专题01二次根式（知识串讲+热考题型+专题训练）-2023-2024学年八年级数学第二学期期中期末高效备考（人教版）

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一．二次根式的定义（共3小题）
二．二次根式有意义的条件（共3小题）
三．二次根式的性质与化简（共4小题）
四．最简二次根式（共1小题）
五．二次根式的乘除法（共14小题）
六．分母有理化（共6小题）
七．同类二次根式（共3小题）
八．二次根式的加减法（共5小题）
九．二次根式的混合运算（共3小题）
十．二次根式的化简求值（共4小题）
十一．二次根式的应用（共7小题）
知识点一、二次根式的相关概念和性质
1. 二次根式
形如的式子叫做二次根式，如等式子，都叫做二次根式.
要点诠释：二次根式有意义的条件是，即只有被开方数时，式子才是二次根式，才有意义.
2.二次根式的性质
（1）；
（2）；
（3）.
要点诠释：（1） 一个非负数可以写成它的算术平方根的平方的形式，即（），如（）.
（2） 中的取值范围可以是任意实数，即不论取何值，一定有意义.
（3）化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简.
（4）与的异同
不同点：中可以取任何实数，而中的必须取非负数；
=，=（）.
相同点：被开方数都是非负数，当取非负数时，=.
3. 最简二次根式
1）被开方数是整数或整式；
2)被开方数中不含能开方的因数或因式.
满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如等都是最简二次根式.
要点诠释：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2.
4.同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式.
要点诠释：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.如与，由于=，与显然是同类二次根式.
知识点二、二次根式的运算
1. 乘除法
（1）乘除法法则：
要点诠释：
（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如.
（2）被开方数a、b一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如.
2.加减法
将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式.
要点诠释：
二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如.
一．二次根式的定义（共3小题）
1．（2022春•重庆期中）下列式子一定是二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022春•西华县期中）定义：若两个二次根式a，b满足ab＝c，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭（è）二次根式．
问题解决：
（1）若a与2是关于6的共轭二次根式，则a＝ ；
（2）若4+与8﹣m是关于26的共轭二次根式，求m的值．
3．（2022春•尧都区期中）已知是一个正整数，则正整数a的最小值为（ ）
A．0B．6C．3D．2
二．二次根式有意义的条件（共3小题）
4．（2022春•同安区期中）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞2B．x≥2C．x≤2D．x＜2
5．（2020春•河口区校级期中）如果y＝，则2x+y的值是 ．
6．（2021春•安宁市校级期中）若x，y是实数，且y＝++3，求3的值．
三．二次根式的性质与化简（共4小题）
7．（2022春•威海期中）化简二次根式的结果为（ ）
A．﹣2aB．2aC．2aD．﹣2a
8．（2022春•西工区期中）若，则（ ）
A．b＞3B．b＜3C．b≥3D．b≤3
9．（2022春•武昌区校级期中）已知≈1.414，则的近似值为 （结果保留小数点后两位）．
10．（2022春•黄梅县期中）小明做数学题时，发现＝；＝；＝；＝；…；按此规律，若＝（a，b为正整数），则a+b＝ ．
四．最简二次根式（共1小题）
11．（2022春•东莞市校级期中）下列各式中是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
五．二次根式的乘除法（共14小题）
12．（2022春•藤县期中）计算所得的结果是（ ）
A．2B．3C．D．
13．（2022春•沂水县期中）计算的结果是（ ）
A．B．C．D．
14．（2022春•新市区校级期中）使有意义的x的取值范围是 ．
15．（2021春•渑池县期中）计算×的结果是 ．
16．（2022春•镜湖区校级期中）化简：．
17．（2022春•环江县期中）计算：．
18．（2022春•禹州市期中）已知实数x，y，a，b满足+＝×．求a+b的值及7x﹣y2023的值．
