专题02勾股定理（知识串讲+热考题型+专题训练）-2023-2024学年八年级数学第二学期期中期末高效备考（人教版）

这是一份专题02勾股定理（知识串讲+热考题型+专题训练）-2023-2024学年八年级数学第二学期期中期末高效备考（人教版），文件包含专题02勾股定理知识串讲+热考题型+专题训练-2023-2024学年八年级数学下学期期中期末考点大串讲人教版原卷版docx、专题02勾股定理知识串讲+热考题型+专题训练-2023-2024学年八年级数学下学期期中期末考点大串讲人教版解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共92页， 欢迎下载使用。

一．勾股定理（共4小题） 二．勾股定理的证明（共4小题）
三．勾股定理的逆定理（共7小题） 四．勾股数（共3小题）
五．勾股定理的应用（共7小题）
知识点一、直角三角形直角边与斜边之间的大小关系
定理：在直角三角形中，斜边大于直角边.
知识点二、勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么.
要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.
（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.
（3）理解勾股定理的一些变式：
，， .
知识点三、勾股定理的证明
方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.
图（1）中，所以.

方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.
图（2）中，所以.

方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.

，所以.
知识点四、勾股定理的作用
已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；
用于解决带有平方关系的证明问题；
3. 利用勾股定理，作出长为的线段.
知识点五、勾股定理的逆定理
如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.
要点诠释：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.
（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.
知识点六、如何判定一个三角形是否是直角三角形
首先确定最大边（如）.
验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C=90°的直角三角形；若
，则△ABC不是直角三角形.
要点诠释：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边.
知识点七、勾股数
满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形.
熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：
3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……
如果()是勾股数，当为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.
要点诠释：（1）（是自然数）是直角三角形的三条边长；
（2）（是自然数）是直角三角形的三条边长；
（3） （是自然数）是直角三角形的三条边长；
一．勾股定理（共4小题）
1．（2022春•乾安县期中）直角三角形的两边长分别为6和10，那么它的第三边的长度为（ ）
A．8B．10C．8或2D．10或2
2．（2021春•沂水县期中）已知O为数轴原点，如图，（1）在数轴上截取线段OA＝2；（2）过点A作直线l垂直于OA；（3）在直线l上截取线段AB＝3；（4）以O为圆心，OB的长为半径作弧，交数轴分别于点C，D．根据以上作图过程及所作图形，有如下四个结论：①OC＝5；②OB＝；③点C对应的数是﹣2；④5＜AD＜6．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．②④
3．（2021秋•茂名期中）如图，OP＝1，过点P作PP1⊥OP且PP1＝1，得OP1＝；再过点P，作P1P2⊥OP1，且P1P2＝1，得OP2＝；又过点P2作P2P3⊥OP2且P2P3＝1，得OP3＝2…依此法继续作下去，得OP2021＝（ ）
A．B．C．D．
4．（2022春•静海区校级期中）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，若AB＝17，BD＝15，DC＝6，则AC的长为（ ）
A．11B．10C．9D．8
二．勾股定理的证明（共4小题）
5．（2022春•延津县期中）如图所示的是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝5，BE＝13，则EF2的值是（ ）
A．128B．64C．32D．144
6．（2022春•长葛市期中）若a，b为直角三角形的两直角边，c为斜边，下列选项中不能用来证明勾股定理的是（ ）
A．B．
