人教版八年级数学下学期大串讲专题02勾股定理(知识串讲+热考题型+专题训练)(原卷版+解析)

这是一份人教版八年级数学下学期大串讲专题02勾股定理(知识串讲+热考题型+专题训练)(原卷版+解析)，共86页。试卷主要包含了勾股定理，勾股定理的证明，勾股定理的作用，勾股定理的逆定理，勾股数等内容，欢迎下载使用。

一．勾股定理（共4小题） 二．勾股定理的证明（共4小题）
三．勾股定理的逆定理（共7小题） 四．勾股数（共3小题）
五．勾股定理的应用（共7小题）
知识点一、直角三角形直角边与斜边之间的大小关系
定理：在直角三角形中，斜边大于直角边.
知识点二、勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么.
要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.
（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.
（3）理解勾股定理的一些变式：
，， .
知识点三、勾股定理的证明
方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.
图（1）中，所以.

方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.
图（2）中，所以.

方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.

，所以.
知识点四、勾股定理的作用
已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；
用于解决带有平方关系的证明问题；
3. 利用勾股定理，作出长为的线段.
知识点五、勾股定理的逆定理
如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.
要点诠释：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.
（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.
知识点六、如何判定一个三角形是否是直角三角形
首先确定最大边（如）.
验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C=90°的直角三角形；若
，则△ABC不是直角三角形.
要点诠释：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边.
知识点七、勾股数
满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形.
熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：
3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……
如果()是勾股数，当为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.
要点诠释：（1）（是自然数）是直角三角形的三条边长；
（2）（是自然数）是直角三角形的三条边长；
（3） （是自然数）是直角三角形的三条边长；
一．勾股定理（共4小题）
1．（2022春•乾安县期中）直角三角形的两边长分别为6和10，那么它的第三边的长度为（ ）
A．8B．10C．8或2D．10或2
2．（2021春•沂水县期中）已知O为数轴原点，如图，（1）在数轴上截取线段OA＝2；（2）过点A作直线l垂直于OA；（3）在直线l上截取线段AB＝3；（4）以O为圆心，OB的长为半径作弧，交数轴分别于点C，D．根据以上作图过程及所作图形，有如下四个结论：①OC＝5；②OB＝；③点C对应的数是﹣2；④5＜AD＜6．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．②④
3．（2021秋•茂名期中）如图，OP＝1，过点P作PP1⊥OP且PP1＝1，得OP1＝；再过点P，作P1P2⊥OP1，且P1P2＝1，得OP2＝；又过点P2作P2P3⊥OP2且P2P3＝1，得OP3＝2…依此法继续作下去，得OP2021＝（ ）
A．B．C．D．
4．（2022春•静海区校级期中）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，若AB＝17，BD＝15，DC＝6，则AC的长为（ ）
A．11B．10C．9D．8
二．勾股定理的证明（共4小题）
5．（2022春•延津县期中）如图所示的是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝5，BE＝13，则EF2的值是（ ）
A．128B．64C．32D．144
6．（2022春•长葛市期中）若a，b为直角三角形的两直角边，c为斜边，下列选项中不能用来证明勾股定理的是（ ）
A．B．
C．D．
7．（2022春•雄县期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若ab＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（ ）
A．9B．6C．4D．3
8．（2021春•洛阳期中）如图，在△ABD中，AC⊥BD于C，点E为AC上一点，连接BE、DE，DE的延长线交AB于F，已知DE＝AB，∠CAD＝45°．
（1）求证：DF⊥AB；
（2）利用图中阴影部分面积完成勾股定理的证明，已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，求证：a2+b2＝c2．
三．勾股定理的逆定理（共7小题）
9．（2022春•仁化县期中）如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13，点D是Rt△ABC外一点，连接DC，DB，且CD＝4，BD＝3．
（1）求BC的长；
（2）求证：△BCD是直角三角形．
10．（2022春•茂南区期中）已知△ABC的三边为a，b，c，下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．a＝3，b＝2，B．a＝40，b＝50，c＝60
C．，b＝1，D．，b＝4，c＝5
11．（2022春•长沙期中）下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠A＝∠B+∠CB．a：b：c＝5：12：13
C．a2＝（b+c）（b﹣c）D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
12．（2022春•交城县期中）如图，在正方形网格中，点A，B，C，D，E是格点，则∠ABD+∠CBE的度数为 ．
13．（2022春•黄石期中）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝3，CD＝，DA＝5，∠B＝90°，则∠BCD的度数 ．
14．（2022春•韩城市期中）如图，网格中每个小正方形的边长都是1，点A、B、C、D都在格点上．
（1）线段AB的长度是 ，线段CD的长度是 ．
（2）若EF的长为，那么以AB、CD、EF三条线段为边能否构成直角三角形，并说明理由．
15．（2022春•越秀区期中）如图，一块铁皮（图中阴影部分），测得AB＝6，BC＝8，CD＝24，AD＝26，∠B＝90°．求阴影部分的面积．
四．勾股数（共3小题）
16．（2022春•凤山县期中）像15，8，17这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数．古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a＝2m，b＝m2﹣1，c＝m2+1，那么a，b，c为勾股数．你认为对吗？请说明理由．
17．（2022春•三江县期中）下列四组数中不是勾股数的是（ ）
A．3，4，5B．5，12，13C．1，2，3D．8，15，17
18．（2022春•丰都县期中）我们知道，如果直角三角形的三边的长都是正整数，这样的三个正整数就叫做一组勾股数．如果一个正整数m能表示为两个正整数a，b的平方和，即m＝a2+b2，那么称m为广义勾股数，则下面的结论：
①7是广义勾股数；
②13是广义勾股数；
③两个广义勾股数的和是广义勾股数；
④两个广义勾股数的积是广义勾股数；
则正确的是（ ）
A．①③B．①④C．②③D．②④
五．勾股定理的应用（共7小题）
19．（2022春•仙居县期中）在《九章算术》中有一个问题（如图）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？它的意思是：一根竹子原高一丈（10尺），中部一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面 尺．
20．（2022春•江城区期中）湖的两岸有A，B两棵景观树，数学兴趣小组设计实验测量两棵景观树之间的距离，他们在与AB垂直的BC方向上取点C，测得BC＝30米，AC＝50米．
求：（1）两棵景观树之间的距离；
（2）点B到直线AC的距离．
21．（2022春•渝北区期中）东营市某中学在校园一角开辟了一块四边形的“试验田”，把课堂的“死教材”转换为生动的“活景观”，学生们在课堂上学习理论之余，还可以到“试验田”实际操练，对生物的发展规律有了更为直观的认识．如图，四边形ABCD是规划好的“试验田”，经过测量得知：∠B＝90°，AB＝24m，BC＝7m，CD＝15m，AD＝20m．求四边形ABCD的面积．
22．（2022春•平邑县期中）某会展中心在会展期间准备将高5m、长13m、宽2m的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米20元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要 元．
23．（2022秋•淮安区期中）森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源．如图，有一台救火飞机沿东西方向AB，由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为600m和800m，又AB＝1000m，飞机中心周围500m以内可以受到洒水影响．
（1）着火点C受洒水影响吗？为什么？
（2）若飞机的速度为10m/s，要想扑灭着火点C估计需要13秒，请你通过计算判断着火点C能否被扑灭？
24．（2022春•确山县期中）如图是高空秋千的示意图，小明从起始位置点A处绕着点O经过最低点B．最终荡到最高点C处，若∠AOC＝90°，点A与点B的高度差AD＝1米，水平距离BD＝4米，则点C与点B的高度差CE为（ ）米．
A．4B．4.5C．5D．5.5
25．（2022春•溆浦县期中）一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，
（1）这个梯子的顶端距地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
一、单选题
1．（2023春·广东深圳·八年级校考期中）如图，在中，．分别以B、C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于E、F两点，连接直线，分别交于点M、N，连接，则的面积为（ ）
A．12B．6C．7.5D．15
【答案】B
【分析】利用基本作图得到垂直平分，则根据线段垂直平分线的性质得到，，，再证明，得到，然后利用勾股定理计算出，从而得到的面积．
【详解】解：由作法得垂直平分，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴的面积．
故选：B．
【点睛】本题考查了作图-基本作图，线段垂直平分线的性质，熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．
2．（2023秋·江苏连云港·八年级统考期中）下列长度的三根线段，能构成直角三角形的是（ ）
A．3cm，5cm，5cmB．4cm，8cm，5cm
C．5cm，13cm，12cmD．2cm，7cm，4cm
【答案】C
【分析】根据勾股定理的逆定理判断即可．
【详解】，不能构成直角三角形，故A错误；
，不能构成直角三角形，故B错误；
，能构成直角三角形，故C正确；
，不能构成直角三角形，故D错误；
故选：C．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用，三边满足的三角形是直角三角形，熟练掌握定理是解题的关键．
3．（2023春·海南省直辖县级单位·八年级校考期中）已知直角三角形一个锐角60°，斜边长为2，那么此直角三角形的周长是( )
A．B．3C．+2D．+3
【答案】D
【分析】根据直角三角形的性质及勾股定理即可解答．
【详解】如图所示，
Rt△ABC中,AB=2，
故
故此三角形的周长是+3.
故选:D.
【点睛】考查勾股定理，含30度角的直角三角形，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题的关键.
