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2023-2024学年河南省焦作一中高三（上）月考数学试卷（11月份） （含解析）
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这是一份2023-2024学年河南省焦作一中高三（上）月考数学试卷（11月份） （含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1．已知集合M＝{x|﹣2≤x≤3}，N＝{x|lg2x≤1}，则M∩N＝（ ）
A．[﹣2，3]B．[﹣2，2]C．（0，2]D．（0，3]
2．若a＞0，b＞0，则“ab＜1”是“a+b＜1”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．若tanα＝，则＝（ ）
A．﹣B．﹣7C．D．7
4．已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连结DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则的值为（ ）
A．B．C．1D．﹣8
5．定义方程f（x）＝f′（x）的实数根x0叫做函数f（x）的“躺平点”．若函数g（x）＝lnx，h（x）＝x3﹣1的“躺平点”分别为α，β，则α，β的大小关系为（ ）
A．α≥βB．α＞βC．α≤βD．α＜β
6．已知x，y为非零实数，向量，为非零向量，则“|+|＝||+||”是“存在非零实数x，y，使得x+y＝0“的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
7．在△ABC中，，且，M是BC的中点，O是线段AM的中点，则的值为（ ）
A．0B．C．D．2
8．如图，M为△ABC的外接圆的圆心，AB＝4，AC＝6，N为边BC的中点，则＝（ ）
A．5B．10C．13D．26
二、多选题（每小题5分，共4小题20分）
（多选）9．已知实数a满足（i为虚数单位），复数z＝（a+1）+（a﹣1）i，则（ ）
A．z为纯虚数B．z2为虚数C．z+＝0D．z•＝4
（多选）10．已知不等式x2+2ax+b﹣1＞0的解集是{x|x≠d}，则b的值可能是（ ）
A．﹣1B．3C．2D．0
（多选）11．关于函数f（x）＝sin|x|+|csx|有下述四个结论，则（ ）
A．f（x）是偶函数
B．f（x）的最小值为﹣1
C．f（x）在[﹣2π，2π]上有4个零点
D．f（x）在区间（，π）单调递增
（多选）12．如图，正方形ABCD与正方形DEFC边长均为1，平面ABCD与平面DEFC互相垂直，P是AE上的一个动点，则（ ）
A．CP的最小值为
B．当P在直线AE上运动时，三棱锥D﹣BPF的体积不变
C．PD+PF的最小值为
D．三棱锥A﹣DCE的外接球表面积为3π
三、填空题（每小题5分，共4小题20分）
13．已知曲线y＝mex+xlnx在x＝1处的切线方程为y＝3x+n，则n＝ ．
14．已知数列{an}是等差数列，a1＞0，a3+3a7＝0，则使Sn＞0的最大整数n的值为 ．
15．某区域规划建设扇形观景水池，同时紧贴水池周边建设一圈人行步道．要求总预算费用24万元，水池造价为每平方米400元，步道造价为每米1000元（不考虑宽度厚度等因素），则水池面积最大值为 平方米．
16．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且f（1﹣x）＝f（x），则f（x）的最小正周期为 ；若对任意的x1，x2∈，当x1≠x2时，都有＞π，则关于x的不等式f（x）≤sinπx在区间上的解集为 ．
四、解答题（第17题10分，第18题12分，第19题12分，第20题12分，第21题12分，第22题12分，
17．已知向量＝（2sinx，2sin（x+）），向量＝（csx，（csx﹣sinx）），记f（x）＝•（x∈R）．
（1）求f（x）表达式；
（2）解关于x的不等式f（x）≥1．
18．记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝1，{}是公差为的等差数列．
（1）求{an}的通项公式；
（2）证明：++…+＜2．
19．△ABC中，sin2A﹣sin2B﹣sin2C＝sinBsinC．
（1）求A；
（2）若BC＝3，求△ABC面积的最大值．
20．已知数列{an}满足a1＝，an+1＝．
（1）若bn＝﹣1，证明数列{bn}为等比数列，并求通项公式bn；
（2）数列{cn}的前n项和为Sn，cn＝，求S2n．
21．有人收集了春节期间平均气温x与某取暖商品销售额y的有关数据，如下表所示．
（1）根据以上数据，用最小二乘法求出回归方程；
（2）预测平均气温为﹣9℃时，该商品的销售额为多少万元．
．
22．已知函数f（x）＝ln（a﹣x），已知x＝0是函数y＝xf （x）的极值点．
（1）求a；
（2）设函数g（x）＝．证明：g（x）＜1．
参考答案
一、选择题（每小题5分，共8小题40分）
1．已知集合M＝{x|﹣2≤x≤3}，N＝{x|lg2x≤1}，则M∩N＝（ ）
A．[﹣2，3]B．[﹣2，2]C．（0，2]D．（0，3]
【分析】先化简集合N，再根据交集的运算即可求出．
解：集合M＝{x|﹣2≤x≤3}＝[﹣2，3]，N＝{x|lg2x≤1}＝（0，2]，则M∩N＝（0，2]．
故选：C．
