【专项练习】全套专题数学八年级上册专题09 规律探究题（解析版）

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09华师版数学八上规律探究题1．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，且最大直角三角形的斜边长为a，若按照第1个图至第3个图的规律设计图案，则在第n个图中所有正方形面积的和为（   ）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：如下图所示，，∴，∴第1个图的所有正方形面积为，同理可得第2个图的所有正方形面积为，第3个图的所有正方形面积为，…∴第n个图中所有正方形面积的和为，故选A．2．如图，正方形的边长为1，其面积为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积记为…，按此规律继续下去，则的值为（     ）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：正方形的边长为1，为等腰直角三角形，，，．观察，发现规律：，，，，，．当时，．故选：C．3．如图甲，直角三角形的三边a，b，c，满足的关系．利用这个关系，探究下面的问题：如图乙，是腰长为1的等腰直角三角形，，延长至，使，以为底，在外侧作等腰直角三角形，再延长至，使，以为底，在外侧作等腰直角三角形，……，按此规律作等腰直角三角形（，n为正整数），则的长及的面积分别是（     ）A．2， B．4， C．， D．2，【答案】A【详解】由题意可得：，，∵为等腰直角三角形，且“直角三角形的三边a，b，c，满足的关系”，∴根据题意可得：，∴，∴，，∴总结出，∵，，，∴归纳得出一般规律：，∴，故选：A．4．如图甲，直角三角形ABC的三边a，b，c，满足a2+b2＝c2的关系．利用这个关系，探究下面的问题：如图乙，△OAB是腰长为1的等腰直角三角形，∠OAB＝90°，延长OA至B1，使AB1＝OA，以OB1为底，在△OAB外侧作等腰直角三角形OA1B1，再延长OA1至B2，使A1B2＝OA1，以OB2为底，在△OA1B1外侧作等腰直角三角形OA2B2，…，按此规律作等腰直角三角形OAnBn（n≥1，n为正整数），则A2B2的长及△OA2021B2021的面积分别是（　 　）A．2，22020 B．4，22021 C．2，22020 D．2，22019【答案】A【详解】解：∵△OAB是腰长为1的等腰直角三角形，∴OA＝AB＝1，∵AB1＝OA，∴OB1＝2，∴A1B1＝OA1＝OB1＝，∵A1B2＝OA1，∴OB2＝2，∴A2B2＝OA2＝OB2＝2＝（）2，∵A2B3＝OA2，∴OB3＝4，∴A3B3＝OA3＝OB3＝2＝（）3，•••∴A2021B2021＝（）2021，∴△OA2021B2021的面积＝ ×（）2021×（）2021＝22020．故选：A．5．如图①，，为的平分线上一点，连接，；如图②，，，为的平分线上两点，连接，，，；如图③，，，，为的平分线上三点，连接，，，，，；．依此规律，第个图形中全等三角形有_______对．【答案】【详解】解：由题知，第1个图形中全等三角形的对数为：1；第2个图形中全等三角形的对数为：；第3个图形中全等三角形的对数为：；第4个图形中全等三角形的对数为：；…第n个图形中全等三角形的对数为：，第8个图形中全等三角形的对数是；故答案为：36．6．观察下列各式的规律：（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2，（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3，（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）＝a4﹣b4……可得到（a﹣b）（a2021+a2020b+……+ab2020+b2021）＝_____．【答案】##【详解】解：观察下列各式的规律：（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2，（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3，（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）＝a4﹣b4，……可得到（a﹣b）（a2021+a2020b+……+ab2020+b2021）＝a2022﹣b2022．故答案为：a2022﹣b2022．7．如图是第七届国际数学教育大会的会徽图案，它是由一串有公共顶点O的直角三角形组成的，图中的，按此规律，在线段，，，，中，长度为整数的线段有___________条．【答案】【详解】解：∵如图是由一串有公共顶点O的直角三角形组成的，图中的，∴由勾股定理可得：，，……∴，∴在线段，，，，中，完全平方数有，，．∴故长度为整数的线段有条．故答案为：．8．有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形（如图1），三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，生出了4个正方形（如图2），如果按此规律继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”．在“生长”了2022次后形成的图形中所有正方形的面积和是______．