2023-2024学年黑龙江省绥化市明水县八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年黑龙江省绥化市明水县八年级（上）期末数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.一个三角形的两边长为3和7，第三边长为偶数，则第三边为
( )
A. 6B. 6或8C. 4D. 4或6
2.在平面直角坐标系中，点P(3,−2)关于y轴的对称点在
( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3.如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是( )
A. 三角形的稳定性
B. 两点之间线段最短
C. 两点确定一条直线
D. 垂线段最短
4.下列从左到右的变形，属于分解因式的是( )
A. (a−3)(a+3)=a2−9B. x2+x−5=x(x+1)−5
C. a2+a=a(a+1)D. x3y=x⋅x2⋅y
5.若分式x2−42x−4的值为零，则x等于( )
A. 0B. 2C. ±2D. −2
6.已知，|a+2|+(b−1)2=0，则(a+b)2013=( )
A. 1B. −2013C. −1D. 2013
7.如图，点A在DE上，点F在AB上，且AC=CE，∠1=∠2=∠3，则DE的长等于( )
A. DC
B. BC
C. AB
D. AE+AC
8.下面4个图案，其中不是轴对称图形的是
( )
A. B. C. D.
9.下列说法中正确的是( )
A. 三角形可分为斜三角形、直角三角形和锐角三角形
B. 等腰三角形任何一个内角都有可能是钝角或直角
C. 三角形外角一定是钝角
D. 在△ABC中，如果∠A=∠B=∠C，那么∠A=60°，∠C=60°
10.计算(−2a2b)3的结果是( )
A. −6a6b3B. −8a6b3C. 8a6b3D. −8a5b3
11.如图，AB=AC=AD，若∠BAD=80°，则∠BCD=( )
A. 80°
B. 100°
C. 140°
D. 160°
12.如图，点E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，下列结论：①∠AED=90°；②∠ADE=∠CDE；③DE=BE；④AD=AB+CD.四个结论中成立的是( )
A. ①②④
B. ①②③
C. ②③④
D. ①③
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
13.已知m+n=5，mn=−14，则m2n+mn2= ______ ．
14.若要使分式34+x有意义，则x的取值范围是______．
15.如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，∠BDE=∠CDF，请你添加一个条件，使DE=DF成立．你添加的条件是______.(不再添加辅助线和字母)
16.如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=3，△ABC的面积是______．
17.化简x2−2xx2−4x+4的结果是______．
18.已知关于a−1x+2=1的分式方程无解，则a= ______ ．
19.某市为治理污水，需要铺设一段全长为300m的污水排放管道．铺设120m后，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，后来每天的工效比原计划增加20%，结果共用30天完成这一任务、求原计划每天铺设管道的长度，如果设原计划每天铺设xm管道，那么根据题意，可得方程______．
20.如图，已知点P是射线ON上一动点(即P可在射线ON上运动)，∠O=30°，当∠A= ______ 时，△AOP为等腰三角形．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
21.化简求值：已知1x+1y=3，求2x−xy+2yx−2xy+y的值
四、解答题：本题共7小题，共54分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
22.(本小题6分)
因式分解：
①−xyz2+4xyz−4xy；
②9(m+n)2−(m−n)2．
23.(本小题8分)
解方程：
①xx−3+2−x3−x=1；
②1−xx−2=12−x−2．
24.(本小题6分)
如图，
(1)在网格中画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
(2)写出△ABC关于x轴对称的△A2B2C2的各顶点坐标；
(3)在y轴上确定一点P，使△PAB周长最短．(只需作图，保留作图痕迹)
25.(本小题6分)
已知等边三角形ABC，延长BA至E，延长BC至D，使得AE=BD，求证：EC=ED．
26.(本小题8分)
千年古镇赵化开发的鑫城小区的内坝是一块长为(3a+b)米，宽为(2a+b)米的长方形地，物业部门计划将内坝进行绿化(如图阴影部分)，中间部分将修建一仿古小景点(如图中间的正方形)，则绿化的面积是多少平方米？并求出当a=3，b=2时的绿化面积．
