北师大版九年级数学上册基础知识专项讲练 专题1.6 矩形的性质与判定（基础篇）（专项练习）

这是一份北师大版九年级数学上册基础知识专项讲练 专题1.6 矩形的性质与判定（基础篇）（专项练习），共38页。试卷主要包含了单选题，利用矩形的性质和判定证明，添加一个条件构成矩形，证明四边形是矩形，利用矩形的性质与判定求线段，解答题等内容，欢迎下载使用。

类型一、利用矩形的性质求线段、角度及面积
1．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于O点，若，则的度数为（ ）
A．42°B．52°C．46°D．56°
2．如图，在矩形ABCD中，EF是对角线AC的垂直平分线，分别交AB，CD于点E，F，若，则EF的长为（ ）
A．4B．8C．D．
3．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，BF∥AC，CF∥BD，若四边形BECF面积为1，则矩形ABCD的面积为（ ）
A．1B．2C．4D．8
类型二、利用矩形的性质和判定证明
4．如果矩形的一边与对角线的夹角为，则两条对角线相交所成的锐角的度数为（ ）
A．60°B．70°C．80°D．90°
5．如图，已知点O是矩形ABCD的对称中心，且AB＞AD．点E从点A出发沿AB向点B运动，移动到点B停止，延长EO交CD于点F，则四边形AECF的形状不可能是（ ）
A．平行四边形B．菱形C．矩形D．正方形
6．如图，四边形是矩形，是边延长线上一点，是上一点，，，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
类型三 直角三角形斜边上中线问题
7．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点O是斜边AC的中点，AC＝10，则OB＝（ ）
A．5B．6C．8D．10
8．如图，在中，，是AC边上的中线，DE是的中位线，若，则BF的长为（ ）
A．6B．4C．3D．5
9．如图，为△的中位线，点在上，且∠=90°．若=7，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
类型四、添加一个条件构成矩形
10．在▱ABCD中，下列判断不正确的是（ ）
A．若AB＝BC，则▱ABCD是菱形
B．若AC⊥BD，则▱ABCD是矩形
C．若AC平分∠BAD，则▱ABCD是菱形
D．若AC＝BD，则▱ABCD是矩形
11．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件仍不能判断四边形ABCD是矩形的是( )
AB+BC=AC B．AB= AD
C．OA= OD D．∠ABC+∠ADC=180°
12．如图，在四边形中，，，添加下列条件不能判定四边形为菱形的是（ ）
A． B． C． D．
类型五、证明四边形是矩形
13．如图，点为矩形的对称中心，点从点出发沿向点运动，移动到点停止，延长交于点，则四边形形状的变化依次为（ ）
A．平行四边形菱形平行四边形矩形B．平行四边形正方形平行四边形矩形
C．平行四边形正方形菱形矩形D．平行四边形菱形正方形矩形
14．下列命题，为真命题的是 （ ）
A．三个角是直角的四边形是矩形 B．对角线相等的四边形是矩形
C．三条边相等的四边形是菱形 D．对角线互相垂直的四边形是菱形
15．如图，在中，，点D，E分别为边BC，AC的中点，延长DE至点F，且，则四边形ADCF一定是（ ）
A．对角线互相垂直的四边形B．菱形
C．正方形D．矩形
类型六、利用矩形的性质与判定求线段、角度及面积
16．矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，点M在边CD上，若AM平分∠DMB，则DM的长是（ ）
A．B．C．﹣D．2﹣
17．如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，点M在边CD上，若AM平分∠DMB，则DM的长是（ ）
A．B．C．D．
18．如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=4，E为CD的中点，射线AE交BC的延长线于点F，P为BC上一点，当∠PAE=∠DAE时，PF的长为（ ）
A．4B．5C．D．
二、填空题
类型一、利用矩形的性质求线段、角度及面积
19．如图，四边形ABCD是个活动框架，对角线AC、BD是两根皮筋．如果扭动这个框架（BC位置不变），当扭动到∠A'BC=90°时四边形A'BCD'是个矩形，A'C和BD'相交于点O．如果四边形OD'DC为菱形，则∠A'CB=_______°
20．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若，，则AB的长为________．
21．如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EFBC，分别交AB、CD于点E，F，连接PA，PC，若AE=2，PF=6，则图中阴影部分的面积为___________
