【备战2024年中职高考】中职数学 二轮复习 专题训练 专题08 立体几何（教师版）

这是一份【备战2024年中职高考】中职数学 二轮复习 专题训练 专题08 立体几何（教师版），共22页。

知识点识记
空间几何体的表面积与体积
面积
；
；
体积
①；
②；
。
直线与平面
位置关系：平行、相交、平面内；
直线与平面平行判断
如果平面外一直线与平面内一直线平行，则这个直线与这个平面平行；
；
直线与平面平行性质
如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就和两平面的交线平行；
；
直线与平面垂直判断
如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线与这个平面垂直；
；
推论：在两条平行线中，如果有一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面；
；
直线与平面垂直性质
如果两条直线都垂直于一个平面，那么这两条直线平行；
；
直线与平面所成角
设直线与平面所成角为；
平面与平面
位置关系：平行、相交（垂直）；
平面与平面平行判断
如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行；
；
推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行；
；
平面与平面平行性质
如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行；
平面与平面垂直判断
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直；
；
平面与平面垂直性质
如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面；
1.2.2 基础知识测试
1、在空间中，下列命题正确的( )
A. B.
C. D.
〖解析〗D。当直线b在平面内时，不满足要求，A选项错误；两平面平行判定定理：一平面内两条相交直线分别于另一平面内的两条直线平行，故B错误；当直线b位于平面内时，不满足要求，故C错误。
2、若正四棱锥的侧面是正三角形，则它的高与地面边长之比为 ( )。
A. B.1：2
C. D.2：1
〖解析〗A。如图所示，利用三角形关系进行计算，在；答案为A。
3、下列图形中，不一定是平面图形的是( )
A.三角形 B. 菱形
C.梯形 D. 四边相等的四边形
〖解析〗D。选项A，B，C均为平面图形；故答案为D。
4、在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，与AB共面也与CC1共面的棱的条数为（ ）
A. 3 B. 4
C. 5 D. 6
〖解析〗C。如右图可知：AA1，BB1，BC,CD,C1D1满足题意；故答案为C。
5、如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，三棱锥D1-AB1C的表面积与正方体的表面积的比等于 ；
〖解析〗。提示：三棱锥D1-AB1C的表面积为三角形AB1C的面积的4倍。
6、如图所示，已知正方形ABCD，PD⊥平面ABCD，则AC与平面PBD的位置关系是 。
〖解析〗垂直。由题意已知AC⊥BD，AC⊥PD；∴AC⊥平面PBD。
如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AA1，A1D1的中点，则D1B与平面AC所成角的余弦值为_____；EF与平面A1C1所成的角是 。
〖解析〗。由直线与平面所成角定义知∠DBD1为D1B与平面AC所成角，
∴；
∠AD1A1为直线EF与平面A1C1所成角，且三角形AD1A1为等腰直角三角形，
∴此夹角为45°。
如图所示，四边形ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD。