4．（2023秋·江苏泰州·八年级校考期中）如图，将一边长为a的正方形（最中间的小正方形）与四块边长为b的正方形（其中b＞a）拼接在一起，则四边形ABCD的面积为（ ）
A．b2+（b﹣a）2B．b2+a2C．（b+a）2D．a2+2ab
【答案】A
【详解】解：∵DE=b﹣a，AE=b，
∴S四边形ABCD=4S△ADE+a2=4××（b﹣a）•b+ a2=b2+（b﹣a）2，
故选：A．
5．（2023秋·江苏泰州·八年级校考期中）下面四组数，其中是勾股数的一组是（ ）
A．，，B．0.3，0.4，0.5C．3，4，5D．6，7，8
【答案】C
【分析】根据勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数，据此解答即可．
【详解】解：A、，故，，不是勾股数，本选项不符合题意；
B、0.3，0.4，0.5不是整数，故0.3，0.4，0.5不是勾股数，本选项不符合题意；
C、，故3，4，5勾股数，本选项符合题意；
D、，故6，7，8不是勾股数，本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题考查的知识点是勾股数，解答此题要深刻理解勾股数的定义，并能够熟练运用．
6．（2023秋·广东汕头·八年级汕头市翠英中学校考期中）将边长为3cm的正三角形各边三等分，以这6个分点为顶点构成一个正六边形，则这个正六边形的面积为（ ）
A． cm2B． cm2C． cm2D． cm2
【答案】A
【详解】解：三角形的高=，
三角形面积=cm2，
六边形的面积=cm2．
故选A．
7．（2023春·海南省直辖县级单位·八年级校考期中）给出下列命题：
①在直角三角形中，已知两边长3和4，则第三边长为5；
②三角形的三边满足，则；
③中，若，则是直角三角形；
④中若，则这个三角形是直角三角形；
其中，正确命题的个数为（ ）．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】根据勾股定理及逆定理，三角形内角和定理逐一判定即可.
【详解】①在直角三角形中，已知两边长3和4，则第三边长为或，故①错误；
②三角形的三边满足，则；故②错误.
③中，若
设
是直角三角形
故③正确.
④中，若，设
则，
∴是直角三角形，
故④正确.
所以，正确的命题有2个.
故选：B.
【点睛】本题主要考查了直角三角形的判定，熟练掌握勾股定理和其逆定理，以及三角形内角和定理是解题的关键.
二、填空题
8．（2023秋·浙江温州·八年级瑞安市安阳实验中学校考期中）如图，为中斜边上的一点，且，过作的垂线，交于，若，，则的长为________．
【答案】
【分析】连接，根据已知条件，先证明，再根据全等三角形的性质，求得的长度，进而勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，连接．
∵为中斜边上的一点，且，过作的垂线，交于，
∴，
∴在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴．
在中，，
∴
故答案为:．
【点睛】本题主要考查了直角三角形全等的判定（）以及全等三角形的性质，勾股定理，连接是解决本题的关键．
9．（2023秋·江苏南京·八年级统考期中）如图，在△ABC中，，，点D是BC上一点，，则CD的长为________．
【答案】
【分析】设，则：，利用勾股定理进行求解即可．
【详解】解：设，则：，
∵，
则：
∵，，
∴，
解得：；
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查勾股定理．熟练掌握勾股定理是解题的关键．
10．（2023秋·江苏南京·八年级统考期中）在中，，．则的面积为______．
【答案】60
【分析】画出图形，过点作于，利用等腰三角形的三线合一性质得到，再利用勾股定理求得即可求解．
【详解】解：如图，过点作于，则，
∵，，
∴，
∴在中，，
∴，
故答案为：60．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质、勾股定理、三角形的面积公式，熟练掌握等腰三角形的三线合一性质解答的关键．
11．（2023秋·江苏苏州·八年级期中）如图，在数轴上点A表示的实数是 _____．
【答案】##
【分析】根据勾股定理求出圆弧的半径，再根据点A的位置可得答案．
【详解】解：∵半径
∴点A表示的数为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了实数与数轴，勾股定理的应用，体现了数形结合的数学思想，解题时注意点A在数轴的正半轴上．
12．（2023秋·广东汕头·八年级汕头市翠英中学校考期中）如图，等边三角形ABC中，AE＝3CE＝3，点D是BC上的一个动点，连接AD，点F、G在AD上，且∠BFD＝∠DGE＝60°，当△AEG的面积最大时，FG＝________．
【答案】
【分析】过点E作EM⊥AD于M，根据含30°角的直角三角形的性质及勾股定理可得S△AGE，利用完全平方公式可得当AG=GE时，有最大值，可得△AGE的面积最大，利用含30°角的直角三角形的性质及勾股定理求出AD、AG、DF的长，即可得答案．
【详解】解：如图，过点E作EM⊥AD于M，
∵∠DGE=60°，
∴∠GEM=30°，
∴MG=GE，
∴ME=，
∴S△AGE=，
∵，
∴，
∴当AG=GE时，有最大值，
∴△AGE的面积最大，
如图，取AE的中点H，过点H作GH⊥AE于H，交AD于点G，连接GE，
∴GA＝GE，
∵∠DGE=60°，
∴∠GAE＝∠GEA＝30°，
∵∠BAC＝60°，
∴∠BAD＝∠CAG＝30°，
∵AB＝AC，
∴AD⊥BC，
∵EC＝1，AE＝3，
∴AC＝BC＝AB＝4，
∴BD＝CD＝2，
∴AD＝＝2，
∵∠EAG=30°，∠AHG=90°，
∴GH=AG
∴，
∵AH＝EH＝，
∴AG＝，（负值舍去）
∵∠BFD＝60°，∠BDF＝90°，
∴∠DBF=30°，
∴∠ABF=30°，DF=BF，
∴∠ABF=∠BAF，
∴BF=AF=2DF，
∴BD=，
∴FG＝AD-AG-DF＝2-﹣＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，30°角所对的直角边等于斜边的一半；熟练掌握等边三角形的性质，直角三角形的性质，是解题的关键．
13．（2023秋·江苏苏州·八年级期中）一个三角形两条边长为3和4，当第三条边长为 __时，此三角形为直角三角形．
【答案】或5
【分析】由题意，需分类讨论，再根据勾股定理的逆定理解决此题．
【详解】解：设第三条边长为x，此三角形为直角三角形，那么可能出现以下两种情况：
①边长为4的边为斜边，此时x＜4，则32+x2＝42，得；
②边长为4的边为直角边，此时边长为x的边为斜边，则32+42＝x2，得x＝5．
综上，或5．
故答案为：或5．
【点睛】本题主要考查勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理以及分类讨论的思想是解决本题的关键．
14．（2023秋·江苏南京·八年级统考期中）若一个直角三角形的两直角边长分别为6和8，则其斜边上的高为________．
【答案】
【分析】由勾股定理可求斜边长为，根据面积不变，得斜边上的高为，计算求解即可．
【详解】解：由勾股定理可求斜边长为，
根据面积不变，得斜边上的高为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理，等面积法求三角形的高，解题的关键在于正确的计算．
15．（2023春·广东深圳·八年级校考期中）如图，P是等边△ABC内一点，PA＝4，PB＝2，PC＝2，则ABC的边长为________．
【答案】2
【分析】作BH⊥PC于H，如图，把△ABP绕点B顺时针旋转60°得到△CBD，连接PD，可判断△PBD为等边三角形，利用勾股定理的逆定理可证明△PCD为直角三角形，∠CPD=90°，易得∠BPC=150°，利用平角等于有∠BPH=30°，在Rt△PBH中，根据含30度的直角三角形三边的关系可计算出BH和PH的长，在Rt△BCH中，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：作BH⊥PC于H，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴BA=BC，∠ABC=60°，
∴把△ABP绕点B顺时针旋转60°得到△CBD，连接PD，如图，
∴CD=AP=4，BD=BP=，∠PBD=60°，
∴△PBD为等边三角形，
∴PD=PB=，∠BPD=60°，
在△PDC中，∵PC=2，PD=，CD=4，
∴PC2+PD2=CD2，
∴△PCD为直角三角形，∠CPD=90°，
∴∠BPC=∠BPD+∠CPD=150°，
∴∠BPH=30°，
在Rt△PBH中，∵∠BPH=30°，PB=，
∴BH=PB=，PH=BH=3，
∴CH=PC+PH=2+3=5，
在Rt△BCH中，BC2=BH2+CH2= ()2+52=28，
∴BC=2，
∴ABC的边长为2．
【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的性质与勾股定理的逆定理．
16．（2023秋·江苏苏州·八年级期中）我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．
观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．
（1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数： ；
（2）若第一个数用字母n（n为奇数，且n≥3）表示，那么后两个数用含n的代数式分别表示为 和 ，请用所学知识说明它们是一组勾股数．
【答案】（1）11，60，61；（2）和
【详解】（1）∵112+602=612，∴11，60，61是一组勾股数；
故答案为11，60，61.
（2）∵3、4、5是一组勾股数组，，；
5、12、13是一组勾股数组，，；
7、24、25是一组勾股数组，，；
……
∴n，，是一组勾股数组.
∵ ,
,
.
∴n, ，是一组勾股数组.
点睛：本题考查了勾股定理的应用，数字类的探索与规律，由所给例子得到n，是一组勾股数组并能根据勾股定理进行验证是解题的关键.
17．（2023秋·江苏连云港·八年级统考期中）直角三角形有两条边长分别为 6 和 8，则第三条边的平方为_____．
【答案】100或28
【详解】解：①当6和8为直角边时，第三边长的平方=62+82=100；
②当8为斜边，6为直角边时，第三边长的平方=82-62=28；
故答案为：100或28．
18．（2023秋·江苏连云港·八年级统考期中）如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB=5，AD=3，则BC的长为____.
【答案】8
【分析】本题利用等腰三角形的性质三线合一和勾股定理即可解决.
【详解】 AD是∠BAC的平分线 ,
故答案为8.
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质定理及勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键.
