专题23.6 中心对称（巩固篇）（专项练习）-2022-2023学年九年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

这是一份专题23.6 中心对称（巩固篇）（专项练习）-2022-2023学年九年级数学上册基础知识专项讲练（人教版），共27页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

专题23.6 图形的旋转（巩固篇）（专项练习）
一、单选题
1．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．2017年5月，世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人Alpha Go进行围棋人机大战．截取首局对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（       ）
A． B． C． D．
2．如图，与关于点D成中心对称，连接AB，以下结论错误的是（       ）

A． B． C． D．
3．如图，已知点A与点C关于点O对称，点B与点D也关于点O对称，若，．则AB的长可能是（     ）

A．3 B．4 C．7 D．11
4．如图，在矩形中，，，是矩形的对称中心，点、分别在边、上，连接、，若，则的值为（       ）

A． B． C． D．
5．如图，在数轴上，A1，P两点表示的数分别是1，2，A1，A2关于点O对称，A2，A3关于点P对称，A3，A4关于点O对称，A4，A5关于点P对称…依此规律，则点A14表示的数是（       ）

A．21 B．﹣21 C．25 D．﹣25
6．如图，的顶点O，A，B的坐标分别是，，，为平面上一点，若以，，，为顶点的四边形不是平行四边形，则点的坐标可能为（       ）

A． B． C． D．
7．如图，矩形ABCD的顶点A、B在两坐标轴上，OA=OB=2，BC=．将矩形ABCD绕原点顺时针每次旋转90°，则第2022次旋转后点C的坐标是（       ）

A．（3，-5） B．（-5，-3） C．（-3，5） D．（5，3）
8．将按如图方式放在平面直角坐标系中，其中，，顶点的坐标为，将绕原点逆时针旋转，每次旋转60°，则第2023次旋转结束时，点对应点的坐标为（       ）

A． B． C． D．
9．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠B＝60°，过菱形的对角线交点O分别作边AB、BC的垂线并延长，交各边于点E、F、G、H，则四边形EFGH的周长为（　　）

A．2+2 B．2+ C．3+ D．1+2
10．如图，抛物线（a＞0）与x轴交于A，B，顶点为点D，把抛物线在x轴下方部分关于点B作中心对称，顶点对应D′，点A对应点C，连接DD′，CD′，DC，当△CDD′是直角三角形时，a的值为（       ）

A．或 B．或 C．或 D．或
二、填空题
11．在正方形、等腰梯形、线段、等边三角形、平行四边形、圆这六种图形中，是旋转对称图形但不是中心对称图形的个数是_____．
12．如图，直线EF经过平行四边形ABCD的对角线的交点，若AE=3 cm，四边形AEFB的面积为15 cm2，则CF=____，四边形EDCF的面积为____.

13．如图，已知矩形OACB的两边OA，OB分别在x轴、y轴上，且A（﹣1，0），B（0，2），先将矩形OACB沿x轴向右平移2个单位长度，得到矩形O1A1C1B1，然后作矩形O1A1C1B1关于坐标原点O的中心对称图形，得到矩形O2A2C2B2，则点C2的坐标是_____．

14．以▱ABCD对角线的交点O为原点，平行于BC边的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若A点坐标为（﹣2，1），则C点坐标为_____．

15．如图，▱ABCD的周长为32cm，点O是▱ABCD的对称中心，AO=5cm，点E，F分别是AB，BC的中点，则△OEF的周长为_____cm．

16．在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的对称中心是坐标原点，顶点A，B的坐标分别是（－2，－1），（1，－1），将平行四边形ABCD沿x轴向右平移2个单位长度，则顶点C的对应点的坐标是___．
17．如图，在直角坐标平面内，△ABC的顶点，点B与点A关于原点对称，AB＝BC，∠CAB＝30°，将△ABC绕点C旋转，使点A落在x轴上的点D处，点B落在点E处，那么BE所在直线的解析式为______．

18．已知线段EF两个端点的坐标为E（x1，y1），F（x2，y2），若点M（x0，y0）是线段EF的中点，则有x0＝．在平面直角坐标系中有三个点A（1，﹣1）、B（﹣1，﹣1）、C（0，1），点P（0，2）关于点A的对称点记为P1，P1关于点B的对称点记为P2，P2关于点C的对称点记为P3，…，按此规律继续以A、B、C三点为对称中心，重复前面的操作，依次得到点P4，P5，P6，…，则点P2020的坐标是 __________．
三、解答题
19．如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，的顶点坐标分别为，，．
(1) 请在图中画出关于原点的中心对称图形；
(2) 请直接写出以、、为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标．

