+内蒙古包头市东河区2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷

这是一份+内蒙古包头市东河区2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷，共27页。试卷主要包含了如果关于x的一元二次方程等内容，欢迎下载使用。

1．某运动会颁奖台如图所示，它的主视图是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．如果关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+3x+m2﹣9＝0有一个解是0，那么m的值是（ ）
A．3B．﹣3C．±3D．0或﹣3
3．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为位似中心，把△ABO缩小为原来的，得到△CDO，则点A（﹣4，2）的对应点C的坐标是（ ）
A．（﹣2，1）B．（﹣2，1）或（2，﹣1）
C．（﹣8，4）D．（﹣8，4）或（8，﹣4）
4．如图，某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图，若PQ∥MN，点Q，点M在直尺上，且分别与直尺上的刻度1和3对齐，在数轴上点N表示的数是10，则点P表示的数是（ ）
A．B．3C．D．5
5．三根电线，其中只有两根电线通电，接上小灯泡能正常发光，小明从三根电线中，随意选择两根电线，接上小灯泡的正负极，能发光的概率是（ ）
A．B．C．D．
6．有一个人患流感，经过两轮传染后共有81个人患流感，每轮传染中平均一个人传染几个人？设每轮传染中平均一个人传染x个人，可到方程为（ ）
A．1+2x＝81B．1+x2＝81C．1+x+x2＝81D．（1+x）2＝81
7．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝3，BC＝4，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE＝40cm，EF＝20cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝9m，则树高AB为（ ）
A．4mB．4.5mC．5mD．6m
9．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝9，E是AB的中点，P是AD边上一点（不与A、D重合），连接PC，PE，若∠EPC＝90°，则PC的值是（ ）
A．3B．6或3C．6或3D．3或6
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为线段BC上一动点（不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝∠B＝40°，DE交线段AC于点E．
下面是某学习小组根据题意得到的结论：
甲同学：△ABD∽△DCE；
乙同学：若AD＝DE，则BD＝CE；
丙同学：当DE⊥AC时，D为BC的中点．
则下列说法正确的是（ ）
A．只有甲同学正确B．乙和丙同学都正确
C．甲和丙同学正确D．三个同学都正确
二．填空题
11．已知，若b+d+f＝9，则a+c+e＝ ．
12．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根，则x1+x2﹣x1•x2的值为 ．
13．已知反比例函数y＝的图象上两点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2）．若y1＜y2，则m的取值范围是 ．
14．一个口袋中有6个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中．不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有70次摸到红球．估计这个口袋中红球的个数为 ．
15．如图，在菱形ABCD中，AC交BD于点O，DE⊥BC于点E，连接OE，若∠BCD＝40°，则∠OED的度数是 ．
16．如图，将一副三角板按图叠放，则的值为 ．
17．如图，点A是反比例函数图象上的一点，过点A作AD⊥x轴于点D，点C为x轴负半轴上一点且满足OD＝2OC，连接AC交y轴于点B，连接AO，若S△BOA＝2，则k的值为 ．
18．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为对角线AC上与A，C不重合的一个动点，过点E作EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，连接DE，FG，下列结论：
①DE＝FG；
②∠BFG＝∠ADE；
③DE⊥FG；
④FG的最小值为2．
其中正确结论的有 ．（填序号）
三．解答题
19．（1）解方程：2x（x+1）＝x+1；
