北师大版九年级数学上册基础知识专项讲练 专题1.5 矩形的性质与判定（知识讲解）

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1. 理解矩形的概念；
2. 掌握矩形的性质定理与判定定理；
3. 掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边一半；
4. 能力要求：利用矩形的性质解决折叠问题、最值问题、坐标系下的矩形问题。
【要点梳理】
要点一、矩形的定义
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
特别说明：矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件.
要点二、矩形的性质
矩形的性质包括四个方面：
1.矩形具有平行四边形的所有性质；
2.矩形的对角线相等；
3.矩形的四个角都是直角；
4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.
特别说明：（1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分.
（2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）.
（3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等.
要点三、矩形的判定
矩形的判定有三种方法：
1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
2.对角线相等的平行四边形是矩形.
3.有三个角是直角的四边形是矩形.
特别说明：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形.
要点四、直角三角形斜边上的中线的性质
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
特别说明：（1）直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.性质的前提是直角三角形，对一般三角形不可使用.
（2）学过的直角三角形主要性质有：①直角三角形两锐角互余；②直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；③直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半.
（3）性质可以用来解决有关线段倍分的问题.
【典型例题】
类型一、矩形性质的理解
1．已知，如图，四边形ABCD是矩形，AD＞AB．
(1)请用无刻度的直尺和圆规在AD上找一点E，使得EC平分∠BED；（不要求写作法，但要保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，若AB＝3，DE＝1，求△BEC的面积．
【答案】(1)见分析 (2)△BEC的面积为7.5．
【分析】
（1）以B为圆心，BC长为半径画弧交AD于点E即可；
（2）由（1）可得BC=BE，设BC=x，则AE=x-1，根据勾股定理即可求出x，进而求出△BEC的面积．
(1)
解：如图，以B为圆心，BC长为半径画弧交AD于点E；
(2)解：由（1）可知BC=BE，设BC=x，则AE=x-1，
在△ABE中，∠A=90°，
∴AB2+AE2=BE2，
故32+（x-1）2=x2，
解得x=5，
∴△BEC的面积为×5×3=7.5．
【点拨】本题考查了作图-复杂作图、矩形的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质，解决本题的关键是掌握矩形的性质．
【变式1】矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
A．两组对边分别平行B．对角线相等
C．对角线互相垂直D．对角线平分一组对角
【答案】B
【分析】根据矩形和菱形的性质得出即可．
解：A．因为矩形与菱形都是特殊的平行四边形，所以矩形与菱形的两组对边分别平行，故A不符合题意；
B．矩形的对角线相等，而菱形不是，故B符合题意；
C．菱形的对角线对角线互相垂直，而矩形不是，故C不符合题意；
D．菱形的对角线平分对角，而矩形不是，故D不符合题意；
故选：B．
【点拨】本题考查了矩形与菱形的性质，解题的关键是熟练掌握矩形与菱形的性质．
【变式2】如图，在五边形ABCDE中，，，，连接CE，BD．若且，则的面积为______．
【答案】
【分析】作出BC边上的垂线DF和EG，DF无法直接计算，DF是△CDF的一条边，而△EGC和△CDF已有边CE=CD，∠EGC=∠CFD=90°，若两三角形全等便可求出DF的长．
解：如下图过E作EG⊥BC于G，过D作DF⊥BC延长线于F，
∵∠A=∠ABC=90°，EG⊥BC，
∴ABGE是矩形，BG=AE=，
∴CG=BC－BG=6－=，
∵CE⊥CD，
∴∠ECG＋∠DCF=90°，
∵∠ECG＋∠CEG=90°，
∴∠CEG=∠DCF，
∵CE=DC，∠EGC=∠CFD，
∴△EGC≌△CFD（AAS），
∴DF=CG=，
S△BCD=×6×=，
故答案为：．
【点拨】本题考查全等三角形的判定，矩形的性质和判定，三角形的面积计算，正确作出辅助线找出高与已知条件的关系是解题的关键．
类型二、利用矩形的性质求角
2．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，，，且∠ABC=90°．
（1）求证：四边形ABCD是矩形．
（2）若∠ACB=30°，AB=1，求①∠AOB的度数；②四边形ABCD的面积．
【答案】（1）见分析；（2）①60°，②.