27.(本小题8分)
某文化用品商店用2000元购进一批学生书包，面市后发现供不应求，商店又购进第二批同样的书包，所购数量是第一批购进数量的3倍，但单价贵了4元，结果第二批用了6300元．
(1)求第一批购进书包的单价是多少元？
(2)若商店销售这两批书包时，每个售价都是120元，全部售出后，商店共盈利多少元？
28.(本小题12分)
在△ABC中，BC=AC，∠BCA=90°，P为直线AC上一点，过点A作AD⊥BP于点D，交直线BC于点Q。
(1)如图1，当P在线段AC上时，求证：BP=AQ；
(2)如图2，当P在线段CA的延长线上时，(1)中的结论是否成立？____(填“成立”或“不成立”)
(3)在(2)的条件下，当∠DBA=____度时，存在AQ=2BD，说明理由。
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
此题主要考查了三角形的三边关系，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。利用三角形三边关系定理，先确定第三边的范围，进而根据题意求出第三边的长。
【解答】
解：设第三边为x。
根据三角形三边关系定理，得7−3即4∵第三边长为偶数
∴第三边长是6或8
故选B。
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
(1)关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
(2)关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
(3)关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数求出对称点的坐标，再根据各象限内点的坐标特点解答．
【解答】
解：∵点P(3,−2)关于y轴的对称点是(−3,−2)，
∴点P(3,−2)关于y轴的对称点在第三象限．
故选C．
3.【答案】A
【解析】解：根据三角形的稳定性可固定窗户．
故选：A．
根据三角形的稳定性即可解决问题．
本题考查了三角形的稳定性，熟练掌握三角形的稳定性是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：A、右边不是整式积的形式，故本选项错误；
B、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；
C、a2+a=a(a+1)是因式分解，故本选项正确；
D、因式分解的对象是多项式，而x3y是单项式，故本选项错误．
故选：C．
根据把一个多项式写成几个整式积的形式叫做因式分解对各选项分析判断后利用排除法求解．
本题考查了因式分解的意义，因式分解与整式的乘法互为逆运算，熟记因式分解的定义是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】【分析】
此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．根据分式值为零的条件可得x2−4=0，2x−4≠0，再解即可．
【解答】
解：由题意得：x2−4=0，2x−4≠0，
解得：x=−2，
故选：D．
6.【答案】C
【解析】解：因为|a+2|+(b−1)2=0，
所以a+2=0，b−1=0，
解得a=−2，b=1，
所以(a+b)2013=(−2+1)2013=−1，
故选：C．
根据非负数偶次幂、绝对值的性质，求出a、b的值再代入计算即可．
本题考查非负数偶次幂、绝对值，掌握绝对值、偶次幂的性质是解决问题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：∵∠2=∠3，∠AFD=∠CFB，
∴∠D=∠B，
∵∠1=∠3，
∴∠1+∠ACD=∠3+∠ACD，
∴∠ACB=∠ECD，
∵AC=CE，
∴△ABC≌△EDC(AAS)，
∴DE=AB．
故选：C．
先证△ABC≌△EDC，由全等的性质得到结论．
本题考查了三角形全等的判定及性质，找出对应角∠D=∠B是解题关键．可以用“8”字型模型得到：即△ADF和△CFB组成的图形．
8.【答案】D
【解析】解：A、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
9.【答案】D
【解析】解：A、三角形分为斜三角形和直角三角形，故本选项错误；
B、等腰三角形的底角不能是直角和钝角，故本选项错误；
C、直角三角形的一个外角是直角，故本选项错误；
D、∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=∠B=∠C，
∴∠A=∠B=∠C=60°，故本选项正确；
故选D．
根据三角形分类，等腰三角形性质，三角形内角和定理，三角形外角分别进行判断即可．
本题考查了三角形分类，等腰三角形性质，三角形内角和定理，三角形外角的应用，主要考查学生的理解能力和辨析能力．
10.【答案】B
【解析】解：(−2a2b)3=−8a6b3．
故选：B．
根据幂的乘方和积的乘方的运算法则求解．
本题考查了幂的乘方和积的乘方，解答本题的关键是掌握幂的乘方和积的乘方的运算法则．
11.【答案】C
【解析】解：∵∠BAD=80°，