19．（2023秋·江苏泰州·八年级校考期中）如图，，已知中，，的顶点A、B分别在边、上，当点B在边上运动时，A随之在上运动，的形状始终保持不变，在运动的过程中，点C到点O的距离为整数的点有______个．
【答案】6
【分析】取的中点D，连接；根据三角形的边角关系得到小于等于，只有当O、D及C共线时，取得最大值，最大值为；根据D为中点，得到为3，根据三线合一得到垂直于，在中，根据勾股定理求出的长，在中，为斜边上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得等于的一半，由的长求出的长，进而求出的取值范围．
【详解】解：如图，取的中点D，连接；
∵，
∵点D是边中点，
∴，
∴；
连接，，有，
当O、D、C共线时，有最大值，最大值是，
又∵为直角三角形，D为斜边的中点，
∴，
∴．
为整数
∴点C到点O的距离为整数的点有6个，
故答案为6．
【点睛】本题考查三角形的三边关系、勾股定理和直角三角形中线的性质，掌握这些定理和性质是解题的关键．
20．（2023秋·江苏南京·八年级统考期中）如图，在中，．以、为边的正方形的面积分别为、，若，，则的长为______．
【答案】3
【分析】根据勾股定理求出，则可得出答案．
【详解】解：在中，，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：3．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
21．（2023秋·浙江温州·八年级瑞安市安阳实验中学校考期中）等腰的斜边上有一点，连结，将沿着折叠，点落在边上，连结，则________．
【答案】
【分析】过点作于点，设，则，根据折叠的性质以及勾股定理求得，进而根据，即可求解．
【详解】解：如图，过点作于点，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵将沿着折叠，点落在边上，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，折叠的性质，掌握折叠的性质以及等腰三角形的性质是解题的关键．
22．（2023秋·浙江温州·八年级瑞安市安阳实验中学校考期中）如图，为中斜边上的一点，且，过作的垂线，交于，若，，则的长为________．
【答案】
【分析】连接，根据已知条件，先证明，再根据全等三角形的性质，求得的长度，进而勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，连接．
∵为中斜边上的一点，且，过作的垂线，交于，
∴，
∴在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴．
在中，，
∴
故答案为:．
【点睛】本题主要考查了直角三角形全等的判定（）以及全等三角形的性质，勾股定理，连接是解决本题的关键．
三、解答题
23．（2023秋·广东汕头·八年级汕头市翠英中学校考期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝120°，BC＞AC，点E在BC上，点D在AB上，CE＝CA，连接DE，∠ACB＋∠ADE＝180°，CH⊥AB，垂足为点H．求证：DE＋AD＝CH．
【答案】见解析
【分析】如图，作∠FCD＝∠ACB，交BA延长线于F，证明△AFC≌△EDC得到AF＝DE，FC＝CD，再由三线合一定理得到FH＝HD，∠FCH＝∠HCD＝60°，则DH＝CH，由此即可得到．
【详解】证明：如图，作∠FCD＝∠ACB，交BA延长线于F，
∵∠FCA＋∠ACD＝∠ACD＋∠DCB，
∴∠FCA＝∠DCB，
∵∠ACB＝120°，∠ACB＋∠ADE＝180°，∠EDB+∠ADE＝180°，
∴∠EDB＝∠ACB＝120°，∠EDA＝60°，
∵∠FAC＝120°＋∠B，∠CED＝120°＋∠B，
∴∠FAC＝∠CED，
在△AFC和△EDC中，
，
∴△AFC≌△EDC（ASA），
∴AF＝DE，FC＝CD，
∵CH⊥FD，
∴FH＝HD，∠FCH＝∠HCD＝60°，
∴DH＝CH，
∵AD＋DE＝AD＋AF＝FD＝2DH＝CH，
∴AD＋DE＝CH．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，含30度的直角三角形的性质，三角形外角的性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
24．（2023春·海南省直辖县级单位·八年级校考期中）一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，
(1)这个梯子的顶端距地面有多高？
(2)如果梯子的顶端下滑了4米到，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
【答案】(1)这个梯子的顶端距地面有24米
(2)梯子的底端在水平方向滑动了8米
【分析】（1）AC=25米，BC=7米，根据勾股定理即可求得的长；
（2）由题意得： =20米，根据勾股定理求得，根据即可求解．
【详解】（1）解：由题意得：AC=25米，BC=7米，∠ABC=90°，
（米）
答：这个梯子的顶端距地面有24米；
（2）由题意得： =20米，
（米）
则：=15-7=8（米），
答：梯子的底端在水平方向滑动了8米．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．
25．（2023秋·江苏苏州·八年级期中）长清的园博园广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校七年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作：①测得水平距离BD的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米．
(1)求风筝的垂直高度CE；
(2)如果小明想风筝沿CD方向下降12米，则他应该往回收线多少米？
【答案】(1)风筝的高度CE为21.6米；
(2)他应该往回收线8米．
【分析】（1）利用勾股定理求出CD的长，再加上DE的长度，即可求出CE的高度；
（2）根据勾股定理即可得到结论．
【详解】（1）解：在Rt△CDB中，
由勾股定理得，CD2=BC2-BD2=252-152=400，
所以，CD=20（负值舍去），
所以，CE=CD+DE=20+1.6=21.6（米），
答：风筝的高度CE为21.6米；
（2）解：由题意得，CM=12米，
∴DM=8米，
∴BM= （米），
∴BC-BM=25-17=8（米），
∴他应该往回收线8米．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键．
26．（2023春·海南省直辖县级单位·八年级校考期中）如图，在四边形中，，，，．求的度数．
【答案】135°
【分析】连接AC，首先判断出△ABC的形状，然后根据勾股定理求出AC的长度，再用勾股定理的逆定理判断出△DAC的形状，最后即可求出∠BAD的度数．
【详解】连接，
∵，，
∴△ABC为等腰直角三角形，，
在中，由勾股定理得：
，
∴，
∵，，
∴在中，，
∴是直角三角形，，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形相关知识，勾股定理和勾股定理的逆定理，正确使用勾股定理和勾股定理的逆定理是解决本题的关键．
27．（2023秋·江苏泰州·八年级校考期中）如图1，长方形中，，，E为边上一点，，动点P从点B出发，沿以1个单位/s作匀速运动，设运动时间为t．
(1)当t为_________s时，与全等；
(2)如图2，为的高，当点Р在边上运动时，的最小值是_________；
(3)当点P在的垂直平分线上时，求出的值．
【答案】(1)3
(2)3
(3)t的值为或．
【分析】（1）只有当点P在上运动时存在的情况，此时，根据列方程求出t的值即可；
（2）当点P在边上运动，的面积为定值，可以说明当点P与点C重合时的值最小，根据面积等式列方程求出此时的值即可；
（3）设的垂直平分线为直线，分两种情况，一是点P在边上，且在直线上，作于点G，在中根据勾股定理列方程求出t的值；二是点P在边上在中根据勾股定理列方程求出t的值．
【详解】（1）解：如图，∵四边形是长方形，
∴，
当点P在边上，且时，，
∵，
∴；
当点P在边上，若点P与点C重合，满足，
此时，
∴与不全等，
若点P与点D重合，满足，
此时，
∴与不全等，
综上所述，当时，；
故答案为：3；
（2）解：∵，，，
∴，
当点P在边上运动，，
∵为的高，
∴，
∴AP•EF=40，
∴随的增大而减小，
∴，
∴随的增大而增大，
当点P与点C重合时最大，此时也最大，而则最小，
如图，点P与点C重合，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴的最小值为3，
故答案为：3；
（3）解：设的垂直平分线为直线，
如图，点P在边上，且在直线上，连接，则，
作于点G，则，
∵，，
∴，
同理，
，
∵，
∴，
解得；
如图，点P在边上，且在直线上，连接，则，，
∵，
∴，
解得，
综上所述，t的值为或．
【点睛】此题重点考查全等三角形的判定、勾股定理、根据面积等式列方程求值、动点问题的求解等知识与方法，此题难度较大，属于考试压轴题．
28．（2023秋·江苏连云港·八年级统考期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点D作DE⊥AB于点E．
（1）求证：△AED≌△ACD；
（2）当AC＝6，BC＝8，求CD的长．
【答案】（1）见解析；（2）3
【分析】（1）根据AD平分∠BAC得 ∠BAD＝∠CAD ，根据DE⊥AB得∠AED＝90°，用AAS即可得证明△AED≌△ACD；
（2）设CD＝x，由（1）可知△AED≌△ACD ，则AC＝AE＝6，CD＝DE＝x，BD＝BC－CD＝8－x，根据勾股定理得AB=10，则BE=4，根据勾股定理得42＋x2 ＝ （8－x）2 ，即可得．
【详解】（1）∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵DE⊥AB，
∴∠AED＝90°，
∵在△AED与△ACD中，
∴△AED≌△ACD（AAS）
（2）设CD＝x，
由（1）可知△AED≌△ACD ，
∴AC＝AE＝6，CD＝DE＝x，BD＝BC－CD＝8－x，
∵在△ABC中，∠C＝90°，
∴AB2＝AC2＋BC2＝62＋82＝100，
即AB=10或AB=-10（舍），
∴BE＝AB－AE＝10－6＝4 ，
∵在△BED中，∠BED＝90°，根据勾股定理，
BE2＋ED2=BD2 ，
即42＋x2 =（8－x）2 ，
解得x＝3，
即CD=3．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，勾股定理，解题的关键是掌握这些知识点．
29．（2023秋·江苏苏州·八年级期中）利用网格作图．要求：只能用无刻度的直尺，保留作图痕迹．
（1）在图①中找一点P，使点P到AB和AC的距离相等且PB＝PC；
（2）在图②中，△ABC的顶点均在正方形网格格点上，作出△ABC的角平分线BD.
【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析
【分析】（1）利用网格图的性质，作的角平分线，再确定的中点 利用网格图的性质取格点 作射线与的角平分线的交点即为所求作的点；
（2）取格点 使 由勾股定理可得 连接 确定的中点 连接 交于 从而可得答案.
【详解】解：（1）如图，点即为所求作的点，
（2）如图，线段即为所求作的的角平分线，
【点睛】本题考查的是角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理的应用，掌握利用以上图形的性质作图是解题的关键.
