四川省蓬溪中学校2023-2024学年高二上学期12月第四次质量检测数学试卷(含答案)

四川省蓬溪中学校2023-2024学年高二上学期12月第四次质量检测数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．抛物线的焦点坐标为( )A. B. C. D.2．直线平分圆,则( )A. B.1 C.-1 D.-33．已知双曲线的左、右焦点分别为,,则双曲线的渐近线方程式为( )A. B. C. D.4．下列命题：①将一枚硬币抛两次,设事件M：“两次出现正面”,事件N：“只有一次出现反面”,则事件M与N互为对立事件;②若事件A与B互为对立事件,则事件A与B为互斥事件;③若事件A与B为互斥事件,则事件A与B互为对立事件;④若事件A与B互为对立事件,则事件A∪B为必然事件,其中,真命题是( )A.①②④ B.②④ C.③④ D.①②5．光线从点射到x轴上,经反射以后经过点,则光线从A到B经过的路程为( )A. B. C. D.6．长方体中,向量在基底的坐标为,则向量在基底的坐标为( )A. B. C. D.7．过抛物线的焦点F作直线l交抛物线C于A,B两点,若A到抛物线的准线的距离为4,则弦长的值为（ ）A.8 B. C. D.68．已知直线,,则( )A.直线恒过定点,直线恒过定点B.若与相互平行,则或1C.若,则D.若不经过第二象限,则9．近日,华为在美国商务部长雷蒙多访问中国之际发布了备受瞩目的新款手机Mate60pro,该手机采用了自主国产芯片麒麟9000s,这标志着华为成功冲破了美国的限制和封锁.芯片的突破,鼓舞了中国全社会.现甲,乙两人准备各买一部手机,购买华为手机的概率分别为0.8,0.9,购买黑色手机的概率分别为0.7,0.5,若甲,乙两人购买哪款手机互相独立,则( )A.甲,乙两人恰有一人购买华为手机的概率为0.26B.甲购买了华为手机,但不是黑色的概率为0.24C.甲,乙两人都没有购买黑色手机的概率为0.3D.甲,乙至少有一人购买黑色华为手机的概率为0.75810．已知方程表示的曲线为C,则下列四个结论中正确的是( )A.当时,曲线C是椭圆B.当或时,曲线C是双曲线C.若曲线C是焦点在x轴上的椭圆,则D.若曲线C是焦点在y轴上的双曲线,则11．如图,已知四棱锥的底面ABCD是直角梯形,,,,平面ABCD,,下列说法正确的是( )A.PB与CD所成的角是B.PB与平面PCD所成的角的正弦值是C.平面PCD与平面PBA所成的锐二面角余弦值是D.M是线段PC上动点,N为AD中点,则点P到平面BMN距离最大值为二、填空题12．如图,在长方体中,,,点E,F,G分别是BC,CD,的中点,点M是侧面内（含边界）的动点,则下列结论正确的是( )A.存在M,使得平面EFG B.存在M,使得平面EFGC.不存在M,使得平面平面EFG D.不存在M,使得平面平面EFG13．已知（i为虚数单位）,则________．14．椭圆上一点P与它的一个焦点的距离等于6,那么点P与另一个焦点的距离等于______.15．已知A,B两点的坐标分别是,,直线AM.BM相交于点M,且直线AM的斜率与直线BM的斜率的商是2,点M的轨迹是___________16．已知,为椭圆E的两个焦点,B为椭圆E短轴的一个顶点,直线与椭圆E的另一个交点为P．若,则椭圆E的离心率为_____________．三、解答题17．求适合下列条件的曲线的标准方程（1）实轴和虚轴长分别为8和10,焦点在x轴上的双曲线的标准方程;（2）焦点在y轴的正半轴上,且焦点到准线的距离是2的抛物线的标准方程．18．已知圆C的圆心在x轴上,且经过点,．（1）求圆C的标准方程;（2）过点的直线l与圆C相切,求直线l的方程．19．中国人民志愿军被称为“最可爱的人”,2023年7月27日是抗美援朝胜利70周年,为了解抗美援朝英雄事迹、某党支部组织了抗美援朝知识竞赛活动、现抽取其中50名党员的成绩,按,,,,,,进行分组,得到如下的频率分布直方图． （1）求图中a的值及估计这50名党员的成绩的平均数;（2）若采用分层随机抽样的方法,从成绩在和内的党员中共抽取4人,再从这4人中任选2人在会上进行演讲,求这2人的成绩不在同一区间的概率．20．已知,,动圆P与圆M和圆N都外切,圆心P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程;（2）若过点的直线l交曲线C于A,B两点,点Q能否为线段AB的中点?