∴∠B+∠BCD+∠D=280°，
∵AB=AC=AD，
∴∠B=∠ACB，∠ACD=∠D，
∴∠BCD=280°÷2=140゜，
故选：C．
先根据已知和四边形的内角和为360°，可求∠B+∠BCD+∠D的度数，再根据等腰三角形的性质可得∠B=∠ACB，∠ACD=∠D，从而得到∠BCD的值．
考查了四边形的内角和，等腰三角形的两个底角相等的性质．
12.【答案】A
【解析】解：过E作EF⊥AD于F，如图，
∵AB⊥BC，AE平分∠BAD，
∴BE=EF，
在Rt△AEF和Rt△AEB中，
AE=AEBE=FE，
∴Rt△AEF≌Rt△AEB(HL)，
∴AB=AF，∠AEF=∠AEB，
∵点E是BC的中点，
∴EC=EF=BE，故③错误；
在Rt△EFD和Rt△ECD中，
ED=EDEF=EC，
∴Rt△EFD≌Rt△ECD(HL)，
∴DC=DF，∠FDE=∠CDE，故②正确；
∴AD=AF+FD=AB+DC，故④正确；
∴∠AED=∠AEF+∠FED=12∠BEC=90°，故①正确．
因此正确的有①②④，
故选：A．
过E作EF⊥AD于F，可得BE=EF，运用全等三角形的判定可得Rt△AEF≌Rt△AEB，再运用全等三角形的性质可得AB=AF，∠AEF=∠AEB；运用点E是BC的中点即可判断③是否正确；运用全等三角形的判定可得Rt△EFD≌Rt△ECD，再运用全等三角形的性质即可判断②④是否正确；运用∠AED=∠AEF+∠FED=12∠BEC即可判断①是否正确．
本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，解决本题的关键是得到Rt△AEF≌Rt△AEB.侧重考查知识点的理解、应用能力．学生在日常学习中应从以下3个方向(【逻辑推理】【直观想象】【数学运算】)培养对知识点的理解、应用能力．
13.【答案】−70
【解析】解：因为m+n=5，mn=−14，
所以m2n+mn2=mn(m+n)=−14×5=−70．
直接提取公因式分解因式，再代数求值．
本题考查因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．一般来说，如果可以提取公因式的要先提取公因式，再代数求值．
14.【答案】x≠−4
【解析】解：要使分式34+x有意义，得
4+x≠0．
解得x≠−4，
故答案为：x≠−4．
根据分式的分母不为零分式有意义，可得答案．
本题考查了分式有意义的条件，分式的分母不为零是分式有意义的条件．
15.【答案】答案不唯一，如AB=AC或∠B=∠C
或∠BED=∠CFD或∠AED=∠AFD
【解析】解：答案不唯一，如AB=AC或∠B=∠C或∠BED=∠CFD，或∠AED=∠AFD等；
理由是：①∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
根据ASA证出△BED≌△CFD，即可得出DE=DF；
②由∠B=∠C，∠BDE=∠CDF，BD=DC，根据ASA证出△BED≌△CFD，即可得出DE=DF；
③由∠BED=∠CFD，∠BDE=∠CDF，BD=DC，根据AAS证出△BED≌△CFD，即可得出DE=DF；
④∵∠AED=∠AFD，∠AED=∠B+∠BDE，∠AFD=∠C+∠CDF，
又∵∠BDE=∠CDF，
∴∠B=∠C，
即由∠B=∠C，∠BDE=∠CDF，BD=DC，根据ASA证出△BED≌△CFD，即可得出DE=DF；
故答案为：答案不唯一，如AB=AC或∠B=∠C或∠BED=∠CFD或∠AED=∠AFD．
答案不唯一根据AB=AC，推出∠B=∠C，根据ASA证出△BED和△CFD全等即可；添加∠BED=∠CDF，根据AAS即可推出△BED和△CFD全等；根据∠AED=∠AFD推出∠B=∠C，根据ASA证△BED≌△CFD即可．
本题考查了全等三角形的判定，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．
16.【答案】31.5
【解析】解：作OE⊥AC，OF⊥AB，垂足分别为E、F，连接OA，
∵OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，
∴OD=OE=OF，
∴S△ABC=S△OBC+S△OAC+S△OAB
=12×OD×BC+12×OE×AC+12×OF×AB
=12×OD×(BC+AC+AB)
=12×3×21=31.5．
故填31.5．
连接OA，作OE⊥AC，OF⊥AB，垂足分别为E、F，将△ABC的面积分为：S△ABC=S△OBC+S△OAC+S△OAB，而三个小三角形的高OD=OE=OF，它们的底边和就是△ABC的周长，可计算△ABC的面积．
此题主要考查角平分线的性质；利用三角形的三条角平分线交于一点，将三角形面积分为三个小三角形面积求和，发现并利用三个小三角形等高是正确解答本题的关键．
17.【答案】xx−2
【解析】解：原式=x(x−2)(x−2)2
=xx−2，
故答案为xx−2．
先将分式的分子、分母各自分解因式，再约分，即可求解．
本题考查了分式的约分，涉及到分解因式，分式的约分，先分解因式，再约分，是基础知识比较简单．
18.【答案】1
【解析】解：方程两边同乘以x+2，
得：a−1=x+2，
∴x=a−3，
∵分式方程无解，
∴x=−2，
