【备战2024年中职高考】中职数学 二轮复习 专题训练 专题07（二） 圆锥曲线（教师版）

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知识点识记
椭圆
双曲线
抛物线
1.2.2 基础知识测试
1、设点P是双曲线上的一点，已知P到双曲线的较远一个焦点的距离等于10，则P到另一个焦点的距离等于( )
A. 2 B. 18
C. 20 D. 2或18
〖解析〗A。由双曲线标准方程知，a=4，b=3，由双曲线定义知:双曲线的点到两焦点的距离的差的绝对值是2a，题中点P到较远的焦点距离为10，设到较近焦点的距离为d，则10-d=2a，即10-d=8,解得d=2；
另：此题为选择题,由双曲线定义,到另一焦点的距离较小,选项中只有A符合要求，选A。
2、设点P是椭圆 上的一点，则P到椭圆两个焦点的距离之和是( )。
A.5 B.6
C.8 D.10
〖解析〗D。由椭圆轨迹特性知，动点到两定点距离之和为一常数2a=10；答案为D。
3、椭圆2x2+3y2=6的焦距是( )
A.2 B.
C. D.
〖解析〗A。原方程化为标准方程为；故答案为A。
4、在双曲线中，焦点为F1（-3，0），F2（3，0），实半轴a=2，则双曲线的方程是（ ）
A. B.
C. D.
〖解析〗A。由双曲线性质可知：；
所以双曲线方程为；故答案为A。
5、已知b=2，焦点为F1（0，-3），F2（0，3），则椭圆的标准方程为 ；
〖解析〗由题意得：故椭圆标准方程为。
6、已知椭圆x2+4y2=16,那么椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为 。
〖解析〗8。将原方程变形为标准方程为： ；。
7、以椭圆的长轴顶点为焦点，且的双曲线方程为 。
〖解析〗。由题意知椭圆的长轴顶点为（4,0），（-4,0）；即双曲线的焦点；
∴ 双曲线虚轴长为。
8、双曲线的左焦点到右顶点的距离为 。
〖解析〗9。由双曲线方程可知：左焦点为（-5,0），右顶点为（4,0），所以左焦点到右顶点距离为9。
若抛物线y2=2px上到焦点距离为3的点的横坐标为2，则p= 。
〖解析〗2。如图，抛物线的准线方程为直线，
由抛物线定义知：。
10、求与椭圆 有相同焦点,并且经过点P(3，-2)的椭圆的标准方程。
〖解析〗由已知条件可得：椭圆的焦点坐标为；
设所缺椭圆方程为； ①
又因为此椭圆过点P(3，-2)，即 ； ②
将方程① ②联立，可解得。
1.2.3 职教高考考点直击
平面解析几何部分在职教高考中为常见考点，分值在25分左右，知识点较基础，考频较高，常以选择题、填空题或解答题形式考查，题型难度适中。复习中加强练习直线方程一般式、斜截式、圆的方程的一般式、标准式等形式及直线位置关系、直线与圆位置关系满足的特定条件，并熟练运用其相关特征完成求解，此部分也是高考的本部分知识的重难点。
1.2.4 高考经典例题剖析
例1 （2018年山东春季高考）关于x，y的方程x2＋ay2＝a2(a≠0)，表示的图形不可能是（）。
〖解析〗D。假设法：原方程等价为，若0＜a＜1，则图像为B；若a＞1，则图像为A；若a＜0，则图像为C；；故答案为D。
变式1 已知点F1，F2是椭圆的两个焦点，点P是椭圆上的一个动点，若|PF1|＝2，M是PF1的中点，则|OM|＝ 。
〖解析〗如图所示，可知a＝6，于是|PF1|＋|PF2|＝2a＝12；
∵|PF1|＝2，∴|PF2|＝12－2＝10；
在△PF1F2中，M是PF1的中点，∴OM是△PF1F2的中位线，
。
例2（2019年山东春季高考） 已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，若该抛物线经过点M(－2，4)，则其标准方程是（）。