(1)平面PAB与平面ABCD所成的二面角的平面角是________；
(2)平面PBC与平面ABCD所成的二面角的平面角是________；
(3)平面PAD与平面PCD所成的二面角的平面角是______________。
〖解析〗∠PAD，∠PCD，90°或∠ADC。
1.2.3 职教高考考点直击
立体几何部分在职教高考中为常见考点，分值在15分左右，知识点较基础，考频较高，常以选择题、填空题或解答题形式考查，题型难度适中。复习中加强练习直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的位置关系，特别需要对平行及垂直两种位置关系加强练习，异面直线所成角、直线与平面所成角及平面与平面所成部分同样为考查重点，此部分也是高考的本部分知识的难点。
1.2.4 高考经典例题剖析
例1 （2019年山东春季高考）如图所示，点E，F，G，H分别是正方体四条棱的中点，则直线EF与GH的位置关系是（）。
A.平行 B. 相交
C.异面 D. 重合
〖解析〗B。连接EH，FG，不难发现EH∥FG，∴四边形EFGH是梯形，∴EF与HG相交；故答案为B。
变式1 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线BD1与直线AC所成角的大小是（）。
A.30° B. 45°
C.60° D.90°
〖解析〗D。如图所示，由线--面垂直定理可知：直线AC⊥平面BDD1；
∴AC⊥BD1；故答案为D。
例2（2019年山东春季高考） 已知圆锥的高与底面圆半径相等，若底面圆的面积为1，则该圆锥的侧面积是 。
〖解析〗。设圆锥的底面圆半径为r，高为h，母线为l，
则底面圆的面积为1；
∴。
变式2 （2018年山东春季高考)已知矩形ABCD，AB＝2BC，把这个矩形分别以AB，BC所在直线为轴旋转一周，所围成几何体的侧面积分别记为S1，S2，则S1和S2的比值等于（）。
A. B. 1
C. 2 D. 4
〖解析〗B。设BC＝1，则AB＝2。
若矩形以AB所在直线为轴旋转一周，所围成的圆柱底面半径为1，母线长为2，则侧面积S1＝2π×1×2＝4π；
若矩形以BC所在直线为轴旋转一周，所围成的圆柱底面半径为2，母线长为1，则侧面积S2＝2π×2×1＝4π；
∴S1：S2=1；故答案为B。
例3 （2018年山东春季高考）如图所示的几何体中，四边形ABCD是矩形，MA⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且AB＝NB＝1，AD＝MA＝2。求棱锥M-NAD的体积。
〖解析〗 解：棱锥M-NAD与棱锥N-MAD体积相等，
；
∵MA⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，
∴AB⊥MA，AB⊥AD，且AD∩AM＝A，∴AB⊥平面MAD；
∵MA⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，
∴N到平面MAD的距离d=AB=1；
∴棱锥N-MAD的体积。
变式3 （2015年山东春季高考）如图所示，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是正方形，平面SAD⊥平面ABCD，SA＝SD＝2，AB＝3.
(1)求SA与BC所成角的余弦值；
(2)求证：AB⊥SD。
〖解析〗 (1)解：∵AD∥BC，
∴∠SAD就是异面直线SA与BC所成的角；
在△SAD中，SA＝SD＝2，又在正方形ABCD中，AD＝AB＝3，
∴由余弦定理;
∴SA与BC所成角的余弦值为;
(2)证明：∵平面SAD⊥平面ABCD，平面SAD∩平面ABCD＝AD，
又AB⊥AD，AB⊂平面ABCD，
∴AB⊥平面SAD；
又SD⊂平面SAD，
∴AB⊥SD。（线---面垂直定理）
例4 （2019年山东春季高考）已知三棱锥S-ABC，平面SAC⊥平面ABC，且SA⊥AC，AB⊥BC.