20．已知：是的角平分线，点E，F分别在上，且，．
(1) 如图1，求证：四边形是平行四边形；
(2) 如图2，若为等边三角形，在不添加辅助线的情况下，请你直接写出所有是轴对称但不是中心对称的图形．





21．如图，已知点的坐标为，点的坐标为，菱形的对角线交于坐标原点．求，两点的坐标．






22．有这样一个问题：探究函数的图象与性质．小东对函数的图象与性质进行了探究．
下面是小东的探究过程，请补充完整：
（1）函数的自变量的取值范围是全体实数；
（2）下表是与的几组对应值．

…
－2
－1
0
1
2
3
4
5
6
…

…

－24
－6
0
0
0
6
24
60
…
①
②若为该函数图象上的两点，则
（3）在平面直角坐标系中，如图所示，点是该函数在范围的图象上的最低点．
①直线与该函数图象的交点个数是      
②根据图象，直接写出不等式的解集．





23．已知抛物线y＝﹣2x2+8x﹣7．
(1)二次函数的图象与已知抛物线关于y轴对称，求它的解析式；
(2)二次函数y＝ax2+bx+c的图象与已知抛物线关于原点对称，求a，b，c的值．




24．在一次数学探究活动中，小强只用一条直线就把矩形分割成面积相等的两部分．
（1）在如图所示的三个矩形中，请你大胆尝试，画出符合上述要求的直线（注：①所画直线经过的特殊点必须标注清楚，②一个矩形只画一种）．

（2）根据你的分割法：只用一条直线就把矩形分割成面积相等的两部分，你认为这样的直线有 条？
（3）由上述实验操作过程，你发现所画的这条直线的特征是 ；
（4）经验迁移：如图④，在正方形ABCD中，AB＝6，点E在边AD上，且AE＝2．若直线l经过点E，并将该正方形的面积平分，与正方形的BC边交于点F，求线段EF的长．









参考答案
1．B
【分析】
根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
解：A．不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．是中心对称图形，故本选项符合题意；
C．不是中心对称图形，故本选项符不符合题意；
D．不是中心对称图形，故本选项不符符合题意．
故选：B．
【点拨】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．B
【分析】
根据中心对称图形的性质可得结论．
解：∵与关于点D成中心对称，
∴，，
∴
∴选项A、C、D正确，选项B错误；
故选B．
【点拨】本题主要考查了中心对称图形的性质，即对应点在同一条直线上，且到对称中心的距离相等．
3．C
【分析】
根据三角形三边关系定理，可知即可求解．
解：∵点与点关于点对称，点与点也关于点对称，
∴，
又∵∠AOD=∠BOC
∴△AOD≌△BOC（SAS）
∴AD=BC=3
∵
∴．
故选：C．
【点拨】本题考查了三角形三边关系定理：任意两边之和大于第三边，及对称的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是将求AB的值转化为求三角形第三边的取值范围．
4．D
【分析】
连接AC，BD，过点O作于点，交于点，利用勾股定理求得的长即可解题．
解：如图，连接AC，BD，过点O作于点，交于点，

四边形ABCD是矩形，







同理可得

故选：D．
【点拨】本题考查中心对称、矩形的性质、勾股定理等知识，学会添加辅助线，构造直角三角形是解题关键．
5．D
【分析】
求出A1，A2、 A3、A4、A5、A6，A7点的坐标，找出其中的规律即可．
解：A1，P两点表示的数分别是1，2，A1，A2关于点O对称，
∴A2表示的数是﹣1，
∵A2，A3关于点P对称，
∴A3表示的数是，
∵A3，A4关于点O对称，
∴A4表示的数是﹣5，
∵A4，A5关于点P对称，
∴A5表示的数是，
∵A5，A6关于点O对称，
∴A6表示的数是﹣9，
∵A6，A7关于点P对称，
∴A7表示的数是
……
∴关于P点对称的点表示的数是，
关于O点对称的点表示的数是，
∴点A14表示当时，，
故选：D．
【点拨】本题考查数轴，要掌握用数轴上的点表示有理数，本题的关键是找出：，．
6．A
【分析】
分三种情况，①AB为对角线时；②OB为对角线时；③OA为对角线时；分别求出点M的坐标，即可求解．
解：当以，A，，为顶点的四边形是平行四边形，
分三种情况： ①AB为对角线时，
∵，点O、A、B的坐标分别是，，，
∴M的坐标为（2+6，2）， 即M（8，2）；