类型二、利用矩形的性质和判定证明
22．如图，E，F是矩形ABCD的边AD和BC上的两点，连接BE，DF，BD，请添加一个适当的条件，使△BED≌△DFB，_____（填一个即可）．
23．如图，在矩形ABCD中，AB=3a，BC=4a，若点E是边AD上一点，点F是矩形内一点，∠BCF=30°，则EF+CF的最小值是_____．
24．如图，点E是矩形ABCD边AD上一点，点F，G，H分别是BE，BC，CE的中点，AF＝6，则GH的长为_________．
类型三 直角三角形斜边上中线问题
25．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，根据尺规作图的痕迹判断以下结论正确的是______．
①∠DBC＝∠BDC ②AE＝BE ③ ④∠BAE＝∠ACD
26．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点、连接AF，BF，∠AFB＝90°，且AB＝8，BC＝14，则EF的长是______．
27．如图，中，，分别是，的中点，是延长线上的一点，且，若，，则的长为______．
类型四、添加一个条件构成矩形
28．如图所示，顺次连接四边形ABCD各边中点得到四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是___；要使四边形EFGH为菱形，应添加的条件是___（只填序号）．备选答案：①AB∥CD；②AC=BD；③AC⊥BD；④AB=DC．
29．中，延长至D使得，延长至E使得，当满足条件____________时，四边形是矩形．
30．如图，的对角线交于点，请你添加一个条件，使是矩形，这个条件可以是：___（图中不再添加其他的点或线，只需写出一个条件即可）．
类型五、证明四边形是矩形
31．四边形中，交于O，给出条件①；②；③；④．其中能推得四边形是矩形的是（填序号）___________．
32．如图，已知直角三角形，，小明想做一个以、为边的矩形，于是进行了以下操作：
（1）测量得出的中点E；
（2）连接并延长到，使得；
（3）连接和．则四边形即为所求的矩形．理由是________．
33．如图，，、、、分别为角平分线，则四边形是__________．
类型六、利用矩形的性质与判定求线段、角度及面积
34．在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，过点A作∠DAC的角平分线交BC的延长线于点H，取AH的中点P，连接BP，则S△ABP＝___．
35．如图，过矩形的对角线上一点分别作矩形两边的平行线与，那么图中矩形的面积与矩形的面积的大小关系是_________；（填“”或“”或“”）
36．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=2，点P是AB边上的一点（异于A，B两点），过点P分别作AC，BC边的垂线，垂足分别为M，N，连接MN，则MN的最小值是________．
三、解答题
37．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC，CE∥DB．
（1）求证：四边形OBEC是菱形；
（2）若AD＝4，AB＝2，求菱形OBEC的面积．
38．如图，矩形的对角线、相交于点O，过点B作，且，连接，求证：四边形是菱形．
39．如图1，在△ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，BE⊥AC，垂足为E．
(1)求∠BAC的度数；
(2)如图2，若AF⊥BC，垂足为F，连接EF，求∠EFC的度数．
40．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O， E、F是AC上两点，且AE = CF，连接BE、ED、DF、FB得四边形BEDF．
(1)求证：四边形BEDF是平行四边形．
(2)当EF、BD满足_____________ 条件时，四边形BEDF是矩形．（不必证明）．
41．如图，已知平行四边形ABCD中，M，N是BD上的两点，且，．
(1)求证：四边形AMCN是矩形；
(2)若，，AB⊥AC，求四边形ABCD的面积．
42．阅读下列材料，并解答其后的问题：
我们知道，三角形的中位线平行于第一边，且等于第三边的一半，我们还知道，三角形的三条中位线可以将三角形分成四个全等的一角形，如图1，若D、E、F分别是三边的中点，则有，且
（1）在图1中，若的面积为15，则的面积为___________；
（2）在图2中，已知E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形；
（3）如图3中，已知E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，，则四边形EFGH的面积为___________.
