2023-2024学年四川省成都七中育才学校九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年四川省成都七中育才学校九年级（上）期末数学试卷（含解析），共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.如图所示的几何体，其主视图是( )
A.
B.
C.
D.
2.反比例函数的图象经过点A(3,2)，下列各点在此反比例函数图象上的是( )
A. (−3,2)B. (3,−2)C. (−6,−1)D. (−1,6)
3.若关于x的方程x2+mx−10=0有一个根为2，则m的值为( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
4.如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，DE/​/BC，若AD=DE=2，DB=3，则BC等于( )
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
5.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB=30°，BD=4，则矩形ABCD的周长为( )
A. 12B. 16C. 2 3+2D. 4 3+4
6.如图是李老师制作的一个可以自由转动的转盘，如表是某同学收集的一组统计数据：
蓝色部分的圆心角最有可能是( )
A. 100°
B. 110°
C. 120°
D. 130°
7.12月18日23时59分，甘肃临夏州积石山县发生6.2级地震.面对突发灾情，某公司积极募捐资金，支持当地开展灾害救援救助及灾后重建工作.第1天募捐到资金2.5万元，第2天、第3天募捐资金连续增长，第3天募捐到的资金为3.2万元.设该公司这两天募捐资金平均每天的增长率为x，则所列方程正确的是( )
A. 2.5(1+x)2=3.2B. 2.5+2.5(1+x)2=3.2
C. 3.2(1+x)2=2.5D. 2.5(1+2x)=3.2
8.数学课本上有这样一段表述：“在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k(k≠0)，所对应的图形与原图形….”请利用这一规律解答下面问题：已知M(a,b)，N(x,y)，且MN=6，若P(23a,23b)，Q(23x,23y)，则PQ的长为( )
A. 4B. 6C. 9D. 12
二、填空题（本题共10小题，共40分）
9.若2a=3b，则a+ba−b= ______．
10.关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
11.七巧板是一种古老的中国传统智力游戏.在如图所示的七巧板中，若正方形ABCD的边长为4，则正方形EFGH的边长为______．
12.若点A(x1,2)，B(x2,−1)都在反比例函数y=−1x的图象上，则x1，x2的大小关系为______．
13.如图，已知线段AB=8cm，分别以点A，B为圆心，以5cm为半径画弧，两弧相交于点C，D，连接AC，BC，AD，BD，则四边形ACBD的面积为______．
14.已知a，b是方程x2−5x−3=0的两根，则a2−5a+ab= ______．
15.如图，在正方形ABCD中，点E是AB边上一点，且AE=2BE，连接CE交对角线BD于点F.若AB=8，则BF的长为______．
16.如图，点A在反比例函数y=6x的图象上，点B在反比例函数y=kx的图象上，连接AB，且AB/​/x轴.点P(23,0)是x轴上一点，连接PA，PB，若PA=PB，S△PAB=4，则PB与y轴交点C的坐标为______．
17.如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，点D在BC上，沿直线AD翻折△ABD使点B落在AC上的B′处；如图2，折叠∠A，使点A与点D重合，折痕为EF.若B′DCD=23，则EFB′C的值为______．
18.已知，数轴上从左到右有三点A，B，C，它们在数轴上对应的数分别为a，b，c(a,b,c均不为整数)，且6三、解答题（本题共8小题，共78分）
19.(1)计算：| 18−2|+(2024−π)0− 8+(12)−1；
(2)解方程：x(x−3)=2(x−3)．
20.科学实验是获取经验事实和检验科学假说、理论真理性的重要途径.某校为进一步培养学生实践创新能力，提高学生科学素养，营造爱科学、学科学、用科学的浓厚氛围，将开展“崇尚科学科技月”主题教育活动，计划演示以下四项科学小实验：A.自动升高的水；B.不会湿的纸；C.漂浮的硬币；D.生气的瓶子.学校科技部随机对该校部分学生进行了“最希望演示的一项实验”问卷调查，得到下列不完整的统计图．

请结合统计图，回答下列问题：
(1)求此次调查中接受调查的人数；
