCP中，PC=4，BC=2，所以sin∠CPB=12，即∠CPB=30°，所以∠APB=2∠CPB=60°，∠BCP=∠ACP=60°，所以A,B点的横坐标为2，所以直线AB的方程为x=2，故C、D正确；
如图直线PC与圆C相交于点D3,1，显然DC=DB=DP=AD=2，故P,A,C,B四点共圆，故B正确；
故选：ABCD
填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（2023·全国·高三专题练习）直线l1的斜率为k1=3，直线l2的倾斜角为l1的12，则直线l1与l2的倾斜角之和为________.
【答案】90°
【分析】由已知求得两直线的倾斜角，由此可求得答案．
【详解】解：因为l1的斜率k1=3，所以倾斜角为60°.
又l1的倾斜角为l1的12，所以l2的倾斜角为30°，
所以l1与l2的倾斜角之和为60°+30°=90°.
故答案为：90°．
14．（2021·上海·高二专题练习）过点C(1,2)，且与直线x-y-2=0垂直的直线方程为______.
【答案】x+y-3=0
【分析】先由垂直关系求出所求直线的斜率，再利用点斜式可求出直线方程
【详解】解：因为所求直线与直线x-y-2=0垂直，
所以所求直线的斜率为-1，
因为所求直线过点C(1,2)，
所以所求直线方程为y-2=-(x-1)，即x+y-3=0，
故答案为：x+y-3=0
【点睛】此题考查两直线的位置关系，考查直线方程的求法，属于基础题
15．（2021·全国·高二课前预习）已知直线l1与l2：x＋y－1＝0平行，且l1与l2的距离为2，则l1的方程为________．
【答案】x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0
【分析】根据两直线平行时，直线方程的特点，结合平行线距离公式进行求解即可.
【详解】设l1的方程为x＋y＋C＝0(C≠－1)，由题意得|C+1|2＝2，得C＝1或C＝－3，故所求的直线方程为x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.
故答案为：x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0
16．（2022·全国·高二单元测试）圆x2+y-12=1的圆心到直线x+y+1=0的距离为___________.
【答案】2
【分析】首先求出圆心坐标，再利用点到线的距离公式计算可得；
【详解】解：圆x2+y-12=1的圆心坐标为0,1，所以圆心到直线x+y+1=0的距离d=1+112+12=2
故答案为：2
解答题（共6小题，满分70分）
17．（2022·江苏·高二课时练习）过点P(0,-1)的直线l与以A(3,2)、B(2,-3)为端点的线段AB有交点，求直线l的倾斜角α的取值范围．
【答案】0,π4∪3π4,π
【分析】作出图形，利用斜率公式分别求得kl1=1，kl1=-1，根据题意得到tanα≤1或tanα≥-1，即可求解.
【详解】如图所示，因为P(0,-1)，A(3,2)，B(2,-3)，
可得kl1=2-(-1)3-0=1，kl1=-3-(-1)2-0=-1，
要使得直线l与以A(3,2)、B(2,-3)为端点的线段AB有交点，
设直线l的倾斜角为α，其中[0,π)，则满足tanα≤1或tanα≥-1，
解得0≤α≤π4或3π4≤α<π，即直线l的倾斜角α的取值范围α∈0,π4∪3π4,π.
18．（2021·福建·泉州市第六中学高二期中）在△ABC中，已知A(0,1)，B(5,-2)，C(3,5).
（1）求边BC所在的直线方程；
（2）求△ABC的面积.
【答案】（1）7x+2y-31=0；（2）292.
【分析】（1）由直线方程的两点式可得；
（2）先求直线AC方程，再求B到AC的距离，最后用面积公式计算即可.
【详解】（1）∵B(5,-2)，C(3,5)，
∴边BC所在的直线方程为y-(-2)5-(-2)=x-53-5，即7x+2y-31=0；
（2）设B到AC的距离为d，
则S△ABC=12|AC|·d，
|AC|=(3-0)2+(5-1)2=5，
AC方程为：y-15-1=x-03-0即：4x-3y+3=0
∴d=|5×4-3×(-2)+3|42+(-3)2=295.
∴S△ABC=12×5×295=292.