C．D．
7．（2022春•雄县期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若ab＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（ ）
A．9B．6C．4D．3
8．（2021春•洛阳期中）如图，在△ABD中，AC⊥BD于C，点E为AC上一点，连接BE、DE，DE的延长线交AB于F，已知DE＝AB，∠CAD＝45°．
（1）求证：DF⊥AB；
（2）利用图中阴影部分面积完成勾股定理的证明，已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，求证：a2+b2＝c2．
三．勾股定理的逆定理（共7小题）
9．（2022春•仁化县期中）如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13，点D是Rt△ABC外一点，连接DC，DB，且CD＝4，BD＝3．
（1）求BC的长；
（2）求证：△BCD是直角三角形．
10．（2022春•茂南区期中）已知△ABC的三边为a，b，c，下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．a＝3，b＝2，B．a＝40，b＝50，c＝60
C．，b＝1，D．，b＝4，c＝5
11．（2022春•长沙期中）下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠A＝∠B+∠CB．a：b：c＝5：12：13
C．a2＝（b+c）（b﹣c）D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
12．（2022春•交城县期中）如图，在正方形网格中，点A，B，C，D，E是格点，则∠ABD+∠CBE的度数为 ．
13．（2022春•黄石期中）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝3，CD＝，DA＝5，∠B＝90°，则∠BCD的度数 ．
14．（2022春•韩城市期中）如图，网格中每个小正方形的边长都是1，点A、B、C、D都在格点上．
（1）线段AB的长度是 ，线段CD的长度是 ．
（2）若EF的长为，那么以AB、CD、EF三条线段为边能否构成直角三角形，并说明理由．
15．（2022春•越秀区期中）如图，一块铁皮（图中阴影部分），测得AB＝6，BC＝8，CD＝24，AD＝26，∠B＝90°．求阴影部分的面积．
四．勾股数（共3小题）
16．（2022春•凤山县期中）像15，8，17这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数．古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a＝2m，b＝m2﹣1，c＝m2+1，那么a，b，c为勾股数．你认为对吗？请说明理由．
17．（2022春•三江县期中）下列四组数中不是勾股数的是（ ）
A．3，4，5B．5，12，13C．1，2，3D．8，15，17
18．（2022春•丰都县期中）我们知道，如果直角三角形的三边的长都是正整数，这样的三个正整数就叫做一组勾股数．如果一个正整数m能表示为两个正整数a，b的平方和，即m＝a2+b2，那么称m为广义勾股数，则下面的结论：
①7是广义勾股数；
②13是广义勾股数；
③两个广义勾股数的和是广义勾股数；
④两个广义勾股数的积是广义勾股数；
则正确的是（ ）
A．①③B．①④C．②③D．②④
五．勾股定理的应用（共7小题）
19．（2022春•仙居县期中）在《九章算术》中有一个问题（如图）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？它的意思是：一根竹子原高一丈（10尺），中部一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面 尺．
20．（2022春•江城区期中）湖的两岸有A，B两棵景观树，数学兴趣小组设计实验测量两棵景观树之间的距离，他们在与AB垂直的BC方向上取点C，测得BC＝30米，AC＝50米．
求：（1）两棵景观树之间的距离；
（2）点B到直线AC的距离．
21．（2022春•渝北区期中）东营市某中学在校园一角开辟了一块四边形的“试验田”，把课堂的“死教材”转换为生动的“活景观”，学生们在课堂上学习理论之余，还可以到“试验田”实际操练，对生物的发展规律有了更为直观的认识．如图，四边形ABCD是规划好的“试验田”，经过测量得知：∠B＝90°，AB＝24m，BC＝7m，CD＝15m，AD＝20m．求四边形ABCD的面积．
22．（2022春•平邑县期中）某会展中心在会展期间准备将高5m、长13m、宽2m的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米20元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要 元．
23．（2022秋•淮安区期中）森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源．如图，有一台救火飞机沿东西方向AB，由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为600m和800m，又AB＝1000m，飞机中心周围500m以内可以受到洒水影响．