30．（2023春·广东深圳·八年级校考期中）已知：如图，在△ADC中，AD＝CD，且AB∥DC，CB⊥AB于B，CE⊥AD交AD的延长线于E，连接BE．
（1）求证：CE＝CB；
（2）若∠CAE＝30°，CE＝2，求BE的长度．
【答案】（1）见解析；（2）BE＝2．
【分析】（1）利用等腰三角形的性质和平行线的性质得到AC是△EAB的角平分线，根据角平分线的性质即可得到CE=CB；
（2）通过倒角证明△AEB是等边三角形，所以BE=AB,在Rt△ABC中，根据30°所对的直角边是斜边的一半求得AC，再根据勾股定理求出AB，即得出BE的长．
【详解】（1）证明：∵AD＝CD，
∴∠DAC＝∠DCA，
∵AB∥CD，
∴∠DCA＝∠CAB，
∴∠DAC＝∠CAB，
∴AC是∠EAB的角平分线，
又∵CE⊥AD，CB⊥AB，
∴CE＝CB．
（2）∵AC是∠EAB的角平分线，
∴∠EAB＝2∠CAE＝60°，
∵∠DCA＝∠DAC＝30°，
∴∠EDC＝∠DCA+∠DAC＝60°，
∵CE⊥AD，
∴∠CED＝90°，
∴∠ECD＝30°，
∵CB⊥AB，
∴∠CBA＝90°，
∵AB∥CD，
∴∠CBA+∠DCB＝180°，
∴∠DCB＝90°，
∴∠ECB＝∠ECD+∠DCB＝120°，
∵CE＝CB＝2，
∴∠CBE＝∠CEB＝（180°﹣∠ECB）＝30°，
∴∠EBA＝60°，
∴∠AEB＝∠EAB＝∠ABE＝60°，
∴△AEB是等边三角形，
∴BE＝AB；
在Rt△ABC中，
∵BC⊥AB，∠CAB＝30°，
∴AC＝2BC＝4，
∴AB＝，
∴BE＝2．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，含30°角的直角三角形，勾股定理，等边三角形的判定与性质，其中，判定△AEB是等边三角形是解题的关键．
31．（2023秋·江苏泰州·八年级校考期中）的三边长分别是a、b、c，且，，，是直角三角形吗？证明你的结论．
【答案】是直角三角形，证明见解析
【分析】判断一组数能否成为直角三角形的三边，就是看是否满足两较小边的平方和等于最大边的平方即可．
【详解】解：是直角三角形．证明如下：
∵

∴是直角三角形．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
专题02勾股定理
一．勾股定理（共4小题） 二．勾股定理的证明（共4小题）
三．勾股定理的逆定理（共7小题） 四．勾股数（共3小题）
五．勾股定理的应用（共7小题）
知识点一、直角三角形直角边与斜边之间的大小关系
定理：在直角三角形中，斜边大于直角边.
知识点二、勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么.
要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.
（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.
（3）理解勾股定理的一些变式：
，， .
知识点三、勾股定理的证明
方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.
图（1）中，所以.

方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.
图（2）中，所以.

方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.

，所以.
知识点四、勾股定理的作用
已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；
用于解决带有平方关系的证明问题；
3. 利用勾股定理，作出长为的线段.
知识点五、勾股定理的逆定理
如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.
要点诠释：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.
（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.
知识点六、如何判定一个三角形是否是直角三角形
首先确定最大边（如）.
验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C=90°的直角三角形；若
，则△ABC不是直角三角形.
要点诠释：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边.
知识点七、勾股数
满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形.
熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：
3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……
如果()是勾股数，当为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.
要点诠释：（1）（是自然数）是直角三角形的三条边长；
（2）（是自然数）是直角三角形的三条边长；
（3） （是自然数）是直角三角形的三条边长；
一．勾股定理（共4小题）
1．（2022春•乾安县期中）直角三角形的两边长分别为6和10，那么它的第三边的长度为（ ）
A．8B．10C．8或2D．10或2
【分析】利用勾股定理计算即可，注意分类讨论．
【解答】解：当10为斜边时，第三边为＝8，
当第三边为斜边时，第三边为＝＝，
∴第三边为8或．
故选：C．
【点评】本题主要考查勾股定理，解题关键是注意到要分类讨论．
2．（2021春•沂水县期中）已知O为数轴原点，如图，（1）在数轴上截取线段OA＝2；（2）过点A作直线l垂直于OA；（3）在直线l上截取线段AB＝3；（4）以O为圆心，OB的长为半径作弧，交数轴分别于点C，D．根据以上作图过程及所作图形，有如下四个结论：①OC＝5；②OB＝；③点C对应的数是﹣2；④5＜AD＜6．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．②④
【分析】由勾股定理求得OB，进而得OC，AD，再判断结论的正误．
【解答】解：根据题意得，OA＝2，AB＝3，∠OAB＝90°，
∴OB＝＝，
故②正确；
∵OC＝OB，
∴OC＝，
∴点C对应的数是，故③错误，①错误；
∵OD＝OC＝，
∴AD＝2+，
∴5＜AD＜6，故④正确；
故选：D．
【点评】本题主要考查了勾股定理，数轴与实数的对应关系，关键是由勾股定理求得OB．
3．（2021秋•茂名期中）如图，OP＝1，过点P作PP1⊥OP且PP1＝1，得OP1＝；再过点P，作P1P2⊥OP1，且P1P2＝1，得OP2＝；又过点P2作P2P3⊥OP2且P2P3＝1，得OP3＝2…依此法继续作下去，得OP2021＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据勾股定理分别求出每个直角三角形斜边长，根据结果得出规律，即可得出答案．
【解答】解：由勾股定理得：
OP1＝＝＝，得
OP2＝＝＝，得
OP3＝＝＝2，
依此类推可得：
OPn＝＝＝，
OP2021＝＝，
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，注意：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，解此题的关键是能根据求出的结果得出规律．
4．（2022春•静海区校级期中）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，若AB＝17，BD＝15，DC＝6，则AC的长为（ ）
A．11B．10C．9D．8
【分析】在△ABC中，AD⊥BC于点D，得出△ABD和△ADC是直角三角形；已知AB＝17，BD＝15，由勾股定理得到AD的长度，再结合DC＝6，利用勾股定理得到AC的长度．
【解答】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝∠ADB＝90°．
∵AB＝17，BD＝15，
∴AD＝＝8．
∵DC＝6，AD＝8，
∴AC＝＝10．
故选：B．
【点评】本题侧重考查知识点的理解、应用能力．本题是一道求三角形边的题目，需结合直角三角形的勾股定理进行求解．
二．勾股定理的证明（共4小题）
5．（2022春•延津县期中）如图所示的是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝5，BE＝13，则EF2的值是（ ）
A．128B．64C．32D．144
【分析】根据题意和题目中的数据，可以计算大正方形的边长，然后即可计算出小正方形的面积，再根据图形可知EF2的值等于小正方形的面积的2倍，本题得以解决．
【解答】解：∵AE＝5，BE＝13，
∴AB＝＝＝，
∴小正方形的面积为：（）2﹣×4＝194﹣130＝64，
由图可得，EF2的值等于小正方形的面积的2倍，
∴EF2的值是64×2＝128，
故选：A．
【点评】本题考查勾股定理的证明，解答本题的关键是明确EF2的值等于小正方形的面积的2倍．
6．（2022春•长葛市期中）若a，b为直角三角形的两直角边，c为斜边，下列选项中不能用来证明勾股定理的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据图形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：选项A不能用来证明勾股定理，故符合题意；
选项B，正方形的面积＝4×ab+（b﹣a）2＝+2ab+a2+b2﹣2ab＝a2+b2＝c2，不符合题意；
选项C，正方形的面积＝（a+b）2＝4×ab+c2，
化简得，a2+b2＝c2，不符合题意；
选项D，梯形的面积＝（a+b）（a+b）＝2×ab+c2，
化简得，a2+b2＝c2，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理的证明，熟练掌握正方形和三角形的面积公式即可得到结论．
7．（2022春•雄县期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若ab＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（ ）
A．9B．6C．4D．3
【分析】分析题意，首先根据已知条件易得，中间小正方形的边长为：a﹣b；接下来根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长．
【解答】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，
∵每一个直角三角形的面积为：ab＝×8＝4，
从图形中可得，大正方形的面积是4个直角三角形的面积与中间小正方形的面积之和，
∴4×ab+（a﹣b）2＝25，
∴（a﹣b）2＝25﹣16＝9，
∴a﹣b＝3．
故选：D．
【点评】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式．
8．（2021春•洛阳期中）如图，在△ABD中，AC⊥BD于C，点E为AC上一点，连接BE、DE，DE的延长线交AB于F，已知DE＝AB，∠CAD＝45°．
（1）求证：DF⊥AB；
（2）利用图中阴影部分面积完成勾股定理的证明，已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，求证：a2+b2＝c2．