参考答案
1．D
【分析】
根据矩形的对角线互相平分且相等可得OB=OC，再根据等边对等角可得∠OBC=∠ACB，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
解：∵矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∴OB=OC，
∴∠OBC=∠ACB=28°，
∴∠AOB=∠OBC+∠ACB=28°+28°=56°．
故选：D．
【点拨】本题考查了矩形的性质，等边对等角的性质以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质是解题的关键．
2．D
【分析】
连接CE，设EF交AC于点O，根据矩形的性质和EF是AC的垂直平分线，可得，EC=AE，OA=OC，再由勾股定理可得AE=CE=5，从而得到，再由△AOE≌△COF，可得OF=OE，即可求解．
解：如图，连接CE，设EF交AC于点O，
在矩形ABCD中，BC=AD=4，AB=CD=8，∠B=∠ADC=90°，AB∥CD，
∴，
∴，
∵EF是AC的垂直平分线，
∴EC=AE，OA=OC，
设EC=AE =x，则BE=AB-AE=8-x，
在Rt△EBC中，BE2+BC2=CE2，
∴x2=42+（8-x）2，解得：x=5，
∴AE=CE=5，
∵EF⊥AC，
∴，
∵AB∥CD，
∴∠OCF=∠OAE，∠AEO=∠CFO，
∵OA=OC，
∴△AOE≌△COF，
∴OF=OE，
∴，
故选：D.
【点拨】本题主要考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质，熟练掌握以上相关知识是解题的关键．
3．B
【分析】
先证得四边形BECF是菱形，得到△BEC的面积为，再利用矩形的性质即可求解．
解：∵BF∥AC，CF∥BD，
∴四边形BECF是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AE=CE，BE=DE，AC=BD，
∴AE=BE=EC，
∴四边形BECF是菱形；
∴S△BEC=S△BFC=S四边形BECF=，
∵四边形ABCD是矩形，
∴矩形ABCD的面积为4×=2，
故选：B．
【点拨】本题考查了菱形的判定与性质、矩形的性质，熟练掌握矩形的性质和菱形的判定与性质是解决问题的关键．
4．C
【分析】
先画出简单的图形，因为矩形两对角线相等且互相平分，又有一角的度数，可由三角形内角和求解角的度数．
解：如图，
∵矩形两对角线相等且互相平分，一边与对角线的夹角为50°，即∠OAB = 50°，OB=OA，
∴另一角∠OBA =∠OAB = 50°，
由三角形内角和可得两条对角线相交所成的锐角的度数即∠AOB= 180°- 50° - 50°= 80°．
故选C．
【点拨】本题考查了矩形、等腰三角形的性质，以及三角形内角和定理．
5．D
【分析】
根据矩形的性质，可得四边形AECF形状的变化情况，由此可得结论．
解：∵四边形ABCD是矩形
∴ AO＝CO，CDAB
∴∠OAE＝∠OCF
∵∠AOE＝∠COF
∴△AOE≌△COF（ASA）
∴OE＝OF
∴四边形AECF是平行四边形
当EF⊥AC时，四边形AECF是菱形，
当点E和点B重合时，四边形AECF是矩形
可知四边形AECF形状的变化依次为平行四边形→菱形→平行四边形→矩形，不可能是正方形，
故选：D．
【点拨】考查了全等三角形的判定和性质、矩形的性质，平行四边形的判定，菱形的判定，根据EF与AC的关系即可求解．
6．C
【分析】
设，据矩形的性质以及已知条件求得，根据三角形外角的性质求得，从而求得
解：设，
四边形是矩形
，
是边延长线上一点，
，
，
即
故选C
【点拨】本题考查了矩形的性质，三角形的外角性质，根据三角形的外角性质求解是解题的关键．
7．A
【分析】
根据直角三角形斜边上的中线的性质解答即可．
解：Rt△ABC中，∠ABC=90°，点O是斜边AC的中点，AC=10，
则OB=AC=5，
故选：A．
【点拨】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．掌握直角三角形斜边上的中线的性质是解题的关键．
8．A
【分析】
根据三角形中位线定理求出AC，再根据直角三角形斜边上的中线的性质解答即可．
解：∵DE是△ABC的中位线，DE=6，
∴AC=2DE=12，
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BF是AC边上的中线，
则BF= AC=6，
故选：A．
【点拨】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
9．D
【分析】
根据三角形中位线定理求出，根据直角三角形的性质求出，结合图形计算，得到答案．
解：为的中位线，
，
在中，是的中点，
，
，
故选：D．
【点拨】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的中线，解题的关键是掌握三角形的中位线等于第三边的一半、直角三角形的性质．
10．B
【分析】
根据菱形的判定方法和矩形的判定方法逐个判定即可．
解：∵在▱ABCD中，AB＝BC，
