新教材2024高考数学二轮专题复习分册一专题二三角函数解三角形第三讲三角函数与解三角形__大题备考微专题3三角形中的角平分线问题

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(1)若∠BAC＝，AB＝3，求△ABC的面积；
(2)若BD＝3，求边AC的取值范围．
技法领悟
三角形中与角平分线有关的问题，一般利用三角形的面积之间的关系建立等式来解决问题．
[巩固训练4] [2023·辽宁葫芦岛一模]在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.sin (A－B)＝sin (A＋B)－sin (A＋C)，角A的角平分线交BC于点D，且b＝3，c＝6.
(1)求角A的大小；
(2)求线段AD的长．
微专题4 解三角形与三角函数的性质综合
6.[2023·河南濮阳模拟]已知f(x)＝2sin (x＋)csx＋sin2x.
(1)若x∈(0，)，求函数f(x)的值域；
(2)在△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f(A)＝2，且△ABC的面积为2，当a＝6时，求△ABC的周长．
技法领悟
解决此类问题第(1)问一般利用三角恒等变换求出函数的解析式，再研究三角函数的有关性质；第(2)问一般利用正弦、余弦定理研究三角形的面积、周长等问题．
[巩固训练5] 已知函数f(x)＝cs (－2x)－2cs2x＋.
(1)求函数f(x)在[0，π]上的单调递增区间；
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f＝，a＝，c＝1，求sinB的值．
微专题3 三角形中的角平分线问题
提分题
[例5] (1)解析：因为S△ABC＝S△ABD＋S△ADC，
所以AB·ACsin＝(AB＋AC)·ADsin，
得：3AC＝2(3＋AC)，解得AC＝6，
所以S△ABC＝AB·ACsin＝.
(2)解析：设∠BAC＝2α，AB＝c，AC＝b，
由S△ABC＝S△ABD＋S△ADC得
AB·ACsin2α＝AB·ADsinα＋AC·ADsinα，
即bccsα＝b＋c，所以csα＝，
又在△ABD中csα＝＝，
所以＝，得b＝，
因为csα＝∈(0，1)且b>0，得3则c－∈(0，)，所以b>，
即边AC的取值范围为(，＋∞)．
[巩固训练4] (1)解析：在△ABC中，由已知sin (A－B)＝sin (A＋B)－sin (A＋C)，可得：
则有：sinAcsB－csAsinB＝sinAcsB＋csAsinB－sinB，
即2csAsinB－sinB＝0.
又sinB≠0，即有csA＝，
而A∈(0，π)，所以A＝.
(2)解析：在△ABC中，由(1)知A＝，因为AD为角A的角平分线，
则有∠BAD＝∠CAD＝30°，
由S△ABC＝S△ABD＋S△ACD得：
×3×6×sin60°＝×AD×6×sin30°＋×3×AD×sin30°，
解得AD＝2，
所以线段AD的长为2.
微专题4 解三角形与三角函数的性质综合
提分题
[例6] (1)解析：由题意，函数f(x)＝2sin (x＋)csx＋sin2x＝2cs2x＋sin2x＝2cs2x－1＋sin2x＋1＝cs2x＋sin2x＋1＝2sin (2x＋)＋1，
当x∈(0，)时，可得<2x＋<，
∴－所以函数f(x)的值域为(0，3].
(2)解析：由(1)得f(A)＝2sin (2A＋)＋1＝2，
所以sin (2A＋)＝，
因为A∈(0，π)，得2A＋∈()，
所以2A＋＝，解得A＝，
又S△ABC＝bcsinA＝2，可得bc＝8，
由余弦定理得a2＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc＝(b＋c)2－24，
因为a＝6，所以b＋c＝2，
所以△ABC的周长为6＋2.
[巩固训练5] (1)解析：已知函数f(x)＝cs (－2x)－2cs2x＋，
则f(x)＝sin2x－2·＝sin2x－cs2x＝2sin (2x－)，
令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
则kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
因为x∈[0，π]，令k＝0，则－≤x≤；
令k＝1，则≤x≤，
即函数f(x)的单调递增区间为[0，]，[，π].
(2)解析：已知f＝，即2sin (A－)＝，即sin (A－)＝，
又－又a＝，c＝1，
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccsA可得b2＋b－2＝0，
又b>0，则b＝1，则B＝，sinB＝.