北师大版九年级数学上册基础知识专项讲练 专题1.10 正方形的性质与判定（基础篇）（专项练习）

这是一份北师大版九年级数学上册基础知识专项讲练 专题1.10 正方形的性质与判定（基础篇）（专项练习），共51页。试卷主要包含了单选题，据正方形性质进行证明，添加一个条件使四边形成正方形，据正方形性质与判定求角的大小，据正方形性质与判定进行证明， 中点四边形，正方形的综合问题等内容，欢迎下载使用。
类型一、据正方形性质求角的大小、线段的长及面积
1．如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上的点，AB＝BF＝DE，则∠EAF的度数为（ ）
A．22.5°B．30°C．45°D．67.5°
2．如图，在边长为2的正方形中，点E，F分别是的中点，连接，点G，H分别是的中点，连接，则的长度为（ ）
A．B．2C．D．1
3．如图，正方形ABCD的边长为2，H在CD的延长线上，四边形CEFH也为正方形，则△DBF的面积为( )
A．4B．C．D．2
类型二、据正方形性质进行证明
4．在锐角三角形中，是边上的高，分别以、为一边，向外作正方形和，连接、和，与的延长线交于点，下列结论：；；是的中线；，其中正确结论的个数是（ ）
A．个B．个C．个D．个
5．如图，在正方形ABCD中，将边BC绕点B逆时针旋转至，连接，，若，，则线段BC的长度为（ ）．
A．4B．5C．D．
6．如图，G是正方形ABCD内一点，以GC为边长，作正方形GCEF，连接BG和DE，试用旋转的思想说明线段BG与DE的关系（ ）
A．DE＝BGB．DE＞BGC．DE＜BGD．DE≥BG
类型三、添加一个条件使四边形成正方形
7．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）
A．当AB＝BC时，四边形ABCD是菱形
B．当∠ABC＝90°时，四边形ABCD是矩形
C．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形
D．当AC＝BD时，四边形ABCD是正方形
8．在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°．如果再添加一个条件可推出四边形是正方形，那么这个条件可以是（ ）
A．AB=CDB．BC=CDC．∠D=90°D．AC=BD
9．下列关于的叙述，正确的是（ ）
A．若，则是矩形B．若，则是正方形
C．若，则是菱形D．若，则是正方形
类型四、据正方形性质与判定求角的大小、线段的长及面积
10．如图，在正方形ABCD中，以对角线BD为边作菱形BDFE，连接BF，则∠AFB＝（ ）
A．22.5°B．25°C．30°D．不能确定
11．如图，在边长为的正方形ABCD中，点E是对角线AC上一点，且于点F，连接DE，当时，（ ）
A．1B．C．D．
12．如图，在边长为1的正方形中，当第1次作，第2次作；第3次作，……依次方法继续作垂直线段，当作到第10次时，所得的最小的三角形的面积是（ ）
A．B．C．D．
类型五、据正方形性质与判定进行证明
13．如图，正方形中，、是对角线上的两点，，，则四边形的面积为（ ）．
A．12B．6C．D．
14．在矩形ABCD中，M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA上的点（不与端点重合），对于任意矩形ABCD，下面四个结论中，正确结论的个数是（ ）
①存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；
②存在无数个四边形MNPQ是矩形；
③存在无数个四边形MNPQ是菱形；
④至少存在一个四边形MNPQ是正方形．
A．1B．2C．3D．4
15．如图，已知在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE，DF分别是∠OAD与∠ODC的平分线，AE的延长线与DF相交于点G，则下列结论：①AG⊥DF；②EF∥AB；③AB＝AF；④AB＝2EF．其中正确的结论是（ ）
A．①②B．③④C．①②③D．①②③④
类型六、 中点四边形
16．下列命题错误的是（ ）
A．对角线互相垂直平分的四边形为菱形
B．对角线垂直且相等的四边形是正方形
C．直角三角形的两直角边长是3和4，则斜边长是5
D．顺次连接四边形各边中点得到的是矩形，则该四边形的对角线相互垂直
17．如图，在四边形ABCD中，点E，F分别是AD，BC的中点，G，H分别是BD，AC的中点，AB，CD满足什么条件时，四边形EGFH是菱形.（ ）
A．B．//C．D．
18．如图，小宋作出了边长为2的第一个正方形，算出了它的面积．然后分别取正方形四边的中点、、、作出了第二个正方形，算出了它的面积．用同样的方法，作出了第三个正方形，算出了它的面积…，由此可得，第六个正方形的面积是（ ）
A．B．C．D．
类型七、正方形的综合问题
19．如图，在四边形中，对角线，且，则该四边形的面积是（ ）
A．30B．54C．D．60
20．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，P，Q分别是BC，AB上的两个动点，AE＝2，△AEQ沿EQ翻折形成△FEQ，连接PF，PD，则PF+PD的最小值是( )
A．10B．9C．8D．7
21．用两个全等的直角三角形拼图，不一定能拼成下列的哪一种图形( )
A．矩形B．平行四边形C．等腰三角形D．菱形
二、填空题
类型一、据正方形性质求角的大小、线段的长及面积
22．如图，在正方形ABCD内部作等边△CDE，连接BD．则的度数为______．
23．小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示菱形，并测得，对角线，接着活动学具成为图2所示正方形，则图2中对角线AC的长为______cm．
24．如图，平面内直线，且相邻两条平行线间隔均为1，正方形ABCD的4个顶点分别在4条平行线上，则正方形的面积为_________．
类型二、据正方形性质进行证明
25．如图，直线l经过正方形ABCD的顶点B，点A，C到直线l的距离分别是1，3，则正方形ABCD的面积是 _____．
26．如图，四边形是正方形， 和都是直角，且点E、A、B三点共线，若，则阴影部分的面积是__________．
27．如图，，分别是正方形的边，上的点，且，，相交于点，则与的数量与位置关系为______．
类型三、添加一个条件使四边形成正方形
28．如图，四边形中，对角线，相交于点，AD//BC，，平分．欲使四边形是正方形，则还需添加添加________（写出一个合适的条件即可）
29．如图，四边形ABCD是矩形，则只须补充条件_____（用字母表示，只添加一个条件）就可以判定四边形ABCD是正方形．
30．如图，在矩形中对角线，交于点，请添加一个条件______________，使矩形是正方形（填一个即可）
类型四、据正方形性质与判定求角的大小、线段的长及面积
31．如图，正方形中，为边上一点，为延长线上一点，且，若，则____________．
32．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，AD＝，DG＝2，H是AF的中点，那么CH的长是_____．
33．如图，四边形ABCD中，AD=DC，∠ADC=∠ABC=90°，DE⊥AB，若四边形ABCD面积为16，则DE的长为_____．
类型五、据正方形性质与判定进行证明
34．如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC延长线上一点，P是∠DCE平分线上任意一点则△PBD的面积是 ___．
35．如图，在正方形中，点在对角线上（不与点，重合），于点，于点，连接．写出线段，，之间的数量关系，并说明理由．
36．如图，已知正方形的边长为，对角线与相交于点，点在边的延长线上，若，则__________．
类型六、 中点四边形
37．如图，在四边形中，于点，点，，，分别为边，，，的中点，顺次连接，，，，则四边形是______.