【分析】
（1）根据AO=CO，BO=DO可知四边形ABCD是平行四边形，又∠ABC=90°，可证四边形ABCD是矩形
（2）利用直角△ABC中∠ABC=90°，∠ACB=300，可得∠BAC=60°，AC=2，BC=，即可求得四边形ABCD的面积，同时利用矩形的性质，对角线相等且互相平分，可得∠AOB=180°-2∠BAC
解：（1）∵AO=CO，BO=DO
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠ADC，
∵∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）∵∠ABC=90°，∠ACB=300，AB=1
∴∠BAC=60°，AC=2，BC=
又∵矩形ABCD中，OA=OB
∴∠AOB=180°-2∠BAC=60°
S□ABCD=1×=
【点拨】本题考查了矩形的判定及性质定理的应用，会灵活运用是解题的关键.
【变式1】如图，在矩形中，对角线与相交于点，若，那么的度数是( )
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意只要证明OA=OD，根据三角形的外角的性质即可解决问题.
解：∵矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，
∴DB＝AC，OD＝OB，OA＝OC，
∴OA＝OD，
∴∠CAD＝∠ADO，
∵∠COD＝50°＝∠CAD+∠ADO，
∴∠CAD＝25°，
故选D．
【点拨】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
【变式2】如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC=2∠CAD，则∠BAE=__________度．
【答案】22.5°
解：四边形ABCD是矩形，
AC=BD，OA=OC，OB=OD，
OA=OB═OC，
∠OAD=∠ODA，∠OAB=∠OBA，
∠AOE=∠OAD+∠ODA=2∠OAD，
∠EAC=2∠CAD，
∠EAO=∠AOE，
AE⊥BD，
∠AEO=90°，
∠AOE=45°，
∠OAB=∠OBA=67.5°，
即∠BAE=∠OAB﹣∠OAE=22.5°．
类型三、利用矩形的性质求线段
3．如图，在矩形中，点在上，，且，垂足为．
（1）求证：；
（2）若，求四边形的面积．
【答案】（1）见详解；（2）4-8
【分析】
（1）由矩形的性质可得∠D=90°，AB∥CD，从而得∠D=∠ANB，∠BAN=∠AMD，进而即可得到结论；
（2）由以及勾股定理得AN=DM=4，AB=，进而即可求解．
解：（1）∵在矩形中，
∴∠D=90°，AB∥CD，
∴∠BAN=∠AMD，
∵，
∴∠ANB=90°，即：∠D=∠ANB，
又∵，
∴（AAS），
（2）∵，
∴AN=DM=4，
∵，
∴，
∴AB=，
∴矩形的面积=×2=4，
又∵，
∴四边形的面积=4-4-4=4-8．
【点拨】本题主要考查矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握AAS证明三角形全等，是解题的关键．
【变式1】如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM//AB交AD于点M，若OM=3，BC=10，则OB的长为（ ）
A．5B．4C．D．
【答案】D
【分析】如图所示，连接OD，先求出，然后利用勾股定理求解即可．
解：如图所示，连接OD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OD，∠BAD=90°，
∵OM∥AB，
∴∠OMD=90°，
∴，
∴
故选D．
【点拨】本题主要考查了矩形的性质，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．
【变式2】如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，矩形内部有一动点P满足S△PAB=S矩形ABCD，则点P到A、B两点的距离之和PA+PB的最小值为______．
【答案】
【分析】首先由S△PAB=S矩形ABCD，得出动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离．然后在直角三角形ABE中，由勾股定理求得BE的值，即PA+PB的最小值．
解：设△ABP中AB边上的高是h．
∵S△PAB=S矩形ABCD，
∴AB•h=AB•AD，
∴h=AD=2，
∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，如图，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离．
在Rt△ABE中，∵AB=4，AE=2+2=4，