(2)请补全条形统计图；
(3)已知最希望演示A项实验的4名学生，有1名来自九年级一班，1名来自九年级二班，2名来自九年级三班，现需从这四人中随机抽取2名作为实验“自动升高的水”的演示员，请用列表或画树状图的方法，求抽到的2名学生来自不同班级的概率．
21.如图，在某学校的明德楼和启智楼之间有一条文化长廊AB，文化长廊上伫立着三座名人塑像CD，EF，GH，点A，D，F，H，B在同一直线上，且AD=DF=FH=HB.在明德楼的楼顶有一照明灯P，塑像CD的影子为DM，塑像EF的影子为FN.该校“探数学”兴趣小组的同学测得文化长廊AB=24米，塑像高CD=EF=GH=3米，塑像CD的影长DM=2米．
(1)求明德楼的高PA；
(2)求塑像EF的影长FN．
22.如图1，在▱ABCD中，E，F分别为AB，CD的中点，连接AF，CE．
(1)求证：AF/​/CE；
(2)如图2，连接AC，且AC=BC，O为AC的中点．
①BC的中点为M，连接EO，EM，试判断四边形EMCO的形状，并说明理由；
②如图3，AG平分∠BAC交CE于点G，连接GO，若∠AGO=90°，AB=8，求AC的长．
23.已知直线y=kx+b与x轴、y轴交于点A，B，与反比例函数y=3x的图象交于C，D两点，点C的横坐标为3，点D的横坐标为1．
(1)求直线y=kx+b的表达式；
(2)M是线段CD的中点，点N为反比例函数图象在第一象限上一点，连接OM，ON，MN，若S△OMN=6，求点N的坐标；
(3)点P为反比例函数图象在第三象限上一点，连接DP，过点D作DQ⊥DP，交反比例函数图象于点Q，连接PQ.若直线PQ经过点(0,−83)，求DPDQ的值．
24.三星堆遗址被称为20世纪人类最伟大的考古发现之一，昭示了长江流域与黄河流域一样，同属中华文明的母体，被誉为“长江文明之源”.为更好的传承和宣传三星堆文化，三星堆文创馆一次次打破了自身限定，让文创产品充满创意.已知文创产品“青铜鸟文创水杯”有A，B两个系列，A系列产品比B系列产品的售价低5元，100元购买A系列产品的数量与150元购买B系列产品的数量相等.按定价销售一段时间后发现：B系列产品按定价销售，每天可以卖50件，若B系列产品每降1元，则每天可以多卖10件．
(1)A系列产品和B系列产品的单价各是多少？
(2)为了使B系列产品每天的销售额为960元，而且尽可能让顾客得到实惠，求B系列产品的实际售价应定为多少元/件？
25.如图1，已知一次函数y=x+2的图象与反比例函数y=kx的图象交于A(2,a)，B两点，与x轴、y轴分别交于C，D两点．
(1)求反比例函数y=kx的表达式及点B的坐标；
(2)在x轴上有一点E，反比例函数y=kx的图象上有一点F，连接EF，若EF/​/AD且EF=12AD，求点E的坐标；
(3)如图2，点D关于x轴的对称点为M，连接BM，P是y轴上一动点(不与点M重合)，N是平面内一点，连接BN，DN，在点P的运动过程中始终有△BMP∽△BDN，且∠PBN=∠MBD.点Q在反比例函数y=kx图象上，连接QN，请直接写出QN的最小值及当QN为最小值时点P的坐标．
26.如图，在△ABD中，AB=AD，∠BAD=α.点C是BD延长线上一动点，连接AC，将AC绕点A顺时针旋转α得到AE，连接DE交AC于点F．
(1)求证：∠C=∠E；
(2)如图1，若DE/​/AB，DF=2，FE=7，求BD的大小；
(3)如图2，若点F为AC中点，S△ADFS△ABC=1n+2，CD=4，求AB的长(用含n的代数式表示)．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：这个几何体的主视图是：
故选：A．
根据解答几何体的三视图的画法画出其主视图即可．
本题考查简单几何体的三视图，理解视图的定义，掌握简单几何体的三视图的形状是正确判断的前提．
2.【答案】C
【解析】解：设反比例函数解析式为y=kx，
∵反比例函数的图象经过点(3,2)，
∴k=3×2=6，
∵−6×(−1)=6，
∴点(−6,−1)在此反比例函数图象上，
故选：C．
根据反比例函数的图象经过点(3,2)，求出反比例函数解析式，只要各点坐标乘积等于比例系数即为函数图象上的点．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．
3.【答案】D
【解析】解：把x=2代入方程x2+mx−10=0得：
22+2m−10=0，
解得m=3，
故选：D．
根据题意把x=2代入原方程，再进行求解，即可得出m的值．
本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是把方程的根代入原方程，求出m的值．
4.【答案】B
【解析】解：∵AD=DE=2，DB=3，
∴AB=AD+DB=2+3=5，
∵DE/​/BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴DEBC=ADAB，