（2）已知关于x的方程x2﹣4x+m+2＝0有两个不相等的实数根．
①求m的取值范围；
②若m为满足条件的最大整数，求方程的根．
20．甲、乙两人玩如图所示的转盘游戏，游戏规则是：转盘被平均分为3个区域，颜色分别为黑、白、红，转动转盘时，指针指向的颜色，即为转出的颜色（如果指针指在两区域的分界线上，则重转一次）．两人参与游戏，一人转动两次转盘，另一人对转出的颜色进行猜测．若转出的颜色与猜测的人描述的特征相符，则猜测的人获胜；否则，转动转盘的人获胜．猜测的方法从下面三种方案中选一种．
A．猜“颜色相同”；
B．猜“一定有黑色”；
C．猜“没有黑色”．
请利用所学的概率知识回答下列问题：
（1）用画树状图或列表的方法列出所有可能的结果；
（2）如果你是猜测的人，你将选择哪种猜测方案，才能使自己获胜的可能性最大？为什么？
21．2023年杭州亚运会吉祥物一经开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件45元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件68元的价格出售，经统计，2023年5月份的销售量为256件，2023年7月份的销售量为400件．
（1）求该款吉祥物2023年5月份到7月份销售量的月平均增长率．
（2）从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该款吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件，当该款吉祥物降价多少元时，月销售利润达8400元？
22．某社区两条平行的小道之间有一块三角形空地．如图，这两条小道m、n之间的距离为9米，△ABC表示这块空地，BC＝36米．现要在空地内划出一个矩形DGHE区域建造花坛，使它的一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上．
（1）如果矩形花坛的边DG：DE＝1：2，求出这时矩形花坛的两条邻边的长；
（2）矩形花坛的面积能否占空地面积的？请作出判断并说明理由．
23．如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD＞AB），将纸片折叠一次，使点A与C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，分别连接AF和CE．
（1）求证：四边形AFCE是菱形（用两种方法证明）；
（2）过E点作EP∥CD交AC于点P，试探究AF、AP、AC的关系并说明理由（请同学们将图补充完整之后再答题）；
（3）在（2）的条件下，若AB＝，BC＝3，连接PF，求PF的长．
2023-2024学年内蒙古包头市东河区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题
1．某运动会颁奖台如图所示，它的主视图是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【解答】解：从正面看，
故选：C．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
2．如果关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+3x+m2﹣9＝0有一个解是0，那么m的值是（ ）
A．3B．﹣3C．±3D．0或﹣3
【分析】把x＝0代入方程（m﹣3）x2+3x+m2﹣9＝0中，解关于m的一元二次方程，注意m的取值不能使原方程对二次项系数为0．
【解答】解：把x＝0代入方程（m﹣3）x2+3x+m2﹣9＝0中，得
m2﹣9＝0，
解得m＝﹣3或3，
当m＝3时，原方程二次项系数m﹣3＝0，舍去，
故选：B．
【点评】本题考查的是一元二次方程解的定义．能使方程成立的未知数的值，就是方程的解，同时，考查了一元二次方程的概念．
3．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为位似中心，把△ABO缩小为原来的，得到△CDO，则点A（﹣4，2）的对应点C的坐标是（ ）
A．（﹣2，1）B．（﹣2，1）或（2，﹣1）
C．（﹣8，4）D．（﹣8，4）或（8，﹣4）
【分析】根据位似变换的性质计算，即可解答．
【解答】解：以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的得到△CDO，点A的坐标为（﹣4，2），
则点A的对应点C的坐标为（﹣4×，2×）或（4×，﹣2×），即（﹣2，1）或（2，﹣1），
故选：B．
【点评】本题考查的是位似变换的概念和性质，解题关键是在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
4．如图，某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图，若PQ∥MN，点Q，点M在直尺上，且分别与直尺上的刻度1和3对齐，在数轴上点N表示的数是10，则点P表示的数是（ ）