【分析】（1）利用“8字型”证明∠AFE＝∠ECD＝90°即可．
（2）利用S△BCE+S△ACD＝S△ABD﹣S△ABE，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵AC⊥BD，∠CAD＝45°，
∴AC＝DC，∠ACB＝∠DCE＝90°，
在Rt△ABC与Rt△DEC中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DEC（HL），
∴∠BAC＝∠EDC，
∵∠EDC+∠CED＝90°，∠CED＝∠AEF，
∴∠AEF+∠BAC＝90°，
∴∠AFE＝90°，
∴DF⊥AB．
（2）∵S△BCE+S△ACD＝S△ABD﹣S△ABE，
∴a2+b2＝•c•DF﹣•c•EF＝•c•（DF﹣EF）＝•c•DE＝c2，
∴a2+b2＝c2．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、勾股定理的证明等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，学会利用面积法证明勾股定理，属于中考常考题型．
三．勾股定理的逆定理（共7小题）
9．（2022春•仁化县期中）如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13，点D是Rt△ABC外一点，连接DC，DB，且CD＝4，BD＝3．
（1）求BC的长；
（2）求证：△BCD是直角三角形．
【分析】（1）在Rt△ABC中，根据勾股定理即可求得BC的长；
（2）利用勾股定理逆定理即可证明△BCD是直角三角形．
【解答】（1）解：∵Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13，
∴BC＝＝＝5；
（2）证明：∵在△BCD中，CD＝4，BD＝3，BC＝5，
∴CD2+BD2＝42+32＝52＝BC2，
∴△BCD是直角三角形．
【点评】本题考查了勾股定理及其逆定理．勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．掌握定理是解题的关键．
10．（2022春•茂南区期中）已知△ABC的三边为a，b，c，下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．a＝3，b＝2，B．a＝40，b＝50，c＝60
C．，b＝1，D．，b＝4，c＝5
【分析】根据勾股定理的逆定理可以判断各个选项中的三条线段能否构成直角三角形，从而可以解答本题．
【解答】解：∵22+（）2＝32，故选项A中的三条线段能构成直角三角形，故选项A不符合题意；
∵402+502≠602，故选项B中的三条线段不能构成直角三角形，故选项B符合题意；
∵（）2+12＝（）2，故选项C中的三条线段能构成直角三角形，故选项C不符合题意；
∵42+52＝（）2，故选项D中的三条线段能构成直角三角形，故选项D符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理，解答本题的关键是会用勾股定理的逆定理判断三角形的形状．
11．（2022春•长沙期中）下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠A＝∠B+∠CB．a：b：c＝5：12：13
C．a2＝（b+c）（b﹣c）D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
【分析】根据三角形内角和定理可分析出A、D的正误；根据勾股定理逆定理可分析出B、C的正误．
【解答】解：A、∵∠A＝∠B+∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝90°，
∴△ABC为直角三角形，故此选项不合题意；
B、∵52+122＝132，
∴能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
C、∵a2＝（b+c）（b﹣c），即a2＝b2﹣c2，
∴b2＝a2+c2，
∴能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
D、设∠A＝3x°，∠B＝4x°，∠C＝5x°，
3x+4x+5x＝180，
解得：x＝15，
则5x°＝75°，
△ABC不是直角三角形，故此选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
12．（2022春•交城县期中）如图，在正方形网格中，点A，B，C，D，E是格点，则∠ABD+∠CBE的度数为 45° ．
【分析】如图，作∠EBF＝∠ABD，连接CF，根据勾股定理和勾股定理的逆定理可得△BCF是等腰直角三角形，可得∠CBF＝45°，可得∠ABD+∠CBE的度数．
【解答】解：如图，作∠EBF＝∠ABD，连接CF，
∵BC＝CF＝＝，
BF＝＝，
（）2+（）2＝（）2，
∴△BCF是等腰直角三角形，
∴∠CBF＝45°，
∴∠ABD+∠CBE＝45°．
故答案为：45°．
【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，求得△BCF是等腰直角三角形是解题的关键．
13．（2022春•黄石期中）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝3，CD＝，DA＝5，∠B＝90°，则∠BCD的度数 135° ．
【分析】在等腰Rt△ABC中，利用勾股定理求出AC，再利用勾股定理的逆定理证明△ACD是直角三角形，然后进行计算即可解答．
【解答】解：∵AB＝BC＝3，∠B＝90°，
∴∠ACB＝∠BAC＝45°，
∴AC＝＝＝3，
∵CD＝，DA＝5，
∴AC2+CD2＝（3）2+（）2＝25，AD2＝52＝25，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴∠ACD＝90°，
∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝135°，
故答案为：135°．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
14．（2022春•韩城市期中）如图，网格中每个小正方形的边长都是1，点A、B、C、D都在格点上．
（1）线段AB的长度是 ，线段CD的长度是 2 ．
（2）若EF的长为，那么以AB、CD、EF三条线段为边能否构成直角三角形，并说明理由．
【分析】（1）根据勾股定理，可以求得AB和CD的长；
（2）根据勾股定理的逆定理可以判断以AB、CD、EF三条线段为边能否构成直角三角形．
【解答】解：（1）由图可得，
AB＝＝，CD＝＝2，
故答案为：，2；
（2）以AB、CD、EF三条线段为边能构成直角三角形，
理由：∵AB＝，CD＝2，EF＝，
∴CD2+EF2＝（2）2+（）2＝8+5＝13＝AB2，
∴以AB、CD、EF三条线段为边能构成直角三角形．
【点评】本题考查勾股定理、勾股定理的逆定理，解答本题的关键是会用勾股定理的逆定理判断三角形的形状．
15．（2022春•越秀区期中）如图，一块铁皮（图中阴影部分），测得AB＝6，BC＝8，CD＝24，AD＝26，∠B＝90°．求阴影部分的面积．
【分析】先根据勾股定理求出AC的长，再由勾股定理的逆定理判断出△ACD是直角三角形，进而可得出结论．
【解答】解：如图，连接AC．
在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，
∴AC＝＝10．
∵CD＝24，AD＝26，AC＝10，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴S阴影＝S△ACD﹣S△ABC＝×10×24﹣×6×8＝120﹣24＝96．
故阴影部分的面积是96．
【点评】本题考查的是勾股定理及勾股定理的逆定理，三角形的面积等知识，先根据题意判断出△ACD是直角三角形是解答此题的关键．
四．勾股数（共3小题）
16．（2022春•凤山县期中）像15，8，17这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数．古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a＝2m，b＝m2﹣1，c＝m2+1，那么a，b，c为勾股数．你认为对吗？请说明理由．
【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
【解答】解：a，b，c为勾股数，理由如下：
∵a2+b2
＝（2m）2+（m2﹣1）2
＝m4+2m2+1．
又c2＝（m2+1）2＝m4+2m2+1，
∴a2+b2＝c2．
即：a，b，c能够成为直角三角形三条边长的三个正整数．
∴a，b，c为勾股数．
【点评】本题考查了勾股数．解答此题要用到勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2＝c2，则△ABC是直角三角形．
17．（2022春•三江县期中）下列四组数中不是勾股数的是（ ）
A．3，4，5B．5，12，13C．1，2，3D．8，15，17
【分析】求是否为勾股数，这里给出三个数，利用勾股定理，只要验证两小数的平方和等于最大数的平方即可．
【解答】解：A、32+42＝52，是勾股数，不符合题意；
B、52+122＝132，是勾股数的，不符合题意；
C、12+22≠32，不是勾股数的，符合题意；
D、82+152＝172，是勾股数的，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查的是勾股数，理解勾股数的定义是解题的关键．
18．（2022春•丰都县期中）我们知道，如果直角三角形的三边的长都是正整数，这样的三个正整数就叫做一组勾股数．如果一个正整数m能表示为两个正整数a，b的平方和，即m＝a2+b2，那么称m为广义勾股数，则下面的结论：
①7是广义勾股数；
②13是广义勾股数；
③两个广义勾股数的和是广义勾股数；
④两个广义勾股数的积是广义勾股数；
则正确的是（ ）
A．①③B．①④C．②③D．②④
【分析】根据广义勾股数的定义进行判断即可．
【解答】解：①∵7不能表示为两个正整数的平方和，
∴7不是广义勾股数，故①结论错误；
②∵13＝22+32，
∴13是广义勾股数，故②结论正确；
③两个广义勾股数的和不一定是广义勾股数，如5和10是广义勾股数，但是它们的和不是广义勾股数，故③结论错误；
④设m1＝a2+b2，m2＝c2+d2，
则m1m2＝（a2+b2）（c2+d2）
＝a2c2+a2d2+b2c2+b2d2
＝（a2c2+b2d2+2abcd）+（a2d2+b2c2﹣2abcd）
＝（ac+bd）2+（ad﹣bc）2，
故两个广义勾股数的积是广义勾股数，故④结论正确；
正确的有②④，
故选：D．
【点评】本题考查了勾股数的综合应用，掌握勾股定理以及常见的勾股数是解题的关键．
五．勾股定理的应用（共7小题）
19．（2022春•仙居县期中）在《九章算术》中有一个问题（如图）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？它的意思是：一根竹子原高一丈（10尺），中部一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面 4.55 尺．
【分析】根据题意结合勾股定理得出折断处离地面的长度即可．
【解答】解：设折断处离地面x尺，根据题意可得：
x2+32＝（10﹣x）2，