38．矩形的两条邻边长分别是6cm和8cm，则顺次连接各边中点所得的四边形的面积是_____．
39．如图四边形中，点E、F、G、H分别是AD、BC、BD、AC的中点，当四边形ABCD满足条件_____时，四边形EGFH是菱形．（填一个使结论成立的条件）
类型七、正方形的综合问题
40．把长方形OABC放在如图所示的平面直角坐标系中，点F、E分别在边OA和AB上，若点F （0，3），点C （9，0），且∠FEC＝90°，EF＝EC，则点E的坐标为_____．
41．如图，△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上．比较大小，∠A＋∠C___________∠1＋∠2．
42．如图，四边形ABCD中，E、F、G、H依次是各边中点，O是形内一点，若四边形AEOH、四边形BFOE、四边形CGOF的面积分别为6、7、8，四边形DHOG面积为（ ）
A．6B．7C．8D．9
三、解答题
43．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE＝2，AE＝3BE，P是AC上一动点，连接PE，PB．
(1)在AC上找一点P，使△BPE的周长最小（作图说明）；
(2)求出△BPE周长的最小值．
44．如图，四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE＝BF，连接AE，AF，EF．
(1)求证：△ADE≌△ABF；
(2)若BC＝8，DE＝6，求EF的长．
45．如图，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且∠OBC＝∠OCB．
（1）求证：□ABCD是矩形；
（2）请添加一个条件，使矩形ABCD成为正方形，并说明理由．
46．如图，四边形是平行四边形，以点为圆心，长为半径画弧交于点,连接，点是射线上一动点，交延长线于点，于点．
（1）求证：
（2）当点与点重合时，若，，求四边形的面积．
47．提出问题：（1）如图1，已知在锐角中，分别以、为边向外作等腰直角和等腰直角，连接、，则线段与线段的数量关系是 ；
（2）如图2，在中，，分别以边、向外作正方形和正方形，连接，，．猜想线段与线段的有什么关系？并说明理由．（提示：正方形的各边都相等，各角均为）
（3）在（2）的条件下，探究与面积是否相等？说明理由．
48．如图，E、F、 G、H分别为四边形ABCD四边之中点．
(1)求证：四边形EFGH为平行四边形；
(2)当AC、BD满足______时，四边形EFGH为矩形．
49．如图，是边长为的等边三角形，点为下方的一动点，．
（1）若，求的长；
（2）求点到的最大距离；
（3）当线段的长度最大时，求四边形的面积．
参考答案
1．C
【分析】
根据正方形的性质可得，，，证明，即可解决问题．
解：在正方形中，，，，
，
，
，
．
故选：C．
【点拨】本题考查了正方形的性质，解决本题的关键是掌握正方形的性质．
2．C
【分析】
连接CF，利用正方形的性质，得到AD＝DC＝2，∠ D＝90°，利用勾股定理求出CF的长度，再利用中位线定理得到GH的长度．
解：如图，连接CF，
∵ 四边形ABCD是正方形
∴ AD＝DC＝2，∠ D＝90°
∵点F分别是AD的中点，
∴DF＝AD＝1
在Rt△CDF中，

∴
∵点G，H分别是的中点，
∴是△EFC的中位线
∴＝CF＝
故选：C
【点拨】本题考查了正方形的性质、勾股定理、三角形中位线定理等知识，熟练掌握并应用中位线定理是解题的关键．
3．D
【分析】
设正方形CEFH边长为a，根据图形表示出阴影部分面积，去括号合并即可得到结果．
解：设正方形CEFH的边长为a，根据题意得：
=2．
故选：D．
【点拨】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
4．A
【分析】