2．若a＞0，b＞0，则“ab＜1”是“a+b＜1”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】判断充分条件、必要条件时均可以列举出满足条件的数，或使之不成立的数．
解：∵a＞0，b＞0，
⇒
∵ab＜1，
令a＝4，b＝，则a+b＞1，
∴充分性不满足．
⇐
当a+b＜1时，0＜a＜1且0＜b＜1，
所以ab＜1，
∴a＞0，b＞0，ab＜1a+b＜1的必要不充分条件，
故选：B．
3．若tanα＝，则＝（ ）
A．﹣B．﹣7C．D．7
【分析】由已知利用二倍角的正弦公式，同角三角函数基本关系式将用tanα表示，再求值即可．
解：因为tanα＝，
所以＝
＝＝
＝7．
故选：D．
4．已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连结DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则的值为（ ）
A．B．C．1D．﹣8
【分析】根据向量的线性运算，向量数量积的性质与定义，即可求解．
解：根据题意可知：
＝（）•（）
＝（）•（）
＝
＝＝．
故选：B．
5．定义方程f（x）＝f′（x）的实数根x0叫做函数f（x）的“躺平点”．若函数g（x）＝lnx，h（x）＝x3﹣1的“躺平点”分别为α，β，则α，β的大小关系为（ ）
A．α≥βB．α＞βC．α≤βD．α＜β
【分析】根据题意，对g（x）＝lnx求导，构造函数，研究其单调性和零点，利用零点存在性定理求出α的范围，利用同样的方法求出β的范围，比较得到答案．
解：根据题意，对于g（x）＝lnx，其定义域为（0，+∞），
则其导数，
由题意得：，令，x∈（0，+∞），
则α为函数的零点，，
所以在x∈（0，+∞）上单调递增，
又t（1）＝﹣1＜0，，由零点存在性定理，α∈（1，e）．
对于h（x）＝x3﹣1，其导数h'（x）＝3x2，
由题意得：β3﹣1＝3β2，
令s（x）＝x3﹣1﹣3x2，则β为函数s（x）＝x3﹣1﹣3x2的零点，s'（x）＝3x2﹣6x，
令s'（x）＞0得：x＞2或x＜0，令s'（x）＜0得：0＜x＜2，
所以s（x）＝x3﹣1﹣3x2单调递增区间为（﹣∞，0），（2，+∞），单调递减区间为（0，2），
s（x）在x＝0处取得极大值，s（0）＝﹣1＜0，在x＝2处取得极小值，
故s（x）在（﹣∞，2）上无零点，
因为函数在（2，+∞）上单调递增，且s（3）＝27﹣1﹣27＜0，s（4）＝64﹣1﹣48＞0，
由零点存在性定理：β∈（3，4）
所以α＜β．
故选：D．
6．已知x，y为非零实数，向量，为非零向量，则“|+|＝||+||”是“存在非零实数x，y，使得x+y＝0“的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】根据题意，由|+|＝||+||化简得到、共线且方向相同；若存在非零实数x、y，使得，可以得到、共线，由此结合充要条件的定义得到答案．
解：若，则，
整理得到，即＝1，故、共线且方向相同；
若存在非零实数x、y，使得，可得、共线，但不一定方向相同．
因此“|+|＝||+||”是“存在非零实数x，y，使得．”的充分不必要条件．
故选：A．
7．在△ABC中，，且，M是BC的中点，O是线段AM的中点，则的值为（ ）
A．0B．C．D．2
【分析】根据题意建立平面直角坐标系，利用坐标表示向量，计算平面向量的数量积即可．
解：根据题意建立平面直角坐标系，如图所示：
由题意知，A（0，0），B（，0），C（0，），M（，），O（，），
所以＝（﹣，﹣），＝（，﹣），＝（﹣，），
所以+＝（，），
所以•（+）＝﹣×﹣×＝﹣．
故选：C．
8．如图，M为△ABC的外接圆的圆心，AB＝4，AC＝6，N为边BC的中点，则＝（ ）
A．5B．10C．13D．26
【分析】由N是BC边的中点，可得 ＝（+），利用M是△ABC的外接圆的圆心，可得•＝||||cs∠BAM＝||2＝×42＝8，同理可得＝||2＝18，即可得出结论．
解：∵N是BC边的中点，可得 ＝（+），
∵M是△ABC的外接圆的圆心，
∴•＝||||cs∠BAM＝||2＝×42＝8，
同理可得＝||2＝18，
∴＝（+）•＝+＝×8+×18＝13．
故选：C．
二、多选题（每小题5分，共4小题20分）
（多选）9．已知实数a满足（i为虚数单位），复数z＝（a+1）+（a﹣1）i，则（ ）
A．z为纯虚数B．z2为虚数C．z+＝0D．z•＝4
【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，求出a，即可依次求解．
解：，
则3+ai＝（1﹣i）（2+i）＝3﹣i，
故a＝﹣1，
z＝（a+1）+（a﹣1）i＝﹣2i，z为纯虚数，故A正确；
z2＝（﹣2i）2＝﹣4∈R，故B错误；
，故C正确；
，故D正确．
故选：ACD．
（多选）10．已知不等式x2+2ax+b﹣1＞0的解集是{x|x≠d}，则b的值可能是（ ）
A．﹣1B．3C．2D．0
【分析】由不等式x2+2ax+b﹣1＞0的解集是{x|x≠d}，得到Δ＝0，求出b的取值范围即可．
解：∵不等式x2+2ax+b﹣1＞0的解集是{x|x≠d}，
∴Δ＝4a2﹣4（b﹣1）＝0，即b＝a2+1≥1，
故选：BC．
（多选）11．关于函数f（x）＝sin|x|+|csx|有下述四个结论，则（ ）
A．f（x）是偶函数
B．f（x）的最小值为﹣1
C．f（x）在[﹣2π，2π]上有4个零点
D．f（x）在区间（，π）单调递增
【分析】利用奇偶性定义可判断A；