∴▱ABCD是菱形，选项A正确，不符合题意；
∵在▱ABCD中，AC⊥BD，
∴▱ABCD是菱形，选项B错误，符合题意；
∵在▱ABCD中，ADBC，
∴∠BCA＝∠DAC，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC，
∴∠BCA＝∠BAC，
∴AB＝BC，
∴▱ABCD是菱形，选项C正确，不符合题意；
∵在▱ABCD中，AC＝BD，
∴▱ABCD是矩形，选项D正确，不符合题意；
故选：B．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定方法以及矩形的判定方法，熟练掌握矩形和菱形的判定方法是解决本题的关键．
11．B
【分析】
由勾股定理的逆定理证得∠ABC=90°，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可判断A；根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可判断B；根据对角线相等的平行四边形是矩形可判断C；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可判断D．
解：A．∵AB2+BC2=AC2，
∴∠ABC=90°，
∴▱ABCD为矩形，故本选项不符合题意；
B．∵AB=AD，
∴▱ABCD为菱形，故本选项符合题意；
C．∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵OA=OD，
∴AC=BD，
∴▱ABCD是矩形，故本选项不符合题意；
D．∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠ADC，
∵∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠ABC=∠ADC=90°，
∴▱ABCD为矩形，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点拨】本题考查了矩形的判定定理，勾股定理的逆定理，平行四边形的性质，熟练掌握矩形的判定方法是解决问题的关键．
12．C
【分析】
根据菱形的定义及其判定、矩形的判定对各选项逐一判断即可得．
解：，
四边形是平行四边形，
当或时，均可判定平行四边形是菱形；
当时，
由知，
，
，
平行四边形是菱形；
当时，判定平行四边形是矩形；
故选：C.
【点拨】本题主要考查菱形的判定、矩形的判定、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定和矩形的判定是解题的关键．
13．A
【分析】
连接AC，可证得四边形AECF是平行四边形，然后根据AE与CE的数量关系，即可求解．
解：如图，连接AC，
∵点为矩形的对称中心，
∴OA=OC，
在矩形ABCD中，AB∥CD，
∴∠OCF=∠OAE，∠OFC=∠OEA，
∴△AOE≌△COF，
∴AE=CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴当AE＜CE时，四边形AECF是平行四边形，
当AE=CE时，四边形AECF是菱形，
当AE＞CE时，四边形AECF是平行四边形，
当点E到达点B时，四边形AECF是矩形；
∴四边形形状的变化依次为
故选：平行四边形菱形平行四边形矩形．
故选：A
【点拨】本题主要考查了矩形的性质和判定，菱形的判定，熟练掌握矩形的性质和判定，菱形的判定定理是解题的关键．
14．A
【分析】
根据矩形和菱形的判定定理依次判断结论是否成立即可．
解：A、正确，三个角是直角的四边形是矩形，是真命题，符合题意；
B、错误，对角线相等的平行四边形是矩形，不符合题意；
C、错误，四条边相等的四边形是菱形，不符合题意；
D、错误，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，不符合题意；
故选：A.
【点拨】本题主要考查了矩形和菱形的判定，熟悉掌握图形的判定特点是解题的关键．
15．D
【分析】
由，点D为BC的中点，可证明（等腰三角形三线合一）；再由题意E为AC的中点，，根据对角线相互平分的四边形是平行四边形，可证明四边形ADCF是平行四边形，结合可证明四边形ADCF是矩形．
解：∵，点D为BC的中点，
∴，即，
∵E为AC的中点，
∴，
又∵，
∴四边形ADCF是平行四边形，
又∵，
∴四边形ADCF是矩形．
故选：D
【点拨】本题主要考查了矩形的判定，解题关键是熟练掌握矩形的判定条件．
16．D
【分析】
根据题意由矩形的性质得出CD=AB=2，AB∥CD，BC=AD=1，∠C=90°，由平行线的性质得出∠BAM=∠AMD，再由角平分线证出∠BAM=∠AMB，得出MB=AB=2，由勾股定理求出CM，即可得出DM的长．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=2，AB∥CD，BC=AD=1，∠C=90°，
∴∠BAM=∠AMD，
∵AM平分∠DMB，
∴∠AMD=∠AMB，
∴∠BAM=∠AMB，
∴BM=AB=2，
∴CM=，
∴DM=CD-CM=2-.