（1）着火点C受洒水影响吗？为什么？
（2）若飞机的速度为10m/s，要想扑灭着火点C估计需要13秒，请你通过计算判断着火点C能否被扑灭？
24．（2022春•确山县期中）如图是高空秋千的示意图，小明从起始位置点A处绕着点O经过最低点B．最终荡到最高点C处，若∠AOC＝90°，点A与点B的高度差AD＝1米，水平距离BD＝4米，则点C与点B的高度差CE为（ ）米．
A．4B．4.5C．5D．5.5
25．（2022春•溆浦县期中）一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，
（1）这个梯子的顶端距地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
一、单选题
1．（2023春·广东深圳·八年级校考期中）如图，在中，．分别以B、C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于E、F两点，连接直线，分别交于点M、N，连接，则的面积为（ ）
A．12B．6C．7.5D．15
【答案】B
【分析】利用基本作图得到垂直平分，则根据线段垂直平分线的性质得到，，，再证明，得到，然后利用勾股定理计算出，从而得到的面积．
【详解】解：由作法得垂直平分，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴的面积．
故选：B．
【点睛】本题考查了作图-基本作图，线段垂直平分线的性质，熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．
2．（2023秋·江苏连云港·八年级统考期中）下列长度的三根线段，能构成直角三角形的是（ ）
A．3cm，5cm，5cmB．4cm，8cm，5cm
C．5cm，13cm，12cmD．2cm，7cm，4cm
【答案】C
【分析】根据勾股定理的逆定理判断即可．
【详解】，不能构成直角三角形，故A错误；
，不能构成直角三角形，故B错误；
，能构成直角三角形，故C正确；
，不能构成直角三角形，故D错误；
故选：C．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用，三边满足的三角形是直角三角形，熟练掌握定理是解题的关键．
3．（2023春·海南省直辖县级单位·八年级校考期中）已知直角三角形一个锐角60°，斜边长为2，那么此直角三角形的周长是( )
A．B．3C．+2D．+3
【答案】D
【分析】根据直角三角形的性质及勾股定理即可解答．
【详解】如图所示，
Rt△ABC中,AB=2，
故
故此三角形的周长是+3.
故选:D.
【点睛】考查勾股定理，含30度角的直角三角形，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题的关键.
4．（2023秋·江苏泰州·八年级校考期中）如图，将一边长为a的正方形（最中间的小正方形）与四块边长为b的正方形（其中b＞a）拼接在一起，则四边形ABCD的面积为（ ）
A．b2+（b﹣a）2B．b2+a2C．（b+a）2D．a2+2ab
【答案】A
【详解】解：∵DE=b﹣a，AE=b，
∴S四边形ABCD=4S△ADE+a2=4××（b﹣a）•b+ a2=b2+（b﹣a）2，
故选：A．
5．（2023秋·江苏泰州·八年级校考期中）下面四组数，其中是勾股数的一组是（ ）
A．，，B．0.3，0.4，0.5C．3，4，5D．6，7，8
【答案】C
【分析】根据勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数，据此解答即可．
【详解】解：A、，故，，不是勾股数，本选项不符合题意；
B、0.3，0.4，0.5不是整数，故0.3，0.4，0.5不是勾股数，本选项不符合题意；
C、，故3，4，5勾股数，本选项符合题意；
D、，故6，7，8不是勾股数，本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题考查的知识点是勾股数，解答此题要深刻理解勾股数的定义，并能够熟练运用．
6．（2023秋·广东汕头·八年级汕头市翠英中学校考期中）将边长为3cm的正三角形各边三等分，以这6个分点为顶点构成一个正六边形，则这个正六边形的面积为（ ）
A． cm2B． cm2C． cm2D． cm2
【答案】A
【详解】解：三角形的高=，
三角形面积=cm2，
六边形的面积=cm2．
故选A．
7．（2023春·海南省直辖县级单位·八年级校考期中）给出下列命题：
①在直角三角形中，已知两边长3和4，则第三边长为5；
②三角形的三边满足，则；
③中，若，则是直角三角形；
④中若，则这个三角形是直角三角形；
其中，正确命题的个数为（ ）．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】根据勾股定理及逆定理，三角形内角和定理逐一判定即可.
【详解】①在直角三角形中，已知两边长3和4，则第三边长为或，故①错误；
②三角形的三边满足，则；故②错误.
③中，若
设
是直角三角形
故③正确.
④中，若，设
则，
∴是直角三角形，
故④正确.
所以，正确的命题有2个.
故选：B.
【点睛】本题主要考查了直角三角形的判定，熟练掌握勾股定理和其逆定理，以及三角形内角和定理是解题的关键.