由f（x+2π）＝sin|x+2π|+|cs（x+2π）|＝sin|x|+|csx|＝f（x），确定2π为函数f（x）的一个周期，求出一个周期内函数的最小值，可判断B；
由于函数为偶函数，故研究x∈[0，2π]时函数的零点情况，从而可得[﹣2π，2π]函数零点情况，可判断C；
确定（，π）上函数的解析式，可判断D．
解：对于A，函数定义域为R，
f（﹣x）＝sin|﹣x|+|cs（﹣x）|＝sin|x|+|csx|＝f（x），
所以f（x）为偶函数，故A正确；
对于B，f（x+2π）＝sin|x+2π|+|cs（x+2π）|＝sin|x|+|csx|＝f（x），
所以2π是函数f（x）＝sin|x|+|csx|的一个周期，
当时，，
此时f（x）的最小值为1，
当时，，
此时f（x）的最小值为﹣1，
当时，，
此时f（x）的最小值为﹣1，
所以f（x）的最小值为﹣1，故B正确；
对于C，当x∈[0，]时，f（x）＝，
令f（x）＝0，可得x＝，，
又f（x）为偶函数，
所以f（x）[﹣2π，2π]上有4个零点，故C正确；
对于D，当时，sin|x|＝sinx，|csx|＝﹣csx|，
则，
当，
所以函数f（x）在上不具备单调性，故D错误；
故选：ABC．
（多选）12．如图，正方形ABCD与正方形DEFC边长均为1，平面ABCD与平面DEFC互相垂直，P是AE上的一个动点，则（ ）
A．CP的最小值为
B．当P在直线AE上运动时，三棱锥D﹣BPF的体积不变
C．PD+PF的最小值为
D．三棱锥A﹣DCE的外接球表面积为3π
【分析】由题可知，可判断A；根据条件可知△PBF的面积不变，D到平面PBF的距离也不变，可判断B；将△ADE翻折到与平面ABFE共面，即可判断C；由正方体的性质可判断D．
解：对于A，连接DP，CP，易得，故A错误；
对于B，P在直线AE上运动时，△PBF的面积不变，D到平面PBF的距离也不变，故三棱锥D﹣BPF的体积不变，故B正确；
对于C，如图，将△ADE翻折到与平面ABFE共面，则当D、P、F三点共线时，PD+PF取得最小值，故C错误；
对于D，将该几何体补成正方体，则外接球半径为，外接球表面积为3π，故D正确．
故选：BD．
三、填空题（每小题5分，共4小题20分）
13．已知曲线y＝mex+xlnx在x＝1处的切线方程为y＝3x+n，则n＝ ﹣1 ．
【分析】求出原函数的导函数，再由函数在x＝1处的导数值为3求得m值，然后利用函数在x＝1时的函数值相等列式求解n．
解：由y＝mex+xlnx，得y′＝mex+lnx+1，
则y′|x＝1＝me+1＝3，即me＝2，
又me＝3+n，∴3+n＝2，即n＝﹣1．
故答案为：﹣1．
14．已知数列{an}是等差数列，a1＞0，a3+3a7＝0，则使Sn＞0的最大整数n的值为 10 ．
【分析】由等差数列通项公式求出a1＝﹣5d，d＜0，从而Sn＝na1＝＝﹣5nd+＝，由此能求出使Sn＞0的最大整数n的值．
解：数列{an}是等差数列，a1＞0，a3+3a7＝0，
∴a1+2d+3（a1+6d）＝0，
解得a1＝﹣5d，d＜0，
∴Sn＝na1＝＝﹣5nd+＝，
∵d＜0，n＞0，
∴Sn＞0时，n＜11，
∴使Sn＞0的最大整数n的值为10．
故答案为：10．
15．某区域规划建设扇形观景水池，同时紧贴水池周边建设一圈人行步道．要求总预算费用24万元，水池造价为每平方米400元，步道造价为每米1000元（不考虑宽度厚度等因素），则水池面积最大值为 400 平方米．
【分析】求出扇形的面积，得到关于θ，r的不等式，利用基本不等式求出面积的最大值．
解：由题意，扇形的弧长AB为l＝θr，
扇形的面积为S＝θr2，
由题意400×θr2+1000（2r+θr）≤24×104；
化简得θr2+5（2r+θr）≤1200（*）；
又θr+2r≥2，
所以θr2+10≤1200；
设t＝，t＞0，
则+10t≤1200，
解得﹣60≤t≤40，
所以当θr＝2r＝40时，面积S＝θr2的最大值为400．
故答案为：400．
16．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且f（1﹣x）＝f（x），则f（x）的最小正周期为 2 ；若对任意的x1，x2∈，当x1≠x2时，都有＞π，则关于x的不等式f（x）≤sinπx在区间上的解集为 ．
【分析】利用奇函数的定义结合已知的恒等式，可得f（2﹣x）＝f（﹣x），利用周期的定义即可得到答案；将已知的不等式变形，利用函数单调性的定义得到函数y＝f（x）﹣πx在上为增函数，从而f（x）﹣πx≥0，令g（x）＝sinπx，由y＝sinπx﹣πx是单调递减函数，得到g（x）﹣πx≤0，从而f（x）≥g（x），作出f（x）与g（x）的图像，即可得到答案．
解：因为f（1﹣x）＝f（x），且f（x）是定义在R上的奇函数，
所以f（﹣x）＝﹣f（x），
则f（1﹣x）＝﹣f（﹣x），
则f（2﹣x）＝﹣f（1﹣x）＝f（﹣x），
所以f（x）的最小正周期为2；
因为对任意的x1，x2∈，当x1≠x2时，都有＞π，
不妨设x1＞x2，
则f（x1）﹣f（x2）＞πx1﹣πx2，
故f（x1）﹣πx1＞f（x2）﹣πx2，
故函数y＝f（x）﹣πx在上为增函数，
所以当x∈时，f（x）﹣πx≥f（0）﹣π×0＝0，
令g（x）＝sinπx，
则y＝sinπx﹣πx，
因为y'＝πcsπx﹣π≤0，
所以y＝sinπx﹣πx是单调递减函数，
当x∈时，g（x）﹣πx＝sinπx﹣πx≤g（0）﹣0＝0，
即当x∈时，f（x）﹣πx≥g（x）﹣πx，