∴BE=，
即PA+PB的最小值为．
故答案为：．
【点拨】本题考查了轴对称——最短路线问题、三角形的面积、矩形的性质、勾股定理和两点之间线段最短的性质，其中得出动点P所在的位置是解题的关键．
类型四、利用矩形的性质求面积
4．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，BE=DF
（1）求证：AE=CF；
（2）若AB=6，∠COD=60°，求矩形ABCD的面积．
【答案】（1）证明见分析；（2）矩形ABCD的面积为
【分析】
（1）由矩形的性质得出OA=OC，OB=OD，AC=BD，∠ABC=90°，证出OE=OF，由SAS证明△AOE≌△COF，即可得出AE=CF；
（2）证出△AOB是等边三角形，得出OA=AB=6，AC=2OA=12，在Rt△ABC中，由勾股定理求出BC的长，即可得出矩形ABCD的面积．
解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC，OB=OD，AC=BD，∠ABC=90°，
∵BE=DF，
∴OE=OF，
在△AOE和△COF中，
∵OA=OC，∠AOE=∠COF，OE=OF，
∴△AOE≌△COF（SAS），
∴AE=CF；
（2）解：∵OA=OC，OB=OD，AC=BD，
∴OA=OB，
∵∠AOB=∠COD=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA=AB=6，
∴AC=2OA=12，
在Rt△ABC中，BC==6，
∴矩形ABCD的面积=AB•BC=6×6=36．
【点拨】此题考查了矩形的性质，等边三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握矩形的性质，等边三角形的性质和判定，勾股定理的运用．
【变式1】如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E、F，连接PB、PD．若AE=2，PF=8．则图中阴影部分的面积为（ ）
A．10B．12C．16D．18
【答案】C
【分析】首先根据矩形的特点，作PM⊥AD于M，交BC于N，可以得到S△ADC=S△ABC，S△AMP=S△AEP，S△PFC=S△PCN，最终得到S矩形EBNP= S矩形MPFD ,即可得S△PEB=S△PFD，从而得到阴影的面积．
解：作PM⊥AD于M，交BC于N．
则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，
∴S△ADC=S△ABC，S△AMP=S△AEP，S△PFC=S△PCN
∴S矩形EBNP= S矩形MPFD ,
又∵S△PBE= S矩形EBNP，S△PFD=S矩形MPFD，
∴S△DFP=S△PBE=×2×8=8，
∴S阴=8+8=16，
故选：C．
【点拨】本题考查矩形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是证明S△PEB=S△PFD．
【变式2】如图,矩形ABCD中,E、F分别为AD、AB上一点,且EF=EC,EF⊥EC,若DE=2,矩形周长为16,则矩形ABCD的面积为_________
【答案】15
解：因为EF⊥EC，所以∠FEC=90°，所以∠AEF+∠DEC=90°，因为∠AEF+∠AFE=90°，所以∠AFE=∠DEC，因为∠A=∠D，EF=CE，所以△AEF≌△DCE，所以AE=CD，AF=DE，设AB=CD=x，则AD=AE+DE=CD+DE=x+2，所以2（x+x+2）=16,解得x=3，所以AB×BC=3×（3+2）=15，故答案为15.
类型五、利用矩形的性质和判定证明
5．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE//AC，CE//BD，
求证：四边形OCED是菱形．
【分析】首先根据两对边互相平行的四边形是平行四边形证明四边形OCED是平行四边形，再根据矩形的性质可得OC=OD，即可利用一组邻边相等的平行四边形是菱形判定出结论．
解：∵DE//AC，CE//BD，
∴四边形OCED是平行四边形．
∵四边形ABCD是矩形，
∴OC=OD=AC=BD
∴四边形OCED是菱形．
【变式1】如图，矩形的对角线与交于点，过点作的垂线分别交、于、两点，若，，则的长度为（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】B
【分析】根据三角形外角性质可求出∠EDO=30°，从而可求出∠DEO=60°，再根据矩形的性质，推理得到OF=CF，最后在Rt△BOF中利用勾股定理求得OF的长，即可得到CF的长．
解：∵EF⊥BD，∠AEO=120°，
∴∠EDO=30°，∠DEO=60°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠OBF=∠OCF=30°，∠BFO=60°，
