28.1 锐角三角函数-人教版九年级数学下册精品讲义

第二十八章 锐角三角函数28.1 锐角三角函数目标导航知识精讲知识点01 锐角三角函数1.锐角三角函数在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.(1)正弦：把锐角A的对边与斜边的比叫作∠A的正弦，记作sin A =ac.(2)余弦：把锐角A的邻边与斜边的比叫作∠A的余弦，记作 cosA==bc.(3)正切：把锐角A的对边与邻边的比叫作∠A的正切，记作 tanA==ab.锐角A的正弦、余弦、正切都叫作∠A的锐角三角函数。【微点拨】锐角三角函数都不能取负值：00.2.三角函数的增减性(1)当角度在0°~90°间变化时，正弦值(正切值)随着角度的增大(或减小)而增大(或减小).(2)当角度在0°~90°间变化时，余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大).3.互余两角的正弦和余弦之间的关系任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值.即:若∠A+∠B=90°，则sinA=cos(90°-A)=cos B， cos A=sin(90°-A)=sin B.4.同角三角函数关系(1) sin²A+cos²A=1 2tanA=sinAcosA【即学即练1】如图，已知是斜边边上的高，那么下列结论正确的是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用直角三角形的边角间关系，计算得结论．【详解】解：∵是斜边边上的高，∴都是直角三角形．在中，∵，故选项B不正确；在中，∵，故选项A、C不正确．在中，∵，∴．∴，故选项D正确．故选：D．知识点02 特殊角的三角函数值【即学即练2】【答案】【分析】代入特殊角三角函数值进行计算即可．【详解】解：原式 ．能力拓展考法01 由特殊角的三角函数值判断三角形的形状【典例1】在ABC中， ，则ABC一定是（    ）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形【答案】D【分析】结合题意，根据乘方和绝对值的性质，得，，从而得，，根据特殊角度三角函数的性质，得，；根据等腰三角形和三角形内角和性质计算，即可得到答案．【详解】解：∵∴，∴，∴，∴，∴，∴ABC一定是等腰直角三角形故选：D．考法02 同角的三角函数关系【典例2】如图，在△ABC中，∠C=90°, ∠A=30°．以点B为圆心画弧，分别交BC、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN为半径画弧，两弧交于点P，画射线BP交AC于点D．若点D到AB的距离为1,则AC的长是（　　）A．2 B．3 C． D．+1【答案】B【分析】过点D作DEAB于E，则DE=1，先计算出∠ABD=30°，在中，由直角三角形的性质求出BE，利用等腰三角形的性质求出AB，最后在中求出AC的长．【详解】解：如图，过点D作DEAB于E，则DE=1， ∠C=90°, ∠A=30°，由尺规作图，知PB是的平分线，，，，， 在中，  ，在中， ,故选：B分层提分题组A 基础过关练1．已知中，，，，则等于（　　）A．6 B． C．10 D．8【答案】C【分析】直接利用锐角三角三角函数关系得出BC的长，然后利用勾股定理求解即可．【详解】解：如图所示：，，，∵，∴，∴．故选C．2．已知在中，，那么下列三角比的值是的是（  ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据锐角三角函数的正弦，余弦，正切，余切的定义判断即可．【详解】解：在中，，，，，，故选：C．3．如图，在直角坐标平面内，点P与原点O的距离，线段OP与x轴正半轴的夹角为，且，则点P的坐标是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意作x轴的垂线，根据，且，从而求出横坐标，再求点P的坐标就容易了．【详解】过P作x轴的垂线，交x轴于点A，∵，，∴，∴，∴．∴点P的坐标是．故选：D．4．在中，，若，，则等于（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据勾股定理求出，再根据锐角三角函数的定义得出，再代入求出答案即可．【详解】解：由勾股定理得：，所以，故选：B．