②OB为对角线时，
∵，点O、A、B的坐标分别是，，，
∴的坐标为（2-6，2）， 即M（-4，2）；
③OA为对角线时，点与关于原点O对称，
∴的坐标为（4，-2）， 即M（4，-2）；
综上所述，点M的坐标为（8，2）或（-4，2）或（4，-2），
所以A符合题意，
故选：A．
【点拨】本题考查了平行四边形的判定与性质、坐标与图形性质以及分类讨论等知识；正确画出图形是解题的关键．
7．B
【分析】
如图所示，过点C作CF⊥x轴于F，先求出点C的坐标为（5，3），然后根据每四次旋转（即旋转360°）点C会回到初始位置，可知当旋转2022次时相当于把点C绕原点顺时针旋转180°，由此求解即可．
解：如图所示，过点C作CF⊥x轴于F，
∵OA=OB=2，∠AOB=90°，
∴∠AOB=∠CFB=90°，∠OBA=45°，，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
∴∠FBC=45°，
∴∠FCB=45°=∠FBC，
∴FB=FC，
∵，
∴，
∴FB=FC=3，
∴OF=5，
∴点C的坐标为（5，3），
∵将矩形ABCD绕原点顺时针每次旋转90°，
∴每四次旋转（即旋转360°）点C会回到初始位置，
∵2022÷4=505余2，
∴当旋转2022次时相当于把点C绕原点顺时针旋转180°，
∴此时C点的位置与初始位置关于原点对称，
∴第2022次旋转后点C的坐标是（-5，-3），
故选B．

【点拨】本题主要考查了坐标与图形，点的坐标规律探索，关于原点对称的点的坐标特征，正确分析出第2022此旋转后点C的位置是解题的关键．
8．A
【分析】
根据旋转性质，可知6次旋转为1个循环，故先需要求出前6次循环对应的A点坐标即可，利用全等三角形性质求出第一次旋转对应的A点坐标，之后第2次旋转，根据图形位置以及长，即可求出，第3、4、5次分别利用关于原点中心对称，即可求出，最后一次和A点重合，再判断第2023次属于循环中的第1次，最后即可得出答案．
解：由题意可知：6次旋转为1个循环，故只需要求出前6次循环对应的A点坐标即可
第一次旋转时：过点作轴的垂线，垂足为，如下图所示：

由的坐标为可知：，，
在中，，
由旋转性质可知：，
，，
，
在与中：

，
，，
此时点对应坐标为，
当第二次旋转时，如下图所示：

此时A点对应点的坐标为．
当第3次旋转时，第3次的点A对应点与A点中心对称，故坐标为．
当第4次旋转时，第4次的点A对应点与第1次旋转的A点对应点中心对称，故坐标为．
当第5次旋转时，第5次的点A对应点与第2次旋转的A点对应点中心对称，故坐标为．
第6次旋转时，与A点重合．
故前6次旋转，点A对应点的坐标分别为：、、、、、．
由于，故第2023次旋转时，A点的对应点为．
故选：A．
【点拨】本题主要是考查了旋转性质、中心对称求点坐标、三角形全等以及点的坐标特征，熟练利用条件证明全等三角形，；通过旋转和中心对称求解对应点坐标，是求解该题的关键．
9．C
【分析】
过点A作AM垂直CD交CD于M点，可得AM=EG=FH，AB=2，∠A= 120°在菱形ABCD中，可得，推出四边形EFGH是矩形即可求解．
解：如图，过点A作AM垂直CD交CD于M点，