19．（2022春•尧都区期中）若•＝，则a的取值范围是（ ）
A．a≥2B．a≥﹣2C．a≥24D．2≥a≥﹣2
20．（2022春•牟平区期中）若成立，则m的值可以是（ ）
A．﹣4B．2C．4D．5
21．（2022春•昭平县期中）已知．
（1）求a+b的值；
（2）求2x+y2021的值．
22．（2022春•五华县期中）探究过程：观察下列各式及其验证过程．
（1）；（2）．
验证：
（1）＝；
（2）＝．
①按照上面两个等式及其验证过程的基本思路，猜想：＝ ；＝ ；
②通过上述探究你能猜测出：＝ （n＞0），并验证你的结论．
23．（2022春•西城区校级期中）在解决数学问题时，我们一般先仔细阅读题干，找出有用信息作为已知条件，然后利用这些信息解决问题，但是有的题目信息比较明显，我们把这样的信息成为显性条件；而有的信息不太明显需要结合图形，特殊式子成立的条件，实际问题等发现隐含信息作为条件，我们把这样的条件称为隐含条件；所以我们在做题时，要注意发现题目中的隐含条件．
【阅读理解】
阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题．
化简：（）2﹣|1﹣x|
解：隐含条件1﹣3x≥0，解得：x≤
∴1﹣x＞0
∴原式＝（1﹣3x）﹣（1﹣x）
＝1﹣3x﹣1+x
＝﹣2x
【启发应用】
（1）按照上面的解法，试化简：﹣（）2；
【类比迁移】
（2）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简+﹣|b﹣a|．
24．（2022春•福清市期中）已知，，c＝2021×2020﹣2019×2021，则（a﹣b）（b﹣c）的值（ ）
A．大于零B．小于零C．等于零D．无法确定
25．（2022春•渝水区校级期中）已知：，．求下列各式的值．
（1）xy；
（2）x2﹣xy+y2．
六．分母有理化（共6小题）
26．（2022春•兴宁区校级期中）计算：（1﹣π）0+（）﹣1﹣÷×．
27．（2022春•香河县期中）若M，N分别代表两个多项式，且M+N＝2a2，M﹣N＝2ab．
（1）求多项式M和N．
（2）当a＝+1，b＝﹣1时，求分式的值．
28．（2022春•赞皇县期中）在进行二次根式简化时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可将其进一步简化：
＝；（一）
＝＝；（二）
＝＝＝；（三）
以上这种化简的步骤叫做分母有理化
还可以用以下方法化简：
＝＝＝；（四）
（1）化简＝ ＝
（2）请用不同的方法化简．
①参照（三）式得＝
②步骤（四）式得＝
（3）化简：
+++…+．
29．（2022春•海淀区校级期中）我们规定用（a，b）表示一对数对，给出如下定义：记m＝，n＝（其中a＞0，b＞0），将（m，n）与（n，m）称为数对（a，b）的一对“和谐数对”．
例如：（4，1）的一对“和谐数对”为（，1）和（1，）．
（1）数对（16，5）的一对“和谐数对”是 ；
（2）若数对（3，m）的一对“和谐数对”相同，则m的值为 ；
（3）若数对（x，y）的一个“和谐数对”是（，1），则xy的值为 ．
30．（2022春•怀仁市期中）阅读下列材料，然后解答问题：
在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如：，，一样的式子．其实我们还可以将其进一步化简：
＝＝：（一） ＝＝：（二）
＝＝＝：（三）
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
还可以用以下方法化简：
＝＝＝＝．（四）
请解答下列问题：
（1）请用不同的方法化简．
①参照（三）式得＝ ；
②参照（四）式得＝ ；
（2）化简：++；（保留过程）
（3）猜想：+++…+的值．（直接写出结论）
31．（2022春•芜湖期中）【阅读材料】对于一些特殊类型的根式，我们有一些常用的化简计算方法．
如：，这是利用平方差公式进行化简运算的思路．
除此之外，我们还可以用“平方之后再开方”的方式来化简，即运用性质＝|a|．
如：对于，设．
由，可知x＞0．
由，解得．
即．
【学以致用】请你根据以上介绍的方法，化简．
七．同类二次根式（共3小题）
32．（2019春•西陵区校级期中）下列二次根式中与是同类二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
33．（2022春•鼓楼区校级期中）下列二次根式能与合并的是（ ）
A．B．C．D．
34．（2022春•东莞市期中）若最简根式与是同类二次根式，则m＝ ．
八．二次根式的加减法（共5小题）
35．（2022春•沂源县期中）如果与的和等于3，那么a的值是（ ）
A．0B．1C．2D．3
36．（2016春•临沧校级期中）＝ ．
37．（2022春•吉林期中）计算：．
38．（2022春•定南县期中）计算：．
39．（2022春•贺州期中）计算：+2．
九．二次根式的混合运算（共3小题）
40．（2022春•福山区期中）计算
（1）；
（2）．
