新教材2024高考数学二轮专题复习分册一专题二三角函数解三角形第三讲三角函数与解三角形__大题备考微专题1三角形的面积与周长问题

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微专题1 三角形的面积与周长问题
1.[2023·新高考Ⅰ卷]已知在△ABC中，A＋B＝3C，2sin (A－C)＝sinB.
(1)求sinA；
(2)设AB＝5，求AB边上的高．
2．[2023·河南开封模拟]a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边．已知7acsA＝bcsC＋ccsB．
(1)求sin2A；
(2)若b＋c＝9，a2＝12b2＋1，求△ABC的周长．
1.[2023·河北秦皇岛一中二模]已知△ABC内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，2a2csB＋b2＝2abcsC＋a2＋c2.
(1)求B；
(2)若△ABC为锐角三角形，且a＝4，求△ABC面积的取值范围．
2.[2023·安徽三模]已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且csA＋sinA＝.
(1)求角C；
(2)设BC的中点为D，且AD＝，求a＋2b的取值范围．
技法领悟
1．若涉及已知条件中含边长之间的关系，且与面积有关的最值问题，一般利用S＝absinC型面积公式及基本不等式求解．
2．若求与三角形边长有关的表达式的最值或取值范围时，一般把边用三角形的一个角表示，利用角的范围求解．
[巩固训练1] [2022·新高考Ⅰ卷]记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝.
(1)若C＝，求B；
(2)求的最小值．
[巩固训练2] 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b＝2acsAcsC＋2ccs2A.
(1)求角A；
(2)若a＝4，求c－2b的取值范围．
微专题1 三角形的面积与周长问题
保分题
1．解析：方法一 (1)在△ABC中，A＋B＝π－C，
因为A＋B＝3C，所以3C＝π－C，所以C＝.
因为2sin (A－C)＝sinB，
所以2sin (A－)＝sin (－A)，
展开并整理得(sinA－csA)＝(csA＋sinA)，
得sinA＝3csA，
又sin2A＋cs2A＝1，且sinA>0，
所以sinA＝.
(2)由正弦定理＝，
得BC＝×sinA＝＝3，
由余弦定理AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcsC，
得52＝AC2＋(3)2－2AC·3cs，
整理得AC2－3AC＋20＝0，
解得AC＝或AC＝2，
由(1)得，tanA＝3>，所以又A＋B＝，所以B>，
即C设AB边上的高为h，则×AB×h＝×AC×BCsinC，
即5h＝2×3，
解得h＝6，
所以AB边上的高为6.
方法二 (1)在△ABC中，A＋B＝π－C，
因为A＋B＝3C，所以3C＝π－C，所以C＝.
因为2sin (A－C)＝sinB，
所以2sin (A－C)＝sin [π－(A＋C)]＝sin (A＋C)，
所以2sinAcsC－2csAsinC＝sinAcsC＋csAsinC，
所以sinAcsC＝3csAsinC，
易得csAcsC≠0，
所以tanA＝3tanC＝3tan＝3，
又sinA>0，
所以sinA＝＝.
(2)由(1)知sinA＝，tanA＝3>0，所以A为锐角，
所以csA＝，
所以sinB＝sin (－A)＝(csA＋sinA)＝×()＝，
由正弦定理＝，
得AC＝＝＝2，
故AB边上的高为AC×sinA＝2＝6.
2．解析：(1)因为7acsA＝bcsC＋ccsB，
所以由正弦定理得7sinAcsA＝sinBcsC＋sinCcsB，
即7sinAcsA＝sin (B＋C)＝sinA，又sinA>0，所以csA＝，
所以A为锐角，所以sinA＝＝，
故sin2A＝2sinAcsA＝2×＝.
(2)因为a2＝b2＋c2－2bccsA＝12b2＋1，b＋c＝9，
所以b2＋(9－b)2－b(9－b)＝12b2＋1，
整理得(17b＋70)(b－2)＝0，解得b＝2(负根舍去)，
所以a2＝12b2＋1＝49，a＝7，
所以△ABC的周长为a＋b＋c＝9＋7＝16.