A．B．3C．D．5
【分析】利用平行线分线段成比例定理求解．
【解答】解：∵PQ∥MN，
∴＝＝，
∵ON＝10，
∴OP＝．
故选：C．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，数轴，平行线的性质等知识，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理．
5．三根电线，其中只有两根电线通电，接上小灯泡能正常发光，小明从三根电线中，随意选择两根电线，接上小灯泡的正负极，能发光的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】设三根电线分别为a，b，c，当接上a，b时，小灯泡正常发光，根据题意列出所有的可能，然后利用概率公式求解即可．
【解答】解：设三根电线分别为a，b，c，当接上a，b时，小灯泡正常发光，
从三根电线中，随意选择两根电线，共有a，b；a，c；b，c三种可能，
其中满足题意的只有一种，
∴能发光的概率是，
故选：B．
【点评】题目主要考查利用列举法求概率，理解题意是解题关键．
6．有一个人患流感，经过两轮传染后共有81个人患流感，每轮传染中平均一个人传染几个人？设每轮传染中平均一个人传染x个人，可到方程为（ ）
A．1+2x＝81B．1+x2＝81C．1+x+x2＝81D．（1+x）2＝81
【分析】平均一人传染了x人，根据有一人患了流感，第一轮共有（x+1）人患流感，第二轮共有x+1+（x+1）x人，即81人患了流感，由此列方程求解．
【解答】解：x+1+（x+1）x＝81，
整理得（1+x）2＝81．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，关键是得到两轮传染数量关系，从而可列方程求解．
7．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝3，BC＝4，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】依据矩形的性质即可得到△AOD的面积为3，再根据S△AOD＝S△AOE+S△DOE，即可得到OE+EF的值．
【解答】解：∵AB＝3，BC＝4，
∴矩形ABCD的面积为12，AC＝，
∴AO＝DO＝AC＝，
∵对角线AC，BD交于点O，
∴△AOD的面积为3，
∵EO⊥AO，EF⊥DO，
∴S△AOD＝S△AOE+S△DOE，即3＝AO×EO+DO×EF，
∴3＝××EO+×EF，
∴5（EO+EF）＝12，
∴EO+EF＝，
故选：C．
【点评】本题主要考查了矩形的性质，解题时注意：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等且互相平分．
8．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE＝40cm，EF＝20cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝9m，则树高AB为（ ）
A．4mB．4.5mC．5mD．6m
【分析】先判定△DEF和△DBC相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式求出BC的长，再加上AC即可得解．
【解答】解：∵∠D＝∠D，∠DEF＝∠DCB，
∴△DEF∽△DBC，
∴＝，
即＝，
解得：BC＝4.5，
∵AC＝1.5m，
∴AB＝AC+BC＝1.5+4.5＝6（m），
即树高6m．
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应边成比例的性质，比较简单，判定出△DEF和△DBC相似是解题的关键．
9．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝9，E是AB的中点，P是AD边上一点（不与A、D重合），连接PC，PE，若∠EPC＝90°，则PC的值是（ ）
A．3B．6或3C．6或3D．3或6
【分析】设PD＝x，先根据矩形的性质得到CD＝AB＝6，AD＝BC＝9，∠A＝∠D＝90°，再证明∠AEP＝∠CPD，则可证明Rt△APE∽△DCP，利用相似三角形的性质得到＝，即＝，解方程求出x得到，然后利用勾股定理分别计算对应的PD的长即可．
【解答】解：设PD＝x，
∵四边形ABCD为矩形，
∴CD＝AB＝6，AD＝BC＝9，∠A＝∠D＝90°，
∵E是AB的中点，
∴AE＝3，
∵∠EPC＝90°，
∴∠APE+∠CPD＝90°，
∵∠AEP+∠APE＝90°，
∴∠AEP＝∠CPD，
∴Rt△APE∽△DCP，
∴＝，即＝，
整理得x2﹣9x+18＝0，
解得x1＝3，x2＝6，
经检验，x1＝3，x2＝6都是原方程的解，
即PD的长为3或6，
当PD＝3时，PC＝＝3，