5．如图，在边长为1个单位的方格纸中，它的顶点在小正方形顶点位置，那么的值为____．【答案】【分析】连接格点A、D．先利用勾股定理求出，再利用直角三角形的边角间关系求出的余弦．【详解】解：如图，连接格点A、D．∵，，，∴．∴．故答案为：．6．已知等腰三角形两条边的长分别是底角为，则_____．【答案】或【分析】分两种情况解答，即可求解．【详解】解∶如图，当腰长为4时，过点A作于点D，∴，∴；如图，当腰长为6时，过点A作于点D，∴，∴；故答案为：或7．计算： ______________．【答案】【分析】根据特殊角三角函数值的混合计算法则求解即可．【详解】解：，故答案为：．8．在RtABC中，，，，那么________．【答案】【分析】先用，求出，再由勾股定理求出即可．【详解】解：如图:在中，，即，，．故答案为：．9．在中，，，．(1)求的长；(2)求的值．【答案】(1)3；(2)【分析】（1）利用勾股定理即可求解；（2）根据正切值的含义即可求解．【详解】（1）∵，，，∴，即的长为3；（2）∵，，，∴，即的值为：．题组B 能力提升练1．正方形网格中，如图放置，则的值为（　　）A． B． C．1 D．【答案】B【分析】连接根据勾股定理可以得到，则是等腰三角形底边上的中线，根据三线合一定理，可以得到是直角三角形．根据三角函数的定义就可以求解．【详解】如图，连接，设正方形的网格边长是1，则根据勾股定理可以得到：，，在中，由等腰三角形三线合一得：，则，∴，故选：B．2．如图，在中，，， 于点D．点P从点A出发，沿A→D→C的路径运动，运动到点C停止，过点P作于点E，作于点F．设点P运动的路程为x，四边形的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的图象是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据中，，，可得，根据于点D．可得，是的平分线，点P从点A出发，沿A→D→C的路径运动，运动到点C停止，分两种情况讨论：根据于点E，作于点F，可得四边形是矩形和正方形，设点P运动的路程为x，四边形的面积为y，进而可得能反映y与x之间函数关系式，从而可以得函数的图象．【详解】解：∵在中，，，∴，∵于点D，∴，是的平分线，∵于点E，作于点F，∴四边形是矩形，∴，，∵点P运动的路程为x，∴当点P从点A出发，沿A→D路径运动时，即时，，则，∴，∵四边形的面积为y，，∴当时，抛物线开口向下，当点P沿D→C路径运动时，即时，∵是的平分线，∴，∴四边形是正方形，如图，∵， ∴，∴，∴，∴当时，抛物线开口向上，综上所述：能反映y与x之间函数关系的图象是：A．故选：A．3．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C均在格点上，连接AB，BC，则的正切值为（    ）A． B． C．1 D．【答案】A【分析】连接，先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，然后在 中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．【详解】解：如图：连接，由题意得：，，，∴，∴是直角三角形，∴，∴，故选：A．4．如图，，点C在射线上．若，则点C到的距离等于（　　）A．3 B． C． D．6【答案】A【分析】构造直角三角形，利用锐角三角函数的定义，即可得答案．【详解】解：如图，过点C作，垂足为，在中，，∴,∴，即点C到的距离为3，故选：A．5．若，则以为内角的的形状是 ___________．【答案】直角三角形【分析】直接利用非负数的性质得出，进而得出的形状．【详解】解：∵，∴，，则，，∴，∴以为内角的的形状是直角三角形．故答案为：直角三角形．6．有一块三角形材料如图所示，，，．用这块材料剪出一个，其中，点D，E，F分别在，，上．则剪出的的面积的最大值是______．【答案】【分析】根据含的直角三角形的性质，可得，设，则，根据平行四边形的性质，有，可得，利用锐角三角函数，可得，则，利用二次函数的性质，即可求出的面积的最大值．【详解】解：，，，，设，则，在中，，，在中，，，，当时，的面积最大，最大值是．故答案为：．7．如图，四边形是正方形，以为边向外作为上的一点，连接．若四边形是菱形，则的度数为________．【答案】【分析】过点作的垂线，垂足分别为，四边形是矩形，得出，可得，进而即可求解．