∴BC=DE⋅ABAD=2×52=5，
故选：B．
由AD=DE=2，DB=3，求得AB=AD+DB=5，由DE/​/BC，证明△ADE∽△ABC，得DEBC=ADAB，则BC=DE⋅ABAD=5，于是得到问题的答案．
此题重点考查相似三角形的判定与性质，证明△ADE∽△ABC是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，BD=4，
∴AC=BD=4，∠ABC=90°，
∵∠ACB=30°，
∴AB=2，
∴BC= AC2−AB2= 42−22=2 3，
∴矩形ABCD的周长为2(AB+BC)=2×(2+2 3)=4+4 3．
故选：D．
根据题意和矩形的性质，可以得到AC的长，然后根据直角三角形30°角所对的直角边是斜边的一半和勾股定理，可以得到AB和BC的长，从而可以求得矩形ABCD的周长．
本题考查了矩形的性质、勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握矩形的性质．
6.【答案】B
【解析】解：30÷100=0.3；61÷200=0.305；92÷300≈0.307；118÷400=0.295；151÷500=0.302；182÷600≈0.303；207÷700≈0.296；242÷800≈0.303；269÷900≈0.299；302÷100=0.302；
∴落在“蓝色”的概率约是0.3012，
∴蓝色部分的圆心角最有可能是0.3012×360°=108.432°≈108°，
故选：B．
用360°×指针落在“蓝色”的概率进行计算即可．
本题考查的是扇形统计图的综合运用．熟练掌握大量反复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，这个常数就是事件概率的估计值是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：由题意可得，
2.5(1+x)2=3.2，
故选：A．
根据第1天募捐到资金2.5万元，第2天、第3天募捐资金连续增长，第3天募捐到的资金为3.2万元，可以列出相应的方程．
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程．
8.【答案】A
【解析】解：∵M(a,b)，P(23a,23b)，
∴线段MN与线段PQ的相似比为3：2，
∵MN=6，
∴PQ=4，
故选：A．
根据题意求出线段MN与线段PQ的相似比，计算即可．
本题考查的是位似变换，解题的关键是理解将一个图形各顶点的横坐标和纵坐标都乘k(或1k，k>1)，所得图形的形状不变，各边扩大到原来的k倍(或缩小为原来1k)，且连接各对应顶点的直线相交于一点．
9.【答案】−5
【解析】解：∵2a=3b，
∴3a=2b，
∴ab=23，
∴设a=2k，b=3k，
∴a+ba−b=2k+3k2k−3k=5k−k=−5，
故答案为：−5．
利用设k法进行计算，即可解答．
本题考查了比例的性质，熟练掌握设k法是解题的关键．
10.【答案】k<1
【解析】解：由已知得：△=4−4k>0，
解得：k<1．
故答案为：k<1．
由方程有两个不等实数根可得出关于k的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．
本题考查了根的判别式以及解一元一次不等式，解题的关键是得出关于k的一元一次不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的个数结合根的判别式得出不等式(或不等式组)是关键．
11.【答案】 2
【解析】解：∵点G是CD的中点，CD=4，
∴CG=12CD=2，
∵△CHG是等腰直角三角形，
∴CH=HG= 22CG= 2，
∴正方形EFGH的边长为 2，
故答案为： 2．
根据正方形的性质和等腰直角三角形的性质即可得到结论．
本题考查了七巧板，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，正确地识别图形是解题的关键．
12.【答案】x1【解析】解：∵点A(x1,2)，B(x2,−1)都在反比例函数y=−1x的图象上，
∴2=−1x1，−1=−1x2
解得：x1=−12；x2=1，
∴x1故答案为：x1利用反比例函数图象上点的坐标特征可得出结论．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用反比例函数图象上点的坐标特征，求出x1，x2的值是解题的关键．
13.【答案】48cm2
【解析】解：由作法AC=BC=AD=BD=5cm，
∴四边形ACBD为菱形，
∴AB⊥CD，OA=OB=12AB=4cm，OC=OD，
连接CD交AB于点O，如图，
在Rt△AOC中，OC= 52−42=3(cm)，
∴CD=2OC=6cm，
∴四边形ACBD的面积=8×6=48(cm2).