解得：x＝4.55，
答：折断处离地面4.55尺．
故答案为：4.55．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，根据题意正确应用勾股定理是解题关键．
20．（2022春•江城区期中）湖的两岸有A，B两棵景观树，数学兴趣小组设计实验测量两棵景观树之间的距离，他们在与AB垂直的BC方向上取点C，测得BC＝30米，AC＝50米．
求：（1）两棵景观树之间的距离；
（2）点B到直线AC的距离．
【分析】（1）根据勾股定理计算即可；
（2）根据面积相等即可求出点B到直线AC的距离．
【解答】解：（1）在Rt△ABC，AB＝＝40（米），
∴两棵景观树之间的距离为40米；
（2）过点B作BD⊥AC于点D，
∵S△ABC＝，
∴，
∴BD＝24（米），
∴点B到直线AC的距离为24米．
【点评】本题考查勾股定理的实际应用，解题关键是熟练应用勾股定理．
21．（2022春•渝北区期中）东营市某中学在校园一角开辟了一块四边形的“试验田”，把课堂的“死教材”转换为生动的“活景观”，学生们在课堂上学习理论之余，还可以到“试验田”实际操练，对生物的发展规律有了更为直观的认识．如图，四边形ABCD是规划好的“试验田”，经过测量得知：∠B＝90°，AB＝24m，BC＝7m，CD＝15m，AD＝20m．求四边形ABCD的面积．
【分析】连接AC，利用勾股定理判断△ADC为直角三角形，利用分割法，分为△ABC和△ADC，求四边形面积，
【解答】解：连接AC，如图，
在Rt△ABC中，AB＝24m，BC＝7m，
∴AC＝＝25（m），
在△ADC中，CD＝15m，AD＝20m．AC＝25m，
∵CD2+AD2＝152+202＝252＝AC2，
∴△ADC为直角三角形，∠D＝90°．
∴S△ADC＝×AD×DC＝×20×15＝150（m2），
∵S△ABC＝×AB×BC＝×24×7＝84（m2），
∴S四边形ABCD＝S△ADC+S△ABC＝150+84＝234（m2），
答：四边形ABCD的面积234m2．
【点评】本题主要考查利用勾股定理的实际应用，解题的关键是构造直角三角形或者能够根据是否满足勾股定理判断三角形是否为直角三角形．
22．（2022春•平邑县期中）某会展中心在会展期间准备将高5m、长13m、宽2m的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米20元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要 680 元．
【分析】地毯的长是楼梯的竖直部分与水平部分的和，即AB与BC的和，在直角△ABC中，根据勾股定理即可求得AB的长，地毯的长与宽的积就是面积，再乘地毯每平方米的单价即可求解．
【解答】解：由勾股定理得AB＝＝＝12（m），
则地毯总长为12+5＝17（m），
则地毯的总面积为17×2＝34（平方米），
所以铺完这个楼道至少需要34×20＝680（元）．
故答案为：680．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，正确理解地毯的长度的计算是解题的关键．
23．（2022秋•淮安区期中）森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源．如图，有一台救火飞机沿东西方向AB，由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为600m和800m，又AB＝1000m，飞机中心周围500m以内可以受到洒水影响．
（1）着火点C受洒水影响吗？为什么？
（2）若飞机的速度为10m/s，要想扑灭着火点C估计需要13秒，请你通过计算判断着火点C能否被扑灭？
【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而利用三角形面积得出CD的长，进而得出海港C是否受台风影响；
（2）利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出飞机影响C持续的时间，即可做出判断．
【解答】解：（1）着火点C受洒水影响．
理由：如图，过点C作CD⊥AB于D，
由题意知AC＝600m，BC＝800m，AB＝1000m，
∵AC2+BC2＝6002+8002＝10002，AB2＝10002，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴S△ABC＝AC•BC＝CD•AB，
∴600×800＝1000CD，
∴CD＝480，
∵飞机中心周围500m以内可以受到洒水影响，
∴着火点C受洒水影响；
（2）当EC＝FC＝500m时，飞机正好喷到着火点C，
在Rt△CDE中，ED＝＝＝140（m），
∴EF＝280m，
∵飞机的速度为10m/s，
∴280÷10＝28（秒），
∵28秒＞13秒，
∴着火点C能被扑灭，
答：着火点C能被扑灭．
【点评】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答．
24．（2022春•确山县期中）如图是高空秋千的示意图，小明从起始位置点A处绕着点O经过最低点B．最终荡到最高点C处，若∠AOC＝90°，点A与点B的高度差AD＝1米，水平距离BD＝4米，则点C与点B的高度差CE为（ ）米．
A．4B．4.5C．5D．5.5
【分析】作AF⊥BO于F，CG⊥BO于G，根据AAS可证△AOF≌△OCG，根据全等三角形的性质可得OG＝4米，在Rt△AFO中，根据勾股定理可求AO，可求OB，再根据线段的和差关系和等量关系可求点C与点B的高度差CE．
【解答】解：作AF⊥BO于F，CG⊥BO于G，
∵∠AOC＝∠AOF+∠COG＝90°，
∠AOF+∠OAF＝90°，
∴∠COG＝∠OAF，
在△AOF与△OCG中，
，
∴△AOF≌△OCG（AAS），
∴OG＝AF＝BD＝4米，
设AO＝x米，
在Rt△AFO中，AF2+OF2＝AO2，即42+（x﹣1）2＝x2，
解得x＝8.5．
则CE＝GB＝OB﹣OG＝8.5﹣4＝4.5（米）．
故选：B．
【点评】考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
25．（2022春•溆浦县期中）一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，
（1）这个梯子的顶端距地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
【分析】（1）利用勾股定理可以得出梯子的顶端距离地面的高度．
（2）由（1）可以得出梯子的初始高度，下滑4米后，可得出梯子的顶端距离地面的高度，再次使用勾股定理，已知梯子的底端距离墙的距离为7米，可以得出，梯子底端水平方向上滑行的距离．
【解答】解：（1）根据勾股定理：
梯子距离地面的高度为：＝24米；
（2）梯子下滑了4米，
即梯子距离地面的高度为A'B＝AB﹣AA′＝24﹣4＝20，
根据勾股定理得：25＝，
解得CC′＝8．
即梯子的底端在水平方向滑动了8米．
【点评】本题考查的是对勾股定理在解直角三角形中的应用，要求熟练掌握．
一、单选题
1．（2023春·广东深圳·八年级校考期中）如图，在中，．分别以B、C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于E、F两点，连接直线，分别交于点M、N，连接，则的面积为（ ）
A．12B．6C．7.5D．15
【答案】B
【分析】利用基本作图得到垂直平分，则根据线段垂直平分线的性质得到，，，再证明，得到，然后利用勾股定理计算出，从而得到的面积．
【详解】解：由作法得垂直平分，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴的面积．
故选：B．
【点睛】本题考查了作图-基本作图，线段垂直平分线的性质，熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．
2．（2023秋·江苏连云港·八年级统考期中）下列长度的三根线段，能构成直角三角形的是（ ）
A．3cm，5cm，5cmB．4cm，8cm，5cm
C．5cm，13cm，12cmD．2cm，7cm，4cm
【答案】C
【分析】根据勾股定理的逆定理判断即可．
【详解】，不能构成直角三角形，故A错误；
，不能构成直角三角形，故B错误；
，能构成直角三角形，故C正确；
，不能构成直角三角形，故D错误；
故选：C．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用，三边满足的三角形是直角三角形，熟练掌握定理是解题的关键．
3．（2023春·海南省直辖县级单位·八年级校考期中）已知直角三角形一个锐角60°，斜边长为2，那么此直角三角形的周长是( )
A．B．3C．+2D．+3
【答案】D
【分析】根据直角三角形的性质及勾股定理即可解答．
【详解】如图所示，
Rt△ABC中,AB=2，
故
故此三角形的周长是+3.
故选:D.
【点睛】考查勾股定理，含30度角的直角三角形，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题的关键.
4．（2023秋·江苏泰州·八年级校考期中）如图，将一边长为a的正方形（最中间的小正方形）与四块边长为b的正方形（其中b＞a）拼接在一起，则四边形ABCD的面积为（ ）
A．b2+（b﹣a）2B．b2+a2C．（b+a）2D．a2+2ab
【答案】A
【详解】解：∵DE=b﹣a，AE=b，
∴S四边形ABCD=4S△ADE+a2=4××（b﹣a）•b+ a2=b2+（b﹣a）2，
故选：A．
5．（2023秋·江苏泰州·八年级校考期中）下面四组数，其中是勾股数的一组是（ ）
A．，，B．0.3，0.4，0.5C．3，4，5D．6，7，8
【答案】C
【分析】根据勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数，据此解答即可．
【详解】解：A、，故，，不是勾股数，本选项不符合题意；
B、0.3，0.4，0.5不是整数，故0.3，0.4，0.5不是勾股数，本选项不符合题意；
C、，故3，4，5勾股数，本选项符合题意；
D、，故6，7，8不是勾股数，本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题考查的知识点是勾股数，解答此题要深刻理解勾股数的定义，并能够熟练运用．
6．（2023秋·广东汕头·八年级汕头市翠英中学校考期中）将边长为3cm的正三角形各边三等分，以这6个分点为顶点构成一个正六边形，则这个正六边形的面积为（ ）
A． cm2B． cm2C． cm2D． cm2
【答案】A
【详解】解：三角形的高=，
三角形面积=cm2，
六边形的面积=cm2．
故选A．
7．（2023春·海南省直辖县级单位·八年级校考期中）给出下列命题：
①在直角三角形中，已知两边长3和4，则第三边长为5；
②三角形的三边满足，则；
③中，若，则是直角三角形；
④中若，则这个三角形是直角三角形；
其中，正确命题的个数为（ ）．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】根据勾股定理及逆定理，三角形内角和定理逐一判定即可.
【详解】①在直角三角形中，已知两边长3和4，则第三边长为或，故①错误；
②三角形的三边满足，则；故②错误.
③中，若
设
是直角三角形
故③正确.
④中，若，设
则，
∴是直角三角形，
故④正确.
所以，正确的命题有2个.
故选：B.
【点睛】本题主要考查了直角三角形的判定，熟练掌握勾股定理和其逆定理，以及三角形内角和定理是解题的关键.