A. B.
C. D.
〖解析〗B。抛物线经过点M(－2，4)，故设抛物线的标准方程y2＝－2px或x2＝2py，
代入y2＝－2px得42＝－2p×(－2)，即p＝4，∴抛物线的标准方程y2＝－8x；
代入x2＝2py得(－2)2＝2p×4，即p＝，∴抛物线的标准方程x2＝y；
综上所述，抛物线的标准方程y2＝－8x或x2＝y；所以答案B。
变式2 已知双曲线(a＞0，b＞0)的右焦点F2的坐标是(4，0)，过点F2引圆x2＋y2＝a2的两条切线，切点分别为A，B，∠AOB＝120°(O为坐标原点)，则该双曲线的标准方程为 。
〖解析〗。∵∠AOB＝120°，∴切线AF2的倾斜角为150°，则切线AF2的斜率为
；
∴切线AF2的方程为；
；
∵c＝4，∴b2＝c2－a2＝42－22＝12，则该双曲线的标准方程为。
例3 （2013年山东春季高考）已知椭圆的一个焦点为，其离心率为，求该椭圆的标准方程。
〖解析〗依题意，设椭圆的标准方程为；
∵半焦距，椭圆的离心率为；
∴b2＝a2－c2＝4－3＝1；∴该椭圆的标准方程为。
变式3 （2020年山东春季高考）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点F与双曲线（a＞0，b＞0）的左焦点重合，若两曲线相交于M，N两点，且线段MN的中点是点F，则该双曲线的离心率等于 。
〖解析〗。由对称性可知，两曲线的通经长相等，即 ①； ②
b2＝c2－a2③，方程联立得c2－2ac－a2＝0，即e2－2e－1＝0；
∴双曲线离心率。
例4 （2019年山东春季高考）关于x，y的方程在同一坐标系中的图象大致是（）。
〖解析〗D。观察选项A中的直线，可知m＞0，n＜0，此时方程表示焦点在x轴上的双曲线，故选项A错误；观察选项B中的直线，可知m＜0，n＜0，此时方程不表示任何曲线，故选项B错误；观察选项C中的直线，可知m＞0，n＞0，此时方程 表示椭圆，故选项C错误；答案为D。
变式4 （2015年山东春季高考）关于x，y的方程x2＋my2＝1，给出下列命题：
①当m＜0时，方程表示双曲线；
②当m＝0时，方程表示抛物线；
③当0＜m＜1时，方程表示椭圆；
④当m＝1时，方程表示等轴双曲线；
⑤当m＞1时，方程表示椭圆.
其中，真命题的个数是( )
A. 2 B.3
C. 4 D.5
〖解析〗B。(1)当m＜0时，方程表示双曲线；当m＝－1时，方程表示等轴双曲线；
(2)当m＝0时，方程为x2＝1，即x＝1或x＝－1，表示平行于y轴的两条直线；
(3)当0＜m＜1时，方程表示焦点在y轴上的椭圆；当m＞1时，方程表示焦点在x轴上的椭圆；
(4)当m＝1时，方程表示以原点为圆心的单位圆；故答案为B。
例5 （2019年山东春季高考）已知O为坐标原点，双曲线(a>0，b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2＝2py(p>0)交于A，B两点，若|AF|＋|BF|＝8|OF|，则该双曲线的渐近线方程是 。
〖解析〗。设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程组 ； 又|AF|＋|BF|＝8|OF|，由抛物线的定义知;
； ∵双曲线的渐近线方程为 。
例6 （2020年山东春季高考）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点F与双曲线(a＞0，b＞0)的左焦点重合，若两曲线相交于M，N两点，且线段MN的中点是点F，则该双曲线的离心率等于 。
〖解析〗。由对称性可知，两曲线的通经长相等，即 ①； ②
b2＝c2－a2③，方程联立得c2－2ac－a2＝0，即e2－2e－1＝0；
∴双曲线离心率。
例7 （2020年山东春季高考）已知椭圆的长轴长为10，焦距为8，则该椭圆的短轴长等于( )