∴∠FOC=60°-30°=30°，BF=2OF，
∴OF=CF，
又∵BO=BD=AC=2，
∴在Rt△BOF中，BO2+OF2=(2OF)2，
∴(2)2+OF2=4OF2，
∴OF=2，
∴CF=2，
故选：B．
【点拨】本题主要考查了三角形外角的性质，矩形的性质，含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理的运用，解决问题的关键是掌握矩形的对角线相等且互相平分．
【变式2】如图，矩形ABCD中，，点Q在对角线AC上，且，连接DQ并延长，与边BC交于点P，则线段AP=_________．
【答案】
解：∵矩形ABCD中，AB=4，AD=3=BC，
∴AC=5，
又∵AQ=AD=3，ADCP，
∴CQ=5-3=2，∠CQP=∠AQD=∠ADQ=∠CPQ，
∴CP=CQ=2，
∴BP=3-2=1，
∴Rt△ABP中，AP=
故答案为：
类型六 直角三角形斜边上中线问题
6．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN．
（1）求证：BM=MN；
（2）∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2，求BN的长．
【答案】（1）证明见分析；（2）
【分析】
（1）在△CAD中，由中位线定理得到MN∥AD，且MN=AD，在Rt△ABC中，因为M是AC的中点，故BM=AC，即可得到结论；
（2）由∠BAD=60°且AC平分∠BAD，得到∠BAC=∠DAC=30°，由（1）知，BM=AC=AM=MC，得到∠BMC =60°．由平行线性质得到∠NMC=∠DAC=30°，故∠BMN=90°，得到，再由MN=BM=1，得到BN的长．
解：（1）在△CAD中，∵M、N分别是AC、CD的中点，
∴MN∥AD，且MN=AD，
在Rt△ABC中，∵M是AC的中点，
∴BM=AC，
又∵AC=AD，
∴MN=BM；
（2）∵∠BAD=60°且AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠DAC=30°，
由（1）知，BM=AC=AM=MC，
∴∠BMC=∠BAM+∠ABM=2∠BAM=60°．
∵MN∥AD，
∴∠NMC=∠DAC=30°，
∴∠BMN=∠BMC+∠NMC=90°，
∴，
而由（1）知，MN=BM=AC=×2=1，
∴BN=．
【变式1】如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD＝20°，则∠DHO的度数是（ ）
A．20°B．25°C．30°D．40°
【答案】A
【分析】先根据菱形的性质得OD＝OB，AB∥CD，BD⊥AC，则利用DH⊥AB得到DH⊥CD，∠DHB＝90°，所以OH为Rt△DHB的斜边DB上的中线，得到OH＝OD＝OB，利用等腰三角形的性质得∠1＝∠DHO，然后利用等角的余角相等即可求出∠DHO的度数.
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OD＝OB，AB∥CD，BD⊥AC，
∵DH⊥AB，
∴DH⊥CD，∠DHB＝90°，
∴OH为Rt△DHB的斜边DB上的中线，
∴OH＝OD＝OB，
∴∠1＝∠DHO，
∵DH⊥CD，
∴∠1+∠2＝90°，
∵BD⊥AC，
∴∠2+∠DCO＝90°，
∴∠1＝∠DCO，
∴∠DHO＝∠DCA，
∵四边形ABCD是菱形，
∴DA＝DC，
∴∠CAD＝∠DCA＝20°，
∴∠DHO＝20°，
故选A．
【点拨】本题考查菱形的性质，直角三角形斜边中线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
【变式2】如图，平行四边形中，于，点为边中点，，，则_________
【答案】
【分析】延长、交于点，连接FC，先依据全等的判定和性质得到，依据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到，依据平行四边形的对边相等及等量代换得到，依据三角形等边对等角得到、，依据三角形内角和得到，通过作差即得所求.
解：延长、交于点，连接FC，
∵平行四边形中，
∴，,,
∴，，,
又∵点为边中点，得,
∴≌(ASA)，，
∴，
∴，
∴,
∴,
∵,,,,
∴,
∴,
∴,
∴,
故答案为：.
【点拨】本题考查了平行四边形的性质、全等的判定和性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、三角形等边对等角、三角形内角和，解题的关键是构造直角三角形.
类型七、矩形性质与判定定理的理解
7．如图，，且，是的中点.
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）连接、，写出添加一个什么条件时，四边形是矩形.并说明理由.
【答案】（1）证明见分析；（2）添加，理由见分析.