故答案为：48cm2．
利用基本作图得到AC=BC=AD=BD=5cm，则可判断四边形ACBD为菱形，根据菱形的性质得到AB⊥CD，OA=OB=12AB=4cm，OC=OD，接着利用勾股定理计算出OC的长，然后根据菱形的面积公式计算．
本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了菱形的判定与性质．
14.【答案】解：(1)原式=3 2−2+1−2 2+2
= 2+1；
(2)x(x−3)=2(x−3)，
x(x−3)−2(x−3)=0，
(x−3)(x−2)=0，
∴x−3=0或x−2=0，
∴x1=3，x2=2．
【解析】(1)先根据零指数幂，二次根式的化简，绝对值，负整数指数幂进行计算，再算加减即可；
(2)移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可．
本题考查了解一元二次方程，实数的运算，能正确根据实数的运算法则进行计算是解(1)的关键，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解(2)的关键．
15.【答案】解：(1)此次调查中接受调查的人数为18÷36%=50(人)．
(2)最希望演示C项实验的人数为50−4−8−18=20(人)．
补全条形统计图如图所示．

(3)将来自九年级一班的1名学生记为甲，来自九年级二班的1名学生记为乙，来自九年级三班的2名学生记为丙，丁，
画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中抽到的2名学生来自不同班级的结果有：(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(乙，甲)，(乙，丙)，(乙，丁)，(丙，甲)，(丙，乙)，(丁，甲)，(丁，乙)，共10种，
∴抽到的2名学生来自不同班级的概率为1012=56．
【解析】(1)用条形统计图中D的人数除以扇形统计图中D的百分比可得此次调查中接受调查的人数．
(2)求出最希望演示C项实验的人数，补全条形统计图即可．
(3)画树状图得出所有等可能的结果数以及抽到的2名学生来自不同班级的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法是解答本题的关键．
16.【答案】解：(1)∵AD=DF=FH=HB，AB=24米，
∴AD=DF=FH=HB=14AB=6米，
由题意得：∠CDM=∠PAM=90°，
∵∠CMD=∠PMA，
∴△CDM∽△PAM，
∴CDPA=DMAM，
∴3AP=22+6，
解得：AP=12，
∴明德楼的高PA为12米；
(2)由题意得：∠PAN=∠EFN=90°，
∵∠ENF=∠PNA，
∴△EFN∽△PAN，
∴EFPA=FNAN，
∴312=FNFN+6+6，
解得：FN=4，
∴塑像EF的影长FN为4米．
【解析】(1)根据已知易得：AD=DF=FH=HB=14AB=6米，再根据题意可得：∠CDM=∠PAM=90°，然后证明A字模型相似△CDM∽△PAM，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答；
(2)根据题意可得：∠PAN=∠EFN=90°，然后证明A字模型相似△EFN∽△PAN，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答．
本题考查了相似三角形的应用，中心投影，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
17.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=CD，AB/​/CD，
∵E，F分别为AB，CD的中点，
∴AE=12AB，CF=12CD，
∴AE=CF，
∴四边形AECF为平行四边形，
∴AF/​/CE；
(2)解：①四边形EMCO为菱形．理由：
∵O为AC的中点，E为AB的中点，
∴OE为△ABC的中位线，
∴OE/​/BC，OE=12BC．
∵E为AB的中点，BC的中点为M，
∴EM/​/AC，EM=12AC，
∴四边形EMCO为平行四边形．
∵AC=BC，
∴EO=EM，
∴四边形EMCO为菱形．
②过点O作OH⊥EC于点H，过点G作GM⊥AC于点M，如图，

∵AC=BC，E为AB的中点，
∴CE⊥AB，AE=12AB=4．
∵AG平分∠BAC交CE于点G，
∴∠GAE=∠GAC，
∵GM⊥AC，GE⊥AB，
∴GE=GM．
在Rt△AEG和Rt△AMG中，
AG=AGGE=GM，
∴Rt△AEG≌Rt△AMG(HL)，
∴AE=AM=4．
∵CE⊥AE，OH⊥EC，
∴OH/​/AE，
∵O为AC的中点，