二、填空题
8．（2023秋·浙江温州·八年级瑞安市安阳实验中学校考期中）如图，为中斜边上的一点，且，过作的垂线，交于，若，，则的长为________．
【答案】
【分析】连接，根据已知条件，先证明，再根据全等三角形的性质，求得的长度，进而勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，连接．
∵为中斜边上的一点，且，过作的垂线，交于，
∴，
∴在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴．
在中，，
∴
故答案为:．
【点睛】本题主要考查了直角三角形全等的判定（）以及全等三角形的性质，勾股定理，连接是解决本题的关键．
9．（2023秋·江苏南京·八年级统考期中）如图，在△ABC中，，，点D是BC上一点，，则CD的长为________．
【答案】
【分析】设，则：，利用勾股定理进行求解即可．
【详解】解：设，则：，
∵，
则：
∵，，
∴，
解得：；
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查勾股定理．熟练掌握勾股定理是解题的关键．
10．（2023秋·江苏南京·八年级统考期中）在中，，．则的面积为______．
【答案】60
【分析】画出图形，过点作于，利用等腰三角形的三线合一性质得到，再利用勾股定理求得即可求解．
【详解】解：如图，过点作于，则，
∵，，
∴，
∴在中，，
∴，
故答案为：60．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质、勾股定理、三角形的面积公式，熟练掌握等腰三角形的三线合一性质解答的关键．
11．（2023秋·江苏苏州·八年级期中）如图，在数轴上点A表示的实数是 _____．
【答案】##
【分析】根据勾股定理求出圆弧的半径，再根据点A的位置可得答案．
【详解】解：∵半径
∴点A表示的数为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了实数与数轴，勾股定理的应用，体现了数形结合的数学思想，解题时注意点A在数轴的正半轴上．
12．（2023秋·广东汕头·八年级汕头市翠英中学校考期中）如图，等边三角形ABC中，AE＝3CE＝3，点D是BC上的一个动点，连接AD，点F、G在AD上，且∠BFD＝∠DGE＝60°，当△AEG的面积最大时，FG＝________．
【答案】
【分析】过点E作EM⊥AD于M，根据含30°角的直角三角形的性质及勾股定理可得S△AGE，利用完全平方公式可得当AG=GE时，有最大值，可得△AGE的面积最大，利用含30°角的直角三角形的性质及勾股定理求出AD、AG、DF的长，即可得答案．
【详解】解：如图，过点E作EM⊥AD于M，
∵∠DGE=60°，
∴∠GEM=30°，
∴MG=GE，
∴ME=，
∴S△AGE=，
∵，
∴，
∴当AG=GE时，有最大值，
∴△AGE的面积最大，
如图，取AE的中点H，过点H作GH⊥AE于H，交AD于点G，连接GE，
∴GA＝GE，
∵∠DGE=60°，
∴∠GAE＝∠GEA＝30°，
∵∠BAC＝60°，
∴∠BAD＝∠CAG＝30°，
∵AB＝AC，
∴AD⊥BC，
∵EC＝1，AE＝3，
∴AC＝BC＝AB＝4，
∴BD＝CD＝2，
∴AD＝＝2，
∵∠EAG=30°，∠AHG=90°，
∴GH=AG
∴，
∵AH＝EH＝，
∴AG＝，（负值舍去）
∵∠BFD＝60°，∠BDF＝90°，
∴∠DBF=30°，
∴∠ABF=30°，DF=BF，
∴∠ABF=∠BAF，
∴BF=AF=2DF，
∴BD=，
∴FG＝AD-AG-DF＝2-﹣＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，30°角所对的直角边等于斜边的一半；熟练掌握等边三角形的性质，直角三角形的性质，是解题的关键．
13．（2023秋·江苏苏州·八年级期中）一个三角形两条边长为3和4，当第三条边长为 __时，此三角形为直角三角形．
【答案】或5
【分析】由题意，需分类讨论，再根据勾股定理的逆定理解决此题．
【详解】解：设第三条边长为x，此三角形为直角三角形，那么可能出现以下两种情况：
①边长为4的边为斜边，此时x＜4，则32+x2＝42，得；
②边长为4的边为直角边，此时边长为x的边为斜边，则32+42＝x2，得x＝5．
综上，或5．
故答案为：或5．