当PD＝6时，PC＝＝6，
综上所述，PD的长为6或3．
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．在应用相似三角形的性质时利用相似比进行几何计算．也考查了矩形的性质．
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为线段BC上一动点（不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝∠B＝40°，DE交线段AC于点E．
下面是某学习小组根据题意得到的结论：
甲同学：△ABD∽△DCE；
乙同学：若AD＝DE，则BD＝CE；
丙同学：当DE⊥AC时，D为BC的中点．
则下列说法正确的是（ ）
A．只有甲同学正确B．乙和丙同学都正确
C．甲和丙同学正确D．三个同学都正确
【分析】在△ABC中，依据三角形外角及已知可得∠BAD＝∠CDE，结合等腰三角形易证△ABD∽△DCE；结合AD＝DE，易证△ABD≌△DCE，得到BD＝CE；当DE⊥AC时，结合已知求得∠EDC＝50°，易证AD⊥BC，依据等腰三角形“三线合一”得BD＝CD．
【解答】解：在△ABC中，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B＝40°，
∵∠B+∠BAD＝∠CDE+∠ADE，∠ADE＝∠B＝40°，
∴∠BAD＝∠CDE，
∴△ABD∽△DCE，
甲同学正确；
∵∠C＝∠B，∠BAD＝∠CDE，AD＝DE，
∴△ABD≌△DCE，
∴BD＝CE，
乙同学正确；
当DE⊥AC时，
∴∠DEC＝90°，
∴∠EDC＝90°﹣∠C＝50°，
∴∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝90°，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD，
D为BC的中点，
丙同学正确；
综上所述：三个同学都正确．
故选：D．
【点评】本题考查相似三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握相应的判定和性质是解题关键．
二．填空题
11．已知，若b+d+f＝9，则a+c+e＝ 12 ．
【分析】根据等比性质计算．
【解答】解：∵，
∴＝，
∵b+d+f＝9，
a+c+e＝×9＝12．
故答案为：12．
【点评】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质（内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质）是解决问题的关键．
12．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根，则x1+x2﹣x1•x2的值为 5 ．
【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2＝2，x1x2＝﹣3，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根，
∴x1+x2＝2，x1x2＝﹣3，
∴x1+x2﹣x1•x2＝2+3＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．
13．已知反比例函数y＝的图象上两点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2）．若y1＜y2，则m的取值范围是 m ．
【分析】根据反比例函数的性质，可以得到关于m的不等式，从而可以求得m的取值范围．
【解答】解：∵反比例函数y＝的图象上两点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），y1＜y2，
∴反比例函数图象在第二、四象限，
∴1﹣3m＜0，
解得，m，
故答案为：m．
【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
14．一个口袋中有6个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中．不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有70次摸到红球．估计这个口袋中红球的个数为 14 ．
【分析】用球的总个数乘以摸到红球的频率即可．
【解答】解：估计这个口袋中球的数量为6÷＝20（个），
20﹣6＝14（个），
故答案为：14．
【点评】本题主要考查用样本估计总体，一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
15．如图，在菱形ABCD中，AC交BD于点O，DE⊥BC于点E，连接OE，若∠BCD＝40°，则∠OED的度数是 20° ．