∵FG、FH垂直菱形ABCD的边AB, BC
∴AM=EG=FH
∵AB=2，∠A= 120°在菱形ABCD中
∴,
∵FG、FH过菱形ABCD的对称中心O,
∴四边形EFGH是矩形，由∠A= 120°，
∴∠EOH=60°∠GEF =30°
∴,
∴四边形EFGH的周长为
故选：C
【点拨】本题考查中心对称，菱形的性质，矩形判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线解决问题，属于中考常考题型．
10．A
【分析】
先求出点A（-3，0），点B（1，0），由点B为中心对称，求出点C（5，0），把抛物线配方为顶点式可得D（－1，－4a），点D与点D′关于点B对称，D′（3，4a），DD′，CD=，CD′=，由△CDD′是直角三角形，分两种情况，当∠CD′D=90°，∠DCD′=90°时利用勾股定理列出方程，解方程即可．
解：∵抛物线（a＞0）与x轴交于A，B，
∴
∵a＞0

解得
∴点A（-3，0），点B（1，0），
∵点B为中心对称，
∴点C的横坐标为：1+（1+3）=5，
∴点C（5，0），
∴抛物线，
∴D（－1，－4a），
点D与点D′关于点B对称，
点D′的横坐标为1+（1+1）=3，纵坐标为4a，
∴D′（3，4a），
DD′=，CD=，
CD′=，
∵△CDD′是直角三角形，
当∠CD′D=90°，
根据勾股定理，CD′2＋DD′2＝CD2，即
，
解得，
∵a＞0，
∴；
当∠DCD′=90°，
根据勾股定理，CD′2＋CD2＝DD′2，即
，
解得，
∴，
∴综合得a的值为或．
故答案选：A．
【点拨】本题考查待定系数法求抛物线解析式，分类思想的应用，勾股定理，中心对称性质，掌握待定系数法求抛物线解析式，分类思想的应用，勾股定理，中心对称性质是解题关键．
11．1个
【分析】
根据中心对称图形的定义以及旋转图形的性质分别判断得出即可．
解：正方形、等腰梯形、线段、等边三角形、平行四边形、圆这六种图形中，正方形、线段、平行四边形、圆都是中心对称图形，
只有等边三角形是旋转对称图形但不是中心对称图形，
故答案为：1个．
【点拨】本题考查了旋转对称图形，熟练掌握两种图形是解题的关键．
12．     3     15
解：连接AC，BD，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO．
在△AOE与△COF中，∵∠EAO=∠FCO，OA=OC，∠AOE=∠COF，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE=CF=3cm．
同理可得△AOB≌△COD，△BOF≌△DOE，
∴S四边形EDCF=S四边形AEFB=15cm2．
故答案为3cm，15cm2．

【点拨】本题考查的是平行四边形的性质，熟知平行四边形的对角线互相平分是解答此题的关键．
13．（﹣1，﹣2）．
【分析】
先由勾股定理求得C点坐标，再求得移动后C1点坐标，最后根据两个坐标点中心对称的关系求解即可.
解：由题意得C(-1，2)，则沿x轴向右平移2个单位长度后得到的C1点坐标为(1,2)，则C1点关于原点的对称点C2的坐标为(-1,-2)，
故答案为：(-1,-2).
【点拨】本题中理解点的平移以及坐标点关于原点对称是解题关键.
14．（2，﹣1）
【分析】
根据平行四边形是中心对称图形，再根据▱ABCD对角线的交点O为原点和点A的坐标，即可得到点C的坐标．
解：∵▱ABCD对角线的交点O为原点，A点坐标为（﹣2，1），
∴点C的坐标为（2，﹣1），
故答案为：（2，﹣1）．
【点拨】此题考查中心对称图形的顶点在坐标系中的表示．
15．13．
【分析】
由题意可知O、E、F均为中点，则由OE、OF、EF均为△ABC的中位线，据此进行解答.
解：由题意得OE、OF、EF均为△ABC的中位线，
∴OE=，OF=，EF=，
∴△OEF的周长=，
故答案为13cm
【点拨】本题考察了三角形中位线的知识.
16．
【分析】
由题意A，C关于原点对称，求出点C的坐标，再利用平移的性质求出点C1的坐标可得结论．
解：∵平行四边形ABCD的对称中心是坐标原点，
∴点A，点C关于原点对称，
∵， ∴，
∴将平行四边形ABCD沿x轴向右平移2个单位长度，
则顶点C的对应点C1的坐标是，
故答案为：．
【点拨】本题考查中心对称，平行四边形的性质，坐标与图形变化-平移等知识，解题的关键是熟练掌握中心对称的性质，属于中考常考题型．
17．
【分析】
如图，过点C作CF⊥x轴于点F，根据关于原点对称的点的坐标特征可得点B坐标，根据等腰三角形的性质可得AB＝BC=2，利用外角性质可得∠CBF=60°，利用含30°角的直角三角形的性质及勾股定理可得CF、BF的长，利用旋转的性质可得AB＝CE＝2，AC=CD，∠ECD=∠ACB=30°，根据等腰三角形的性质可得∠CDA=∠CAD=30°，可得CE//AD，可得点E坐标，利用待定系数法即可得答案．
解：如图，过点C作CF⊥x轴于点F，
∵△ABC的顶点，点B与点A关于原点对称，
∴，
∴AB＝BC=2．
∵∠CAB＝30°，
∴∠ACB=∠CAB=30°，
∴∠CBF=∠CAB+∠ACB=60°，∠BCF=30°，
∴BF=BC=1，CF=，
∴．
∵将△ABC绕点C旋转，使点A落在x轴上的点D处，点B落在点E处，
∴AB＝CE＝2，AC=CD，∠CDA=∠CAD=30°，∠ECD=∠ACB=30°，
∴CE//AD，
∴．
设直线BE的解析式为，
∴，
解得：，
∴BE所在直线的解析式为：．