故f（x）≥g（x），
由对称性以及周期性作出函数f（x）和g（x）的图象，如图所示，
所以f（x）≤sinπx在区间上的解集为．
四、解答题（第17题10分，第18题12分，第19题12分，第20题12分，第21题12分，第22题12分，
17．已知向量＝（2sinx，2sin（x+）），向量＝（csx，（csx﹣sinx）），记f（x）＝•（x∈R）．
（1）求f（x）表达式；
（2）解关于x的不等式f（x）≥1．
【分析】（1）由向量的数量积运算以及三角恒等变换化简，得函数f（x）的表达式；
（2）由正弦函数的性质，整体代换可得不等式的解集．
解：（1）因为，，
＝＝＝，
所以；
（2）由（1）得2，
所以，
即，
解得 ，
所以不等式解集为．
18．记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝1，{}是公差为的等差数列．
（1）求{an}的通项公式；
（2）证明：++…+＜2．
【分析】（1）直接利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式；
（2）利用（1）的结论，进一步利用裂项相消法的应用求出数列的和，进一步利用放缩法的应用求出结果．
解：（1）已知a1＝1，{}是公差为的等差数列，
所以，整理得，①，
故当n≥2时，，②，
①﹣②得：，
故（n﹣1）an＝（n+1）an﹣1，
化简得：，，，，；
所以，
故（首项符合通项）．
所以．
证明：（2）由于，
所以，
所以＝．
19．△ABC中，sin2A﹣sin2B﹣sin2C＝sinBsinC．
（1）求A；
（2）若BC＝3，求△ABC面积的最大值．
【分析】（1）利用正弦定理角化边，配凑出csA的形式，进而求得A；
（2）利用余弦定理可得到AC2+AB2+AB•AC＝9，利用基本不等式可求得AC•AB的最大值，进而得到结果．
解：（1）由正弦定理可得BC2﹣AC2﹣AB2＝AC•AB，
所以，
因为A∈（0，π），
所以；
（2）由余弦定理可得BC2＝AC2+AB2﹣2AC•ABcsA＝AC2+AB2+AC•AB＝9，
即AC2+AB2+AB•AC＝9，
因为AC2+AB2≥2AB•AC，
所以AC2+AB2+AB•AC≥3AB•AC，
即3AB•AC≤9，
故AB•AC≤3，当且仅当AB＝AC时等号成立，
所以S△ABC＝＝AB×AC≤×3＝，当且仅当AB＝AC时等号成立，
所以△ABC面积的最大值为．
20．已知数列{an}满足a1＝，an+1＝．
（1）若bn＝﹣1，证明数列{bn}为等比数列，并求通项公式bn；
（2）数列{cn}的前n项和为Sn，cn＝，求S2n．
【分析】（1）由数列的递推式和等比数列的定义、通项公式，可得所求；
（2）求得cn＝，由数列的分组求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和．
解：（1）证明：由a1＝，an+1＝，
可得bn+1＝﹣1＝﹣1＝2（﹣1）＝2bn，
则数列{bn}是首项为﹣1＝1，公比为2的等比数列，
则bn＝2n﹣1；
（2）cn＝bn+2＝，
则S2n＝（c1+c3+...+c2n﹣1）+（c2+c4+...+c2n）＝2n+2n+＝4n+．
21．有人收集了春节期间平均气温x与某取暖商品销售额y的有关数据，如下表所示．
（1）根据以上数据，用最小二乘法求出回归方程；
（2）预测平均气温为﹣9℃时，该商品的销售额为多少万元．
．
【分析】（1）根据已知条件，结合最小二乘法，以及线性回归方程的性质，即可求解；
（2）结合（1）的线性回归方程，即可求解．
解：（1）由表中数据可知，，
，
＝﹣67，，
故＝＝，＝30﹣（6.7）×（﹣5）＝﹣3.5，
故；
（2）当x＝﹣9℃时，万元．
22．已知函数f（x）＝ln（a﹣x），已知x＝0是函数y＝xf （x）的极值点．
（1）求a；
（2）设函数g（x）＝．证明：g（x）＜1．
【分析】（1）确定函数f（x）的定义域，令t（x）＝xf（x），由极值的定义得到t'（x）＝0，求出a的值，然后进行证明，即可得到a的值；
（2）将问题转化为证明，进一步转化为证明x+ln（1﹣x）＞xln（1﹣x），令h（x）＝x+（1﹣x）ln（1﹣x），利用导数研究h（x）的单调性，证明h（x）＞h（0），即可证明．
【解答】（1）解：由题意，f（x）的定义域为（﹣∞，a），
令t（x）＝xf（x），则t（x）＝xln（a﹣x），x∈（﹣∞，a），
则t'（x）＝ln（a﹣x）+x•＝，
因为x＝0是函数y＝xf（x）的极值点，则有t'（0）＝0，即lna＝0，所以a＝1，
当a＝1时，t'（x）＝，且t'（0）＝0，
因为t''（x）＝，
则t'（x）在（﹣∞，1）上单调递减，
所以当x∈（﹣∞，0）时，t'（x）＞0，
当x∈（0，1）时，t'（x）＜0，
所以a＝1时，x＝0是函数y＝xf（x）的一个极大值点．
综上所述，a＝1；
（2）证明：由（1）可知，xf（x）＝xln（1﹣x），
要证，即需证明，
因为当x∈（﹣∞，0）时，xln（1﹣x）＜0，
当x∈（0，1）时，xln（1﹣x）＜0，
所以需证明x+ln（1﹣x）＞xln（1﹣x），即x+（1﹣x）ln（1﹣x）＞0，
令h（x）＝x+（1﹣x）ln（1﹣x），
则h'（x）＝（1﹣x）＝﹣ln（1﹣x），
所以h'（0）＝0，当x∈（﹣∞，0）时，h'（x）＜0，
当x∈（0，1）时，h'（x）＞0，
所以x＝0为h（x）的极小值点，