根据正方形的性质可得AB=AE，AC=AG，∠BAE=∠CAG=90°，然后求出∠CAE=∠BAG，再利用“边角边”证明△ABG和△AEC全等，根据全等三角形对应边相等可得BG=CE，判定①正确；设BG、CE相交于点N，根据全等三角形对应角相等可得∠ACE=∠AGB，然后求出∠CNG=90°，根据垂直的定义可得BG⊥CE，判定②正确；过点E作EP⊥HA的延长线于P，过点G作GQ⊥AM于Q，根据同角的余角相等求出∠ABH=∠EAP，再利用“角角边”证明△ABH和△EAP全等，根据全等三角形对应角相等可得∠EAM=∠ABC判定④正确，全等三角形对应边相等可得EP=AH，同理可证GQ=AH，从而得到EP=GQ，再利用“角角边”证明△EPM和△GQM全等，根据全等三角形对应边相等可得EM=GM，从而得到AM是△AEG的中线，即可判定③正确．
解：在正方形ABDE和正方形ACFG中，AB=AE，AC=AG，∠BAE=∠CAG=90°，
∴∠BAE+∠BAC=∠CAG+∠BAC，即∠CAE=∠BAG，
在△ABG和△AEC中，
∵AB=AE，∠CAE=∠BAG，AC=AG，
∴△ABG≌△AEC（SAS），
∴BG=CE，故①正确；
设BG、CE相交于点N，
∵△ABG≌△AEC，
∴∠ACE=∠AGB，
∵∠NCF+∠NGF=∠ACF+∠ACE+∠AGF－∠AGB=90°+90°=180°，
∴∠CNG=360°-（∠NCF+∠NGF+∠F）=360°-（180°+90°）=90°，
∴BG⊥CE，故②正确；
过点E作EP⊥HA的延长线于P，过点G作GQ⊥AM于Q，
∵AH⊥BC，
∴，
∵∠BAE=90°，
∴∠EAP+∠BAH=180°-90°=90°，
∴∠ABH=∠EAP，
在△ABH和△EAP中，
∵∠ABH=∠EAP，∠AHB=∠P=90°，AB=AE，
∴△ABH≌△EAP（AAS），
∴∠EAM=∠ABC，故④正确，EP=AH，
同理可得GQ=AH，
∴EP=GQ，
在△EPM和△GQM中，
∵∠P=∠MQG=90°，∠EMP=∠GMQ，EP=GQ，
∴△EPM≌△GQM（AAS），
∴EM=GM，
∴AM是△AEG的中线，故③正确，
综上所述，①②③④结论都正确．
故选：A
【点拨】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，在解答时作辅助线EP⊥HA的延长线于P，过点G作GQ⊥AM于Q构造出全等三角形是难点，运用全等三角形的性质是关键．
5．D
【分析】
根据旋转的性质，可知BC＝BC＇．取点O为线段CC＇的中点，并连接BO．根据等腰三角形三线合一的性质、正方形的性质及直角三角形的性质，可证得Rt△OBC≌ Rt△C＇CD，从而证得OC＝C＇D，BO＝C C＇,再利用勾股定理即可求解．
解：如图，取点O为线段CC＇的中点，并连接BO．
依题意得，BC＝BC＇
∴BO⊥C C＇
∴∠BOC＝90°
在正方形ABCD中，
BC＝CD，∠BCD＝90°
∴∠OCB＋∠C＇CD＝90°
又∵∠C C＇D＝ 90°
∴∠C＇DC＋∠C＇CD＝90°
∴∠OCB＝∠C＇DC
在Rt△OBC和Rt△C＇CD中
∴Rt△OBC≌ Rt△C＇CD（AAS）
∴OC＝C＇D＝2
∴C C＇＝2 OC ＝2×2＝4
∴BO＝C C＇＝4
在Rt△BOC中
BC＝＝＝
故选：D．
【点拨】本题考查了旋转的性质、正方形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质及勾股定理的运用等知识，解题的关键是辅助线的添加．
6．A
【分析】
根据四边形ABCD为正方形，得出BC=DC，∠BCD=90°，根据四边形CEFG为正方形，得出GC=EC，∠GCE=90°，再证∠BCG=∠DCE，△BCG与△DCE具有可旋转的特征即可
解：∵四边形ABCD为正方形，
∴BC=DC，∠BCD=90°，
∵四边形CEFG为正方形，
∴GC=EC，∠GCE=90°，
∵∠BCG+∠GCD=∠GCD+∠DCE=90°，
∴∠BCG=∠DCE，
∴△BCG绕点C顺时针方向旋转90°得到△DCE，
∴BG=DE，
故选项A．
【点拨】本题考查图形旋转特征，正方形性质，三角形全等条件，同角的余角性质，掌握图形旋转特征，正方形性质，三角形全等条件是解题关键．
7．D
【分析】
根据邻边相等的平行四边形是菱形；根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形；根据对角线相等的平行四边形是矩形；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形.