【点睛】本题主要考查勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理以及分类讨论的思想是解决本题的关键．
14．（2023秋·江苏南京·八年级统考期中）若一个直角三角形的两直角边长分别为6和8，则其斜边上的高为________．
【答案】
【分析】由勾股定理可求斜边长为，根据面积不变，得斜边上的高为，计算求解即可．
【详解】解：由勾股定理可求斜边长为，
根据面积不变，得斜边上的高为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理，等面积法求三角形的高，解题的关键在于正确的计算．
15．（2023春·广东深圳·八年级校考期中）如图，P是等边△ABC内一点，PA＝4，PB＝2，PC＝2，则ABC的边长为________．
【答案】2
【分析】作BH⊥PC于H，如图，把△ABP绕点B顺时针旋转60°得到△CBD，连接PD，可判断△PBD为等边三角形，利用勾股定理的逆定理可证明△PCD为直角三角形，∠CPD=90°，易得∠BPC=150°，利用平角等于有∠BPH=30°，在Rt△PBH中，根据含30度的直角三角形三边的关系可计算出BH和PH的长，在Rt△BCH中，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：作BH⊥PC于H，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴BA=BC，∠ABC=60°，
∴把△ABP绕点B顺时针旋转60°得到△CBD，连接PD，如图，
∴CD=AP=4，BD=BP=，∠PBD=60°，
∴△PBD为等边三角形，
∴PD=PB=，∠BPD=60°，
在△PDC中，∵PC=2，PD=，CD=4，
∴PC2+PD2=CD2，
∴△PCD为直角三角形，∠CPD=90°，
∴∠BPC=∠BPD+∠CPD=150°，
∴∠BPH=30°，
在Rt△PBH中，∵∠BPH=30°，PB=，
∴BH=PB=，PH=BH=3，
∴CH=PC+PH=2+3=5，
在Rt△BCH中，BC2=BH2+CH2= ()2+52=28，
∴BC=2，
∴ABC的边长为2．
【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的性质与勾股定理的逆定理．
16．（2023秋·江苏苏州·八年级期中）我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．
观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．
（1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数： ；
（2）若第一个数用字母n（n为奇数，且n≥3）表示，那么后两个数用含n的代数式分别表示为 和 ，请用所学知识说明它们是一组勾股数．
【答案】（1）11，60，61；（2）和
【详解】（1）∵112+602=612，∴11，60，61是一组勾股数；
故答案为11，60，61.
（2）∵3、4、5是一组勾股数组，，；
5、12、13是一组勾股数组，，；
7、24、25是一组勾股数组，，；
……
∴n，，是一组勾股数组.
∵ ,
,
.
∴n, ，是一组勾股数组.
点睛：本题考查了勾股定理的应用，数字类的探索与规律，由所给例子得到n，是一组勾股数组并能根据勾股定理进行验证是解题的关键.
17．（2023秋·江苏连云港·八年级统考期中）直角三角形有两条边长分别为 6 和 8，则第三条边的平方为_____．
【答案】100或28
【详解】解：①当6和8为直角边时，第三边长的平方=62+82=100；
②当8为斜边，6为直角边时，第三边长的平方=82-62=28；
故答案为：100或28．
18．（2023秋·江苏连云港·八年级统考期中）如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB=5，AD=3，则BC的长为____.
【答案】8
【分析】本题利用等腰三角形的性质三线合一和勾股定理即可解决.
【详解】 AD是∠BAC的平分线 ,
故答案为8.
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质定理及勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键.