故选：D．
【点拨】本题考查矩形的性质和等腰三角形的判定以及平行线的性质和勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明MB=AB是解决问题的关键．
17．A
【分析】
由矩形的性质得出CD＝AB＝2，ABCD，BC＝AD＝1，∠C＝90°，由平行线的性质得出∠BAM＝∠AMD，再由角平分线证出∠BAM＝∠AMB，得出MB＝AB＝2，由勾股定理求出CM，即可得出DM的长．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝2，ABCD，BC＝AD＝1，∠C＝90°，
∴∠BAM＝∠AMD，
∵AM平分∠DMB，
∴∠AMD＝∠AMB，
∴∠BAM＝∠AMB，
∴BM＝AB＝2，
∴CM＝，
∴DM＝CD−CM＝2−；
故选：A．
【点拨】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的判定、平行线的性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明MB＝AB是解决问题的关键．
18．D
【分析】
根据矩形的性质结合等角对等边，进而得出CF的长，再利用勾股定理得出AP的长．
解：∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠F，
又∵∠PAE＝∠DAE，
∴∠PAE＝∠F，
∴PA＝PF，
在△ADE和△FCE中，，
∴△ADE≌△FCE（AAS）
∴CF＝AD＝4，
设CP＝x，PA＝PF＝x＋4，BP＝4−x，
在直角△ABP中，
22＋（4−x）2＝（x＋4）2，
解得：x＝，
∴AP的长为：．
故选：D．
【点拨】此题主要考查了矩形的性质以及勾股定理等知识，正确得出FC的长是解题关键．
19．30
【分析】
先证明是等边三角形，得到，再由四边形是矩形，得到，则．
解：∵四边形OD'DC为菱形，
∴，
∵在扭动过程中，CD的长度是不会发生变化的，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
故答案为：30．
【点拨】本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质，等边三角形的性质与判定，熟知菱形的性质和矩形的性质是解题的关键．
20．
【分析】
由条件可求得为等边三角形，则可求得的长，在中，由勾股定理可求得的长．
解：四边形为矩形，
，，
，
为等边三角形，
，
，
在中，由勾股定理可求得，
．
故答案为：．
【点拨】本题主要考查矩形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，掌握矩形的对角线相等且互相平分是解题的关键．
21．12
【分析】
作PM⊥AD于M，交BC于N，根据矩形的性质可得S△PEB=S△PFD即可求解.
解：作PM⊥AD于M，交BC于N．
则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，
∴S△ADC=S△ABC，S△AMP=S△AEP，S△PBE=S△PBN，S△PFD=S△PDM，S△PFC=S△PCN，
∴，
∴S△DFP=S△PBE=×2×6=6，
∴S阴=6+6=12，
故答案为：12．
【点拨】本题主要考查矩形的性质、三角形的面积，解决本题的关键是要熟练掌握矩形的性质.