解：A. 当AB＝BC时，平行四边形ABCD是菱形，故该选项正确，不符合题意；
B. 当∠ABC＝90°时，平行四边形ABCD是矩形，故该选项正确，不符合题意；
C. 当AC⊥BD时，平行四边形ABCD是菱形，故该选项正确，不符合题意；
D. 当AC＝BD时，平行四边形ABCD是矩形，故该选项不正确，符合题意；
故选D
【点拨】本题考查了对矩形的判定、菱形的判定，正方形的判定的应用，能正确运用判定定理进行判断是解此题的关键，难度适中．
8．B
【分析】
先证四边形ABCD是矩形，当BC=CD时，四边形ABCD是正方形由此判断．
解：∵∠A=∠B=∠C=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
当BC=CD时，四边形ABCD是正方形，
故选：B．
【点拨】此题考查了正方形的判定定理，熟记正方形的判定定理并应用是解题的关键．
9．A
【分析】
由菱形的判定方法、矩形的判定方法、正方形的判定方法得出选项、、错误，正确；即可得出结论．
解：中，，
四边形是矩形，选项符合题意；
中，，
四边形是菱形，不一定是正方形，选项不符合题意；
中，，
四边形是矩形，不一定是菱形，选项不符合题意；
中，，
四边形是菱形，选项不符合题意；
故选：．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定方法、矩形的判定方法、正方形的判定方法；熟练掌握矩形、菱形、正方形的判定方法是解决问题的关键．
10．A
【分析】
根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ADB=45°，再根据菱形的四条边都相等可得BD=DF，根据等边对等角可得∠DBF=∠DFB，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和进行计算即可得解．
解：在正方形ABCD中，∠ADB=∠ADC=×90°=45°，
在菱形BDFE中，BD=DF，
所以，∠DBF=∠AFB，
在△BDF中，∠ADB=∠DBF+∠AFB=2∠AFB=45°，
解得∠AFB=22.5°．
故选：A．
【点拨】本题考查了正方形的四个角都是直角，对角线平分一组对角的性质，菱形的四条边都相等的性质，以及等边对等角，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，难度不大，熟记各性质是解题的关键．
11．C
【分析】
证明，则，计算的长，得，证明是等腰直角三角形，可得的长．
解：四边形是正方形，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
故选：C．
【点拨】本题考查正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是在正方形中学会利用等腰直角三角形的性质解决问题，属于中考常考题型．
12．B
【分析】
根据正方形的性质可得AB=AD，然后根据等腰直角三角形的性质求出△AOD的面积，再求出△AOE的面积，△AEF的面积，根据计算结果可得下一次得到最小的三角形的面积是上一次三角形的，然后写出第10次时所得的最小的三角形的面积即可．
解：∵四边形ABCD是正方形，边长为1，
∴AB=AD，正方形的面积为1，
第1次作AO⊥BD,则最小△AOD的面积=××1==，
第2次作EO⊥AD,最小△AOE的面积=×==；
第3次作EF⊥AO,最小△AEF的面积=×=，
…，
依此类推,作到第10次时,最小三角形的面积=.
故选B．
【点拨】此题主要考查正方形的性质，解题的关键是根据图形的特点找到变化规律．
13．B
【分析】
连接AC，由正方形性质得到AO＝CO＝BO＝DO，AC⊥BD，进而得到OE＝OF，根据菱形的判定证得四边形AECF是菱形，根据菱形的面积公式两对角线的积的一半即可求得结果．
解：连接AC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD，AC＝BD＝6，
∴AO＝CO＝BO＝DO，
∵BE＝DF＝4，
∴BF＝DE＝BD−BE＝2，
∴OE＝OF，EF＝DF−DE＝2，
∴四边形AECF是菱形，
∴菱形AECF的面积＝AC•EF＝×6×2＝6，
故选：B．
【点拨】本题主要考查了正方形的性质，菱形的判定和面积公式，能够证得四边形AECF是菱形是解决问题的关键．
14．C
【分析】
根据矩形的判定和性质，菱形的判定，正方形的判定，平行四边形的判定定理即可得到结论．
解：①如图，∵四边形ABCD是矩形，连接AC，BD交于O，
过点O直线MP和QN，分别交AB，BC，CD，AD于M，N，P，Q，
则四边形MNPQ是平行四边形，
故存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；故正确；
②如图，当PM＝QN时，四边形MNPQ是矩形，故存在无数个四边形MNPQ是矩形；故正确；
③如图，当PM⊥QN时，存在无数个四边形MNPQ是菱形；故正确；
④当四边形MNPQ是正方形时，MQ＝PQ，
则△AMQ≌△DQP，
∴AM＝QD，AQ＝PD，
∵PD＝BM，
∴AB＝AD，
∴四边形ABCD是正方形，
当四边形ABCD为正方形时，四边形MNPQ是正方形，故错误；
故选：C．
【点拨】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的判定，正方形的判定，平行四边形的判定定理，熟记各定理是解题的关键．
15．C
【分析】
①证明∠DAE＝∠CDF，进而得∠DAF+∠ADG＝90°,便可判断①的正误;
②证明△AGF≌△AGD（ASA），得AG垂直平分DF,得ED＝EF，得∠EFD＝∠EDF＝∠CDF，得EF∥CD，便可判断②的正误;
③由△AGF≌△AGD得AF＝AD，便可判断③的正误;
④证明EF＝ED＝，由平行于三角形一边的直线所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例便可得AB与EF的数量关系，进而判断④的正误.
解：①∵四边形ABCD是正方形,
∴∠CAD＝∠BDC＝45°,
∵AE，DF分别是∠OAD与∠ODC的平分线,
∴∠DAE＝∠CDF,
∵∠ADF+∠CDF＝90°,
∴∠DAF+∠ADG＝90°,
∴∠AGD＝90°,即AG⊥DF,
故①结论正确;
②在△AGF和△AGD中,
,
∴△AGF≌△AGD（ASA）,
∴GF＝GD,
∵AG⊥DF,
∴EF＝ED,
∴∠EFD＝∠EDF＝∠CDF,
∴EF∥CD∥AB,
故②正确;
③∵△AGF≌△AGD（ASA）,
∴AD＝AF＝AB,
故③正确;
④∵EF∥CD,
∴∠OEF＝∠ODC＝45°,
∵∠COD＝90°,
∴EF＝ED＝,
∴,
∴AB＝CD＝（+1）EF,
故④错误.
故选：C.
【点拨】本题主要考查了正方形的性质的应用,结合三角形全等的判定与性质进行证明求解.