19．（2023秋·江苏泰州·八年级校考期中）如图，，已知中，，的顶点A、B分别在边、上，当点B在边上运动时，A随之在上运动，的形状始终保持不变，在运动的过程中，点C到点O的距离为整数的点有______个．
【答案】6
【分析】取的中点D，连接；根据三角形的边角关系得到小于等于，只有当O、D及C共线时，取得最大值，最大值为；根据D为中点，得到为3，根据三线合一得到垂直于，在中，根据勾股定理求出的长，在中，为斜边上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得等于的一半，由的长求出的长，进而求出的取值范围．
【详解】解：如图，取的中点D，连接；
∵，
∵点D是边中点，
∴，
∴；
连接，，有，
当O、D、C共线时，有最大值，最大值是，
又∵为直角三角形，D为斜边的中点，
∴，
∴．
为整数
∴点C到点O的距离为整数的点有6个，
故答案为6．
【点睛】本题考查三角形的三边关系、勾股定理和直角三角形中线的性质，掌握这些定理和性质是解题的关键．
20．（2023秋·江苏南京·八年级统考期中）如图，在中，．以、为边的正方形的面积分别为、，若，，则的长为______．
【答案】3
【分析】根据勾股定理求出，则可得出答案．
【详解】解：在中，，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：3．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
21．（2023秋·浙江温州·八年级瑞安市安阳实验中学校考期中）等腰的斜边上有一点，连结，将沿着折叠，点落在边上，连结，则________．
【答案】
【分析】过点作于点，设，则，根据折叠的性质以及勾股定理求得，进而根据，即可求解．
【详解】解：如图，过点作于点，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵将沿着折叠，点落在边上，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，折叠的性质，掌握折叠的性质以及等腰三角形的性质是解题的关键．
22．（2023秋·浙江温州·八年级瑞安市安阳实验中学校考期中）如图，为中斜边上的一点，且，过作的垂线，交于，若，，则的长为________．
【答案】
【分析】连接，根据已知条件，先证明，再根据全等三角形的性质，求得的长度，进而勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，连接．
∵为中斜边上的一点，且，过作的垂线，交于，
∴，
∴在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴．
在中，，
∴
故答案为:．
【点睛】本题主要考查了直角三角形全等的判定（）以及全等三角形的性质，勾股定理，连接是解决本题的关键．
三、解答题
23．（2023秋·广东汕头·八年级汕头市翠英中学校考期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝120°，BC＞AC，点E在BC上，点D在AB上，CE＝CA，连接DE，∠ACB＋∠ADE＝180°，CH⊥AB，垂足为点H．求证：DE＋AD＝CH．
【答案】见解析
【分析】如图，作∠FCD＝∠ACB，交BA延长线于F，证明△AFC≌△EDC得到AF＝DE，FC＝CD，再由三线合一定理得到FH＝HD，∠FCH＝∠HCD＝60°，则DH＝CH，由此即可得到．
【详解】证明：如图，作∠FCD＝∠ACB，交BA延长线于F，
∵∠FCA＋∠ACD＝∠ACD＋∠DCB，
∴∠FCA＝∠DCB，
∵∠ACB＝120°，∠ACB＋∠ADE＝180°，∠EDB+∠ADE＝180°，
∴∠EDB＝∠ACB＝120°，∠EDA＝60°，
∵∠FAC＝120°＋∠B，∠CED＝120°＋∠B，
∴∠FAC＝∠CED，
在△AFC和△EDC中，
，
∴△AFC≌△EDC（ASA），
∴AF＝DE，FC＝CD，
∵CH⊥FD，
∴FH＝HD，∠FCH＝∠HCD＝60°，
∴DH＝CH，
∵AD＋DE＝AD＋AF＝FD＝2DH＝CH，
∴AD＋DE＝CH．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，含30度的直角三角形的性质，三角形外角的性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
24．（2023春·海南省直辖县级单位·八年级校考期中）一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，
(1)这个梯子的顶端距地面有多高？
(2)如果梯子的顶端下滑了4米到，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
【答案】(1)这个梯子的顶端距地面有24米
(2)梯子的底端在水平方向滑动了8米
【分析】（1）AC=25米，BC=7米，根据勾股定理即可求得的长；
（2）由题意得： =20米，根据勾股定理求得，根据即可求解．
【详解】（1）解：由题意得：AC=25米，BC=7米，∠ABC=90°，
（米）
答：这个梯子的顶端距地面有24米；
（2）由题意得： =20米，
（米）
则：=15-7=8（米），
答：梯子的底端在水平方向滑动了8米．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．