【分析】由菱形的性质得OB＝OD，CD＝BC，再由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得∠CBD＝∠CDB＝70°，进而由直角三角形斜边上的中线性质得OE＝BD＝OB，然后由等腰三角形的性质得∠OEB＝∠OBE＝70°，即可得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OB＝OD，CD＝BC，
∴∠CBD＝∠CDB＝（180°﹣∠BCD）＝×（180°﹣40°）＝70°，
∵DE⊥BC，
∴∠BED＝90°，
∴OE＝BD＝OB，
∴∠OEB＝∠OBE＝70°，
∴∠OED＝90°﹣∠OEB＝90°﹣70°＝20°，
故答案为：20°．
【点评】本题考查了菱形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质以及直角三角形的性质等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
16．如图，将一副三角板按图叠放，则的值为 ．
【分析】根据三角板的角度可得△ABC是等腰直角三角形，设AB＝a，则BC＝a，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理可得CD，进而根据AB∥CD，得出△ABO∽△CDO，根据相似三角形的性质，即可求解．
【解答】解：由于将一副三角板按图叠放，
∴AB∥CD，
∴△ABO∽△CDO，
∴＝，
∵△ABC是等腰直角三角形，依据题意，设AB＝a，则BC＝a，
∴CD＝a，
∴＝＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
17．如图，点A是反比例函数图象上的一点，过点A作AD⊥x轴于点D，点C为x轴负半轴上一点且满足OD＝2OC，连接AC交y轴于点B，连接AO，若S△BOA＝2，则k的值为 12 ．
【分析】先求得AD＝3OB，即可求得S△AOD＝3S△AOB＝6，然后利用反比例函数系数k的几何意义即可求得k的值．
【解答】解：∵AD⊥x轴于点D，
∴AD∥y轴，
∴△COB∽△CDA，
∴＝，
∴3OB＝AD，
∴S△AOD＝3S△AOB＝6，
∵S△AOD＝k，
∴k＝12，
故答案为：12．
【点评】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，得到关于k的方程是解题的关键．
18．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为对角线AC上与A，C不重合的一个动点，过点E作EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，连接DE，FG，下列结论：
①DE＝FG；
②∠BFG＝∠ADE；
③DE⊥FG；
④FG的最小值为2．
其中正确结论的有 ①②③④ ．（填序号）
【分析】连接BE，交FG于点O，由题意得∠EFB＝∠EGB＝90°，即可得四边形EFBG为矩形，得FG＝BE，OB＝OF＝OE＝OG，用SAS即可得△ABE≌△ADE，即可判断①；根据全等三角形的性质和等腰三角形的性质得∠BFG＝∠ADE，即可判断②，延长DE，交FG于M，交FB于点H，由①得，∠ABE＝∠ADE，根据题意和角之间的关系得DE⊥FG，即可判断③，根据垂线段最短得当DE⊥AC时，DE最小，根据勾股定理得AC＝4，即可得FG的最小值为2，即可判断④．
【解答】解：如图所示，连接BE，交FG于点O，
∵EF⊥AB，EG⊥BC，
∴∠EFB＝∠EGB＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴四边形EFBG为矩形，
∴FG＝BE，OB＝OF＝OE＝OG，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAC＝45°，
在△ABE和△ADE中，
，
∴△ABE≌△ADE（SAS），
∴BE＝DE，
∴DE＝FG，
即①正确；
∵△ABE≌△ADE，
∴∠ABE＝∠ADE，
∵OB＝OF，
∴∠OFB＝∠ABE，
∴∠BFG＝∠ADE，
即②正确，
延长DE，交FG于M，交FB于点H，
由①得，∠ABE＝∠ADE，
∵OB＝OF，
∴∠OFB＝∠ABE，
∴∠OFB＝∠ADE，
∵∠BAD＝90°，
∴∠ADE+∠AHD＝90°，
∴∠OFB+∠AHD＝90°，
即∠FMH＝90°，
∴DE⊥FG，
即③正确；
∵E为对角线AC上的一个动点，
∴当DE⊥AC时，DE最小，
∵AB＝AD＝CD＝4，∠ADC＝90°，
∴AC＝＝4，
∴DE＝AC＝2，
由①知，FG＝DE，
∴FG的最小值为2，
即④正确，
综上，①②③④正确，
故答案为：①②③④．
【点评】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是掌握这些知识点．
三．解答题
19．（1）解方程：2x（x+1）＝x+1；