∴OH=12AE=2．
∵∠AGO=90°，
∴∠AGE+∠OGC=90°，∠AGM+∠OGM=90°，
∵Rt△AEG≌Rt△AMG，
∴∠AGE=∠AGM，
∴∠OGM=∠OGH，
∵OM⊥GM，OH⊥GH，
∴OM=OH=2，
∴OA=AM+OM=6，
∵O为AC的中点，
∴AC=2OA=12．
【解析】(1)利用平行四边形的对边平行且相等的性质，线段中点的定义和平行四边形的判定与性质解答即可；
(2)①利用三角形的中位线的性质得到四边形EMCO为平行四边形，证明得到EO=EM，利用菱形的判定定理解答即可；
②过点O作OH⊥EC于点H，过点G作GM⊥AC于点M，利用角平分线的性质和全等三角形的判定定理与性质定理得到AM=AE=4，再利用直角三角形的性质，角平分线的性质得到OM=OH，利用三角形的中位线的性质和中点的意义解答即可．
本题主要考查了平行四边形的判定与性质，三角形的中位线，全等三角形的判定与性质，菱形的判定定理，直角三角形的性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质，恰当的添加辅助线构造全等三角形是解题关键．
18.【答案】解：(1)由反比例函数y=3x经过点C，D两点，且点C的横坐标为3，点D的横坐标为1，
得点C的坐标为(3,1)，点D的坐标为(1,3)，
把C(3,1)，D(1,3)代入y=kx+b，
得3k+b=1k+b=3，
解得k=−1b=4，
∴直线的表达式为y=−x+4；
(2)设N(b,3b)，过点M作MH⊥x轴于点H，过点N作NG⊥x轴于点G，

∵M是C(3,1)，D(1,3)的中点，
∴M(2,2)，
∵S△OMN=6，
∴S△NOG+S梯形MNGH−S△OMH=32+12(2+3b)(2−b)−12×2×2=6，
解得：b=2 3−3或b=−2 3−3(舍去)，
∴N(2 3−3,2 3+3)；
同理可求N(2 3+3,2 3−3)
(3)如图，过点D作EF/​/x轴，过点P作PE⊥EF于E，过点Q作QF⊥EF于F，过点Q作QH⊥PE于点H，

则∠E=∠F=90°，
∴∠FDQ+∠FQD=90°，
∵DQ⊥DP，
∴∠FDQ+∠PDE=90°，
∴∠FQD=∠PDE，
∴△DQF∽△PDE，
∴DFPE=FQDE，
设P(m,3m)，Q(n,3n)，又D(1,3)，
则E(m,3)，F(n,3)，L(0,3n)，H(m,3n)，
∴EF=n−m，PE=3−3m，DE=1−m，DF=n−1，FQ=3−3n，QL=n，
∴n−13−3m=3−3n1−m①，
∵∠E=∠F=∠EHQ=90°，
∴四边形EFQH是矩形，
∴HQ=EF=n−m，LG=3n+83，PH=3n−3m，
∵PE//GL，
∴LGPH=QLHQ，即3n+833n−3m=nn−m②，
联立①②，得n−13−3m=3−3n1−m3n+833n−3m=nn−m，
解得：m1=−1n1=9，m2=9n2=−1(舍去)，
∴P(−1,−3)，Q(9,13)，
∴PE=3−3m=3−3−1=6，DF=9−1=8，
∵△DQF∽△PDE，
∴DPDQ=PEDF=68=34，
故DPDQ的值为34．
【解析】(1)利用待定系数法即可得出答案；
(2)设N(b,3b)，过点M作MH⊥x轴于点H，过点N作NG⊥x轴于点G，根据三角形面积可得S△NOG+S梯形MNGH−S△OMH=32+12(2+3b)(2−b)−12×2×2=6，即可求得答案；
(3)过点D作EF/​/x轴，过点P作PE⊥EF于E，过点Q作QF⊥EF于F，过点Q作QH⊥PE于点H，由△DQF∽△PDE，可得DFPE=FQDE，设P(m,3m)，Q(n,3n)，根据四边形EFQH是矩形，可得HQ=EF=n−m，LG=3n+83，PH=3n−3m，得出n−13−3m=3−3n1−m①，可得由PE//GL，可得LGPH=QLHQ，得出3n+833n−3m=nn−m②，联立方程组求解即可求得答案．
本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法，一次函数和反比例函数的图象和性质，三角形面积，相似三角形的判定和性质等，解题关键是添加辅助线构造相似三角形．
19.【答案】0
【解析】解：∵a，b是方程x2−5x−3=0的两根，
∴a2−5a−3=0，ab=−3，
∴a2−5a=3，
∴a2−5a+ab=3−3=0，
故答案为：0．
由a，b是方程x2−5x−3=0的两根，推出a2−5a−3=0，ab=−3，可得结论．
本题考查根与系数关系，解题的关键是掌握一元二次方程的根与系数的关系．
20.【答案】2 2
【解析】解：∵AE=2BE，
∴AB=AE+BE=2BE+BE=3BE，
∵四边形ABCD是正方形，AB=8，
∴DC=BC=AB=8，∠BCD=90°，AB//DC，