25．（2023秋·江苏苏州·八年级期中）长清的园博园广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校七年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作：①测得水平距离BD的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米．
(1)求风筝的垂直高度CE；
(2)如果小明想风筝沿CD方向下降12米，则他应该往回收线多少米？
【答案】(1)风筝的高度CE为21.6米；
(2)他应该往回收线8米．
【分析】（1）利用勾股定理求出CD的长，再加上DE的长度，即可求出CE的高度；
（2）根据勾股定理即可得到结论．
【详解】（1）解：在Rt△CDB中，
由勾股定理得，CD2=BC2-BD2=252-152=400，
所以，CD=20（负值舍去），
所以，CE=CD+DE=20+1.6=21.6（米），
答：风筝的高度CE为21.6米；
（2）解：由题意得，CM=12米，
∴DM=8米，
∴BM= （米），
∴BC-BM=25-17=8（米），
∴他应该往回收线8米．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键．
26．（2023春·海南省直辖县级单位·八年级校考期中）如图，在四边形中，，，，．求的度数．
【答案】135°
【分析】连接AC，首先判断出△ABC的形状，然后根据勾股定理求出AC的长度，再用勾股定理的逆定理判断出△DAC的形状，最后即可求出∠BAD的度数．
【详解】连接，
∵，，
∴△ABC为等腰直角三角形，，
在中，由勾股定理得：
，
∴，
∵，，
∴在中，，
∴是直角三角形，，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形相关知识，勾股定理和勾股定理的逆定理，正确使用勾股定理和勾股定理的逆定理是解决本题的关键．
27．（2023秋·江苏泰州·八年级校考期中）如图1，长方形中，，，E为边上一点，，动点P从点B出发，沿以1个单位/s作匀速运动，设运动时间为t．
(1)当t为_________s时，与全等；
(2)如图2，为的高，当点Р在边上运动时，的最小值是_________；
(3)当点P在的垂直平分线上时，求出的值．
【答案】(1)3
(2)3
(3)t的值为或．
【分析】（1）只有当点P在上运动时存在的情况，此时，根据列方程求出t的值即可；
（2）当点P在边上运动，的面积为定值，可以说明当点P与点C重合时的值最小，根据面积等式列方程求出此时的值即可；
（3）设的垂直平分线为直线，分两种情况，一是点P在边上，且在直线上，作于点G，在中根据勾股定理列方程求出t的值；二是点P在边上在中根据勾股定理列方程求出t的值．
【详解】（1）解：如图，∵四边形是长方形，
∴，
当点P在边上，且时，，
∵，
∴；
当点P在边上，若点P与点C重合，满足，
此时，
∴与不全等，
若点P与点D重合，满足，
此时，
∴与不全等，
综上所述，当时，；
故答案为：3；
（2）解：∵，，，
∴，
当点P在边上运动，，
∵为的高，
∴，
∴AP•EF=40，
∴随的增大而减小，
∴，
∴随的增大而增大，
当点P与点C重合时最大，此时也最大，而则最小，
如图，点P与点C重合，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴的最小值为3，
故答案为：3；
（3）解：设的垂直平分线为直线，
如图，点P在边上，且在直线上，连接，则，
作于点G，则，
∵，，
∴，
同理，
，
∵，
∴，
解得；
如图，点P在边上，且在直线上，连接，则，，
∵，
∴，
解得，
综上所述，t的值为或．
【点睛】此题重点考查全等三角形的判定、勾股定理、根据面积等式列方程求值、动点问题的求解等知识与方法，此题难度较大，属于考试压轴题．
28．（2023秋·江苏连云港·八年级统考期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点D作DE⊥AB于点E．
（1）求证：△AED≌△ACD；
（2）当AC＝6，BC＝8，求CD的长．
【答案】（1）见解析；（2）3
【分析】（1）根据AD平分∠BAC得 ∠BAD＝∠CAD ，根据DE⊥AB得∠AED＝90°，用AAS即可得证明△AED≌△ACD；
（2）设CD＝x，由（1）可知△AED≌△ACD ，则AC＝AE＝6，CD＝DE＝x，BD＝BC－CD＝8－x，根据勾股定理得AB=10，则BE=4，根据勾股定理得42＋x2 ＝ （8－x）2 ，即可得．
【详解】（1）∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵DE⊥AB，
∴∠AED＝90°，
∵在△AED与△ACD中，
∴△AED≌△ACD（AAS）
（2）设CD＝x，
由（1）可知△AED≌△ACD ，
∴AC＝AE＝6，CD＝DE＝x，BD＝BC－CD＝8－x，
∵在△ABC中，∠C＝90°，
∴AB2＝AC2＋BC2＝62＋82＝100，
即AB=10或AB=-10（舍），
∴BE＝AB－AE＝10－6＝4 ，
∵在△BED中，∠BED＝90°，根据勾股定理，
BE2＋ED2=BD2 ，
即42＋x2 =（8－x）2 ，
解得x＝3，
即CD=3．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，勾股定理，解题的关键是掌握这些知识点．
29．（2023秋·江苏苏州·八年级期中）利用网格作图．要求：只能用无刻度的直尺，保留作图痕迹．
（1）在图①中找一点P，使点P到AB和AC的距离相等且PB＝PC；
（2）在图②中，△ABC的顶点均在正方形网格格点上，作出△ABC的角平分线BD.