16．B
【分析】
利用菱形、正方形的判定方法、勾股定理、中点四边形的知识分别判断后即可确定正确的选项．
解：A、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，正确，不符合题意；
B、对角线垂直且相等的平行四边形是正方形，故错误，符合题意；
C、直角三角形的两直角边长是3和4，则斜边长是5，正确，不符合题意；
D、顺次连接四边形各边中点得到的是矩形，则该四边形的对角线相互垂直，正确，不符合题意．
故选：B．
【点拨】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解菱形、正方形的判定方法、勾股定理、中点四边形的知识，难度不大．
17．A
【分析】
根据中位线的定义与性质可知四边形EGFH是平行四边形，然后找出邻边相等的条件即可证明该四边为菱形．
解：由题意知是的中位线
∴，
是的中位线
∴，
∴，
∴四边形EGFH是平行四边形
∵是的中位线，
∴
当时，
∴平行四边形EGFH是菱形
故选A．
【点拨】本题考查了中位线，菱形的判定．解题的关键在于对知识的灵活运用
18．A
【分析】
根据正方形的性质，下一个正方形的面积是上一个正方形的面积的，然后依次求解即可．
解：正方形的面积为4；
顺次连接正方形中点得正方形，则正方形的面积为正方形面积的一半，即；
顺次连接正方形得正方形，则正方形的面积为正方形面积的一半，即；
顺次连接正方形中点得正方形，则正方形的面积为正方形面积的一半，即．
…
第六个正方形的面积是，
故选：A．
【点拨】本题考查了正方形的性质，熟记性质并判断出正方形中点四边形的面积等于原正方形的面积的是解题的关键．
19．B
【分析】
设两对角线的交点为E，由即可完成．
解：设两对角线的交点为E
∵
=54
故选：B．
【点拨】本题考查了四边形面积的计算，关键是转化为两个直角三角形面积的和，体现了转化思想的应用．一般地，如果四边形的两条对角线相互垂直，则四边形的面积与菱形面积计算一样，等于两对角线乘积的一半．
20．C
【分析】
作点D关于BC的对称点D′，连接PD′，ED′，证得DP＝PD′，推出PD+PF＝PD′+PF，又EF＝EA＝2是定值，即可推出当E、F、P、D′四点共线时，PF+PD′定值最小，最小值＝ED′﹣EF即可得出结果．
解：作点D关于BC的对称点D′，连接PD′，ED′，如图所示：
∵矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，AE＝2，
∴DE＝AD﹣AE＝BC﹣AE＝6，DD′＝2DC＝2AB＝8，
∴ED′＝ ＝ ＝10，
在△PCD和△PCD′中， ，
∴△PCD≌△PCD′(SAS)，
∴DP＝PD′，
∴PD+PF＝PD′+PF，
∵EF＝EA＝2是定值，
∴当E、F、P、D′四点共线时，PF+PD′定值最小，最小值＝10﹣2＝8，
∴PF+PD的最小值为8，
故选C．
【点拨】本题考查翻折变换、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称，根据两点之间线段最短解决最短问题．
21．D
【分析】
根据直角三角形的性质，拼成的图形可能是等腰三角形、平行四边形、矩形；因为拼成的四边形的两组对边分别是两条直角边或一条直角边和斜边，不能得出四边相等，所以不可能拼成菱形．
解：如果让直角三角形的直角边重合，可能拼成等腰三角形或平行四边形；
如果让直角三角形的斜边重合，可能拼成矩形.
因为拼成的四边形的两组对边分别是两条直角边或一条直角边和斜边，所以不可能拼成菱形.
故选D.
【点拨】考查矩形，菱形，平行四边形的性质，掌握它们的性质是解题的关键.
22．15°##15度
【分析】
根据正方形和等边三角形的性质可得出∠BDC、∠CDE的度数，然后根据角的和差计算即可．
解：∵四边形ABCD是正方形，△CDE是等边三角形，
∴，∠CDE=60°，
∴∠BDE=∠CDE-∠BDC=15°．
故答案为：15°．
【点拨】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质等知识，掌握正方形和等边三角形的性质是解题的关键．
23．
解：如图1，如图2，连接AC，
图1中，∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，
∵∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=20cm，
在图2中，∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠B=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴．
故答案为：
【点拨】本题考查菱形的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握菱形和正方形的性质，属于中考常考题型．
24．
【分析】
过C点作直线EF与四条平行线垂直，与交于点E，与交于点F，从而可以证得△CDE≌△CBF，得CF＝1，BF＝2．根据勾股定理可求得正方形的面积．
解：过C点作EF⊥，交于E点，交于F点，如图所示：
∵，EF⊥，
∴EF⊥，EF⊥，
即∠CED＝∠BFC＝90°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BCD＝90°，
∴∠DCE＋∠BCF＝90°，
又∵∠DCE＋∠CDE＝90°，
∴∠CDE＝∠BCF，
在△CDE和△BCF中
，
∴△CDE≌△BCF（AAS），
∴BF＝CE＝2，
∵CF＝1，
∴＝12＋22＝5，即正方形ABCD的面积为5，
故答案为：5．
【点拨】此题主要考查了正方形的性质和面积计算，根据平行线之间的距离构造全等的直角三角形是解决问题的关键．
25．10
【分析】
根据正方形的性质，结合题意易求证，，，即可利用“ASA”证明，得出．最后根据勾股定理可求出，即正方形的面积为10．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴，，
∴．
根据题意可知：，，
∴，，
∴在和中，，
∴，
∴．
∵在中，，
∴正方形ABCD的面积是10．
故答案为：10．
【点拨】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质以及勾股定理．利用数形结合的思想是解答本题的关键．
26．2
【分析】
由正方形的性质可得AC=AF，∠CAF=90°，由“AAS”可证△ACE≌△FAB，可得CE=AB=2，即可求解．
解：∵四边形ACDF是正方形，
∴AC=AF，∠CAF=90°，
∴∠CAE+∠FAB=90°，∠ACE+∠CAE=90°，
∴∠ACE=∠FAB，且∠E=∠ABF，AC=AF，
∴△ACE≌△FAB（AAS），
∴CE=AB=2，
∴S阴影=×AB×CE=2，
故答案为：2．
【点拨】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，证明CE=AB是本题的关键．
27．相等且垂直
【分析】