【分析】
（1）证明，结合已知条件，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可得到结论；
（2）由矩形的性质逆推出要添加的条件，再根据添加的条件证明四边形是矩形即可得到答案．
解：（1）∵是中点，
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：添加，理由如下：
连接、，如图，
∵，，
∴四边形是平行四边形．
∵，，
∴．
∴四边形是矩形．
【点拨】本题考查的是平行四边形的性质，矩形的判定，掌握以上知识是解题的关键．
【变式1】下列命题正确的是（ ）
A．有一个角是直角的平行四边形是矩形 B．四条边相等的四边形是矩形
C．有一组邻边相等的平行四边形是矩形 D．对角线相等的四边形是矩形
【答案】A
【分析】运用矩形的判定定理，即可快速确定答案.
解：A.有一个角为直角的平行四边形是矩形满足判定条件；B四条边都相等的四边形是菱形，故B错误；C有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故C错误;对角线相等且相互平分的四边形是矩形，则D错误；因此答案为A.
【点拨】本题考查了矩形的判定，矩形的判定方法有：1.有三个角是直角的四边形是矩形；2.对角线互相平分且相等的四边形是矩形；3.有一个角为直角的平行四边形是矩形；4.对角线相等的平行四边形是矩形.
【变式2】如图，在矩形ABCD中，BC=20cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3cm/s和2cm/s，则最快___s后，四边形ABPQ成为矩形．
【答案】4
【分析】设最快x秒，当BP=AQ时，四边形ABPQ成为矩形，设最快x秒，则4x=20﹣2x．解方程可得.
解：设最快x秒，四边形ABPQ成为矩形，由BP=AQ得
3x=20﹣2x．
解得x=4．
故答案为4
【点拨】本题考核知识点：平行四边形性质,矩形判定.解题关键点：熟记平行四边形性质,矩形判定.
类型八、添加一个条件构成矩形
8．如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，点E是AD边的中点，点M是AB边上一动点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD，AN．
（1）求证：四边形AMDN是平行四边形；
（2）填空：①当AM的值为 时，四边形AMDN是矩形；②当AM的值为 时，四边形AMDN是菱形．
【答案】（1）见分析（2）①1；②2
【分析】
（1）利用菱形的性质和已知条件可证明四边形AMDN的对边平行且相等即可；
（2）①有（1）可知四边形AMDN是平行四边形，利用有一个角为直角的平行四边形为矩形即∠DMA=90°，所以AM=AD=1时即可；
②当平行四边形AMND的邻边AM=DM时，四边形为菱形，利用已知条件再证明三角形AMD是等边三角形即可．
解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴ND∥AM，
∴∠NDE=∠MAE，∠DNE=∠AME，
又∵点E是AD边的中点，
∴DE=AE，
∴△NDE≌△MAE，
∴ND=MA，
∴四边形AMDN是平行四边形；
（2）解：①当AM的值为1时，四边形AMDN是矩形．理由如下：
∵AM=1=AD，
∵点E是AD边的中点，
∴DE=AE=AM=1，
∵∠DAM=60°，
∴ME=DE=AM，
∴∠ADM=∠EMD,∠AEM=60°，
∴∠ADM=30°
∵∠DAM=60°，
∴∠AMD=90°，
∴平行四边形AMDN是矩形；
②当AM的值为2时，四边形AMDN是菱形．理由如下：
∵AM=2，
∴AM=AD=2，
∠DAM=60°，
∴△AMD是等边三角形，
∴AM=DM，
∴平行四边形AMDN是菱形．
【变式1】已知中，下列条件：①；②；③；④平分，其中能说明是矩形的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【答案】B
【分析】根据矩形的判定进行分析即可．
解：A. ，邻边相等的平行四边形是菱形，故A错误；
B. ，对角线相等的平行四边形是矩形，故B正确；
C. ，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故C错误；
D. 平分，对角线平分其每一组对角的平行四边形是菱形，故D错误．
故选：B．
【点拨】本题考查了矩形的判定，熟知矩形从边，角，对角线三个方向的判定是解题的关键．
【变式2】如图所示，将△ABC绕AC的中点O顺时针旋转180°得到△CDA，添加一个条件_____，使四边形ABCD为矩形．
【答案】∠B=90°
【分析】根据旋转的性质得AB=CD，∠BAC=∠DCA，则AB∥CD，得到四边形ABCD为平行四边形，根据有一个直角的平行四边形为矩形可添加的条件为∠B=90°．
解：∵△ABC绕AC的中点O顺时针旋转180°得到△CDA，
∴AB=CD，∠BAC=∠DCA，
∴AB∥CD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
当∠B=90°时，平行四边形ABCD为矩形，
∴添加的条件为∠B=90°．
故答案为∠B=90°．
【点拨】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了矩形的判定．
类型九、证明四边形是矩形
9．如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）当四边形BEDF是菱形时，求EF的长．
【答案】（1）证明见分析；（2）．
【分析】
（1）根据矩形ABCD的性质，判定△BOE≌△DOF（ASA），进而得出结论；
（2）在Rt△ADE中，由勾股定理得出方程，解方程求出BE，由勾股定理求出BD，得出OB，再由勾股定理求出EO，即可得出EF的长.