二、填空题
8．（2023秋·浙江温州·八年级瑞安市安阳实验中学校考期中）如图，为中斜边上的一点，且，过作的垂线，交于，若，，则的长为________．
【答案】
【分析】连接，根据已知条件，先证明，再根据全等三角形的性质，求得的长度，进而勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，连接．
∵为中斜边上的一点，且，过作的垂线，交于，
∴，
∴在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴．
在中，，
∴
故答案为:．
【点睛】本题主要考查了直角三角形全等的判定（）以及全等三角形的性质，勾股定理，连接是解决本题的关键．
9．（2023秋·江苏南京·八年级统考期中）如图，在△ABC中，，，点D是BC上一点，，则CD的长为________．
【答案】
【分析】设，则：，利用勾股定理进行求解即可．
【详解】解：设，则：，
∵，
则：
∵，，
∴，
解得：；
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查勾股定理．熟练掌握勾股定理是解题的关键．
10．（2023秋·江苏南京·八年级统考期中）在中，，．则的面积为______．
【答案】60
【分析】画出图形，过点作于，利用等腰三角形的三线合一性质得到，再利用勾股定理求得即可求解．
【详解】解：如图，过点作于，则，
∵，，
∴，
∴在中，，
∴，
故答案为：60．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质、勾股定理、三角形的面积公式，熟练掌握等腰三角形的三线合一性质解答的关键．
11．（2023秋·江苏苏州·八年级期中）如图，在数轴上点A表示的实数是 _____．
【答案】##
【分析】根据勾股定理求出圆弧的半径，再根据点A的位置可得答案．
【详解】解：∵半径
∴点A表示的数为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了实数与数轴，勾股定理的应用，体现了数形结合的数学思想，解题时注意点A在数轴的正半轴上．
12．（2023秋·广东汕头·八年级汕头市翠英中学校考期中）如图，等边三角形ABC中，AE＝3CE＝3，点D是BC上的一个动点，连接AD，点F、G在AD上，且∠BFD＝∠DGE＝60°，当△AEG的面积最大时，FG＝________．
【答案】
【分析】过点E作EM⊥AD于M，根据含30°角的直角三角形的性质及勾股定理可得S△AGE，利用完全平方公式可得当AG=GE时，有最大值，可得△AGE的面积最大，利用含30°角的直角三角形的性质及勾股定理求出AD、AG、DF的长，即可得答案．
【详解】解：如图，过点E作EM⊥AD于M，
∵∠DGE=60°，
∴∠GEM=30°，
∴MG=GE，
∴ME=，
∴S△AGE=，
∵，
∴，
∴当AG=GE时，有最大值，
∴△AGE的面积最大，
如图，取AE的中点H，过点H作GH⊥AE于H，交AD于点G，连接GE，
∴GA＝GE，
∵∠DGE=60°，
∴∠GAE＝∠GEA＝30°，
∵∠BAC＝60°，
∴∠BAD＝∠CAG＝30°，
∵AB＝AC，
∴AD⊥BC，
∵EC＝1，AE＝3，
∴AC＝BC＝AB＝4，
∴BD＝CD＝2，
∴AD＝＝2，
∵∠EAG=30°，∠AHG=90°，
∴GH=AG
∴，
∵AH＝EH＝，
∴AG＝，（负值舍去）
∵∠BFD＝60°，∠BDF＝90°，
∴∠DBF=30°，
∴∠ABF=30°，DF=BF，
∴∠ABF=∠BAF，
∴BF=AF=2DF，
∴BD=，
∴FG＝AD-AG-DF＝2-﹣＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，30°角所对的直角边等于斜边的一半；熟练掌握等边三角形的性质，直角三角形的性质，是解题的关键．
13．（2023秋·江苏苏州·八年级期中）一个三角形两条边长为3和4，当第三条边长为 __时，此三角形为直角三角形．
【答案】或5
【分析】由题意，需分类讨论，再根据勾股定理的逆定理解决此题．
【详解】解：设第三条边长为x，此三角形为直角三角形，那么可能出现以下两种情况：
①边长为4的边为斜边，此时x＜4，则32+x2＝42，得；
②边长为4的边为直角边，此时边长为x的边为斜边，则32+42＝x2，得x＝5．
综上，或5．
故答案为：或5．
【点睛】本题主要考查勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理以及分类讨论的思想是解决本题的关键．
14．（2023秋·江苏南京·八年级统考期中）若一个直角三角形的两直角边长分别为6和8，则其斜边上的高为________．
【答案】
【分析】由勾股定理可求斜边长为，根据面积不变，得斜边上的高为，计算求解即可．
【详解】解：由勾股定理可求斜边长为，
根据面积不变，得斜边上的高为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理，等面积法求三角形的高，解题的关键在于正确的计算．
15．（2023春·广东深圳·八年级校考期中）如图，P是等边△ABC内一点，PA＝4，PB＝2，PC＝2，则ABC的边长为________．
【答案】2
【分析】作BH⊥PC于H，如图，把△ABP绕点B顺时针旋转60°得到△CBD，连接PD，可判断△PBD为等边三角形，利用勾股定理的逆定理可证明△PCD为直角三角形，∠CPD=90°，易得∠BPC=150°，利用平角等于有∠BPH=30°，在Rt△PBH中，根据含30度的直角三角形三边的关系可计算出BH和PH的长，在Rt△BCH中，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：作BH⊥PC于H，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴BA=BC，∠ABC=60°，
∴把△ABP绕点B顺时针旋转60°得到△CBD，连接PD，如图，
∴CD=AP=4，BD=BP=，∠PBD=60°，
∴△PBD为等边三角形，
∴PD=PB=，∠BPD=60°，
在△PDC中，∵PC=2，PD=，CD=4，
∴PC2+PD2=CD2，
∴△PCD为直角三角形，∠CPD=90°，
∴∠BPC=∠BPD+∠CPD=150°，
∴∠BPH=30°，
在Rt△PBH中，∵∠BPH=30°，PB=，
∴BH=PB=，PH=BH=3，
∴CH=PC+PH=2+3=5，
在Rt△BCH中，BC2=BH2+CH2= ()2+52=28，
∴BC=2，
∴ABC的边长为2．
【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的性质与勾股定理的逆定理．
16．（2023秋·江苏苏州·八年级期中）我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．
观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．
（1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数： ；
（2）若第一个数用字母n（n为奇数，且n≥3）表示，那么后两个数用含n的代数式分别表示为 和 ，请用所学知识说明它们是一组勾股数．
【答案】（1）11，60，61；（2）和
【详解】（1）∵112+602=612，∴11，60，61是一组勾股数；
故答案为11，60，61.
（2）∵3、4、5是一组勾股数组，，；
5、12、13是一组勾股数组，，；
7、24、25是一组勾股数组，，；
……
∴n，，是一组勾股数组.
∵ ,
,
.
∴n, ，是一组勾股数组.
点睛：本题考查了勾股定理的应用，数字类的探索与规律，由所给例子得到n，是一组勾股数组并能根据勾股定理进行验证是解题的关键.
17．（2023秋·江苏连云港·八年级统考期中）直角三角形有两条边长分别为 6 和 8，则第三条边的平方为_____．
【答案】100或28
【详解】解：①当6和8为直角边时，第三边长的平方=62+82=100；
②当8为斜边，6为直角边时，第三边长的平方=82-62=28；
故答案为：100或28．
18．（2023秋·江苏连云港·八年级统考期中）如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB=5，AD=3，则BC的长为____.
【答案】8
【分析】本题利用等腰三角形的性质三线合一和勾股定理即可解决.
【详解】 AD是∠BAC的平分线 ,
故答案为8.
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质定理及勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键.
19．（2023秋·江苏泰州·八年级校考期中）如图，，已知中，，的顶点A、B分别在边、上，当点B在边上运动时，A随之在上运动，的形状始终保持不变，在运动的过程中，点C到点O的距离为整数的点有______个．
【答案】6
【分析】取的中点D，连接；根据三角形的边角关系得到小于等于，只有当O、D及C共线时，取得最大值，最大值为；根据D为中点，得到为3，根据三线合一得到垂直于，在中，根据勾股定理求出的长，在中，为斜边上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得等于的一半，由的长求出的长，进而求出的取值范围．
【详解】解：如图，取的中点D，连接；
∵，
∵点D是边中点，
∴，
∴；
连接，，有，
当O、D、C共线时，有最大值，最大值是，
又∵为直角三角形，D为斜边的中点，
∴，
∴．
为整数
∴点C到点O的距离为整数的点有6个，
故答案为6．
【点睛】本题考查三角形的三边关系、勾股定理和直角三角形中线的性质，掌握这些定理和性质是解题的关键．
20．（2023秋·江苏南京·八年级统考期中）如图，在中，．以、为边的正方形的面积分别为、，若，，则的长为______．
【答案】3
【分析】根据勾股定理求出，则可得出答案．
【详解】解：在中，，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：3．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
21．（2023秋·浙江温州·八年级瑞安市安阳实验中学校考期中）等腰的斜边上有一点，连结，将沿着折叠，点落在边上，连结，则________．
【答案】
【分析】过点作于点，设，则，根据折叠的性质以及勾股定理求得，进而根据，即可求解．
【详解】解：如图，过点作于点，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵将沿着折叠，点落在边上，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，折叠的性质，掌握折叠的性质以及等腰三角形的性质是解题的关键．
22．（2023秋·浙江温州·八年级瑞安市安阳实验中学校考期中）如图，为中斜边上的一点，且，过作的垂线，交于，若，，则的长为________．
【答案】
【分析】连接，根据已知条件，先证明，再根据全等三角形的性质，求得的长度，进而勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，连接．
∵为中斜边上的一点，且，过作的垂线，交于，
∴，
∴在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴．