41．（2022春•柘城县期中）阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方．如3+2＝（1+）2.善于思考的小明进行了以下探索：设a+b＝（m+n）2（其中a，b，m，n均为整数），则有a+b＝m2+2n2+2mn．故a＝m2+2n2，b＝2mn，这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a，b，m，n均为正整数时，若a+b＝（m+n）2，用含m，n的式子分别表示a，b，得a＝ ，b＝ ；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a，b，m，n填空： + ＝（ + ）2；
（3）若a+4＝（m+n）2，且a，m，n均为正整数，求a的值．
42．（2022春•平舆县期中）在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：；；﹣1．
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
（1）化简：＝ ；＝ ．
（2）填空：的倒数为 ．
（3）化简：．
一十．二次根式的化简求值（共4小题）
43．（2022春•赞皇县期中）先化简，再求值：a+，其中a＝2020．
如图是小亮和小芳的解答过程．
（1） 的解法是错误的；
错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质： ；
（2）先化简，再求值：a+2，其中a＝﹣2．
44．（2022春•荔湾区校级期中）已知x＝+1，y＝﹣1，求代数式x2﹣xy+y2的值．
45．（2022春•尧都区期中）（1）；
（2）下面是小明同学对于题目“化简并求值：2a+，其中a＝1“的解答过程，请认真阅读并完成相应任务．
解：原式＝2a+……………第一步
＝2a+a﹣3…………………………第二步
＝3a﹣3．……………………第三步
把a＝1代入得，原式＝3a﹣3＝0．……………第四步
任务一：填空：第 步开始出现错误，错误原因是 ；
任务二：请直接写出代数式正确的值．
46．（2021春•梁子湖区期中）已知a＝，求﹣的值．
一十一．二次根式的应用（共7小题）
47．（2022春•丰都县期中）如图，长和宽分别是a，b的长方形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形．
（1）用含a，b，x的代数式表示纸片剩余部分的面积；
（2）当a＝20+2，b＝20﹣2，x＝，求剩余部分的面积．
48．（2022春•思明区校级期中）计算：
（1）+×；
（2）（﹣）2；
（3）设长方形的面积为S，相邻两边长分别是a，b，已知S＝4，a＝，求b．
49．（2022春•磁县期中）如图，正方形ABCD的面积为8，正方形ECFG的面积为32．
（1）求正方形ABCD和正方形ECFG的边长；
（2）求阴影部分的面积．
50．（2022春•清丰县期中）阅读材料：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积为．这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式，中国秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦﹣秦九韶公式”．解答下列问题：如图，在△ABC中，a＝7，b＝5，c＝6．
（1）△ABC的面积；
（2）过点A作AD⊥BC，垂足为D，求线段AD的长．
51．（2022春•巴东县期中）秦九韶（1208年﹣1268年），字道古，汉族，生于普州安岳（今四川省安岳县）人，祖籍鲁郡（今河南范县）．南宋著名数学家，与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家．他精研星象、音律、算术、诗词、弓剑、营造之学，是一位既重视理论又重视实践，既善于继承又勇于创新的世界著名数学家．他所提出的大衍求一术（中国剩余定理）和正负开方术及其名著《数书九章》，是中国数学史、乃至世界数学史上光彩夺目的一页，对后世数学发展产生了广泛的影响．他写的《数书九章》序堪称一篇奇文．秦九韶的数学成果丰硕，其中关于三角形的面积公式与古希腊几何学家海伦的成果统称海伦﹣秦九韶公式．如果一个三角形的三边长分别是a、b、c，记p＝，那么三角形的面积为：s＝．
（1）在△ABC中，BC＝4，AC＝AB＝3，请用上面的公式计算△ABC的面积．
（2）如图，在△ABC中，BC＝6，AC＝AB＝7，AD⊥BC，垂足为D，∠ABC的平分线交AD于点E．求BE的长．
52．（2022春•长葛市期中）在《九章算术》中有求三角形面积的公式“底乘高的一半”，但是在实际丈量土地面积时，准确测量高并不容易，所以古人想到了能否利用三角形的三条边长来求面积．我国南宋著名的数学家秦九韶（约1202～约1261）提出了“三斜求积术”，简称秦九韶公式．古希腊的几何学家海伦（Hern，约公元50年）在数学史上以解决几何测量问题而闻名．在他的著作《度量》一书中，给出了利用三角形三边长求面积的方法和证明，相传这个公式最早是由古希腊数学家阿基米德（公元前287年—公元前212年）得出的．在我国称这个公式为海伦—秦九韶公式．它的表述为：如果一个三角形三边长分别为a、b、c，那么三角形的面积为．（公式里的p为半周长，即）