解：（1）∵四边形ABCD是矩形，O是BD的中点，
∴∠A=90°，AD=BC=4，AB∥DC，OB=OD，
∴∠OBE=∠ODF，
在△BOE和△DOF中，
∴△BOE≌△DOF（ASA），
∴EO=FO，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）当四边形BEDF是菱形时，BD⊥EF，
设BE=x，则 DE=x，AE=6-x，
在Rt△ADE中，DE2=AD2+AE2，
∴x2=42+（6-x）2，
解得：x= ，
∵BD= =2，
∴OB=BD=，
∵BD⊥EF，
∴EO==，
∴EF=2EO=．
【点拨】本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解决问的关键
【变式1】如图，在△ABC中，点D在BC上，，下列四个判断中不正确的是( )
A．四边形AEDF是平行四边形
B．若∠BAC＝90°，则四边形AEDF是矩形
C．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是矩形
D．若AD⊥BC且AB＝AC，则四边形AEDF是菱形
【答案】C
【分析】根据题意，分别利用平行四边形及矩形，菱形的判定定理依次判断即可得．
解：A选项，∵在△ABC中，点D在BC上，，
∴，
∴四边形AEDF是平行四边形；即A正确；
B选项，∵四边形AEDF是平行四边形，∠BAC=90°，
∴四边形AEDF是矩形；即B正确；
C选项，∵添加条件“AD平分∠BAC”结合四边形AEDF是平行四边形只能证明四边形AEDF是菱形，而不能证明四边形AEDF是矩形；所以C错误；
D选项，∵由添加的条件“AB=AC，AD⊥BC”，
∴AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠CAD=∠EDA，
∴AE=DE，
∴四边形AEDF是菱形，所以D正确．
故选C．
【点拨】题目主要考查平行四边形及矩形，菱形的判定定理，熟练掌握各个判定定理是解题关键．
【变式2】如图，将平行四边形ABCD折叠，使顶点D恰好落在AB边上的点M处，折痕为AN，有以下四个结论①MN∥BC；②MN=AM；③四边形MNCB是矩形；④四边形MADN是菱形，以上结论中，你认为正确的有_____________（填序号）．
【答案】①②④
【分析】根据四边形ABCD是平行四边形，可得∠B=∠D，再根据折叠可得∠D=∠NMA，再利用等量代换可得∠B=∠NMA，然后根据平行线的判定方法可得MN∥BC；证明四边形AMND是平行四边形，再根据折叠可得AM=DA，进而可证出四边形AMND为菱形，再根据菱形的性质可得MN=AM，不能得出∠B=90°；即可得出结论．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D，
∵根据折叠可得∠D=∠NMA，
∴∠B=∠NMA，
∴MN∥BC；①正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DN∥AM，AD∥BC，
∵MN∥BC，
∴AD∥MN，
∴四边形AMND是平行四边形，
根据折叠可得AM=DA，
∴四边形AMND为菱形，
∴MN=AM；②④正确；
没有条件证出∠B=90°，④错误；
故答案为①②④．
【点拨】本题主要考查了翻折变换的性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、矩形的判定等知识，熟练掌握翻折变换的性质、平行四边形和菱形以及矩形的判定是解题的关键．
类型十、利用矩形的性质与判定求角度
10．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO，且∠ABC+∠ADC＝180°．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若∠ADF：∠FDC＝3：2，DF⊥AC，求∠BDF的度数．
【答案】（1）见分析；（2）∠BDF＝18°．
【分析】
（1）先证明四边形ABCD是平行四边形，求出∠ABC=90°，然后根据矩形的判定定理，即可得到结论；
（2）求出∠FDC的度数，根据三角形的内角和，求出∠DCO，然后得到OD=OC，得到∠CDO，即可求出∠BDF的度数．
解：（1）∵AO＝CO，BO＝DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADC，
∵∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）解：∵∠ADC＝90°，∠ADF：∠FDC＝3：2，