所以h（x）＞h（0）＝0，即x+ln（1﹣x）＞xln（1﹣x），
故，
所以．
平均气温/℃
﹣3
﹣4
﹣5
﹣6
﹣7
销售额/万元
20
23
27
30
50
平均气温/℃
﹣3
﹣4
﹣5
﹣6
﹣7
销售额/万元
20
23
27
30
50
1．已知集合M＝{x|﹣2≤x≤3}，N＝{x|lg2x≤1}，则M∩N＝（ ）
A．[﹣2，3]B．[﹣2，2]C．（0，2]D．（0，3]
2．若a＞0，b＞0，则“ab＜1”是“a+b＜1”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．若tanα＝，则＝（ ）
A．﹣B．﹣7C．D．7
4．已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连结DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则的值为（ ）
A．B．C．1D．﹣8
5．定义方程f（x）＝f′（x）的实数根x0叫做函数f（x）的“躺平点”．若函数g（x）＝lnx，h（x）＝x3﹣1的“躺平点”分别为α，β，则α，β的大小关系为（ ）
A．α≥βB．α＞βC．α≤βD．α＜β
6．已知x，y为非零实数，向量，为非零向量，则“|+|＝||+||”是“存在非零实数x，y，使得x+y＝0“的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
7．在△ABC中，，且，M是BC的中点，O是线段AM的中点，则的值为（ ）
A．0B．C．D．2
8．如图，M为△ABC的外接圆的圆心，AB＝4，AC＝6，N为边BC的中点，则＝（ ）
A．5B．10C．13D．26
二、多选题（每小题5分，共4小题20分）
（多选）9．已知实数a满足（i为虚数单位），复数z＝（a+1）+（a﹣1）i，则（ ）
A．z为纯虚数B．z2为虚数C．z+＝0D．z•＝4
（多选）10．已知不等式x2+2ax+b﹣1＞0的解集是{x|x≠d}，则b的值可能是（ ）
A．﹣1B．3C．2D．0
（多选）11．关于函数f（x）＝sin|x|+|csx|有下述四个结论，则（ ）
A．f（x）是偶函数
B．f（x）的最小值为﹣1
C．f（x）在[﹣2π，2π]上有4个零点
D．f（x）在区间（，π）单调递增
（多选）12．如图，正方形ABCD与正方形DEFC边长均为1，平面ABCD与平面DEFC互相垂直，P是AE上的一个动点，则（ ）
A．CP的最小值为
B．当P在直线AE上运动时，三棱锥D﹣BPF的体积不变
C．PD+PF的最小值为
D．三棱锥A﹣DCE的外接球表面积为3π
三、填空题（每小题5分，共4小题20分）
13．已知曲线y＝mex+xlnx在x＝1处的切线方程为y＝3x+n，则n＝ ．
14．已知数列{an}是等差数列，a1＞0，a3+3a7＝0，则使Sn＞0的最大整数n的值为 ．
15．某区域规划建设扇形观景水池，同时紧贴水池周边建设一圈人行步道．要求总预算费用24万元，水池造价为每平方米400元，步道造价为每米1000元（不考虑宽度厚度等因素），则水池面积最大值为 平方米．
16．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且f（1﹣x）＝f（x），则f（x）的最小正周期为 ；若对任意的x1，x2∈，当x1≠x2时，都有＞π，则关于x的不等式f（x）≤sinπx在区间上的解集为 ．
四、解答题（第17题10分，第18题12分，第19题12分，第20题12分，第21题12分，第22题12分，
17．已知向量＝（2sinx，2sin（x+）），向量＝（csx，（csx﹣sinx）），记f（x）＝•（x∈R）．
（1）求f（x）表达式；
（2）解关于x的不等式f（x）≥1．
18．记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝1，{}是公差为的等差数列．
（1）求{an}的通项公式；
（2）证明：++…+＜2．
19．△ABC中，sin2A﹣sin2B﹣sin2C＝sinBsinC．
（1）求A；
（2）若BC＝3，求△ABC面积的最大值．
20．已知数列{an}满足a1＝，an+1＝．
（1）若bn＝﹣1，证明数列{bn}为等比数列，并求通项公式bn；
（2）数列{cn}的前n项和为Sn，cn＝，求S2n．
21．有人收集了春节期间平均气温x与某取暖商品销售额y的有关数据，如下表所示．
（1）根据以上数据，用最小二乘法求出回归方程；
（2）预测平均气温为﹣9℃时，该商品的销售额为多少万元．
．
22．已知函数f（x）＝ln（a﹣x），已知x＝0是函数y＝xf （x）的极值点．
（1）求a；
（2）设函数g（x）＝．证明：g（x）＜1．
参考答案
一、选择题（每小题5分，共8小题40分）
1．已知集合M＝{x|﹣2≤x≤3}，N＝{x|lg2x≤1}，则M∩N＝（ ）
A．[﹣2，3]B．[﹣2，2]C．（0，2]D．（0，3]
【分析】先化简集合N，再根据交集的运算即可求出．
解：集合M＝{x|﹣2≤x≤3}＝[﹣2，3]，N＝{x|lg2x≤1}＝（0，2]，则M∩N＝（0，2]．
故选：C．
2．若a＞0，b＞0，则“ab＜1”是“a+b＜1”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】判断充分条件、必要条件时均可以列举出满足条件的数，或使之不成立的数．
解：∵a＞0，b＞0，
⇒
∵ab＜1，
令a＝4，b＝，则a+b＞1，