为什么?21．已知在多面体ABCDE中,,,,,且平面平面ABC.（1）设点F为线段BC的中点,试证明平面ABC;（2）若直线BE与平面ABC所成的角为,求二面角的余弦值．22．已知椭圆经过两点,．（1）求椭圆C的方程;（2）点M在椭圆C上,求面积的最大值;（3）若该椭圆的左右焦点分别为,,经过左焦点的直线交椭圆于P,Q两点,求内切圆半径的最大值.参考答案1．答案：C解析：化抛物线方程为标准方程,所以焦点坐标为.故选：C.2．答案：D解析：变形为,故圆心为,由题意得圆心在上,故,解得.故选：D.3．答案：D解析：由题意可得,故由题意可得,渐近线方程为.故选：D.4．答案：B解析：对①,一枚硬币抛两次,共出现{正,正},{正,反},{反,正},{反,反}四种结果,则事件M与N是互斥事件,但不是对立事件,故①错;对②,对立事件首先是互斥事件,故②正确;对③,互斥事件不一定是对立事件,如①中两个事件,故③错;对④,事件A,B为对立事件,则一次试验中A,B一定有一个要发生,故④正确．故选：B.5．答案：C解析：点关于x轴的对称点为,则光线从A到B经过的路程为CB的长度,即.故选：C.6．答案：B解析：因为,所以向量在单位正交基底下的坐标为,故选：B.7．答案：B解析：由题意可知：,,设直线,,,联立方程,消去x得,可得,则,,因为A,B在抛物线上,则,,可得,即,由抛物线的定义可得,即,所以,则,解得,所以.故选：B．8．答案：ACD解析：对于A,方程可整理为：,令,解得：,直线恒过定点;令方程中的,解得：,直线恒过定点,A正确;对于B,若,则,解得：,B错误;对于C,若,则,解得：,C正确;对于D,直线方程可整理为：,若不经过第二象限,则,解得：,D正确.故选：ACD.9．答案：ABD解析：对于A,甲,乙两人恰有一人购买华为手机的概率,故A正确;对于B,甲购买了华为手机,但不是黑色的概率,故B正确;对于C,甲,乙两人都没有购买黑色手机的概率,故C错误;对于D,甲购买黑色华为手机的概率,乙购买黑色华为手机的概率,则甲,乙至少有一人购买黑色华为手机的概率故选：ABD.10．答案：BCD解析：A选项,曲线C是椭圆等价于,解得且,故A错误;B选项,曲线C是双曲线等价于,解得或,故B正确;C选项,若曲线C是焦点在x轴上的椭圆,则,解得,故C正确;D选项,若曲线C是焦点在y轴上的双曲线,则,解得,故D正确.故选：BCD.11．答案：BD解析：因为,,所以,因为平面ABCD,AB,平面ABCD,所以,,所以AB,AD,AP两两互相垂直,所以以A为原点,AB,AD,AP所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,因为,,所以,,,,,所以,,,对于A,,所以PB与CD所成的角是,故A错误;对于B,由题意不妨设平面PCD的法向量为,则,令,解得,,即取平面PCD的一个法向量为,又由A选项分析可知,,设PB与平面PCD所成的角为,则,即PB与平面PCD所成的角的正弦值是,故B正确;对于C,由题意,,,AB,面ABP,所以面ABP,故可取面ABP的一个法向量为,由B选项可知平面PCD的一个法向量为,不妨设平面PCD与平面PBA所成的角为,则,所以平面PCD与平面PBA所成的锐二面角余弦值是,故C错误;对于D,因为M是线段PC上动点,所以设,因为N为AD中点,所以,,所以,当时,点M与点C重合,此时点P到平面BMN距离为,当时,点M不与点C重合,设平面BMN的法向量为,则,令,解得,,所以,所以点P到平面BMN距离为,当时,,当时,,所以当即时,,,故D正确.故选：BD.12．答案：AD解析：对于A,如图所示：若点M是侧面的中心,则A,M,三点共线,由题意在长方体中,,,所以四边形是平行四边形,从而,即,又因为点E,G分别是BC,的中点,即EG是的中位线,从而,所以,又因为平面EFG内,平面EFG内,所以存在M是侧面的中心,使得平面EFG,故A正确;若存在M,使得平面EFG,又因为平面EFG内,则,但由图可知,AM,EG或平行或异面,不可能垂直,产生矛盾,故B错误;对于C,如图所示：不妨设点M是侧面的中心,则由A选项分析可知,,即,,所以,由题意在长方体中,,,所以四边形是平行四边形,从而,又因为点E,F分别是BC,CD的中点,即EF是的中位线,从而,所以,面EFG,面EFG,所以平面EFG,同