∴∠FDC＝36°，
∵DF⊥AC，
∴∠DCO＝90°﹣36°＝54°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CO＝OD，
∴∠ODC＝∠DCO＝54°，
∴∠BDF＝∠ODC﹣∠FDC＝18°．
【点拨】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，能灵活运用定理进行推理是解题的关键．注意：矩形的对角线相等，有一个角是直角的平行四边形是矩形．
【变式1】如图，将矩形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转到矩形 AB′C′D′的位置，旋转角为α(0°＜α＜90°)．若∠1＝112°，则∠α的大小是( )
A．68°B．20°C．28°D．22°
【答案】D
解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°，
∵矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α，
∴∠BAB′=α，∠B′AD′=∠BAD=90°，∠D′=∠D=90°，
∵∠2=∠1=112°，
而∠ABC=∠D′=90°，
∴∠3=180°-∠2=68°，
∴∠BAB′=90°-68°=22°，
即∠α=22°．
故选D．
【变式2】如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD．若DE：BE=3：1，则∠EAO= __________．
【答案】30°
解：根据∠DAE：∠BAE=3：1以及∠DAE+∠BAE=90°可得：∠DAE=67.5°，根据AE⊥BD可得：∠ADE=22.5°，根据OA=OD可得：∠OAD=∠ADO=22.5°，则∠EAO=∠DAE-∠DAO=67.5°-22.5°=45°.
类型十一、利用矩形的性质与判定求线段
11．如图，在中，于点E点，延长BC至F点使，连接AF，DE，DF.
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）若，，，求AE的长.
【答案】（1）见分析；（2）
【分析】
（1）先证明四边形AEFD是平行四边形，再证明∠AEF=90°即可．
（2）证明△ABF是直角三角形，由三角形的面积即可得出AE的长．
解：（1）∵CF=BE，
∴CF+EC=BE+EC．
即 EF=BC．
∵在▱ABCD中，AD∥BC且AD=BC，
∴AD∥EF且AD=EF．
∴四边形AEFD是平行四边形．
∵AE⊥BC，
∴∠AEF=90°．
∴四边形AEFD是矩形；
（2）∵四边形AEFD是矩形，DE=8，
∴AF=DE=8．
∵AB=6，BF=10，
∴AB2+AF2=62+82=100=BF2．
∴∠BAF=90°．
∵AE⊥BF，
∴△ABF的面积=AB•AF=BF•AE．
∴AE=．
【变式1】如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点，AE=CF，连接EF，BF，EF与对角线AC交于点O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC，FC=2，则AB的长为（ ）
A．8B．8C．4D．6
【答案】D
【分析】连接OB，根据等腰三角形三线合一的性质可得BO⊥EF，再根据矩形的性质可得OA=OB，根据等边对等角的性质可得∠BAC=∠ABO，再根据三角形的内角和定理列式求出∠ABO=30°，即∠BAC=30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC，再利用勾股定理列式计算即可求出AB．
解：如图，连接OB，
∵BE=BF，OE=OF，
∴BO⊥EF，
∴在Rt△BEO中，∠BEF+∠ABO=90°，
由直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半可知：OA=OB=OC，
∴∠BAC=∠ABO，
又∵∠BEF=2∠BAC，
即2∠BAC+∠BAC=90°，
解得∠BAC=30°，
∴∠FCA=30°，
∴∠FBC=30°，
∵FC=2，
∴BC=2，
∴AC=2BC=4，
∴AB=＝＝6，
故选D．
【点拨】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半，综合题，但难度不大，（2）作辅助线并求出∠BAC=30°是解题的关键．
【变式2】如图，在矩形中，，对角线与相交于点，，垂足为点，且平分，则的长为_____.