【详解】∵四边形是正方形，∴，，如图，过点作的垂线，垂足分别为，∴四边形是矩形，∵四边形是菱形，∴∴，∴，∴．8．如图，在中，是角平分线，的交点．若，，则的值是 __．【答案】【分析】过点作，垂足为，先利用等腰三角形的三线合一性质可得，，从而在中，利用勾股定理求出，再利用角平分线的定义可得，然后利用证明，从而利用全等三角形的性质，，进而求出，最后设，则，从而在中，利用勾股定理求出的值，进而在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．【详解】解：过点作，垂足为，，平分，，，在中，，，平分，，，，，，，，设，则，在中，，，，在中，，故答案为：．9．如图，是的直径，弦于点，连接，(1)求证：．(2)作于点，若的半径为，，求的长．【答案】(1)证明见解析；(2)【分析】（1）解法一：根据是直径，得出，结合图形，利用等角的余角相等证明即可；解法二：根据垂径定理以及垂径定理的推论即可证明；（2）利用勾股定理求出，再利用求解即可．【详解】（1）证明：解法一：∵是直径，∴，∵，∴，∴，∴；解法二：连接，∵是直径，∴，∴．（2）解：如图，连接．在中，，在中，，∵，∴，∴．10．如图，矩形的对角线交于点O，点E在边上，交于点M．(1)求证： ；(2)已知，，．①的长为____________；②的值为_______．【答案】(1)见解析；(2)①；②．【分析】（1）利用矩形的性质可得 ，从而利用平行线的性质可得，，然后根据两角相等的两个三角形相似即可解答；（2）①利用矩形的性质可得，，再在中，利用勾股定理可得，然后利用相似三角形的性质进行计算即可解答；②利用①的结论可得，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的值，即可解答．【详解】（1）∵四边形是矩形，∴，∴，，∴；（2）①∵四边形是矩形，∴ ，，∵，，∴，∵，∴，∵，∴，∴；②∵，∴，在中，，∴；故答案为：①；②题组C 培优拔尖练1．如图，如图，是的直径，点是上一点，与过点的切线垂直，垂足为，直线与的延长线交于点，弦平分，交于点，连接，．下列四个结论：①平分；②；③若，则阴影部分的面积为；④若，则．其中正确的是（    ）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】B【分析】①连接，根据是的切线，，推出，得到，根据，推出，得到，得到平分，此结论正确；②根据是的直径，推出，得到，根据，推出，得到，根据，推出，推出，得到，根据平分，推出，根据，，推出，得到，得到，此结论正确；③根据若，推出是斜边上的中线，推出，根据，推出，得到是等边三角形，得到，连接，则，根据，推出，得到，推出，此结论不正确；④根据，，，推出，得到，根据，推出，得到，根据，推出，得到，根据，推出，此结论正确．【详解】①连接，∵是的切线，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴平分，故平分正确；②∵是的直径，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵平分，∴，∵，，∴，∴，∴，故正确；③∵若，∴是斜边上的中线，∴，∵，∴，∴是等边三角形，∴，连接，则，∵，∴，∴，∴，故若，则阴影部分的面积为不正确；④∵，，，∴，∴，∵，∴，∴,∵，∴,∴，∵，∴．故若，则正确．故选：B．2．如图，菱形ABCD的顶点分别在反比例函数y＝和y＝的图象上，若∠BCD＝60°，则的值是（    ）A．－ B．－ C．－ D．－【答案】A【分析】连接AC、BD，根据菱形的性质和反比例函数的对称性，即可得出∠BOC=90°，∠BCO=∠BCD=30°，解直角三角形求得，作 BM⊥x轴于M，CN⊥x轴于N，证得△OMB∽△CNO，得到，根据反比例函数系数 k的几何意义即可求得结果．【详解】解：连接、，∵四边形是菱形，∴．∵菱形的顶点分别在反比例函数和的图象上，∴与、与关于原点对称，∴、经过点，∴．∵，∴．作轴于，轴于，∵，∴．∵，∴，∴，∴，∴，故选：A．3．如图，正方形中，点在边上，且．将沿对折至，延长交于点，连接、、．下列结论中：①设正方形的周长为，的周长为，则；②是的中点；③记，，则；④．其中正确结论的序号是（    ）A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④【答案】C【分析】根据证明，可得，由线段的和差关系可得，可判断①；由勾股定理可得，可判断②；由折叠的性质可得，可判断③；分别求出，的长，可判断④，即可求解．