22．ED＝FB（答案不唯一）
【分析】
根据矩形的性质可得AD∥BC，所以∠ADB=∠CBD，添加ED=FB，利用SAS即可使△BED≌△DFB．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
所以添加ED＝FB，
利用SAS即可使△BED≌△DFB．
故答案为：ED＝FB（答案不唯一）．
【点拨】此题考查矩形的性质，全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握矩形的性质．
23．3a
【分析】
作辅助线，先根据直角三角形30度角的性质可知CF=FH，得GH的长是EF+CF的最小值，从而得结论．
解：过F作GH∥CD，交AD于G，BC于H，如图：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠BCD=90°，AD∥BC，
∴GH⊥AD，∠CHF=90°，
∵∠BCF=30°，
∴FH=CF，
∵点E是边AD上一点，
∴EF+CF=EF+FH，
即EF+CF的最小值是GH，
∵∠GHC=∠BCD=∠D=90°，
∴四边形DGHC是矩形，
∴GH=CD=AB=3a，
即EF+CF的最小值是3a；
故答案为：3a．
【点拨】本题考查了矩形的判定和性质，平行线的性质，直角三角形30度角的性质等知识，解题关键是确定EF+CF的最小值是GH．
24．6
【分析】
由矩形的性质及直角三角形斜边上的中线的性质可求解BE=2AF=12，再利用三角形中位线定理可求解．
解：在矩形ABCD中，∠BAD=90°，
∵F为BE的中点，AF=6，
∴BE=2AF=12．
∵G，H分别为BC，EC的中点，
∴GH=BE=6，
故答案为6．
【点拨】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求解BE的长是解题的关键．再根据中位线定理求出GH．
25．②③④
【分析】
根据尺规作图的痕迹可得，DE垂直平分AB，再根据线段垂直平分线的性质以及直角三角形斜边上中线的性质，即可得出结论．
解：根据尺规作图的痕迹可得，DE垂直平分AB，
∴D为AB的中点，AE=BE，
∴CD=AB=AD=BD，
∴∠DBC=∠DCB，∠A=∠ACD，
综上所述，①选项错误，②③④选项都正确，
故答案为：②③④．
【点拨】本题主要考查了基本作图以及直角三角形斜边上中线的性质，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．
26．3
【分析】
根据三角形中位线定理和直角三角形斜边上的中线的性质即可得到结论．
解：∵点D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∵BC=14，
∴DE=BC=7，
∵∠AFB=90°，AB=8，
∴DF=AB=4，
∴EF=DE-DF=7-4=3，
故答案为：3．
【点拨】本题考查了三角形中位线定理、直角三角形的性质，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．
27．8
【分析】
根据三角形中位线定理求出DE，根据直角三角形的性质求出FE，结合图形计算，得到答案．
解：∵点D，点E分别是AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=BC=5（cm），
在Rt△AFC中，点E是AC的中点，
∴FE=AC=3（cm），
∴DF=DE+EF=5+3=8（cm），
故答案为8．
【点拨】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
28． ③ ②
【分析】
先证四边形EFGH是平行四边形，要使四边形EFGH为矩形，需要∠EFG=90°，即AC⊥BD；当AC=BD，可判断四边形EFGH为菱形．
解：依题意得，四边形EFGH是由四边形ABCD各边中点连接而成，
连接AC、BD，
∵E、F、G、H分别是CD、DA、AB、BC的中点，
∴EF∥AC∥HG，EH∥BD∥FG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
要使四边形EFGH为矩形，
根据矩形的判定：有一个角为直角的平行四边形是矩形，
故当AC⊥BD时，∠EFG=∠EHG=90°时，四边形EFGH为矩形；
要使四边形EFGH为菱形，
根据矩形的判定：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，即EF=EH，
而EH=BD，
∴AC=BD．
故当AC=BD时，平行四边形EFGH为菱形
故答案为：③；②．
【点拨】本题考查了矩形和菱形的判定定理：有一个角为直角的平行四边形是矩形，邻边相等的平行四边形是菱形．也考查了平行四边形的判定以及三角形中位线的性质．
29．
【分析】
根据题意作出图形，结合矩形的判定定理即可求得．
解：如图，中，延长至D使得，延长至E使得，
当时，四边形是矩形
，
故答案为：
【点拨】本题考查了矩形的性质与判定定理，掌握矩形的性质与判定定理是解题的关键．
30．
【分析】
根据矩形的判定定理在平行四边形的条件下，加上对角线相等，或者有一个角是直角即可
解：四边形是平行四边形
若
则四边形是矩形