提分题
[例1] 解析：(1)由余弦定理得2a2csB＋b2＝a2＋b2－c2＋a2＋c2，
即2a2csB＝2a2，
所以csB＝，又B∈(0，π)，则B＝.
(2)方法一 △ABC为锐角三角形，A＋B＋C＝π，B＝，则A＋C＝，
所以，可得又a＝4，则＝，故c＝，
由S△ABC＝acsinB＝c＝，即S△ABC＝＋4，而tanA>1，
所以S△ABC∈(4，8)，故△ABC面积的取值范围为(4，8)．
方法二 由B＝，a＝4，画出如图所示三角形，
∵△ABC为锐角三角形，
∴点A落在线段A1A2(端点A1，A2除外)上，
当CA1⊥A1B时，S△A1BC＝×2×2＝4，
当CA2⊥BC时，S△A2BC＝×4×4＝8，
∴S∈(4，8)．
[例2] (1)解析：△ABC中，csA＋sinA＝，
由正弦定理得csA＋sinA＝.
所以sinCcsA＋sinAsinC＝sinB＋sinA，
即sinCcsA＋sinAsinC＝sin (A＋C)＋sinA＝sinAcsC＋sinCcsA＋sinA，
所以sinAsinC＝sinAcsC＋sinA；
又A∈(0，π)，则sinA≠0，所以sinC－csC＝1，
则有sin (C－)＝，又因为C∈(0，π)，则C－＝，即C＝.
(2)解析：设∠CAD＝θ，则△ACD中，由C＝可知θ∈(0，)，
由正弦定理及AD＝可得＝＝＝2，
所以CD＝2sinθ，AC＝2sin (－θ)，
所以a＋2b＝4sinθ＋4sin (－θ)＝6sinθ＋2csθ＝4sin (θ＋)，
由θ∈(0，)可知，θ＋∈()，sin (θ＋)∈(，1]，
所以a＋2b∈(2，4].
即a＋2b的取值范围为(2，4].
[巩固训练1] (1)解析：由已知条件，得sin2B＋sinAsin2B＝csA＋csAcs2B.
所以sin2B＝csA＋csAcs2B－sinAsin2B＝csA＋cs (A＋2B)＝cs [π－(B＋C)]＋cs [π－(B＋C)＋2B]＝－cs (B＋C)＋cs [π＋(B－C)]＝－2csBcsC，
所以2sinBcsB＝－2csBcsC，
即(sinB＋csC)csB＝0.
由已知条件，得1＋cs2B≠0，则B≠，
所以csB≠0，所以sinB＝－csC＝.
又0＜B＜，所以B＝.
(2)解析：由(1)知sinB＝－csC＞0，则B＝C－，
所以sinA＝sin (B＋C)＝sin (2C－)＝－cs2C.
由正弦定理，得＝＝＝＝＝＋4sin2C－5≥2－5＝4－5，
当且仅当sin2C＝时，等号成立，所以的最小值为4－5.
[巩固训练2] (1)解析：因为b＝2acsAcsC＋2ccs2A，
由正弦定理得sinB＝2sinAcsAcsC＋2sinCcs2A，
即sinB＝2csA(sinAcsC＋sinCcsA)，
即sinB＝2csAsin (A＋C)，
因为A＋B＋C＝π，所以A＋C＝π－B，
所以sinB＝2csAsinB.
因为B∈(0，π)，所以sinB≠0，
所以csA＝，因为A∈(0，π)，所以A＝.
(2)解析：由(1)知sinB＝－csC＞0，则B＝C－，
所以sinA＝sin (B＋C)＝sin (2C－)＝－cs2C.
由正弦定理，得＝＝＝＝＝＋4sin2C－5≥2－5＝4－5，
当且仅当sin2C＝时，等号成立，所以的最小值为4－5.
由正弦定理得＝，
所以c－2b＝(sinC－2sinB)＝[sin (π－－B)－2sinB]＝csB－sinB)＝8(csBcs－sinBsin)，
所以c－2b＝8cs (B＋)．
因为B∈(0，)，所以B＋∈(，π)，
所以cs (B＋)∈(－1，)，所以c－2b∈(－8，4)．