【详解】解：①设正方形的周长为，的周长为，∵四边形是正方形，∴，，由折叠的性质可知，，，，∴，，在和中，，∴，∴，∴的周长为：，∴，∴，故①符合题意；②设，则，∵，∴，，∴，，在中，，∴，解得：，∴，即是的中点，故②符合题意；③∵，，由折叠的性质可知：，由，可得，又∵，∴，∴，∴，故③不符合题意；④∵是的中点，，∴，在四边形中，∵，∴，又∵，∴，又∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，，∴，故④符合题意．故选：C．4．勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理，在我国古书《周牌算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图①），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今，如图①是用四个全等的直角三角形拼成一个正方形，利用面积法可以证明勾股定理．如图2连接EG并延长交D的延长线于点M，如tanM＝，则的值为（    ）A．2 B． C． D．1.4【答案】B【分析】在Rt△DGM中，根据，设，，从而利用勾股定理求出，再设，根据题意可得，，从而求出，然后在Rt△AEM中，利用锐角三角形函数的定义可得，从而求出，最后在Rt△HDG中，利用勾股定理求出，进行计算即可解答．【详解】在Rt△DGM中，，，设，，，设，由题意得：，，，，在Rt△AEM中，，，，，，，，故选：．5．如图，点、分别是的、边上的点，，，于，四边形的面积为8，，__．【答案】5【分析】过作于，过作于，由，设，则，，根据即得，，而是等腰直角三角形，知，由，即得，，又四边形的面积为8，即得，解得，从而．【详解】解：过作于，过作于，如图：，，设，则，，，是等腰直角三角形，，，在中，，是等腰直角三角形，，，，，，，在中，，四边形的面积为8，，，即，解得或（舍去），，故答案为：5．6．如图，在正方形中，对角线，相交于点，点在边上，且，连接交于点，过点作，连接并延长，交于点，过点作分别交、于点、，交的延长线于点，现给出下列结论：①；②；③；④；其中正确的结论有______________．【答案】①②③④【分析】①证明，可得，由等腰三角形的性质可求；②证明，可得；③证明，可得，进而可得结论；④由外角的性质可求，由勾股定理可求AG，即可求．【详解】解：①∵四边形是正方形，，∴，AC⊥BD，∴，∴，∵，∵，∴，∴，在和中，∴，∴，∴，故①正确；②如图，过点作于，又∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，在和中，∴，∴，故②正确；③在和中，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，故③正确；④∵，，∴，∵，∴，∴，∴，故④正确．故答案为：①②③④．7．图，已知在中，，，，点P是斜边上一点，过点P作交AC于点M，过点P作的平行线，与过点M作的平行线交于点Q．如果点Q恰好在的平分线上，那么的长为________．【答案】【分析】根据直角三角形的边角关系可求出，，再根据相似三角形，用含有的代数式表示，再根据角平分线的定义以及等腰三角形的判定得出，进而列方程求出即可．【详解】解：在中，，，，∴，，∵，∴，∵，∴，∴＝＝，设，则，，∴，∵，∴＝＝，∴，，∵平分，，∴，∴，∵，，∴四边形是平行四边形，∴，∴，∴，解得，∴，故答案为：．8．如图在中，∠ACB=90°，AC=BC，D在AB上，AD=8，BD=4，点E在CD上，∠AEB=135°，则CE=______．【答案】【分析】过点A作AP⊥CD，垂足为P，连接BP，过点D作DK⊥BC于点K，过点B作BM⊥AP，交AP的延长线于点M，交BC于点G，运用平行线分线段成比例定理，三角形全等，三角形相似，特殊角的三角函数，证明P与E重合，运用勾股定理计算即可．【详解】解：如图，过点A作AP⊥CD，垂足为P，连接BP，过点D作DK⊥BC于点K，过点B作BM⊥AP，交AP的延长线于点M，交BC于点G， 因为∠ACB=90°，AC=BC，所以∠DBK=∠BDK=45°，所以DK=BK；因为DKAC，所以，所以；因为∠GAC=90°-∠ACP，∠DCK=90°-∠ACP，所以∠GAC=∠DCK，所以△GAC∽△DCK，所以，所以，所以AC=2CG=BC=CG+BG,所以BG=CG．