故答案为：（答案不唯一）
【点拨】本题考查了矩形的判定定理，掌握矩形的判定定理是解题的关键．
31．③
【分析】
由矩形的判定、平行四边形的判定与性质分别对各个选项进行判断即可．
解：①∵AO＝CO，BO＝DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，不符合题意；
②，
不能判定四边形ABCD是矩形，不符合题意；
③∵OA＝OB＝OC＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，符合题意；
④，
不能推出四边形ABCD是矩形，不符合题意；
故答案为：③．
【点拨】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质等知识；熟练掌握矩形的判定、平行四边形的判定与性质是解题的关键．
32．有一个角是直角的平行四边形为矩形．
【分析】
先证四边形是平行四边形，再由，即可得出结论．
解：是的中点，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形为矩形，
故答案为：有一个角是直角的平行四边形为矩形．
【点拨】先证四边形是平行四边形，再由，即可得出结论．
33．矩形
【分析】
首先根据角平分线的性质证明∠MPQ+∠NPQ＝90°，再证明四边形PMQN是平行四边形，然后根据有一个角是直角的平行四边形是矩形进行判定．
解：∵PM、PN分别平分∠APQ，∠BPQ，
∴∠MPQ＝∠APQ，∠NPQ＝∠BPQ，
∵∠APQ+∠BPQ＝180°，
∴∠MPQ+∠NPQ＝90°，即∠NPM＝90°，
∵AB∥CD，
∴∠APQ＝∠PQD，
∵QN平分∠PQD，
∴∠PQN＝∠PQD，
∴∠MPQ＝∠NQP，
∴PM∥QN，
同理QM∥PN，
∴四边形PMQN是平行四边形，
∵∠NPM＝90°，
∴四边形PMQN是矩形．
故答案为：矩形．
【点拨】此题主要考查了矩形的判定和平行线的性质，解题关键是根据角平分线和平行线的性质得出90°角和平行四边形．
34．8
【分析】
由勾股定理可得AC＝5，根据角平分线的性质可证∠H＝∠CAH＝∠DAH，即AC＝CH＝5，则可求S△ABH的值，由P是中点，可得S△ABP的值．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴ADBC，∠ABC＝90°，
∵AB＝4，BC＝3，
∴AC＝＝5，
∵AH平分∠DAC，
∴∠DAH＝∠CAH，
∵ADBC，
∴∠DAH＝∠H，
∴∠H＝∠CAH，
∴AC＝CH＝5，
∵BH＝BC+CH，
∴BH＝8，
∵S△ABH＝AB×BH＝×4×8＝16，
∵P是AH的中点
∴S△ABP＝S△ABH＝8；
故答案为：8．
【点拨】此题主要考查矩形的性质与判定综合，解题的关键是矩形的性质及勾股定理的应用．
35．＝
【分析】
根据矩形的性质，可知△ABD的面积等于△CDB的面积，△MBK的面积等于△QKB的面积，△PKD的面积等于△NDK的面积，再根据等量关系即可求解．
解：∵四边形ABCD是矩形，四边形MBQK是矩形，四边形PKND是矩形，
∴△ABD的面积=△CDB的面积，△MBK的面积=△QKB的面积，△PKD的面积=△NDK的面积，
∴△ABD的面积-△MBK的面积-△PKD的面积=△CDB的面积-△QKB的面积=△NDK的面积，
∴S1=S2．
故答案为：=
【点拨】本题考查了矩形的性质，解题的关键是得到△ABD的面积等于△CDB的面积，△MBK的面积等于△QKB的面积，△PKD的面积等于△NDK的面积．
36．##
【分析】
首先证明四边形PMCN是矩形，推出MN=PC，根据垂线段最短即可解决问题；
解：如图，连接PC．
在△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=6，BC=2，
∴AB==2，
∵PM⊥AC，PN⊥BC，
∴∠PMC=∠PNC=∠C=90°，
∴四边形PMCN是矩形，
∴MN=PC，
∴当PC⊥AB时，PC的值最小，
此时MN的最小值=PC=，
故答案为：．
【点拨】本题考查矩形的判定和性质、垂线段最短、勾股定理等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．
37．（1）见分析；（2）4
【分析】
（1）先由已知条件证明四边形OBEC是平行四边形，再由矩形的性质得出OB=OC，由菱形的判定方法即可得出结论；
（2）先求出S△OBC=S矩形ABCD=2，即可求解．
解：（1）∵BE∥AC，CE∥DB，
∴四边形OBEC是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OC=AC，OB=BD，AC=BD，
∴OB=OC，
∴四边形OBEC是菱形；
（2）∵AD=4，AB=2，
∴S矩形ABCD=4×2=8，
∴S△OBC=S矩形ABCD=2，
∴菱形OBEC的面积=2S△OBC=4．
【点拨】本题考查了矩形的性质、平行四边形的判定、菱形的判定；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．
38．见分析
【分析】
由已知条件，且，得出四边形AOBP是平行四边形，再根据矩形的性质得出，即可得出结论.