（2）已知关于x的方程x2﹣4x+m+2＝0有两个不相等的实数根．
①求m的取值范围；
②若m为满足条件的最大整数，求方程的根．
【分析】（1）先移项得到2x（x+1）﹣（x+1）＝0，然后利用因式分解法解方程；
（2）①直接利用b2﹣4ac＝16﹣4（m+2）＞0，进而得出m的取值范围；
②利用①中所求得出m的值，再代入解方程即可．
【解答】解：（1）2x（x+1）﹣（x+1）＝0，
（x+1）（2x﹣1）＝0，
x+1＝0或2x﹣1＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝；
（2）①∵关于x的方程x2﹣4x+m+2＝0有两个不相等的实数根，
∴b2﹣4ac＝16﹣4（m+2）＞0，
解得：m＜2；
②∵m＜2，
∴m的最大整数值为：1，
当m＝1时，
x2﹣4x+3＝0，
（x﹣1）（x﹣3）＝0，
解得：x1＝1，x2＝3．
【点评】此题主要考查了根的判别式以及一元二次方程的解法，正确得出m的取值范围是解答（2）题的关键．
20．甲、乙两人玩如图所示的转盘游戏，游戏规则是：转盘被平均分为3个区域，颜色分别为黑、白、红，转动转盘时，指针指向的颜色，即为转出的颜色（如果指针指在两区域的分界线上，则重转一次）．两人参与游戏，一人转动两次转盘，另一人对转出的颜色进行猜测．若转出的颜色与猜测的人描述的特征相符，则猜测的人获胜；否则，转动转盘的人获胜．猜测的方法从下面三种方案中选一种．
A．猜“颜色相同”；
B．猜“一定有黑色”；
C．猜“没有黑色”．
请利用所学的概率知识回答下列问题：
（1）用画树状图或列表的方法列出所有可能的结果；
（2）如果你是猜测的人，你将选择哪种猜测方案，才能使自己获胜的可能性最大？为什么？
【分析】（1）利用列表法展示所有9种等可能得结果数；
（2）在表中分别找出“颜色相同”、“一定有黑色”、“没有黑色”的结果数，然后根据概率分别计算出三个方案的概率，再比较概率大小即可进行判断．
【解答】解：（1）列表如下：
共有9种等可能的结果：（黑，黑），（黑，白），（黑，红），（白，黑），（白，白），（白，红），（红，黑），（红，白），（红，红）；
（2）选方案B．理由如下：
∵P（A方案）＝＝，P（B方案）＝，P（C方案）＝，
∴P（B）＞P（C）＞P（A）．
∴选方案B，才能使自己获胜的可能性最大．
【点评】本题考查列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A的概率．
21．2023年杭州亚运会吉祥物一经开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件45元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件68元的价格出售，经统计，2023年5月份的销售量为256件，2023年7月份的销售量为400件．
（1）求该款吉祥物2023年5月份到7月份销售量的月平均增长率．
（2）从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该款吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件，当该款吉祥物降价多少元时，月销售利润达8400元？
【分析】（1）设该款吉祥物2023年5月份到7月份销售量的月平均增长率为x，根据2023年5月份的销售量为256件，2023年7月份的销售量为400件．列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可；
（2）设该款吉祥物降价m元，则每件的利润为（68﹣45﹣m）元，月销售量为（400+20m）件，根据月销售利润达8400元，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可．
【解答】解：（1）设该款吉祥物2023年5月份到7月份销售量的月平均增长率为x，
根据题意得：256（1+x）2＝400，
解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不符合题意，舍去），
答：该款吉祥物2023年5月份到7月份销售量的月平均增长率为25%；
（2）设该款吉祥物降价m元，则每件的利润为（68﹣45﹣m）元，月销售量为（400+20m）件，
根据题意得：（68﹣45﹣m）（400+20m）＝8400，
整理得：m2﹣3m﹣40＝0，
解得：m1＝8，m2＝﹣5 （不符合题意，舍去），
答：当该款吉祥物降价8元时，月销售利润达8400元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
22．某社区两条平行的小道之间有一块三角形空地．如图，这两条小道m、n之间的距离为9米，△ABC表示这块空地，BC＝36米．现要在空地内划出一个矩形DGHE区域建造花坛，使它的一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上．