A.3 B.6
C.8 D.12
〖解析〗B。∵椭圆的长轴长是10，焦距是8，∴a＝5，c＝4，则b＝3，∴短轴长2b＝6；故答案为B。
变式5 已知点F1是双曲线 (a＞0，b＞0)的左焦点，点P在双曲线上，直线PF1与x轴垂直，且|PF1|＝a，则双曲线的离心率是（）
A. B.
C. 2 D. 3
〖解析〗A。根据双曲线的定义|PF2|－|PF1|＝2a，∴|PF2|＝3a；
∵点P在双曲线上，直线PF1与x轴垂直；
∴|PF1|2＋|F1F2|2＝|PF2|2，即a2＋(2c)2＝(3a)2，
∴8a2＝4c2，；故答案为A。
1.2.5 考点巩固提升
一、选择题
1、椭圆的焦点在x轴上，则k的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D。由题意及椭圆特性可组成不等式组：；故答案为D。
2、已知双曲线方程为，则m的取值范围是( )
A．8 B．-8
C． D．
【答案】A。由直线互相垂直，则两直线的法向量分别为
；且两法向量相互垂直，即；
故选A。
3、方程表示焦点在y轴上的双曲线，则实数a的取值范围是（ ）。
A． B．
C． D．
【答案】C。由题意及双曲线特性可组成不等式组：；故选：C。
4、若双曲线与椭圆有共同焦点，且a＞0，则a为（ ）。
A．2 B．
C． D．6
【答案】A。由题意知椭圆的焦点坐标为（3，0）（-3，0），所以双曲线性质得出：
；
又因为a＞0，所以a=2；故选：A。
5、双曲线经过点，则此双曲线方程为（）。
A． B．
C． D．
【答案】B。由双曲线渐近线方程知：焦点在x轴上，且 ①；
设双曲线方程为；将点P代入得： ；
联立方程①+可解出：；故双曲线方程为。故选B。
下列抛物线图象中，其方程形式为的是（）。
【答案】C。由抛物线解析式可知，其图像焦点在y轴上；且P＞0，所以其开口向上；故答案为C。
7、抛物线y2=4x上的两点A，B到抛物线的焦点距离之和为6，则线段AB中点的横坐标是( )
A．2 B．3
C．4 D．6
【答案】A。由题可知，抛物线焦距为P=2，即抛物线上动点A,B到准线的距离为其横坐标的绝对值的2倍，所以点A,B的横坐标之和为6-2×1=4；所以线段AB中点横坐标为2；故答案为A。
8、（2016年山东春季高考）已知椭圆的焦点分别是F1，F2，点M在椭圆上，如,那么点M到x轴的距离是( )
A． B．
C． D．1
【答案】B。设点M的坐标为(x0，y0)，；
∴ ①；
又 ②；
联立①②得， 故点M到x轴的距离是；故答案为B。
（2020年山东春季高考）已知椭圆的长轴长为10，焦距为8，则该椭圆的短轴长等于（）。
A．3 B．6
C．8 D．12
【答案】B。椭圆；
二、填空题
11、若椭圆的两个焦点和短轴的一个端点构成一个等边三角形,则该椭圆的离心率e=______。
【答案】。由题意设此椭圆长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c，则满足；
所以圆上的点到直线距离的最大值为。
12、已知双曲线方程为，则m的取值范围是 。
【答案】。由双曲线特性可知：，即两项为异号；
∴。
13、设动点M到两个定点F1（-4，0），F2（4，0）的距离之差的绝对值等于6，则动点M的轨迹方程为 。
〖解析〗。由题意可知；
。
简答题
14、已知方程 ，求满足以下条件的m的取值范围：
（1）表示焦点在x轴上的椭圆；
（2）表示焦点在y轴上的椭圆；
（3）表示椭圆。
解：（1）若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则需满足条件：
；
（2）若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则需满足条件：
∴；
（3）若方程表示椭圆，则需满足条件：
。
15、设双曲线 的焦点分别为F1，F2，过F1的直线与双曲线左支交于A，B两点，且|AB|=12，求△ABF2的周长。
〖解析〗△ABF2的周长看作三条线段AB，AF2，BF2的和，根据双曲线的定义得：
①
②
①+②得；
∴△ABF2的周长。
/16、（2019年山东春季高考）如图所示，已知椭圆（a>b>0）的两个焦点分别是F1，F2，短轴的两个端点分别是B1，B2，四边形F1B1F2B2为正方形，且椭圆经过点。
求椭圆的标准方程；
与椭圆有公共焦点的双曲线，其离心率且与椭圆在第一象限交于点M，求线段MF1，MF2的长度。
〖解析〗(1)∵四边形F1B1F2B2为正方形，∴|F1F2|＝|B1B2|；
∵|F1F2|＝2c，|B1B2|＝2b，∴c＝b；
在椭圆中，∵a2＝b2＋c2，；
因此椭圆的方程可化为；
∵椭圆经过点，将其代入方程，解得；
∴椭圆的标准方程是。
(2)由(1)可知c＝1，设双曲线的实半轴长为a′，离心率；
且双曲线与椭圆有公共的焦点，
故；
椭圆和双曲线的定义可知：
；
∴。
标准方程
图像
顶点
焦点
离心率
（）
特性
标准方程
图像
顶点
焦点
标准方程
特性
离心率
（）
特性
标准方程
图像
顶点
焦点
准线
离心率