根据正方形的性质可得∠BAF=∠D=90°，AB=AD=CD，然后求出AF=DE，再利用“边角边”证明△ABF和△DAE全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=BF．
解：AE=BF，且AE⊥BF，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD=AB=BC，∠ADE=∠BAF=90°，
∵CE=DF，,
∴AF=DE，
在△BAF和△ADE中，

∴△BAF≌△ADE（SAS），
∴AE=BF，,
又∵,
∴，
∴ ,
∴AE⊥BF．
故答案为：相等且垂直．
【点拨】本题考查正方形的性质和全等三角形的证明，解题关键是掌握正方形的性质和证明全等的方法．
28．（答案不唯一）
【分析】
由平行线的性质可知，，即易证，得出，由此可证明四边形ABCD为平行四边形．由角平分线的性质可知，即得出，从而证明，即平行四边形ABCD为菱形．故在四边形ABCD为菱形的基础上，添加条件使其为正方形即可．
解：∵，
∴，
∴在和中，，
∴，
∴，
∴四边形ABCD为平行四边形．
∵AC平分∠BAD，
∴，
∴，
∴，
∴平行四边形ABCD为菱形．
∴再添加或等，即可证明菱形ABCD为正方形．
故答案为：（答案不唯一）．
【点拨】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形全等的判定和性质，平行四边形、菱形、正方形的判定．掌握特殊四边形的判定方法是解题的关键．
29．AB＝AD（答案不唯一）
【分析】
本题中给出在矩形的基础上，可以加上有一组邻边相等即可判定四边形ABCD是正方形．
解：因为有一组邻边相等的矩形是正方形，
故答案为：AB＝AD（答案不唯一）．
【点拨】本题考查了正方形的判定，属于条件开放题目，答案不唯一，掌握知识点是解题关键．
30．或
【分析】
根据正方形的判定定理可知：邻边相等的矩形是正方形，对角线互相垂直的矩形是正方形.
解：∵邻边相等的矩形是正方形，
∴可添加条件
或者∵对角线互相垂直的矩形是正方形
∴还可以添加条件
【点拨】本题考查正方形的判定，找出正方形与矩形的性质差异，即为可添加的条件.
31．64°
【分析】
由正方形的性质得出BC=DC，∠BCE=∠DCF=90°，由SAS证明△BCE≌△DCF，得出对应角相等即可求出∠BEC的度数．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=DC，∠BCE=90°，
∴∠DCF=90°，
在△BCE和△DCF中，
，
∴△BCE≌△DCF（SAS），
∴∠BEC＝∠DFC，
∵CE=CF，∠ECF=90°，
∴△ECF为等腰直角三角形，
∴∠EFC=45°，
则∠DFC=∠EFD+∠EFC=19°+45°=64°，
∴∠BEC＝64°，
故答案为：64°.
【点拨】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、三角形内角和定理；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
32．
解：连接AC、CF，根据正方形性质求出AC、CF，∠ACD＝∠GCF＝45°，再求出∠ACF＝90°，然后利用勾股定理列式求出AF，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．
【解答】
解：如图，连接AC、CF，
∵正方形ABCD和正方形CEFG中，AD＝，DG＝2，
∴AC＝2，CG＝3，
∴CF＝6，
∠ACD＝∠GCF＝45°，
∴∠ACF＝90°，
由勾股定理得，AF＝，
∵H是AF的中点，
∴CH＝AF＝×＝．
故答案为：．
【点评】
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，正方形的性质，勾股定理，熟记各性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．
33．4
【分析】
如图，过点D作BC的垂线，交BC的延长线于F，利用互补关系可得∠A=∠FCD，又∠AED=∠F=90°，AD=DC，利用AAS可以判断△ADE≌△CDF，推出DE=DF，S四边形ABCD=S正方形DEBF=16，DE=4．
解：过点D作BC的垂线，交BC的延长线于F，
∵∠ABC=90°，DE⊥AB，
∴四边形DEBF为矩形，
∵∠ADC=∠ABC=90°，
∴∠A+∠BCD=180°，
∵∠FCD+∠BCD=180°，
∴∠A=∠FCD，
又∠AED=∠F=90°，AD=DC，
∴△ADE≌△CDF(AAS)，
∴DE=DF，
∴四边形DEBF为正方形，
S四边形ABCD=S正方形DEBF=16，
∴DE=4．
故答案为：4．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及三角形、正方形面积的计算，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
34．
【分析】
根据题意，，进而可知△PBD的面积等于的面积，根据正方形的面积进而即可求得△PBD的面积．
解：四边形是正方形，
，，
是∠DCE的平分线，
，
，
，
正方形．
故答案为：．
【点拨】本题考查了角平分线的定义，正方形的性质，平行线的性质，证明是解题的关键．
35．
【分析】
延长FG交AD于点P，延长EG交AB于点Q，根据矩形和正方形的性质即可得到，，然后根据直角三角形APG中勾股定理即可证明．
解：．
理由如下：已知四边形ABCD是正方形，点G在对角线BD上（不与点B､D重合），，，
如解图，延长FG交AD于点P，延长EG交AB于点Q，则四边形AQGP是矩形，四边形PGED和四边形BQGF是正方形，
∴，，
在中，，即．
【点拨】此题考查了矩形和正方形的性质，勾股定理的运用，解题的关键是根据题意作出辅助线构造出矩形和正方形．
36．8
【分析】
先由正方形的性质可得∠BAC＝45°，AB∥DC，∠ADC＝90°，由∠CAE＝15°，根据平行线的性质及角的和差得出∠E＝∠BAE＝∠BAC−∠CAE＝30°．然后在Rt△ADE中，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半即可得到AE＝2AD＝8．
解：∵正方形ABCD的边长为4，对角线AC与BD相交于点O，
∴∠BAC＝45°，AB∥DC，∠ADC＝90°，
∵∠CAE＝15°，
∴∠E＝∠BAE＝∠BAC−∠CAE＝45°−15°＝30°．
∵在Rt△ADE中，∠ADE＝90°，∠E＝30°，
∴AE＝2AD＝8．
故答案为8．
【点拨】本题考查了含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．也考查了正方形的性质，平行线的性质．求出∠E＝30°是解题的关键．
37．矩形
【分析】
首先根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的，即可判定四边形EFGH为平行四边形，然后根据，可得出四边形EFGH一个内角为90°，即可判定其为矩形.