解：∵，且，
∴四边形是平行四边形．
∵四边形是矩形，
∴，
∴四边形是菱形．
【点拨】此题考查平行四边形的判定，矩形的性质、菱形的判定，关键是熟记矩形的性质和菱形的判定．
39．(1)45°
(2)45°
【分析】
（1）根据线段垂直平分线的性质可得AE=BE，进而可证明△ABE为等腰直角三角形，即可求解；
（2）由等腰三角形的性质，三角形的内角和定理可求解∠ABC=∠C=67.5°，再利用三角形的内角和定理可求解．
(1)
解：∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE，
∵BE⊥AC，
∴△ABE为等腰直角三角形，
∴∠BAC=45°；
(2)
解：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵∠ABC+∠C+∠BAC=180°，
∴∠ABC=∠C=67.5°，
∵AF⊥BC，AB=AC，
∴F为BC为BC的中点，
∴EF=BF=CF，
∴∠CEF=∠C=67.5°，
∵∠C+∠CEF+∠CFE=180°，
∴∠CFE=45°．
【点拨】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，直角三角形的性质，线段的垂直平分线等知识的综合运用．
40．(1)见分析 (2)EF=BD
【分析】
（1）根据平行四边形的性质可得，根据已知条件即可求得OE=OF，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可得证；
（2）根据矩形的判定定理可知，对角线相等的平行四边形是矩形即可求解．
解：(1)
证明：四边形是平行四边形，
，
AE=CF，
OE=OF，
BFDE是平行四边形．
(2)
EF=BD．
证明：EF=BD，BFDE是平行四边形，
四边形BEDF是矩形．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质与判定，矩形的判定定理，掌握平行四边形的性质与判定以及矩形的判定定理是解题的关键．
41．(1)见分析 (2)四边形ABCD的面积为
【分析】
（1）先证明，，再证明，证明四边形AMCN是平行四边形， 再证明，从而可得结论；
（2）证明，，再利用四边形ABCD的面积公式进行计算即可．
解：(1)
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，，
∵对角线BD上的两点M、N满足，
∴，即，
∴四边形AMCN是平行四边形，∴，
∵，∴，
∴四边形AMCN是矩形
(2)
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，∴，
∵AB⊥AC，∴，
∴是等腰直角三角形，∴，
∴四边形ABCD的面积为．
【点拨】本题考查的是平行四边形的性质，矩形的判定与性质，熟练的运用矩形的判定定理解决问题是关键．
42．（1）；（2）见分析；（3）5．
【分析】
（1）由三角形中位线定理得出DF∥BC，且DF=BC，△ADF≌△DBE≌△FEC≌△EFD，得出△DEF的面积=△ABC的面积=即可；
（2）连接BD，证出EH是△ABD的中位线，FG是△BCD的中位线，由三角形中位线定理得出EH∥BD，EH=BD，FG∥BD，FG=BD，得出EH∥FG，EH=FG，即可得出结论；
（3）证出EH是△ABD的中位线，FG是△BCD的中位线，由三角形中位线定理得出EH∥BD，EH=BD= ，FG∥BD，FG=BD，得出EH∥FG，EH=FG，证出四边形EFGH是平行四边形，同理：EF∥AC，EF=AC=2，证出EH⊥EF，得出四边形EFGH是矩形，即可得出结果．
解：（1）∵D、E、F分别是△ABC三边的中点，
则有DF∥BC，且DF=BC，△ADF≌△DBE≌△FEC≌△EFD，
∴△DEF的面积=△ABC的面积=；
故答案为；
（2）证明：连接BD，如图2所示：
∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，
∴EH是△ABD的中位线，FG是△BCD的中位线，
∴EH∥BD，EH=BD，FG∥BD，FG=BD，
∴EH∥FG，EH=FG，
∴四边形EFGH是平行四边形；
（3）解：∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，
∴EH是△ABD的中位线，FG是△BCD的中位线，
∴EH∥BD，EH=BD=，FG∥BD，FG=BD，
∴EH∥FG，EH=FG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
同理：EF∥AC，EF=AC=2，
∵AC⊥BD，
∴EH⊥EF，
∴四边形EFGH是矩形，
∴四边形EFGH的面积=EH×EF=×2=5．
故答案为（1）；（2）见分析；（3）5．
【点拨】本题是四边形综合题目，考查三角形中位线定理、平行四边形的判定、矩形的判定与性质等知识；熟练掌握三角形中位线定理，证明四边形EFGH是平行四边形是解题的关键．