【答案】2023【详解】设第一个直角三角形的是三条边分别是a，b，c．根据勾股定理，得，由图1可知，“生长”1次后，以直角三角形两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积，即所有正方形的面积和是；由图2可知，“生长”2次后，所有的正方形的面积和是，···“生长”了2022次后形成的图形中所有的正方形的面积和是．故答案为：2023.9．观察下列结论：（1）如图①，在正三角形ABC中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝CM，∠NOC＝60°；（2）如图2，在正方形ABCD中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝DM，∠NOD＝90°；（3）如图③，在正五边形ABCDE中点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝EM，∠NOE＝108°；…根据以上规律，在正n边形A1A2A3A4…An中，对相邻的三边实施同样的操作过程，即点M，N是A1A2，A2A3上的点，且A1M＝A2N，A1N与AnM相交于O．也会有类似的结论，你的结论是__．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）A1N＝AnM，∠NOAn＝．【详解】解∵（1）如图①，在正三角形中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，在△ABN和△ACM中，，∴△ABN≌△ACM（SAS），∴∠BAN＝∠ACM，AN＝CM，∴∠NOC＝∠OAC+∠ACM＝∠OAC+∠BAN＝∠BAC＝60°．则AN＝CM，；（2）如图2，在正方形ABCD中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，同理：△ABN≌△ADM（SAS），∴∠BAN＝∠ADM，AN＝DM，∴∠NOD＝90°则AN＝DM，；（3）同理：如图③，在正五边形ABCDE中点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝EM，；…根据以上规律，在正n边形A1A2A3A4…An中，对相邻的三边实施同样的操作过程，即点M，N是A1A2，A2A3上的点，且A1M＝A2N，A1N与AnM相交于O．也有类似的结论是A1N＝AnM，∠NOAn＝．故答案为：A1N＝AnM，∠NOAn＝．10．如图，在等腰中，已知，，且边在直线上．将绕点顺时针旋转到位置①可得到点，此时；将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，可得到点，此时；将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置③，可得到点，此时；···，按此规律继续旋转，直至得到点为止，则________．【答案】【详解】解：观察图形的变化可知：AP1＝；AP2＝1+；AP3＝2+；AP4＝2+2；AP5＝3+2；AP6＝4+2＝2（2+）；…．发现规律：AP3n＝n（2+）；AP3n+1＝n（2+）+；AP3n+2＝n（2+）++1．∴AP2022＝AP674×3＝674（2+）＝1348+674．故答案为：1348+674．11．我国南宋数学家杨辉用三角形系数表解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．“杨辉三角”给出了（a+b）n（n＝1，2，3，4…）的展开式的系数规律（按a的次数由大到小的顺序）：若……，请根据上述规律，写出的值等于_____．【答案】2【详解】解：∵……∴当时，……=∴∴故答案为：212．在学习整式乘法的时候，我们发现一个有趣的问题：将下图中等号右边的式子的各项系数排成下表，如图：图叫做“杨辉三角”，请观察这些系数的规律，直接写出=___________．【答案】【详解】解：由图中信息可以得出的系数依次为：1，5，10，10，5，1．则的系数依次为：1，6，15，20，15，6，1．由多项式的每项代数式的指数和为6，则=．故答案为：13．如图，在中，，，以为直角边作等腰直角，再以为直角边作等腰直角，…，按照此规律作图，则的长度为______，的长度为______．【答案】          【详解】解：∵，∴ 同理可得， ⋯故答案为：，．14．如图，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，…，按照此规律继续下去，则的值为___________．【答案】【详解】解：如图所示，△CDE为等腰直角三角形，则CE=DE，，∴，即，同理可得：，，∴．故答案为：．15．如图，△ OAB 是腰长为 1 的等腰直角三角形， OAB  90°，延长OA 至 B1 ，使 AB1  OA ，以OB1 为底，在△ OAB 外侧作等腰直角三角形OA1B1 ，再延长OA1 至 B2 ， 使 A1B2  OA1 ，以OB2 为底，在△ OA1B1 外侧作等腰直角三角形OA2 B2 ，……，按此规律作等腰直角三角形OAn Bn （ n  1 ， n 为正整数），回答下列问题：（1） A3B3 的长是_____________；（2）△ OA2020 B2020 的面积是_____________．