解：∵点，，，分别为边，，，的中点，
∴EF∥AC，FG∥BD，GH∥AC，EH∥BD，EF=AC，FG=BD，GH=AC，EH=BD
∴EF∥GH，EF=GH，FG∥EH，FG=EH
∴四边形EFGH为平行四边形
又∵
∴∠ABO+∠BAO=90°
又∵∠ABO=∠AEH，∠BEO=∠BAO
∴∠AEH+∠BEO=90°
∴∠FEH=90°
∴平行四边形EFGH为矩形.
故答案为矩形.
【点拨】此题主要考查三角形中位线定理、平行四边形以及矩形的判定，熟练掌握，即可解题.
38．24cm2
解：根据题意，先证明四边形EFGH是菱形，然后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，解答出即可．
解：如图，连接EG、FH、AC、BD，设AB=6cm，AD=8cm．∵四边形ABCD是矩形，E、F、G、H分别是四边的中点，∴HF=6cm，EG=8cm，AC=BD，EH=FG=BD，EF=HG=AC，∴四边形EFGH是菱形，∴S菱形EFGH=×FH×EG=×6×8=24cm2．
故答案为24cm2．

点睛：本题考查了矩形的性质、三角形的中位线定理，证明四边形EFGH是菱形及菱形面积的计算方法，是解答本题的关键．
39．
解：根据三角形中位线定理结合菱形的判定方法分析即可.
∵点E、F、G、H分别是AD、BC、BD、AC的中点
∴，，，
当四边形ABCD满足条件时，
∴四边形EGFH是菱形．
【点拨】三角形中位线定理，菱形的判定
点评：解答本题的关键是熟练掌握三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半.
40．（6，6）
【分析】
根据矩形的性质得到AB＝OC＝9，∠FAE＝∠B＝90°，根据余角的性质得到∠AFE＝∠CEB，根据全等三角形的性质得到AF＝BE，AE＝BC，设AF＝BE＝x，列方程即可得到结论．
解：∵点F （0，3），点C （9，0），
∴OF＝3，OC＝9，
∵四边形ABCO是矩形，
∴AB＝OC＝9，∠FAE＝∠B＝90°，
∵∠FEC＝90°，
∴∠AEF+∠AFE＝∠AEF+∠CEB＝90°，
∴∠AFE＝∠CEB，
∵EF＝EC，
∴△AEF≌△BCE（AAS），
∴AF＝BE，AE＝BC，
设AF＝BE＝x，
∴AO＝BC＝AE＝x+3，
∴x+3+x＝9，
∴x＝3，
∴AE＝BC＝6，
∴点E的坐标为（6，6），
故答案为：（6，6）．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，矩形的性质，坐标与图形性质，证全等三角形是本题的关键，也是本题的难点.
41．=
【分析】
根据平角等于180°以及四边形内角和对于360°求解即可.
解：
在四边形ADCE中，
∴∠A＋∠C=∠1＋∠2
故答案为=
【点拨】本题考查四边形内角和等于360°，平角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
42．B
解：连接OC，OB，OA，OD，
∵E、F、G、H依次是各边中点，
∴△AOE和△BOE等底等高，所以S△OAE=S△OBE，
同理可证，S△OBF=S△OCF，S△ODG=S△OCG，S△ODH=S△OAH，
∴S四边形AEOH+S四边形CGOF=S四边形DHOG+S四边形BFOE，
∵S四边形AEOH=6，S四边形BFOE=7，S四边形CGOF=8，
∴6+8=7+S四边形DHOG，
解得S四边形DHOG=7．
故答案为7．
【点拨】本题考查了三角形的面积.解决本题的关键将各个四边形划分,充分利用给出的中点这个条件,证得三角形的面积相等,进而证得结论.