（1）如果矩形花坛的边DG：DE＝1：2，求出这时矩形花坛的两条邻边的长；
（2）矩形花坛的面积能否占空地面积的？请作出判断并说明理由．
【分析】（1）过点A作AM⊥DE，垂足为M，延长AM交BC于点N，根据题意可得：AN＝9米，DG＝MN，AN⊥BC，再根据矩形的性质可得DE∥BC，从而可得∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，然后证明A字模型相似△ADE∽△ABC，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答；
（2）设DG＝x米，利用（1）的结论可得：△ADE∽△ABC，从而利用相似三角形的性质可得DE＝（36﹣4x）米，然后根据题目的已知可得36x﹣4x2＝×BC•AN，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）过点A作AM⊥DE，垂足为M，延长AM交BC于点N，
由题意得：AN＝9米，DG＝MN，AN⊥BC，
∵四边形DGHE是矩形，
∴DE∥BC，
∵DG：DE＝1：2，
∴DE＝2DG，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，
∴＝，
解得：DG＝6，
∴DE＝2DG＝12，
∴这时矩形花坛的两条邻边的长分别为6和12；
（2）矩形花坛的面积不能占空地面积的，
理由：设DG＝x米，
由（1）可得：△ADE∽△ABC，
∴＝，
∴＝，
∴DE＝36﹣4DG＝（36﹣4x）米，
∴矩形花坛的面积＝DE•DG＝x（36﹣4x）＝（36x﹣4x2）平方米，
由题意得：36x﹣4x2＝×BC•AN，
36x﹣4x2＝××36×9，
整理得：2x2﹣18x+45＝0，
∵Δ＝（﹣18）2﹣4×2×45＝324﹣360＝﹣36＜0，
∴此方程没有实数根，
∴矩形花坛的面积不能占空地面积的．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，解一元二次方程，矩形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
23．如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD＞AB），将纸片折叠一次，使点A与C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，分别连接AF和CE．
（1）求证：四边形AFCE是菱形（用两种方法证明）；
（2）过E点作EP∥CD交AC于点P，试探究AF、AP、AC的关系并说明理由（请同学们将图补充完整之后再答题）；
（3）在（2）的条件下，若AB＝，BC＝3，连接PF，求PF的长．
【分析】（1）求出∠AOE＝∠COF＝90°，OA＝OC，∠EAO＝∠FCO，证△AOE≌△COF，推出OE＝OF即可；
（2）证明△AOE∽△AEP，得到，所以AE2＝AO•AP，由四边形AFCE是菱形，得到，AE＝AF，所以AE2＝AC•AP，2AE2＝AC•AP，即可得出答案；
（3）根据垂直平分线的性质得到PF＝PE，设AF＝x，在Rt△ABF中，利用勾股定理得到x的值，进而得到AF的长，再利用相似三角形的判定和性质求出PE的长，即可得到PF的长．
【解答】解：（1）如图1，连接EF交AC于O，
当顶点A与C重合时，折痕EF垂直平分AC，
∴OA＝OC，∠AOE＝∠COF＝90°，
∵在矩形ABCD中，AD∥BC，
∴∠EAO＝∠FCO，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA）．
∴OE＝OF，
∴四边形AFCE是菱形（对角线垂直平分的四边形是菱形）；
（2）2AF2＝AC•AP；理由如下：
如图2所示：过E点作EP∥CD交AC于点P，交BC于G，连接EF，交AC于O，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝90°，
∵EP∥CD，
∴∠AEP＝90°，
由（1）知：∠AOE＝90°，
又∵∠EAO＝∠EAP，
∴△AOE∽△AEP，＝，
∴AE2＝AO•AP，
∵四边形AFCE是菱形，
∴，AE＝AF，
∴AE2＝AC•AP．
∴2AE2＝AC•AP，
∴2AF2＝AC•AP；
（3）∵四边形AFCE是菱形，
∴AC垂直平分EF，
∴PF＝PE，
设AF＝x，则CF＝x，BF＝3﹣x，
在Rt△ABF中，AB2+BF2＝AF2，即 ，
解得x＝2，即AF＝2，
∴AE＝2，
∵EP∥CD，
∴△AEP∽△ADC，，
∴，
∴，．
【点评】本题考查了矩形的性质，菱形的判定，翻折变换的性质，勾股定理以及相似三角形的判定与性质，熟记各性质以及菱形的判定方法是解题的关键．黑
白
红
黑
（黑，黑）
（黑，白）
（黑，红）
白
（白，黑）
（白，白）
（白，红）
红
（红，黑）
（红，白）
（红，红）