理可得平面EFG,又因为,,面,从而平面平面EFG,故存在点M是侧面的中心,使得平面平面EFG,故C错误;对于D,以D为坐标原点,以,,的方向分别为x,y,z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,由题意,,,,且注意到点E,F,G分别是BC,CD,的中点,点M为侧面矩形内的一点,所以,,,,,,,所以,,,,设平面和平面EFG的两个法向量分别为,,则,即,令,解得,,即可取,同理,,即,令,解得,,即可取,而,所以当且仅当,,即与重合,这与M,,成为平面矛盾,因此只能,从而不存在M,使得平面平面EFG,故D正确.故选：AD.13．答案：解析：,.故答案为：.14．答案：14解析：因为椭圆,则,设椭圆的左右焦点分别为,,因为P与它的一个焦点的距离等于6,不妨令,由椭圆的定义可知,则,即点P与另一个焦点的距离等于14.故答案为：1415．答案：直线去掉点解析：由题意不妨设,则,整理得,所以点M的轨迹是直线去掉点.故答案为：直线去掉点.16．答案：解析：不妨取B为上顶点,如图所示：则,设,则,则,整理得到,,中,根据余弦定理：,整理得到,即.故答案为：.17．答案：（1）（2）解析：（1）由题意设双曲线的标准方程为,其中,,即,,所以满足题意的双曲线的标准方程为.（2）由题意设抛物线的标准方程为,又焦点到准线的距离是2,所以,即,所以满足题意的抛物线的标准方程为.18．答案：（1）（2）或解析：（1）如图所示,设AB的中点为D,则,由圆的性质得,所以,可得,所以线段AB的垂直平分线方程是,设圆C的标准方程为,其中,半径为,由圆的性质,圆心在直线CD上,化简得,所以圆心,,所以圆C的标准方程为．（2）①当直线l的斜率不存在时,直线l的方程,与圆相切,符合题意;②当直线l的斜率存在时,设l的方程,即,由题意,解得;故直线l的方程为,即;综上直线l的方程为或．19．答案：（1）74.5（2）解析：（1）由图可知：,所以.平均数：.所以这50名党员的成绩的平均数74.5.（2）由图可知分数在的频率为0.3,分数在的频率为0.1,所以若按分层抽样从这两组中抽4人,则分数在的人数为3人,记为A,B,C,分数在的人数为1人,记为D,所以从4人中任选2人有：AB,AC,AD,BC,BD,CD,共6种基本情况,其中2人的成绩不在同一区间有AD,BD,CD,共3种情况,所以,所以这2人的成绩不在同一区间的概率为．20．答案：（1）（2）见解析解析：（1）如图所示：由题意,的圆心分别为,,,,且动圆P与两定圆分别外切与M,N两点,所以,,解得,,,所以圆心P的轨迹是以M,N为焦点,,为实轴顶点的双曲线但不包括实轴顶点,所以曲线C的方程为,（且）.（2）如图所示：过点的直线l交曲线C于A,B两点,点Q能为线段AB的为中点,理由如下：由题意设点,在双曲线上,且点为弦AB的中点,所以,又因为,所以,即,,存在过点且斜率为-3的直线,即,且联立,消去y并整理得,,满足题意,综上所述：存在过点且斜率为-3的直线l交曲线C于A,B两点,且点Q为线段AB的中点.21．答案：（1）见解析（2）解析：（1）取AC的中点O,连接EF,OF,在中,.由平面平面ABC,且交线为AC,平面DAC,得平面ABC.O,F分别为AC,BC的中点,,且.又,,,且.四边形DEFO为平行四边形.,平面ABC.（2）平面ABC,AC,平面ABC,所以,,又因为,所以DO,AC,BC三者两两互相垂直,∴以O为原点,OA所在直线为x轴,过点O与CB平行的直线为y轴,OD所在直线为z轴,建立空间直角坐标系.则,,.平面ABC,直线BE与平面ABC所成的角为...可取平面ADC的法向量,设平面ADB的法向量,,,则,取,则,.,,二面角的余弦值为.22．答案：（1）（2）（3）解析：（1）由题意点,，在椭圆上,所以,解得,,即椭圆C的方程为.（2）由题意不妨设点（不与A,B重合）,,在双曲线上,则,不妨设,,且直线AB的斜率为,弦长,所以直线AB的方程为,点到直线AB的距离为,所以,其中,,,,所以等号成立当且仅当,即当且仅当,,且,,S取最大值.（3）如图所示：由题意设内切圆的半径为r,则一方面,,另一方面,所以,由题意直线PQ斜率不为0,不妨设过点的直线PQ的方程为,,,将其与椭圆方程联立得,消去x得,所以,,,所以,设,,则,令,则,所以当且仅当即,即时,内切圆的半径为r有最大值.