∴BD= DC2+BC2= 82+82=8 2，BEDC=BEAB=13，
∵BE/​/DC，
∴△BEF∽△DCF，
∴BFDF=BEDC=13，
∴BF=11+3BD=14BD=14×8 2=2 2，
故答案为：2 2．
由AE=2BE，得AB=3BE，由正方形的性质得DC=BC=AB=8，∠BCD=90°，AB//DC，则BD= DC2+BC2=8 2，BEDC=BEAB=13，由BE/​/DC证明△BEF∽△DCF，得BFDF=BEDC=13，则BF=14BD=2 2，于是得到问题的答案．
此题重点考查正方形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，证明△BEF∽△DCF是解题的关键．
21.【答案】(0,32)
【解析】解：∵点A在反比例函数y=6x的图象上，
∴可设点A的坐标为(t,6t)，
∵AB/​/x轴，
∴点B的纵坐标为6t，
∵点B在反比例函数y=kx的图象上，
∴6t=kx，
解得：x=kt6，
∴点B的坐标为(kt6,6t)，
∴AB=t−kt6=(6−k)t6，
∵S△PAB=4，
∴12⋅(6−k)t6⋅6t=4，
解得：k=−2，
∴点B的坐标为(−t3,6t)，
∵点P的坐标为(32,0)，
∴PA2=(t−23)2+(6t)2，PB2=(−t3−23)2+(6t)2，
∵PA=PB，
∴(t−23)2+(6t)2=(−t3−23)2+(6t)2，
整理得：(t−23)2=(t3+23)2，
∴t−23=±(t3+23)，
由t−23=t3+23，解得t=2，
由t−23=−(t3+23)，解得：t=0，不合题意舍去；
当t=2时，点A的坐标为(2,3)，点B的坐标为(−23,0)，
设直线PB的表达式为：y=ax+b，
将B(−23,0)，P(23,0)代入得：23a+b=0−23a+b=3，
解得：a=−94b=32，
∴直线PB的表达式为：y=−94+32，
对于y=−94+32，当x=0时，y=32，
∴点C的坐标为(0,32)．
故答案为：(0,32)．
设点A(t,6t)，由AB/​/x轴得点B(kt6,6t)，根据S△PAB=4，得12⋅(6−k)t6⋅6t=4，由此解出k=−2，进而得点B(−t3,6t)，再根据PA=PB，得(t−23)2+(6t)2=(−t3−23)2+(6t)2，由此解出t=2，进而得点B(−23,0)，然后利用待定系数法求出直线PB的表达式为y=−94+32，据此可得点C的坐标．
此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标，待定系数法求一次函数的表达式，解决问题的关键是理解反比例函数图象上点满足反比例函数的表达式，熟练掌握待定系数法求一次函数的表达式．
22.【答案】3 25
【解析】解：如图：
∵翻折△ABD使点B落在AC上的B′处，
∴AD平分∠BAC，BD=B′D，
∴∠DAC=45°，
∵B′DCD=23，
即BDCD=23，
∴CDBC=35，
∵EF是折痕，
∴EF垂直平分AD，
∴∠ADE=45°，∠AED=90°，AE=DE，
∴DE/​/AB，
∴△EDC∽△ABC，
∴DEAB=CEAC=CDBC=35，
设AE=x，则DE=x，EF= 22x，
∴xAB=CECE+x=35，
解得AB=53x，CE=32x，
∵AB=AB′=53x，
∴B′E=23x，
∴B′C=32x−23x=56x，
∴EFB′C= 22x56x=3 25．
故答案为：3 25．
在图1根据折叠画出折痕，易得△ADE是等腰直角三角形，EF垂直平分AD，得出△EDC∽△ABC，设AE=x，根据相似比分别表示出EF，B′C即可求解．
本题考查折叠的性质，相似三角形的性质，理清图中线段之间的关系是解题关键．
23.【答案】24
【解析】解：∵6∴AC之间共有6个或7个整数，
∵6个连续的整数满足p12+p22+p32+⋯+pn2=q12+q22+q32+⋯+qn2，
∴m≥3．
当m=3时，
AC间有7个整数，
则A，B之间的3个整数设为x−2，x−1，x，
B，C之间的4个整数为x+1，x+2，x+3，x+4，
∴(x−2)2+(x−1)2+x2=(x+1)2+(x+2)2+(x+3)2+(x+4)2，
∴x=−25或r=−1．
当AC上有6个整数，(x−2)2+(x−1)2+x2=(x+1)2+(x+2)2+(x+3)2，无整数解．
当m=4时，AC间有7个整数，
则A，B之间的4个整数设为x−2，x−1，x，x+1，
B，C之间的3个整数为x+2，x+3，x+4，
∴(x−2)2+(x−1)2+x2+(x+1)2=(x+2)2+(x+3)2+(x+4)2，
∴x=23或r=−1，
当m=4，AC间有6个整数时，
则A，B之间的4个整数设为x−2，x−1，x，x+1，