∴充分性不满足．
⇐
当a+b＜1时，0＜a＜1且0＜b＜1，
所以ab＜1，
∴a＞0，b＞0，ab＜1a+b＜1的必要不充分条件，
故选：B．
3．若tanα＝，则＝（ ）
A．﹣B．﹣7C．D．7
【分析】由已知利用二倍角的正弦公式，同角三角函数基本关系式将用tanα表示，再求值即可．
解：因为tanα＝，
所以＝
＝＝
＝7．
故选：D．
4．已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连结DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则的值为（ ）
A．B．C．1D．﹣8
【分析】根据向量的线性运算，向量数量积的性质与定义，即可求解．
解：根据题意可知：
＝（）•（）
＝（）•（）
＝
＝＝．
故选：B．
5．定义方程f（x）＝f′（x）的实数根x0叫做函数f（x）的“躺平点”．若函数g（x）＝lnx，h（x）＝x3﹣1的“躺平点”分别为α，β，则α，β的大小关系为（ ）
A．α≥βB．α＞βC．α≤βD．α＜β
【分析】根据题意，对g（x）＝lnx求导，构造函数，研究其单调性和零点，利用零点存在性定理求出α的范围，利用同样的方法求出β的范围，比较得到答案．
解：根据题意，对于g（x）＝lnx，其定义域为（0，+∞），
则其导数，
由题意得：，令，x∈（0，+∞），
则α为函数的零点，，
所以在x∈（0，+∞）上单调递增，
又t（1）＝﹣1＜0，，由零点存在性定理，α∈（1，e）．
对于h（x）＝x3﹣1，其导数h'（x）＝3x2，
由题意得：β3﹣1＝3β2，
令s（x）＝x3﹣1﹣3x2，则β为函数s（x）＝x3﹣1﹣3x2的零点，s'（x）＝3x2﹣6x，
令s'（x）＞0得：x＞2或x＜0，令s'（x）＜0得：0＜x＜2，
所以s（x）＝x3﹣1﹣3x2单调递增区间为（﹣∞，0），（2，+∞），单调递减区间为（0，2），
s（x）在x＝0处取得极大值，s（0）＝﹣1＜0，在x＝2处取得极小值，
故s（x）在（﹣∞，2）上无零点，
因为函数在（2，+∞）上单调递增，且s（3）＝27﹣1﹣27＜0，s（4）＝64﹣1﹣48＞0，
由零点存在性定理：β∈（3，4）
所以α＜β．
故选：D．
6．已知x，y为非零实数，向量，为非零向量，则“|+|＝||+||”是“存在非零实数x，y，使得x+y＝0“的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】根据题意，由|+|＝||+||化简得到、共线且方向相同；若存在非零实数x、y，使得，可以得到、共线，由此结合充要条件的定义得到答案．
解：若，则，
整理得到，即＝1，故、共线且方向相同；
若存在非零实数x、y，使得，可得、共线，但不一定方向相同．
因此“|+|＝||+||”是“存在非零实数x，y，使得．”的充分不必要条件．
故选：A．
7．在△ABC中，，且，M是BC的中点，O是线段AM的中点，则的值为（ ）
A．0B．C．D．2
【分析】根据题意建立平面直角坐标系，利用坐标表示向量，计算平面向量的数量积即可．
解：根据题意建立平面直角坐标系，如图所示：
由题意知，A（0，0），B（，0），C（0，），M（，），O（，），
所以＝（﹣，﹣），＝（，﹣），＝（﹣，），
所以+＝（，），
所以•（+）＝﹣×﹣×＝﹣．
故选：C．
8．如图，M为△ABC的外接圆的圆心，AB＝4，AC＝6，N为边BC的中点，则＝（ ）
A．5B．10C．13D．26
【分析】由N是BC边的中点，可得 ＝（+），利用M是△ABC的外接圆的圆心，可得•＝||||cs∠BAM＝||2＝×42＝8，同理可得＝||2＝18，即可得出结论．
解：∵N是BC边的中点，可得 ＝（+），
∵M是△ABC的外接圆的圆心，
∴•＝||||cs∠BAM＝||2＝×42＝8，
同理可得＝||2＝18，
∴＝（+）•＝+＝×8+×18＝13．
故选：C．
二、多选题（每小题5分，共4小题20分）
（多选）9．已知实数a满足（i为虚数单位），复数z＝（a+1）+（a﹣1）i，则（ ）
A．z为纯虚数B．z2为虚数C．z+＝0D．z•＝4
【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，求出a，即可依次求解．
解：，
则3+ai＝（1﹣i）（2+i）＝3﹣i，
故a＝﹣1，
z＝（a+1）+（a﹣1）i＝﹣2i，z为纯虚数，故A正确；
z2＝（﹣2i）2＝﹣4∈R，故B错误；
，故C正确；
，故D正确．
故选：ACD．
（多选）10．已知不等式x2+2ax+b﹣1＞0的解集是{x|x≠d}，则b的值可能是（ ）
A．﹣1B．3C．2D．0
【分析】由不等式x2+2ax+b﹣1＞0的解集是{x|x≠d}，得到Δ＝0，求出b的取值范围即可．
解：∵不等式x2+2ax+b﹣1＞0的解集是{x|x≠d}，
∴Δ＝4a2﹣4（b﹣1）＝0，即b＝a2+1≥1，
故选：BC．
（多选）11．关于函数f（x）＝sin|x|+|csx|有下述四个结论，则（ ）
A．f（x）是偶函数
B．f（x）的最小值为﹣1
C．f（x）在[﹣2π，2π]上有4个零点
D．f（x）在区间（，π）单调递增
【分析】利用奇偶性定义可判断A；
由f（x+2π）＝sin|x+2π|+|cs（x+2π）|＝sin|x|+|csx|＝f（x），确定2π为函数f（x）的一个周期，求出一个周期内函数的最小值，可判断B；
由于函数为偶函数，故研究x∈[0，2π]时函数的零点情况，从而可得[﹣2π，2π]函数零点情况，可判断C；