19．（2022·河南·南阳市创新高级中学高二阶段练习）已知直线l1:(m+2)x+my-8=0与直线l2:mx+y-4=0,m∈R．
（1）若l1//l2，求m的值；
（2）若点P1,m在直线l2上，直线l过点P，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线l的方程．
【答案】（1）m=-1，（2）x-y+1=0或y=2x
【分析】（1）由题意可知m≠0，所以可得m+2m=m1≠-8-4，从而可求出m的值；
（2）将点P1,m的坐标代入直线l2的方程中，求出m的值，从而可得点P的坐标，然后设出直线l方程，利用两坐标轴上的截距之和为0，列方程可求出直线方程
【详解】解：（1）因为l1//l2，所以m≠0，且m+2m=m1≠-8-4，
由m+2m=m1，得m2-m-2=0，解得m=-1或m=2（舍去）
所以m=-1，
（2）因为点P1,m在直线l2上，
所以m+m-4=0，得m=2，所以点P的坐标为(1,2)，
所以设直线l的方程为y-2=k(x-1)（k≠0），
令x=0，则y=2-k，令y=0，则x=1-2k，
因为直线l在两坐标轴上的截距之和为0，
所以1-2k+2-k=0，解得k=1或k=2，
所以直线l的方程为x-y+1=0或y=2x
20．（2021·全国·高二专题练习）直线l过点A1,2且与直线x+2y+1=0垂直.
（1）求直线l的方程；
（2）求圆心在直线l上且过点O0,0、B2,0的圆的方程.
【答案】（1）y=2x；（2）x-12+y-22=5.
【分析】（1）设直线l的方程为2x-y+c=0，将点A的坐标代入直线l的方程，求出c的值，即可得出直线l的方程；
（2）设圆心的坐标为a,2a，根据已知条件可得出关于实数a的等式，求出a的值，可得出圆心坐标以及圆的半径，进而可得出所求圆的方程.
【详解】（1）因为直线l与直线x+2y+1=0垂直，则直线l的方程可设为2x-y+c=0，
又因为直线l过点A1,2，所以2×1-2+c=0，即c=0，
所以直线l的方程为y=2x；
（2）因为圆心在直线l:y=2x上，所以圆心坐标可设为a,2a，
又因为该圆过点O0,0、B2,0，
所以有a-02+2a-02=a-22+2a-02，解得a=1，
所以圆心坐标为1,2，半径r=1-02+2-02=5，
故圆的方程为x-12+y-22=5.
21．（2021·四川省南充市嘉陵第一中学高二阶段练习）已知直线l：x+2y-4=0．
(1)已知圆C的圆心为(1,4)，且与直线l相切，求圆C的方程；
(2)求与l垂直，且与两坐标轴围成的三角形面积为4的直线方程．
【答案】（1）(x-1)2+(y-4)2=5；（2）y=2x±4．
【分析】（1）由已知结合点到直线距离公式求得半径，代入圆的标准方程得答案；
（2）设出所求直线方程，分别求出直线在两坐标轴上的截距，代入三角形面积公式，求解得答案．
【详解】(1)圆C的圆心(1,4)到直线l：x+2y-4=0的距离d=|1×1+2×4-4|5=5，
即所求圆的半径为r=5，∴圆C的方程为(x-1)2+(y-4)2=5；
(2)直线l的斜率k=-12，则设所求直线方程为y=2x+b，
取x=0，可得y=b，取y=0，可得x=-b2．
由题意可得，S=12⋅|b|⋅|-b2|=4，解得b=±4．
∴所求直线方程为y=2x±4．
【点睛】本题考查直线方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用及直线的截距的应用，是基础题．
22．（2022·江苏·高二单元测试）已知圆C的圆心为原点，且与直线3x+4y-10=0相切，直线l过点M1，2．
(1)求圆C的标准方程；
(2)若直线l与圆C相切，求直线l的方程．
(3)若直线l被圆C所截得的弦长为23，求直线l的方程．
【答案】(1)x2+y2=4
(2)y=2，或4x+3y-10=0
(3)3x-4y+5=0或x=1
【分析】（1）利用点到直线的距离求出半径，即可得到圆C的标准方程；
（2）分类讨论直线斜率不存在与存在的情况，当斜率存在时，设出直线，利用点到直线距离等于半径求出斜率，即可求解；
（3）分类讨论直线斜率不存在与存在的情况，利用圆的垂径定理，列出弦长公式进行求解.
（1）
圆心0，0到直线3x+4y-10=0的距离d=-1032+42=2，
所以圆C1的半径为2，
所以x2+y2=4；
（2）
当直线斜率不存在时，圆心到直线的距离为1直线斜率存在，设直线l：y-2=kx-1，
由d=2-k1+k2=2，得k=0或k=-43所以切线方程为y=2，或4x+3y-10=0．
（3）
当直线斜率不存在时，x=1，直线l被圆C1所截得的弦长为23，符合题意；
当直线斜率存在时，设直线l：y-2=kx-1，
由k-2k2+12+32=4，解得：k=34，
故l的方程是y-2=34(x-1)，即3x-4y+5=0，
综上所述，直线l的方程为3x-4y+5=0或x=1