(1)求证：BC⊥平面SAB；
(2)若SB＝2，SB与平面ABC所成角的大小是30°，求点S到平面ABC的距离。
〖解析〗(1)证明：∵平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面ABC＝AC，且SA⊥AC，
∴SA⊥平面ABC，又BC⊂平面ABC；
∴SA⊥BC，又AB⊥BC，SA∩AB＝A；
∴BC⊥平面SAB；
(2)解：由(1)知，SA⊥平面ABC，
∴点S到平面ABC的距离即为线段SA的长度；
并且可知，SB在平面ABC内的射影为AB，
∴∠SBA即为SB与平面ABC所成的角，即∠SBA＝30°，
在Rt△SAB中，∠SAB＝90°，∠SBA＝30°，SB＝2，；
∴点S到平面ABC的距离是1。
变式4 在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC＝45°，AD＝AC，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，M为PD的中点。
求证：(1)PB∥平面ACM；
(2)AD⊥平面PAC。
〖解析〗(1)证明：连接BD，MO，在平行四边形ABCD中，∵O为AC的中点，
∴O也是BD的中点；
在△BDP中，M为PD的中点，
∴PB∥MO；
∵PB⊄平面ACM，MO⊂平面ACM，
∴PB∥平面ACM。
(2)在△ACD中，∵∠ADC＝45°，且AD＝AC，
∴∠DAC＝90°，即AD⊥AC；
又PO⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，
∴PO⊥AD，又AC∩PO＝O；
∴AD⊥平面PAC。
例5 （2019年山东春季高考）如图所示，已知正方体ABCD-A1B1C1D1，E，F分别是D1B，A1C上不重合的两个动点，给出下列四个结论：
①CE∥D1F；
②平面AFD∥平面B1EC1；
③AB1⊥EF；
④平面AED⊥平面ABB1A1。
其中，正确结论的序号是 。
〖解析〗③④。让点E与D1重合，点F与A1重合．观察CD1与D1A1相交，排除①；
观察平面AA1D与平面B1D1C1相交，排除②；
AB1⊥平面A1BCD1，EF⊂平面A1BCD1，∴AB1⊥EF，故③正确；
AD⊥平面ABB1A1，AD⊂平面AED，则平面AED⊥平面ABB1A1，故④正确。
变式5 如图所示，在三棱锥V-ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC，且 O，M分别为AB，VA的中点。
求证：(1)VB∥平面MOC；
(2)平面MOC⊥平面VAB。
〖解析〗证明：(1)∵O，M分别为AB，VA的中点，
∴OM∥VB；
又VB平面MOC，OM⊂平面MOC，
∴VB∥平面MOC；
(2)∵AC＝BC，O为AB的中点，
∴OC⊥AB；
又平面VAB⊥平面ABC，且OC⊂平面ABC，
∴OC⊥平面VAB；
又OC⊂平面MOC，
∴平面MOC⊥平面VAB。
1.2.5 考点巩固提升
一、选择题
1、在空间中，下列命题正确的为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D。对于A，当直线b在平面内时，结论错误；对于B，考查空间中两面平行的判定，此选
项忽略了同一平面两直线需要满足相交条件，故B错误；对于C，当直线b在平面内时，
结论错误；故答案为D。
如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则顶点D到平面ACD1的距离等于( )
A． B．
C． D．
【答案】D。运用等体积法，设D到平面ACD1的距离为h，三角形ACD1的边长都是，三角形ACD1的面积为，∴三棱锥D-ACD1的体积为，而三棱锥D1-ACD的体积为
;
∴由,解得;故选D。
3、体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）。
A． B．
C． D．
【答案】A。由题意可知正方体的棱长为2，其体对角线为，即为球的直径；
∴球的表面积为4πR2＝(2R)2π＝12π；故选：A。
4、（2014年春季高考）正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，下列结论正确的是（ ）。
A．异面直线AD1与CD所成角为45° B．直线AD1与平面ABCD所成角为60°
C．直线AD1与CD1夹角为90° D．