B，C之间的2个整数为x+2，x+3，
∴(x−2)2+(x−1)2+x2+(x+1)2=(x+2)2+(x+3)2，无整数解；
当m=5时，
则A，B之间的5个整数设为x−2，x−1，x，x+1，x+2，
B，C之间的2个整数为x+3，x+4，
∴(x−2)2+(x−1)2+x2+(x+1)2=(x+2)2+(x+3)2，无整数解
或(x−2)2+(x−1)2+x2+(x+1)2+(x+2)2=(x+3)2+(x+4)2，无整数解
当m=6时，
则A，B之间的5个整数设为x−2，x−1，x，x+1，x+2，x+3，
B，C之间的2个整数为x+4，
∴(x−2)2+(x−1)2+x2+(x+1)2+(x+2)2+(x+3)2=(x+4)2，无解．
综上所述，x=−25或23或−1，
则−25∴k=−25，k=24或k=0
∵k是正整数．
∴k=24
故答案为：24．
根据题意得出AC之间共有6个或7个整数，进而可得m23，设AC之间的数分别为x−2，x−1，x，x+1，x+2，x+3，x+4，根据题意列出一元二次方程，再计算即可．．
本题考查了数字的变化知识，根据数轴上两点距离列出一元二次方程是解题关键．．
24.【答案】解：(1)设A系列产品的单价是x元/件，则B系列产品的单价是(x+5)元/件，
根据题意得：100x=150x+5，
解得：x=10，
经检验，x=10是所列方程的解，且符合题意，
∴x+5=10+5=15(元)．
答：A系列产品的单价是10元/件，B系列产品的单价是15元/件；
(2)设B系列产品的实际售价应定为y元/件，则每天可以卖50+10(15−y)=(200−10y)件，
根据题意得：y(200−10y)=960，
整理得：y2−20y+96=0，
解得：y1=8，y2=12，
又∵要尽可能让顾客得到实惠，
∴y=8．
答：B系列产品的实际售价应定为8元/件．
【解析】(1)设A系列产品的单价是x元/件，则B系列产品的单价是(x+5)元/件，利用数量=总价÷单价，结合100元购买A系列产品的数量与150元购买B系列产品的数量相等，可列出关于x的分式方程，解之经检验后可得出A系列产品的单价，再将其代入(x+5)中，即可求出B系列产品的单价；
(2)设B系列产品的实际售价应定为y元/件，则每天可以卖(200−10y)件，利用销售总额=销售单价×销售数量，可列出关于y的一元二次方程，解之可得出y的值，再结合要尽可能让顾客得到实惠，即可确定结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)找准等量关系，正确列出一元二次方程．
25.【答案】解：(1)将A(2,a)代入y=x+2，得a=2+2=4，
∴A(2,4)，
将A(2,4)代入y=kx，得：4=k2，
解得：k=8，
∴反比例函数解析式为y=8x，
联立得：y=x+2y=8x，
解得：x1=2y1=4，x2=−4y2=−2，
∴B(−4,−2)；
(2)设F(t,8t)，过点F作FH⊥x轴于点H，过点A作AG⊥y轴于点G，

∵A(2,4)，D(0,2)，∠AGD=90°，
∴AG=2，DG=4−2=2，
∴tan∠ADG=AGDG=22=1，
∴∠ADG=45°，AD= 2AG=2 2，
∴∠CDO=∠ADG=45°，
∵∠COD=90°，
∴∠DCO=45°，
∵EF/​/AD，EF=12AD，
∴∠FEH=∠DCO=45°，
∴FH=EF⋅sin45°=12AD⋅ 22= 24×2 2=1，
∴|8t|=1，
解得：t=±8，
当t=8时，F1(8,1)，E1(7,0)；
当t=−8时，F2(−8,−1)，E2(−7,0)；
综上所述，点E的坐标为(7,0)或(−7,0)；
(3)∵点D(0,2)关于x轴的对称点为M，
∴M(0,−2)，
∵B(−4,−2)，
∴BM⊥y轴，
∴∠BMP=90°，BM=4，
设P(0,m)，则PM=m−(−2)=m+2，如图2，

∵∠PBN=∠MBD，
∴∠PBN−∠PBD=∠MBD−∠PBD，
即∠NBD=∠PBM，
∵△BMP∽△BDN，
∴∠BDN=∠BMP=90°，
∴点N在经过点D，且垂直AB的直线上，
∴直线DN的解析式为y=−x+2，
设经过点Q平行DN的直线解析式为y=−x+b，
当QN最小时，直线y=−x+b与y=8x相切，
联立得：8x=−x+b，
整理得：x2−bx+8=0，
∴Δ=b2−32=0，
∴b=±4 2(负值舍去)，
∴y=−x+4 2，
联立得8x=−x+4 2，
解得：x1=x2=2 2，
∴Q(2 2,2 2)，
令x=0，得y=4 2，
∴L(0,4 2)，
∴DL=4 2−2，
∵∠LDK=45°，
∴△DLK是等腰直角三角形，
∴DK= 22DL= 22×(4 2−2)=4− 2，
∵∠DKQ=∠KQN=∠KDN=90°，
∴四边形DKQN是矩形，