因为∠CPG=∠BMG=90°，∠CGP=∠BGM，所以△GPC≌△GMB，所以GP=GM，所以四边形BPCM是平行四边形，所以BPCM，所以∠CMP=∠BPM，因为∠ACB=∠AMB=90°，所以A、C、M、B四点共圆，所以∠AMC=∠ABC=45°，所以∠MPB=45°，所以∠APB=135°，因为∠AEB=135°，所以点P与点E重合，所以AE⊥CD，因为∠ACB=90°，AC=BC，AD=8，BD=4，所以AC=BC=，所以CG=，AG=，所以，所以=，故答案为：．9．如图所示，已知是⊙O的直径，A、D是⊙O上的两点，连接、、，线段与直径相交于点E．(1)若，求的值．(2)当时，①若，，求的度数．②若，，求线段的长．【答案】(1)；(2)①；②【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角，首先得到直角三角形，然后求出的度数，利用特殊角的锐角三角函数值直接求解即可；（2）①根据已知先求出的值，然后在直角三角形中利用的值即可求出，再利用圆周角定理得出和的关系即可求出的度数；②利用已知容易得出，，进而得出，利用相似的性质得出比例式即可求出的长．【详解】（1）解：∵是⊙O的直径，∴，∵，∴，∵＝，∴，∴，所以的值为；（2）解：①∵，，∴，∵，∴，∴，∵＝，∴，∴，即的度数为；②∵＝，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴线段的长为．10．如图，矩形中，，，点是边中点，将沿翻折得，与边交于点，点在边上，将沿翻折得，点恰好在边上．(1)求的长；(2)求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）过作于，可得四边形为矩形，则，，由折叠性质和矩形的性质可得，，进而得到，利用勾股定理求得和即可解答；（2）过点作于，利用等面积法求得，再利用正弦定义求解即可．【详解】（1）解：过作于，则，∵四边形是矩形，∴， ，∴四边形是矩形， ，∴，，∵点是的中点，，∴，由折叠性质得：，，∴，在中，，设，则，在中，，解得：，即，∴；（2）解：过点作于，∵，∴，解得：，∵，∴．11．在七年级第二学期14.7这一章节的课后练习部分，我们学习了以平习题，如图，已知B、C、E在一直线上，和都是等边三角形，联结，试说明和全等的现由．现在我们已经学习了相似三角形、锐角的三角比这两章节的内容．在此基础上我们继续探究：已知，，与交于点F．(1)求证：；(2)若，，求的正弦值．【答案】(1)见解析；(2)【分析】（1）根据等边三角形的性质和平行线的性质即可证明，再根据相似三角形的性质即可得出答案；（2）由，过A作于M，根据勾股定理求出、、的值即可根据求解．【详解】（1）∵和都是等边三角形，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，∴，∴；（2）过A作于M，∵∴，∴，∴∴．12．如图1，在△ABC中，D是AB上一点，已知AC＝10，AC2＝AD•AB．(1)若∠ADC＝90°时，求证：∠ACB＝90°．(2)如图2，过点C作CEAB，且CE＝6，连结DE交BC于点F．①若四边形ADEC是平行四边形，求的值；②设AD＝x，，求y关于x的函数表达式．【答案】(1)见解析(2)①；②【分析】（1）利用得到，结合∠A=∠A得到，利用相似三角形的对应角相等求解；（2）①由平行四边形的性质可得AD=CE=6，，可证，可求解；②通过证明，可得BC，由平行线分线段成比例可得 ，代入可求解．【详解】（1）解：∵，∴．∵∠A=∠A，∴，∴；（2）∵四边形ADEC是平行四边形，∴AD=CE=6，．∵AC=10，，∴．∵，∴，,∴，∴；∵AC=10，，，∴．∵，∴．∵∠A=∠A，∴，∴，∴．∵，∴，,∴，∴，∴，∴，∴，∴．课程标准课标解读1.利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数（sin A，cos A，tan A），知道30°，45°，60°角的三角函数值。2.会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它的对应锐角。1.理解和掌握正弦、余弦、正切的锐角三角函数的概念；2.熟记特殊的角的锐角三角函数值，并能利用特殊角的锐角三角函数值求相应的角的数值。