【答案】D。对于A，由直线CD⊥平面AD1，可知，直线CD⊥直线AD1，A错误；对于B，题意知D1D⊥平面ABCD，所以∠D1AD为直线AD1与平面ABCD所成角为45°，B错误；对于C，三角形ACD1为等边三角形，C错误；三棱锥D1-ACD体积为；故选：D。
5、如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成角的大小为（）。
A．30° B．45°
C．60° D．90°
【答案】B。连接B1D1，D1C，则B1D1∥EF，故∠D1B1C为所求的角，又B1D1＝B1C＝D1C，∴∠D1B1C＝60°；故选B。
已知空间四边形ABCD的对角线相等，EFGH分别是AB，BC，CD，DA的中点，下列命题：
（1）AC与BD 为相交直线 ；（2）四边形EFGH是菱形；（3）EH∥BD；（4）AC∥平面EFGH。
其中正确命题个数为（）。
A．4 B．3
C．2 D．1
【答案】B。由右图可知，（2）（3）（4）命题正确；故答案为B。
7、下列命题中，正确的是（ ）
A．若两条直线与一个平面所成的角相等，则两直线平行
B．若一条直线与两个平面所成的角相等，则两平面平行
C．一条直线与平面的斜线在这个平面内的射影垂直，则该直线与斜线垂直
D．一条直线与一个平面垂直，则该直线与这个平面内的所有直线垂直
【答案】D。根据直线与平面所成角的定义，排除选项A，B；选项C没有指出平面内的一条直线，结论错误；故答案为D。
8、如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为( )
A． B．
C． D．
【答案】D。连接BC1，A1C1，则∠A1BC1为所求的角，设AB=1，则A1C1=，BC1==A1B;
∴；故答案为D。
若平面外的一条斜线段的长等于它在上射影的2倍，则斜线与平面所成角的大小是（）。
A．30° B．45°
C．60° D．90°
【答案】C。考查空间中平面外一直线与此面相交时，斜线与平面所成角的大小计算。
将边长a的正方形ABCD沿对角线AC折成60°的二面角后，B，D两点间的距离为（）。
A． B．
C． D．
【答案】B。由题意知，∠DEB=60°，∴BD=DE=BD=；故答案为B。
二、填空题
11、如图所示，底面半径为1，高为2的圆柱，在点A处有一只蚂蚁，现在这只蚂蚁要围绕圆
柱由点A爬到点B，则蚂蚁爬行的最短距离______。
【答案】。把圆柱的侧面沿AB剪开，然后展开成为平面图形——矩形，如图所示，连接AB′，即为蚂蚁爬行的最短距离。
12、（2014年春季高考）若一个圆锥的侧面展开图是面积为8π的半圆面，则该圆锥体积为 。
【答案】。由题意知，半圆面的面积为8π，即圆锥的母线长度为4，圆弧长为；
∴圆锥底圆的周长为；
在圆锥母线、高和底面半径构成的直角三角形中，；
∴该圆锥体积。
13、如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的体对角线BD1与侧面BB1C1C所成角的余弦值等于 。
〖解析〗。 设正方体的棱长为1，连接BC1，则BC1D1是直角三角形，BD1与平面BB1C1C所成的角就是∠D1BC1；∴。
14、如图所示，正四面体S-ABC中，SA与平面ABC所成角的余弦值等于 。
〖解析〗。 取BC的中点为D，连接SD，AD，可以证明∠SAD就是SA与平面ABC所成的角，设正四面体的棱长为1，则；在三角形SAD中，。
简答题
15、（2015年春季高考）如图所示，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是正方形，平面SAD⊥平面ABCD，SA=SD=2，AB=3。
（1）求SA与BC所成角的余弦值；
（2）求证：AB⊥SD。
解：（1） ∵AD∥BC，
∴∠SAD即为SA与BC所成角；在△SAD中，SA=SD=2，AB=3；
∴；SA与BC所成角的余弦值为。
（2） ∵；
在正方形ABCD中，AB⊥AD；
∴AB⊥面SAD；
又∵；
∴AB⊥SD。
16、（2012年春季高考）如图（1）所示，已知正四棱锥S-ABCD，E，F分别是侧棱SA，SC的中点。
求证：（1）EF∥平面ABCD；
（2）EF⊥平面SBD。
〖解析〗（1）证明：连接AC，在△SAC中，因为E，F分别是侧棱SA，SC的中点，∴EF∥AC；
又∵；
∴EF∥平面ABCD；
（2）证明：连接AC，交BD于O点，连接SO。
∵四棱锥S-ABCD是正四棱锥，
∴四边形ABCD为正方形，故AC⊥BD；
∵O点为正方形ABCD的中心，
∴SO⊥平面ABCD，
∵；
∴SO⊥AC；
又∵AC⊥BD，，
∴AC⊥平面SBD；
又∵EF∥AC，
∴EF⊥平面SBD。