∴QN=DK=4− 2，DN=KQ，
∴QN的最小值为4− 2，
此时QL= 2×2 2=4，LK=DK=4− 2，
∴DN=KQ=QL−LK=4−(4− 2)= 2，
∵△BMP∽△BDN，
∴PMDN=BMBD，即PM 2=44 2，
∴PM=1，
∴P(0,−3)，
综上所述，QN的最小值为4− 2，点P的坐标为(0,−3)．
【解析】(1)运用待定系数法即可解决问题；
(2)设F(t,8t)，过点F作FH⊥x轴于点H，过点A作AG⊥y轴于点G，利用解直角三角形可得tan∠ADG=AGDG=22=1，求得∠ADG=45°，AD= 2AG=2 2，进而求得FH=EF⋅sin45°=12AD⋅ 22= 24×2 2=1，建立方程求解即可得出答案；
(3)根据对称性可得M(0,−2)，设P(0,m)，则PM=m−(−2)=m+2，由△BMP∽△BDN，可得∠BDN=∠BMP=90°，判断得出点N在经过点D，且垂直AB的直线上，可得直线DN的解析式为y=−x+2，设经过点Q平行DN的直线解析式为y=−x+b，当QN最小时，直线y=−x+b与y=8x相切，可求得Q(2 2,2 2)，再证得△DLK是等腰直角三角形，四边形DKQN是矩形，可求得QN的最小值为4− 2，再利用相似三角形性质即可求得点P的坐标．
本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法，一次函数和反比例函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，解直角三角形等，添加辅助线构造相似三角形是解题关键．
26.【答案】(1)证明：∵将AC绕点A顺时针旋转α得到AE，
∴∠CAE=α，AC=AE，
∵∠BAD=α，
∴∠BAD=∠CAE，
∴∠BAC=DAE．
在△BAC和△DAE中，
BA=DA∠BAC=∠DAEAC=AE，
∴△BAC≌△DAE(SAS)，
∴∠C=∠E；
(2)解：∵△BAC≌△DAE，
∴∠ABC=∠ADE，BC=DE=DF+FE=9，
∵AB=AD，
∴∠B=∠ADB，
∴∠ADB=∠ADE．
∵DE//AB，
∴∠ADE=∠BAD，
∴∠B=∠ADB=∠DAB，
∴AB=AD=BD，
设AB=AD=BD=x，则CD=9−x，
∵DE//AB，
∴△CDF∽△CBA，
∴DFAB=CDCB，
∴2x=9−x9，
解得：x=3或6．
∴BD的长为3或6；
(3)解：∵S△ADFS△ABC=1n+2，△BAC≌△DAE，
∴S△ADFS△ADE=1n+2，
∴S△ADFS△AFE=1n+1，
∵点F为AC中点，
∴S△ADF=S△DCF，
∴S△DCFS△AEF=1n+1，
由(1)知：∠C=∠E，
∵∠DFC=∠AFE，
∴△DFC∽△AFE，
∴DCAE=CFFE=DFAF= S△DFCS△AFE= 1n+1，
∴4AE= 1n+1，
∴AE=4 n+1．
∴AC=AE=4 n+1，
∴AF=FC=12AC=2 n+1，
∴2 n+1FE=DF2 n+1= 1n+1，
∴FE=2n+2，DF=2．
∴DE=DF+FE=2n+4，
∵△BAC≌△DAE，
∴BC=DE=2n+4，
∵BC=BD+CD，
∴BD=2n．
过点A作AM⊥BD于点M，AN⊥DE于点N，如图，
∵AB=AD，
∴BM=DM=12BD=n，
由(2)知：∠ADB=∠ADE，
∴AM=AN，
在Rt△ADM和Rt△ADN中，
AD=ADAM=AN，
∴Rt△ADM≌Rt△ADN(HL)，
∴DM=DN=n，
∴EN=DE−DN=n+4，
∴AN2=AE2−EN2=(4 n+1)2−(n+4)2，
∴AM2=AN2=AE2−EN2=(4 n+1)2−(n+4)2=8n−n2，
在Rt△ADM中，
AB= BM2+AM2= n2+8n−n2= 8n=2 2n．
【解析】(1)利用旋转的性质和全等三角形的判定与性质解答即可；
(2)利用平行线的性质，角平分线的性质，等边三角形的判定与性质和相似三角形的判定与性质解答即可；
(3)利用全等三角形的判定与性质，等高的三角形的面积比等于底的比的性质，相似三角形的判定与性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质和勾股定理解答即可．
本题主要考查了几何的变换，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，角平分线的性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．转动转盘的次数
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
落在“蓝色”的次数
30
61
92
118
151
182
207
242
269
302