【答案】          【详解】（1）∵△ OAB 是腰长为 1 的等腰直角三角形， OAB  90°，延长OA 至 B1 ，使 AB1  OA ，以OB1 为底，在△ OAB 外侧作等腰直角三角形OA1B1 ，∴OB1=2OA=2，设A1O=x，则A1O= A1B1=x根据A1O2+A1B12= OB12，x2+x2= 22，得x=,故A1B1=同理可得A2B2=A1B1=2AB，A3B3=A2B2=AB=，∴A3B3=；（2）∵△ OAB 是腰长为 1 的等腰直角三角形∴△OAB的面积为=；∵A1B1=AB=∴△OA1B1的面积为=；∵A2B2=A1B1=2∴△OA2B2的面积为；∵A3B3=2∴△OA3B3的面积为；…∴△OAnBn的面积为；故△ OA2020 B2020 的面积是故填：(1).     (2). 16．如图（1），△AB1C1是边长为1的等边三角形；如图（2），取AB1的中点C2，画等边三角形AB2C2，连接B1B2；如图（3），取AB2的中点C3；画等边三角形AB3C3，连接B2B3；如图（4），取AB3的中点C4，画等边三角形AB4C4，连接B3B4，则B3B4的长为_____．若按照这种规律一直画下去，则BnBn+1的长为_____（用含n的式子表示）【答案】     ，     【详解】如图，过点C2作C2D⊥B1B2于点D，∵△AB1C1是边长为1的等边三角形，C2是AB1的中点，∴B1C2＝B2C2＝．∵△AB2C2是等边三角形，∴∠B1C2B2＝120°，B1C2＝B2C2，∴∠DB1C1＝∠DB2C2＝30°，∴B1D＝B1C2•cos30°＝，∴B1B2＝2B1D＝，同理可得，B2B3＝，B3B4＝…，∴BnBn+1＝．故答案为：，．17．观察下列各式：，，，……请利用你所发现的规律，计算，其结果为___________．【答案】【详解】由题意得：，故答案为：．18．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，AB＝2，且AC边在直线l上，将△ABC绕点A顺时针旋转到位置①可得到点P1，此时AP1＝2；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P2，此时AP2＝2+；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，此时AP3＝3+；……，其中P1、P2、P3、……都在直线l上，按P3规律继续旋转，直至得到点P2022为止，则AP2022＝_____．【答案】【详解】解：∵∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1，∴AB=2，BC=，∴将△ABC绕点A顺时针旋转到①,可得到点，此时=2；将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，可得到点，此时=2+；将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置，可得到点，此时=3+；由此可得：=3++2=5+；=5++=5+2；=5+2+1=6+2=2(3+)；故每旋转3次为一个循环，∵2022÷3=674，=674(3+)=2022+674故答案为：2022+674．19．如图，为等腰直角三角形，，以斜边为直角边作等腰直角三角形，再以为直角边作等腰直角三角形，，按此规律作下去，则的长度为______． 【答案】【详解】解：为等腰直角三角形，，，为等腰直角三角形，．为等腰直角三角形，．为等腰直角三角形，． 的长度为．故答案为：．20．设四边形ABCD是边长为1的正方形，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第二个正方形AEGH，如此下去……．⑴记正方形ABCD的边长为，按上述方法所作的正方形的边长依次为，请求出的值；⑵根据以上规律写出的表达式．【答案】（1）a2＝，a3＝2，a4＝2；（2）an＝（n为正整数）．【详解】（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝1，∠B＝90°．∴在Rt△ABC中，AC＝＝＝．同理：AE＝2，EH＝2，…，即a2＝，a3＝2，a4＝2．（2）an＝（n为正整数）．21．观察下列等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；…请解答下列问题：（1）按以上规律列出第5个等式：a5= ；（2）用含有n的代数式表示第n个等式：an= = （n为正整数）；（3）已知|ab－3|与|a－1|互为相反数，试利用上面的规律求下式的值．【答案】（1）；（2），；（3）【详解】（1），故答案为：；（2），故答案为：，；（3）∵|ab－3|与|a－1|互为相反数，∴|ab－3|＋|a－1|= 0，则ab－3= 0 ，a－1=0，  解得a = 1,b=3， = ===22．探究规律，解决问题：(1)化简： ，_____(2)化简：，写出化简过程．(3)化简： ．【答案】(1)，；(2)；(3)【详解】（1）解：，，故答案为：，；（2）解：，故答案为：；（3）解：∵，，…∴，故答案为：．23．细心观察下图，认真分析各式，然后解答问题．，；，；，…(1)直接写出：______．(2)请用含有（是正整数）的等式表示上述变化规律：______=______，______；(3)求出的值．【答案】(1)；(2)；(3)【详解】（1）解：∵；；… 故答案为：；（2） ，；，；，…归纳总结可得： 故答案为：（3）∵…， ∴