确定（，π）上函数的解析式，可判断D．
解：对于A，函数定义域为R，
f（﹣x）＝sin|﹣x|+|cs（﹣x）|＝sin|x|+|csx|＝f（x），
所以f（x）为偶函数，故A正确；
对于B，f（x+2π）＝sin|x+2π|+|cs（x+2π）|＝sin|x|+|csx|＝f（x），
所以2π是函数f（x）＝sin|x|+|csx|的一个周期，
当时，，
此时f（x）的最小值为1，
当时，，
此时f（x）的最小值为﹣1，
当时，，
此时f（x）的最小值为﹣1，
所以f（x）的最小值为﹣1，故B正确；
对于C，当x∈[0，]时，f（x）＝，
令f（x）＝0，可得x＝，，
又f（x）为偶函数，
所以f（x）[﹣2π，2π]上有4个零点，故C正确；
对于D，当时，sin|x|＝sinx，|csx|＝﹣csx|，
则，
当，
所以函数f（x）在上不具备单调性，故D错误；
故选：ABC．
（多选）12．如图，正方形ABCD与正方形DEFC边长均为1，平面ABCD与平面DEFC互相垂直，P是AE上的一个动点，则（ ）
A．CP的最小值为
B．当P在直线AE上运动时，三棱锥D﹣BPF的体积不变
C．PD+PF的最小值为
D．三棱锥A﹣DCE的外接球表面积为3π
【分析】由题可知，可判断A；根据条件可知△PBF的面积不变，D到平面PBF的距离也不变，可判断B；将△ADE翻折到与平面ABFE共面，即可判断C；由正方体的性质可判断D．
解：对于A，连接DP，CP，易得，故A错误；
对于B，P在直线AE上运动时，△PBF的面积不变，D到平面PBF的距离也不变，故三棱锥D﹣BPF的体积不变，故B正确；
对于C，如图，将△ADE翻折到与平面ABFE共面，则当D、P、F三点共线时，PD+PF取得最小值，故C错误；
对于D，将该几何体补成正方体，则外接球半径为，外接球表面积为3π，故D正确．
故选：BD．
三、填空题（每小题5分，共4小题20分）
13．已知曲线y＝mex+xlnx在x＝1处的切线方程为y＝3x+n，则n＝ ﹣1 ．
【分析】求出原函数的导函数，再由函数在x＝1处的导数值为3求得m值，然后利用函数在x＝1时的函数值相等列式求解n．
解：由y＝mex+xlnx，得y′＝mex+lnx+1，
则y′|x＝1＝me+1＝3，即me＝2，
又me＝3+n，∴3+n＝2，即n＝﹣1．
故答案为：﹣1．
14．已知数列{an}是等差数列，a1＞0，a3+3a7＝0，则使Sn＞0的最大整数n的值为 10 ．
【分析】由等差数列通项公式求出a1＝﹣5d，d＜0，从而Sn＝na1＝＝﹣5nd+＝，由此能求出使Sn＞0的最大整数n的值．
解：数列{an}是等差数列，a1＞0，a3+3a7＝0，
∴a1+2d+3（a1+6d）＝0，
解得a1＝﹣5d，d＜0，
∴Sn＝na1＝＝﹣5nd+＝，
∵d＜0，n＞0，
∴Sn＞0时，n＜11，
∴使Sn＞0的最大整数n的值为10．
故答案为：10．
15．某区域规划建设扇形观景水池，同时紧贴水池周边建设一圈人行步道．要求总预算费用24万元，水池造价为每平方米400元，步道造价为每米1000元（不考虑宽度厚度等因素），则水池面积最大值为 400 平方米．
【分析】求出扇形的面积，得到关于θ，r的不等式，利用基本不等式求出面积的最大值．
解：由题意，扇形的弧长AB为l＝θr，
扇形的面积为S＝θr2，
由题意400×θr2+1000（2r+θr）≤24×104；
化简得θr2+5（2r+θr）≤1200（*）；
又θr+2r≥2，
所以θr2+10≤1200；
设t＝，t＞0，
则+10t≤1200，
解得﹣60≤t≤40，
所以当θr＝2r＝40时，面积S＝θr2的最大值为400．
故答案为：400．
16．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且f（1﹣x）＝f（x），则f（x）的最小正周期为 2 ；若对任意的x1，x2∈，当x1≠x2时，都有＞π，则关于x的不等式f（x）≤sinπx在区间上的解集为 ．
【分析】利用奇函数的定义结合已知的恒等式，可得f（2﹣x）＝f（﹣x），利用周期的定义即可得到答案；将已知的不等式变形，利用函数单调性的定义得到函数y＝f（x）﹣πx在上为增函数，从而f（x）﹣πx≥0，令g（x）＝sinπx，由y＝sinπx﹣πx是单调递减函数，得到g（x）﹣πx≤0，从而f（x）≥g（x），作出f（x）与g（x）的图像，即可得到答案．
解：因为f（1﹣x）＝f（x），且f（x）是定义在R上的奇函数，
所以f（﹣x）＝﹣f（x），
则f（1﹣x）＝﹣f（﹣x），
则f（2﹣x）＝﹣f（1﹣x）＝f（﹣x），
所以f（x）的最小正周期为2；
因为对任意的x1，x2∈，当x1≠x2时，都有＞π，
不妨设x1＞x2，
则f（x1）﹣f（x2）＞πx1﹣πx2，
故f（x1）﹣πx1＞f（x2）﹣πx2，
故函数y＝f（x）﹣πx在上为增函数，
所以当x∈时，f（x）﹣πx≥f（0）﹣π×0＝0，
令g（x）＝sinπx，
则y＝sinπx﹣πx，
因为y'＝πcsπx﹣π≤0，
所以y＝sinπx﹣πx是单调递减函数，
当x∈时，g（x）﹣πx＝sinπx﹣πx≤g（0）﹣0＝0，
即当x∈时，f（x）﹣πx≥g（x）﹣πx，
故f（x）≥g（x），
由对称性以及周期性作出函数f（x）和g（x）的图象，如图所示，
所以f（x）≤sinπx在区间上的解集为．
四、解答题（第17题10分，第18题12分，第19题12分，第20题12分，第21题12分，第22题12分，