故答案为：
【点拨】本题考查关于原点对称的点的坐标特征，旋转的性质、等腰三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质及勾股定理，30°角所对的直角边等于斜边的一半；图形旋转前后的对应边相等、对应角相等；熟练掌握相关性质及定理是解题关键．
18．（-2，-2）
【分析】
根据题意可得前6个点的坐标，即可发现规律每6个点一组为一个循环，根据2020÷6=336…4，进而可得点P2020的坐标．
解：∵A（1，-1），B（-1，-1），C（0，1），
点P（0，2）关于点A的对称点P1(x，y)，
∴1=，-1=，
解得x=2，y=-4，
所以点P1（2，-4）；
同理：
P1关于点B的对称点P2，
所以P2（-4，2）
P2关于点C的对称点P3，
所以P3（4，0），
P4（-2，-2），
P5（0，0），
P6（0，2），
…，
发现规律：
每6个点一组为一个循环，
∴2020÷6=336…4，
所以P2020与P4重合，
所以点P2020的坐标是（-2，-2）．
故答案为：（-2，-2）．
【点拨】本题考查了坐标与图形的变化-旋转、规律型-点的坐标、关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握旋转的性质．
19．(1)答案见分析(2)、、
【分析】
（1）分别画出、、关于原点的对称点、、，连接即可；
（2）分别以、、为平行四边形的对角线即可求出点的坐标．
(1)解：如图所示，

(2)解：如图所示，

当平行四边形以为对角线时，平行四边形的顶点；
当平行四边形以为对角线时，平行四边形的顶点；
当平行四边形以为对角线时，平行四边形的顶点；
故所求的点的坐标为、、．
【点拨】本题主要考查中心对称变换的作图和平行四边形，熟练掌握中心对称的性质和平行四边形的判定是解题的关键．
20．(1)证明见分析(2)等边，等边，等边，等腰，等腰梯形，等腰梯形
【分析】
（1）由角平分线可知，由平行可知，可得，，进而结论得证；
（2）由题意可得四边形是菱形，是等边三角形的中点，然后根据在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；对图中的三角形与四边形的对称性进行判断即可．
(1)证明：∵是的角平分线
∴
∵
∴
∴
∴
∵，
∴四边形是平行四边形．
(2)解：由（1）知四边形是平行四边形
∴
∵是等边三角形
∴
∴
∴四边形是菱形
∴
∴是等边三角形的中点
∴
∴由轴对称图形与中心对称图形的定义可知，是轴对称图形但不是中心对称图形的有：等边，等边 ，等边，等腰，等腰梯形，等腰梯形．
【点拨】本题考查了角平分线，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，轴对称图形，中心对称图形等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
21．C，D
【分析】
根据菱形的对角线关于原点对称进行求解即可；
解： 菱形的对角线交于坐标原点．点的坐标为，点的坐标为，
点C和点A关于原点O对称，点D和点B关于原点O对称，
∴ C (2，－2)； D(1，)．
【点拨】本题主要考查了关于原点对称的点的特征和菱形的性质，准确分析计算是解题的关键．
22．（2）①；②； （3）①；②或
【分析】
（2）①通过观察表格，（-2，m），（6，60）关于 （2，0）成中心对称即可；
②由于M与N的函数值互为相反数，关于（2，0）成中心对称，11-2=2-n求出即可；
（3）①由点是该函数在范围的图象的最低点，
直线与该函数图象的有一个交点,与x1部分还有一个交点即可；
②分四段讨论当x<1时，x-1，x-2，x-3，判断符号即可则，
当13时，x-1，x-2，x-3，判断符号即可则即可求出 的范围．
解：（2）①通过观察表格，（-2，m），（6，60）关于 （2，0）成中心对称，m=；
②为该函数图象上的两点，由于M与N的函数值互为相反数，关于（2，0）成中心对称，11-2=2-n，n=-7；
（3）①由点是该函数在范围的图象的最低点
直线与该函数图象的有一个交点,与x1部分还有一个交点，直线与该函数图象的有一个交点有2个；
②，
分四段讨论，
当x<1时，x-1<0，x-2<0，x-3<0，三负，则，
当10，x-2<0，x-3<0，两负一正，则，
当20，x-2>0，x-3<0，两正一负，则，
当x>3时，x-1>0，x-2>0，x-3>0，三正，则，
的范围是或．