【答案】．
【分析】由矩形的性质可得AO=CO=BO=DO，可证△ABE≌△AOE，可得AO=AB=BO=DO，由勾股定理可求AB的长．
解：∵四边形是矩形
∴，
∵平分
∴，且，，
∴≌（）
∴，且
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
故答案为．
【点拨】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练运用矩形的性质是本题的关键．
类型十二、利用矩形的性质与判定求面积
12．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠ADC=90°，对角线AC，BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若∠BDE=15°，求∠DOE；
（3）在（2）的条件下，若AB=2，求△BOE的面积．
【答案】（1）见分析；（2）135°；（3）
【分析】
（1）根据有三个角是直角是四边形是矩形判定即可；
（2）首先根据矩形的性质得出OD=OC，然后利用角平分线的定义得出△DCE是等腰直角三角形，进而得出△OCD是等边三角形，然后可得∠OCE=30°，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出∠COE=∠CEO=75°，最后利用∠DOE=∠COD+∠COE即可求解；
（3）作OF⊥BC于F，首先根据三角形中位线的性质得出OF=1，然后利用勾股定理求出BC的长度，进而得出BE的长度，最后利用面积公式求解即可．
解：（1）∵ADBC，
∴∠ABC+∠BAD=180°，
∵∠ABC=90°，
∴∠BAD=90°，
∴∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°，
∴四边形ABCD是矩形．
（2）由（1）可得：AO=CO，BO=DO，AC=BD，
∴OD=OC，
∵DE平分∠ADC，
∴∠CDE=45°，
∴△DCE是等腰直角三角形，
∴∠DEC=45°，CD=CE，
∵∠BDE=15°，
∴∠DBC=∠ADB=45°-15°=30°，
∴∠BDC=60°，又OD=OC，
∴△OCD是等边三角形，
∴OC=CD=CE，∠DCO=∠COD=60°，
∴∠OCE=30°，
∴∠COE=∠CEO=（180°-30°）÷2=75°，
∴∠DOE=∠COD+∠COE=60°+75°=135°；
（3）作OF⊥BC于F．
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=2，∠BCD=90°，AO=CO，BO=DO，AC=BD，
∴AO=BO=CO=DO，
∴BF=FC，
∴OF=CD=1，
∵EC=CD=AB=2，
∴AC=BD=4，
∴BC==，
∴BE=BC-CE=-2，
∴△BOE的面积= ．
【点拨】本题主要考查四边形综合，掌握矩形的判定及性质，等腰三角形的性质和勾股定理是解题的关键．
【变式1】在矩形中，、相交于点，若的面积为2，则矩形的面积为（ ）
A．4B．6C．8D．10
【答案】C
【分析】根据矩形的性质得到OA=OB=OC=OD，推出，即可求出矩形ABCD的面积.
解：∵四边形ABCD是矩形，对角线、相交于点
∴AC=BD，且OA=OB=OC=OD
∴
∴矩形的面积为
故选：C
【点拨】此题考查矩形的性质：矩形的对角线相等，且互相平分，由此可以将矩形的面积四等分，由此可以解决问题，熟记矩形的性质定理是解题的关键.
【变式2】如图，矩形以点为圆心，以任意长为半径作弧分别交、于两点，再分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧交于点，作射线交于点，若，则矩形的面积等于__________．
【答案】
【分析】根据矩形的性质得到∠B=∠BAD=90°，求得∠ACB=30°，由作图知，AP是∠BAC的平分线，得到∠BAE=∠CAE=30°，AB＝，根据等腰三角形的性质求得AE＝EC＝2，解直角三角形得到BC=3，于是得到结论．
解：由题可知AP是∠BAC的角平分线
∵∠BAC＝600
∴∠BAE＝∠EAC＝300
∴AE＝2 BE＝2.
∴AB＝
∴∠AEB＝600
又∵∠AEB＝∠EAC+∠ECA
∴∠EAC＝∠ECA＝300
∴AE＝EC＝2
∴BC＝3
∴S矩形ABCD＝3．
【点拨】此题考查尺规作图，矩形的性质，解题关键在于求得AB＝.