在中，，
∴
故答案为:．
【点睛】本题主要考查了直角三角形全等的判定（）以及全等三角形的性质，勾股定理，连接是解决本题的关键．
三、解答题
23．（2023秋·广东汕头·八年级汕头市翠英中学校考期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝120°，BC＞AC，点E在BC上，点D在AB上，CE＝CA，连接DE，∠ACB＋∠ADE＝180°，CH⊥AB，垂足为点H．求证：DE＋AD＝CH．
【答案】见解析
【分析】如图，作∠FCD＝∠ACB，交BA延长线于F，证明△AFC≌△EDC得到AF＝DE，FC＝CD，再由三线合一定理得到FH＝HD，∠FCH＝∠HCD＝60°，则DH＝CH，由此即可得到．
【详解】证明：如图，作∠FCD＝∠ACB，交BA延长线于F，
∵∠FCA＋∠ACD＝∠ACD＋∠DCB，
∴∠FCA＝∠DCB，
∵∠ACB＝120°，∠ACB＋∠ADE＝180°，∠EDB+∠ADE＝180°，
∴∠EDB＝∠ACB＝120°，∠EDA＝60°，
∵∠FAC＝120°＋∠B，∠CED＝120°＋∠B，
∴∠FAC＝∠CED，
在△AFC和△EDC中，
，
∴△AFC≌△EDC（ASA），
∴AF＝DE，FC＝CD，
∵CH⊥FD，
∴FH＝HD，∠FCH＝∠HCD＝60°，
∴DH＝CH，
∵AD＋DE＝AD＋AF＝FD＝2DH＝CH，
∴AD＋DE＝CH．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，含30度的直角三角形的性质，三角形外角的性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
24．（2023春·海南省直辖县级单位·八年级校考期中）一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，
(1)这个梯子的顶端距地面有多高？
(2)如果梯子的顶端下滑了4米到，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
【答案】(1)这个梯子的顶端距地面有24米
(2)梯子的底端在水平方向滑动了8米
【分析】（1）AC=25米，BC=7米，根据勾股定理即可求得的长；
（2）由题意得： =20米，根据勾股定理求得，根据即可求解．
【详解】（1）解：由题意得：AC=25米，BC=7米，∠ABC=90°，
（米）
答：这个梯子的顶端距地面有24米；
（2）由题意得： =20米，
（米）
则：=15-7=8（米），
答：梯子的底端在水平方向滑动了8米．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．
25．（2023秋·江苏苏州·八年级期中）长清的园博园广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校七年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作：①测得水平距离BD的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米．
(1)求风筝的垂直高度CE；
(2)如果小明想风筝沿CD方向下降12米，则他应该往回收线多少米？
【答案】(1)风筝的高度CE为21.6米；
(2)他应该往回收线8米．
【分析】（1）利用勾股定理求出CD的长，再加上DE的长度，即可求出CE的高度；
（2）根据勾股定理即可得到结论．
【详解】（1）解：在Rt△CDB中，
由勾股定理得，CD2=BC2-BD2=252-152=400，
所以，CD=20（负值舍去），
所以，CE=CD+DE=20+1.6=21.6（米），
答：风筝的高度CE为21.6米；
（2）解：由题意得，CM=12米，
∴DM=8米，
∴BM= （米），
∴BC-BM=25-17=8（米），
∴他应该往回收线8米．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键．
26．（2023春·海南省直辖县级单位·八年级校考期中）如图，在四边形中，，，，．求的度数．
【答案】135°
【分析】连接AC，首先判断出△ABC的形状，然后根据勾股定理求出AC的长度，再用勾股定理的逆定理判断出△DAC的形状，最后即可求出∠BAD的度数．
【详解】连接，
∵，，
∴△ABC为等腰直角三角形，，
在中，由勾股定理得：
，
∴，
∵，，
∴在中，，
∴是直角三角形，，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形相关知识，勾股定理和勾股定理的逆定理，正确使用勾股定理和勾股定理的逆定理是解决本题的关键．
27．（2023秋·江苏泰州·八年级校考期中）如图1，长方形中，，，E为边上一点，，动点P从点B出发，沿以1个单位/s作匀速运动，设运动时间为t．
(1)当t为_________s时，与全等；
(2)如图2，为的高，当点Р在边上运动时，的最小值是_________；
(3)当点P在的垂直平分线上时，求出的值．
【答案】(1)3
(2)3
(3)t的值为或．
【分析】（1）只有当点P在上运动时存在的情况，此时，根据列方程求出t的值即可；
（2）当点P在边上运动，的面积为定值，可以说明当点P与点C重合时的值最小，根据面积等式列方程求出此时的值即可；
（3）设的垂直平分线为直线，分两种情况，一是点P在边上，且在直线上，作于点G，在中根据勾股定理列方程求出t的值；二是点P在边上在中根据勾股定理列方程求出t的值．
【详解】（1）解：如图，∵四边形是长方形，
∴，
当点P在边上，且时，，
∵，
∴；
当点P在边上，若点P与点C重合，满足，
此时，
∴与不全等，
若点P与点D重合，满足，
此时，
∴与不全等，
综上所述，当时，；
故答案为：3；
（2）解：∵，，，
∴，
当点P在边上运动，，
∵为的高，
∴，
∴AP•EF=40，
∴随的增大而减小，
∴，
∴随的增大而增大，
当点P与点C重合时最大，此时也最大，而则最小，
如图，点P与点C重合，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴的最小值为3，
故答案为：3；
（3）解：设的垂直平分线为直线，
如图，点P在边上，且在直线上，连接，则，
作于点G，则，
∵，，
∴，
同理，
，
∵，
∴，
解得；
如图，点P在边上，且在直线上，连接，则，，
∵，
∴，
解得，
综上所述，t的值为或．
【点睛】此题重点考查全等三角形的判定、勾股定理、根据面积等式列方程求值、动点问题的求解等知识与方法，此题难度较大，属于考试压轴题．
28．（2023秋·江苏连云港·八年级统考期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点D作DE⊥AB于点E．
（1）求证：△AED≌△ACD；
（2）当AC＝6，BC＝8，求CD的长．
【答案】（1）见解析；（2）3
【分析】（1）根据AD平分∠BAC得 ∠BAD＝∠CAD ，根据DE⊥AB得∠AED＝90°，用AAS即可得证明△AED≌△ACD；
（2）设CD＝x，由（1）可知△AED≌△ACD ，则AC＝AE＝6，CD＝DE＝x，BD＝BC－CD＝8－x，根据勾股定理得AB=10，则BE=4，根据勾股定理得42＋x2 ＝ （8－x）2 ，即可得．
【详解】（1）∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵DE⊥AB，
∴∠AED＝90°，
∵在△AED与△ACD中，
∴△AED≌△ACD（AAS）
（2）设CD＝x，
由（1）可知△AED≌△ACD ，
∴AC＝AE＝6，CD＝DE＝x，BD＝BC－CD＝8－x，
∵在△ABC中，∠C＝90°，
∴AB2＝AC2＋BC2＝62＋82＝100，
即AB=10或AB=-10（舍），
∴BE＝AB－AE＝10－6＝4 ，
∵在△BED中，∠BED＝90°，根据勾股定理，
BE2＋ED2=BD2 ，
即42＋x2 =（8－x）2 ，
解得x＝3，
即CD=3．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，勾股定理，解题的关键是掌握这些知识点．
29．（2023秋·江苏苏州·八年级期中）利用网格作图．要求：只能用无刻度的直尺，保留作图痕迹．
（1）在图①中找一点P，使点P到AB和AC的距离相等且PB＝PC；
（2）在图②中，△ABC的顶点均在正方形网格格点上，作出△ABC的角平分线BD.
【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析
【分析】（1）利用网格图的性质，作的角平分线，再确定的中点 利用网格图的性质取格点 作射线与的角平分线的交点即为所求作的点；
（2）取格点 使 由勾股定理可得 连接 确定的中点 连接 交于 从而可得答案.
【详解】解：（1）如图，点即为所求作的点，
（2）如图，线段即为所求作的的角平分线，
【点睛】本题考查的是角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理的应用，掌握利用以上图形的性质作图是解题的关键.
30．（2023春·广东深圳·八年级校考期中）已知：如图，在△ADC中，AD＝CD，且AB∥DC，CB⊥AB于B，CE⊥AD交AD的延长线于E，连接BE．
（1）求证：CE＝CB；
（2）若∠CAE＝30°，CE＝2，求BE的长度．
【答案】（1）见解析；（2）BE＝2．
【分析】（1）利用等腰三角形的性质和平行线的性质得到AC是△EAB的角平分线，根据角平分线的性质即可得到CE=CB；
（2）通过倒角证明△AEB是等边三角形，所以BE=AB,在Rt△ABC中，根据30°所对的直角边是斜边的一半求得AC，再根据勾股定理求出AB，即得出BE的长．
【详解】（1）证明：∵AD＝CD，
∴∠DAC＝∠DCA，
∵AB∥CD，
∴∠DCA＝∠CAB，
∴∠DAC＝∠CAB，
∴AC是∠EAB的角平分线，
又∵CE⊥AD，CB⊥AB，
∴CE＝CB．
（2）∵AC是∠EAB的角平分线，
∴∠EAB＝2∠CAE＝60°，
∵∠DCA＝∠DAC＝30°，
∴∠EDC＝∠DCA+∠DAC＝60°，
∵CE⊥AD，
∴∠CED＝90°，
∴∠ECD＝30°，
∵CB⊥AB，
∴∠CBA＝90°，
∵AB∥CD，
∴∠CBA+∠DCB＝180°，
∴∠DCB＝90°，
∴∠ECB＝∠ECD+∠DCB＝120°，
∵CE＝CB＝2，
∴∠CBE＝∠CEB＝（180°﹣∠ECB）＝30°，
∴∠EBA＝60°，
∴∠AEB＝∠EAB＝∠ABE＝60°，
∴△AEB是等边三角形，
∴BE＝AB；
在Rt△ABC中，
∵BC⊥AB，∠CAB＝30°，
∴AC＝2BC＝4，
∴AB＝，
∴BE＝2．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，含30°角的直角三角形，勾股定理，等边三角形的判定与性质，其中，判定△AEB是等边三角形是解题的关键．
31．（2023秋·江苏泰州·八年级校考期中）的三边长分别是a、b、c，且，，，是直角三角形吗？证明你的结论．
【答案】是直角三角形，证明见解析
【分析】判断一组数能否成为直角三角形的三边，就是看是否满足两较小边的平方和等于最大边的平方即可．
【详解】解：是直角三角形．证明如下：
∵

∴是直角三角形．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．