43．(1)见分析 (2)12
【分析】
（1）连接DE，交AC于点P′，连接BP′，当点P在点P′处时，△BPE的周长最小．理由：证明△AB P′≌△AD P′，即可求解；
（2）根据（1）可得P′B＋P′E＝DE．再由AE＝3BE，可得AE＝6．从而得到AD＝AB＝8．再由勾股定理，即可求解．
(1)
解：如图，连接DE，交AC于点P′，连接BP′，当点P在点P′处时，△BPE的周长最小．
理由：在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAC=∠DAC，
∵AP′=AP′，
∴△ABP′≌△ADP′，
∴BP′=DP′，
∴BP+PE= DP′+ P′E≥DE，
即当点P位于PP′时，△BPE的周长PB+EP+BE最小；
(2)
解：由（1）得：B P′=DP′，
∴P′B＋P′E＝DE．
∵BE＝2，AE＝3BE，
∴AE＝6．
∴AD＝AB＝8．
∴DE＝＝10．
∴PB＋PE的最小值是10．
∴△BPE周长的最小值为10＋BE＝10＋2＝12．
【点拨】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，最短距离，全等三角形的判定和性质等，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
44．(1)见分析 (2)
【分析】
（1）利用正方形的性质结合全等三角形的判定与性质得出答案；
（2）首先利用去等三角形的性质得出CE，CF的长，再利用勾股定理得出答案．
(1)
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADE＝∠ABC＝90°＝∠ABF，AD=AB
在△ADE和△ABF中，
，
∴△ADE≌△ABF（SAS）；
(2)
解：∵△ADE≌△ABF，DE＝6，
∴BF＝DE＝6，
∵BC＝DC＝8，
∴CE＝8﹣6＝2，CF＝8+6＝14，
在Rt△FCE中，EF＝＝＝10．
【点拨】此题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质以及勾股定理，正确应用正方形的性质是解题关键．
45．（1）见分析；（2）AB＝AD（答案不唯一）．理由见分析．
【分析】
（1）根据平行四边形对角线互相平分可得OA＝OC，OB＝OD，根据等角对等边可得OB＝OC，然后求出AC＝BD，再根据对角线相等的平行四边形是矩形即可得到结论；
（2）根据正方形的判定方法添加即可．
解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵∠OBC＝∠OCB，
∴OB＝OC，
∴AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形；
（2）解：AB＝AD（答案不唯一）．
理由：∵四边形ABCD是矩形，
又∵AB＝AD，
∴四边形ABCD是正方形．
【点拨】本题考查了正方形的判断，平行四边形的性质，矩形的判定，根据平行四边形的性质和等腰三角形的判定证得AC＝BD是解题的关键．
46．（1）见分析；（2）四边形的面积是25．
【分析】
（1）根据题意证明，根据角平分线的性质即可求解；
（2）根据题意证明四边形是正方形，再根据正方形的面积公式即可求解．
解：（1）四边形是平行四边形

由题意知

交延长线于点，于点．
（2）∵，
∴
且
四边形是正方形
，点与点重合

∴四边形的面积是：．
【点拨】此题主要考查特殊平行四边形的证明，解题的关键是熟知角平分线的性质及正方形的判定定理．
47．（1）；（2），，见分析；（3），见分析
【分析】
（1）由“SAS”可证△ADC≌△ABE，可得BE＝CD；
（2）由“SAS”可证△EAC≌△BAG，可得CE＝BG，∠AEC＝ABG，即可证明CE⊥BG；
（3）由“AAS”可证△ABC≌△AEH，可得EH＝BC，由三角形的面积公式可得结论．
解：（1）∵△ABD和△ACE都是等腰直角三角形，
∴AB＝AD，AC＝AE，∠DAB＝∠CAE＝90°，
∴∠DAC＝∠BAE，
∴△ADC≌△ABE（SAS），
∴BE＝CD，
故答案为： ；
（2），；理由如下：
如图，设AB与CE的交点为P，
∵四边形ACFG和四边形ABDE是正方形，
∴AB＝AE，AC＝AG，∠EAB＝∠GAC＝90°，，
，
，
在和中，，
，
，，
，，
，
；
即：，；
（3）如图，过点作交延长线于；
，
，，
，
在和中，，
，
，
，
．
【点拨】本题是四边形综合题，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
48．（1）见分析；（2）AC⊥BD
【分析】
（1）连接BD，根据中位线的性质可得EH∥BD，EH=，FG∥BD，FG=，从而得出EH∥FG，EH= FG，然后根据平行四边形的判定定理即可证出结论；
（2）当AC⊥BD时，连接AC，根据中位线的性质可得EF∥AC，从而得出EF⊥BD，然后由（1）的结论可证出EF⊥EH，最后根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可证出结论．
解：（1）证明：连接BD
∵E、F、 G、H分别为四边形ABCD四边的中点
∴EH是△ABD的中位线，FG是△CBD的中位线
∴EH∥BD，EH=，FG∥BD，FG=
∴EH∥FG，EH= FG
∴四边形EFGH为平行四边形；
（2）当AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形，理由如下
连接AC，
∵E、F为BA和BC的中点
∴EF为△BAC的中位线
∴EF∥AC
∵AC⊥BD
∴EF⊥BD
∵EH∥BD
∴EF⊥EH
∴∠FEH=90°
∵四边形EFGH为平行四边形
∴四边形EFGH为矩形
故答案为：AC⊥BD．
【点拨】此题考查的是中位线的性质、平行四边形的判定和矩形的判定，掌握中位线的性质、平行四边形的判定定理和矩形的定义是解决此题的关键．
49．（1）；（2）当时，点到的距离最大为；（3），四边形的面积为．
【分析】
（1）根据含30°的直角三角形的性质求出AC，利用勾股定理求出BC，故可得到CD的长；
（2）取的中点，连接，根据直角三角形的性质得到，再得到当时，点到的距离最大为；
（3）由（2）可知，当时线段的长度最大，再求出此时CD的长，故可求解．
解：是等边三角形，
又
;
取的中点，连接
:∠ACB=90°，AB=2,
又点为下方的一动点，
当时，点到的距离最大为
连接
为等边三角形，
.
根据三角形三边关系
即共线时，最大，
的最大长度为
此时，四边形的面积为．
【点拨】此题主要考查四边形的综合问题，解题的关键是熟知等边三角形的性质．