【点拨】本题考查多次函数的图像与性质，根据给定的表格找出函数图像关于点（2，0）中心对称是解题关键．
23．(1)y＝﹣2x2﹣8x﹣7(2)a＝2，b＝8，c＝7
【分析】
（1）抛物线y＝﹣2x2+8x﹣7的图象关于y轴对称的抛物线x互为相反数，y不变进行求解即可；
（2）抛物线y＝﹣2x2+8x﹣7的图象关于原点对称的抛物线x、y均互为相反数进行求解即可；
(1)解：抛物线y＝﹣2x2+8x﹣7的图象关于y轴对称的抛物线x互为相反数，y不变，
∴y＝﹣2（﹣x）2+8（﹣x）﹣7＝﹣2x2﹣8x﹣7；
(2)抛物线y＝﹣2x2+8x﹣7的图象关于原点对称的抛物线x、y均互为相反数，
∴﹣y＝﹣2（﹣x）2+8（﹣x）﹣7＝﹣2x2﹣8x﹣7，
即y＝2x2+8x+7
∴二次函数y＝ax2+bx+c中的a＝2，b＝8，c＝7．
【点拨】本题主要考查二次函数的图象及性质，掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
24．（1）见分析；（2）无数；（3）经过对角线的交点（矩形的对称中心）；（4）2
【分析】
（1）分割线可以分别是，经过对角线所在直线，经过一组对边所在直线，任意经过对角线交点的直线．
（2）只要经过矩形的对称中心均满足题意，所有有无数条．
（3）所画直线都经过了对称中心．
（4）由上面的研究可得，连接E和对称中心O的直线与BC边的交点便是F，求解即可．
解：（1）①直线经过矩形对角线，如图，
，
②直线经过一组对边中点，如图，
，
③直线经过矩形对称中心，如图，
，
此处可借助△OAE≌△OCF，证面积被平分．
（2）只要经过矩形的对称中心，便可以平分矩形面积，所以有无数条，
故答案为无数，
（3）分析图形得到平分矩形面积的直线都经过了矩形的对称中心（对角线的交点），
故答案为经过对角线的交点（矩形的对称中心）．
（4）根据题意，连接AC，BD交于点O，过E，O的直线交BC于点F，过点E作EG⊥BC于点G．如图，
，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝6．OA＝OC，∠FCO＝∠OAE＝45°，
∵∠FOC＝∠AOE，
∴△FOC≌△AOE（ASA），
∴AE＝CF＝2，
∴GF＝6﹣2﹣2＝2，
在Rt△EFG中，EG＝AB＝6，GF＝2，
∴＝2．
【点拨】本题主要探究将矩形面积平分线的特点，经过三次探究发现都经过了对称中心，体现了数学思维的由特殊到一般，接着借助将矩形的特性推至正方形，依照发现的规律解决正方形平分面积线相关的长度，本题解题的关键是是数学规律的探究和归纳总结，并加以推广应用．