请利用海伦——秦九韶公式解决以下问题：
（1）三边长分别为3、6、7的三角形面积为 ．
（2）四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，CD＝7，AD＝6，∠B＝90°，求该四边形的面积．
53．（2022春•阳东区期中）已知一个矩形相邻的两边长分别为a，b，且a＝，b＝．
（1）求此矩形的周长；
（2）求此矩形的面积；
（3）求与此矩形面积相等的正方形的对角线的长．
一、单选题
1．（2023春·海南省直辖县级单位·八年级校考期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）．
A．B．C．D．
2．（2023春·海南省直辖县级单位·八年级校考期中）下列各式中，运算正确的是( )
A．B．C．D．
3．（2023春·海南省直辖县级单位·八年级校考期中）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是
A．x≥3B．x≤3C．x＞3D．x＜3
4．（2022秋·山西运城·八年级统考期中）下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．（2022秋·江西九江·八年级统考期中）二次根式中a的最小值为（ ）
A．0B．1C．D．2
6．（2022春·广东汕头·八年级统考期中）的倒数是（ ）
A．B．C．D．
7．（2022春·福建龙岩·八年级校考期中）下列运算中正确的是( )
A．B． +C．D．
8．（2022春·福建龙岩·八年级校考期中）下列各代数式中，是二次根式的是（ ）
A．B．C．a2D．
二、填空题
9．（2023春·海南省直辖县级单位·八年级校考期中）若2﹣x，则x的取值范围是 _____．
10．（2023春·海南省直辖县级单位·八年级校考期中）在实数范围内分解因式：＝______．
11．（2022秋·江西九江·八年级统考期中）已知，若是最简二次根式，请写出一个符合条件的正整数n：_______．
12．（2022春·福建龙岩·八年级校考期中）将化为最简根式是 _____．
13．（2022春·浙江杭州·八年级校考期中）已知，那么的值等于_____．
14．（2022春·浙江杭州·八年级校联考期中）设，求不超过的最大整数______．
三、解答题
15．（2023春·海南省直辖县级单位·八年级校考期中）计算（1）；
（2）．
16．（2022秋·陕西西安·八年级校考期中）计算：
17．（2022秋·江西九江·八年级统考期中）计算：
(1)．
(2)．
18．（2022春·湖南永州·八年级校考期中）已知点在第二象限 ， 化简
19．（2022秋·福建三明·八年级统考期中）两个含有二次根式的代数式相乘，若化简后的积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如： 与，与，与等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．请回答下列问题：
(1)化简： ___________；
(2)比较与的大小关系；
(3)计算：．
20．（2022秋·河北石家庄·八年级校考期中）阅读材料，回答问题：
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式．例如：因为，，所以与，与互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．
(1)的有理化因式是________；化简：________；
(2)化简：
(3)拓展应用：已知，，，，
试比较a，b，c的大小，并说明理由．
21．（2022秋·河北石家庄·八年级校考期中）阅读材料已知下面一列等式：
；；；
(1)请用含的等式表示你发现的规律___________________；
(2)证明一下你写的等式成立；
(3)利用等式计算：；
(4)计算：．
22．（2022秋·山东济南·八年级统考期中）阅读下列材料，解答后面的问题：
；
；
(1)写出下一个等式；
(2)计算的值；
(3)请求出的运算结果．
23．（2022春·甘肃定西·八年级统考期中）先阅读，后解答：
，；像上述解题过程中，与、与相乘，积不含有二次根式，我们可将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化．
(1)的有理化因式是______；的有理化因式是______．
(2)（4）分将下列式子进行分母有理化：
①______； ②______．
(3)类比（2）中②的计算结果，计算：
．
24．（2022春·山西临汾·八年级统考期中）综合与实践：在学习二次根式时，发现一些含有根号的式子可以结合完全平方式化成另一个式子的平方，如：，
．
由此，可将一些被开方数为无理数的式子进行化简，．
(1)请你依上述方法将化成一个式子的平方，并直接写出的值．
(2)化简：．
(3)若且、、均为正整数，则________．
类型
法则
逆用法则
二次根式的乘法
积的算术平方根化简公式：
二次根式的除法
商的算术平方根化简公式：