【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析
【分析】（1）利用网格图的性质，作的角平分线，再确定的中点 利用网格图的性质取格点 作射线与的角平分线的交点即为所求作的点；
（2）取格点 使 由勾股定理可得 连接 确定的中点 连接 交于 从而可得答案.
【详解】解：（1）如图，点即为所求作的点，
（2）如图，线段即为所求作的的角平分线，
【点睛】本题考查的是角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理的应用，掌握利用以上图形的性质作图是解题的关键.
30．（2023春·广东深圳·八年级校考期中）已知：如图，在△ADC中，AD＝CD，且AB∥DC，CB⊥AB于B，CE⊥AD交AD的延长线于E，连接BE．
（1）求证：CE＝CB；
（2）若∠CAE＝30°，CE＝2，求BE的长度．
【答案】（1）见解析；（2）BE＝2．
【分析】（1）利用等腰三角形的性质和平行线的性质得到AC是△EAB的角平分线，根据角平分线的性质即可得到CE=CB；
（2）通过倒角证明△AEB是等边三角形，所以BE=AB,在Rt△ABC中，根据30°所对的直角边是斜边的一半求得AC，再根据勾股定理求出AB，即得出BE的长．
【详解】（1）证明：∵AD＝CD，
∴∠DAC＝∠DCA，
∵AB∥CD，
∴∠DCA＝∠CAB，
∴∠DAC＝∠CAB，
∴AC是∠EAB的角平分线，
又∵CE⊥AD，CB⊥AB，
∴CE＝CB．
（2）∵AC是∠EAB的角平分线，
∴∠EAB＝2∠CAE＝60°，
∵∠DCA＝∠DAC＝30°，
∴∠EDC＝∠DCA+∠DAC＝60°，
∵CE⊥AD，
∴∠CED＝90°，
∴∠ECD＝30°，
∵CB⊥AB，
∴∠CBA＝90°，
∵AB∥CD，
∴∠CBA+∠DCB＝180°，
∴∠DCB＝90°，
∴∠ECB＝∠ECD+∠DCB＝120°，
∵CE＝CB＝2，
∴∠CBE＝∠CEB＝（180°﹣∠ECB）＝30°，
∴∠EBA＝60°，
∴∠AEB＝∠EAB＝∠ABE＝60°，
∴△AEB是等边三角形，
∴BE＝AB；
在Rt△ABC中，
∵BC⊥AB，∠CAB＝30°，
∴AC＝2BC＝4，
∴AB＝，
∴BE＝2．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，含30°角的直角三角形，勾股定理，等边三角形的判定与性质，其中，判定△AEB是等边三角形是解题的关键．
31．（2023秋·江苏泰州·八年级校考期中）的三边长分别是a、b、c，且，，，是直角三角形吗？证明你的结论．
【答案】是直角三角形，证明见解析
【分析】判断一组数能否成为直角三角形的三边，就是看是否满足两较小边的平方和等于最大边的平方即可．
【详解】解：是直角三角形．证明如下：
∵

∴是直角三角形．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．