17．已知向量＝（2sinx，2sin（x+）），向量＝（csx，（csx﹣sinx）），记f（x）＝•（x∈R）．
（1）求f（x）表达式；
（2）解关于x的不等式f（x）≥1．
【分析】（1）由向量的数量积运算以及三角恒等变换化简，得函数f（x）的表达式；
（2）由正弦函数的性质，整体代换可得不等式的解集．
解：（1）因为，，
＝＝＝，
所以；
（2）由（1）得2，
所以，
即，
解得 ，
所以不等式解集为．
18．记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝1，{}是公差为的等差数列．
（1）求{an}的通项公式；
（2）证明：++…+＜2．
【分析】（1）直接利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式；
（2）利用（1）的结论，进一步利用裂项相消法的应用求出数列的和，进一步利用放缩法的应用求出结果．
解：（1）已知a1＝1，{}是公差为的等差数列，
所以，整理得，①，
故当n≥2时，，②，
①﹣②得：，
故（n﹣1）an＝（n+1）an﹣1，
化简得：，，，，；
所以，
故（首项符合通项）．
所以．
证明：（2）由于，
所以，
所以＝．
19．△ABC中，sin2A﹣sin2B﹣sin2C＝sinBsinC．
（1）求A；
（2）若BC＝3，求△ABC面积的最大值．
【分析】（1）利用正弦定理角化边，配凑出csA的形式，进而求得A；
（2）利用余弦定理可得到AC2+AB2+AB•AC＝9，利用基本不等式可求得AC•AB的最大值，进而得到结果．
解：（1）由正弦定理可得BC2﹣AC2﹣AB2＝AC•AB，
所以，
因为A∈（0，π），
所以；
（2）由余弦定理可得BC2＝AC2+AB2﹣2AC•ABcsA＝AC2+AB2+AC•AB＝9，
即AC2+AB2+AB•AC＝9，
因为AC2+AB2≥2AB•AC，
所以AC2+AB2+AB•AC≥3AB•AC，
即3AB•AC≤9，
故AB•AC≤3，当且仅当AB＝AC时等号成立，
所以S△ABC＝＝AB×AC≤×3＝，当且仅当AB＝AC时等号成立，
所以△ABC面积的最大值为．
20．已知数列{an}满足a1＝，an+1＝．
（1）若bn＝﹣1，证明数列{bn}为等比数列，并求通项公式bn；
（2）数列{cn}的前n项和为Sn，cn＝，求S2n．
【分析】（1）由数列的递推式和等比数列的定义、通项公式，可得所求；
（2）求得cn＝，由数列的分组求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和．
解：（1）证明：由a1＝，an+1＝，
可得bn+1＝﹣1＝﹣1＝2（﹣1）＝2bn，
则数列{bn}是首项为﹣1＝1，公比为2的等比数列，
则bn＝2n﹣1；
（2）cn＝bn+2＝，
则S2n＝（c1+c3+...+c2n﹣1）+（c2+c4+...+c2n）＝2n+2n+＝4n+．
21．有人收集了春节期间平均气温x与某取暖商品销售额y的有关数据，如下表所示．
（1）根据以上数据，用最小二乘法求出回归方程；
（2）预测平均气温为﹣9℃时，该商品的销售额为多少万元．
．
【分析】（1）根据已知条件，结合最小二乘法，以及线性回归方程的性质，即可求解；
（2）结合（1）的线性回归方程，即可求解．
解：（1）由表中数据可知，，
，
＝﹣67，，
故＝＝，＝30﹣（6.7）×（﹣5）＝﹣3.5，
故；
（2）当x＝﹣9℃时，万元．
22．已知函数f（x）＝ln（a﹣x），已知x＝0是函数y＝xf （x）的极值点．
（1）求a；
（2）设函数g（x）＝．证明：g（x）＜1．
【分析】（1）确定函数f（x）的定义域，令t（x）＝xf（x），由极值的定义得到t'（x）＝0，求出a的值，然后进行证明，即可得到a的值；
（2）将问题转化为证明，进一步转化为证明x+ln（1﹣x）＞xln（1﹣x），令h（x）＝x+（1﹣x）ln（1﹣x），利用导数研究h（x）的单调性，证明h（x）＞h（0），即可证明．
【解答】（1）解：由题意，f（x）的定义域为（﹣∞，a），
令t（x）＝xf（x），则t（x）＝xln（a﹣x），x∈（﹣∞，a），
则t'（x）＝ln（a﹣x）+x•＝，
因为x＝0是函数y＝xf（x）的极值点，则有t'（0）＝0，即lna＝0，所以a＝1，
当a＝1时，t'（x）＝，且t'（0）＝0，
因为t''（x）＝，
则t'（x）在（﹣∞，1）上单调递减，
所以当x∈（﹣∞，0）时，t'（x）＞0，
当x∈（0，1）时，t'（x）＜0，
所以a＝1时，x＝0是函数y＝xf（x）的一个极大值点．
综上所述，a＝1；
（2）证明：由（1）可知，xf（x）＝xln（1﹣x），
要证，即需证明，
因为当x∈（﹣∞，0）时，xln（1﹣x）＜0，
当x∈（0，1）时，xln（1﹣x）＜0，
所以需证明x+ln（1﹣x）＞xln（1﹣x），即x+（1﹣x）ln（1﹣x）＞0，
令h（x）＝x+（1﹣x）ln（1﹣x），
则h'（x）＝（1﹣x）＝﹣ln（1﹣x），
所以h'（0）＝0，当x∈（﹣∞，0）时，h'（x）＜0，
当x∈（0，1）时，h'（x）＞0，
所以x＝0为h（x）的极小值点，
所以h（x）＞h（0）＝0，即x+ln（1﹣x）＞xln（1﹣x），
故，
所以．
平均气温/℃
﹣3
﹣4
﹣5
﹣6
﹣7
销售额/万元
20
23
27
30
50
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