∴a−3=−2，
解得a=1．
故答案为：1．
根据解分式方程的方法和关于x的分式方程a−1x+2=1无解，可以求得相应a的值，本题得以解决．
本题考查了分式方程的解，理解分式方程增根的意义及会把分式方程化成整式方程是解决问题的关键．
19.【答案】120x+300−120(1+20%)x=30或(120x+1801.2x=30)
【解析】解：因为原计划每天铺设x(m)管道，所以后来的工作效率为(1+20%)x(m)，
根据题意，得
120x+300−120(1+20%)x=30．
或120x+1801.2x=30
故答案为：120x+300−120(1+20%)x=30或(120x+1801.2x=30)．
所求的是原计划的工效，工作总量是300，一定是根据工作时间来列的等量关系．本题的关键描述语是：“后来每天的工效比原计划增加20%”；等量关系为：结果共用30天完成这一任务．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程．应用题中一般有三个量，求一个量，明显的有一个量，一定是根据另一量来列等量关系的．本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．本题应用的等量关系为：工作时间=按原计划的工效铺设120m的天数+后来的工效铺设的天数．
20.【答案】75°或120°或30°
【解析】【分析】
本题考查了等腰三角形的判定与性质以及三角形内角和定理；熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
分三种情况：①OA=OP时，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得∠A=∠OPA=75°；②AO=AP时，由等腰三角形的性质得∠APO=∠O=30°，则∠A=180°−∠O−∠APO=120°；③PO=PA时，∠A=∠O=30°．
【解答】
解：分三种情况：
①OA=OP时，
则∠A=∠OPA=12(180°−∠O)=12(180°−30°)=75°；
②AO=AP时，
则∠APO=∠O=30°，
∴∠A=180°−∠O−∠APO=120°；
③PO=PA时，
则∠A=∠O=30°；
综上所述，当∠A为75°或120°或30°时，△AOP为等腰三角形，
故答案为：75°或120°或30°．
21.【答案】解：∵1x+1y=3，
∴x+yxy=3，
则x+y=3xy，
∴原式=2(x+y)−xy(x+y)−2xy
=6xy−xy3xy−2xy
=5xyxy
=5．
【解析】由已知等式得出x+yxy=3即x+y=3xy，再整体代入原式=2(x+y)−xy(x+y)−2xy，继而约分即可得．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则、整体代入思想的运用．
22.【答案】解：①原式=−xy(z2−4z+4)
=−xy(z−2)2；
②原式=[3(m+n)+(m−n)][3(m+n)−(m−n)]
=(4m+2n)(2m+4n)
=4(2m+n)(m+2n)．
【解析】①直接提取公因式−xy，再利用完全平方公式分解因式即可；
②直接利用平方差公式分解因式得出答案．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用公式法分解因式是解题关键．
23.【答案】解：①原方程去分母得：x−(2−x)=x−3，
去括号得：x−2+x=x−3，
移项，合并同类项得：x=−1，
检验：当x=−1时，x−3=−1−3=−4≠0，
故原分式方程的解为x=−1；
②原方程两边同乘(x−2)，去分母得：1−x=−1−2(x−2)，
去括号得：1−x=−1−2x+4，
移项，合并同类项得：x=2，
检验：当x=2时，x−2=2−2=0，
则x=2是原方程的增根，
故原分式方程无解．
【解析】利用解分式方程的步骤解方程即可．
本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．
24.【答案】解：(1)如图所示：△A1B1C1，即为所求；
(2)A2(−3,−2)，B2(−4,3)，C2(−1,1)；
(3)连结AB1或BA1交y轴于点P，则点P即为所求．
【解析】此题主要考查了利用轴对称求最短路线以及轴对称变换，正确得出对应点位置是解题关键．
(1)直接利用关于y轴对称点的性质得出答案；
(2)直接利用关于x轴对称点的性质得出答案；
(3)利用轴对称求最短路线的方法得出P点位置即可．
25.【答案】证明：延长BD至F，使DF=AB，连结EF，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠B=60°．
∵AE=BD，DF=AB，
∴AE+AB=BD+DF，
∴BE=BF．
∵∠B=60°，
∴△BEF为等边三角形，
∴∠B=∠F=60°，BE=FE．
∵DF=AB，
∴BC=DF．
在△BCE和△FDE中，
∵BC=DF∠B=∠FBE=FE，
∴△BCE≌△FDE(SAS)，
∴EC=ED．
【解析】延长BD至F，使DF=AB，连结EF，就可以得出BE=BF，得出△BEF是等边三角形，就可以得出BE=FE，得出△BCE≌△FDE就可以得出结论．
本题考查了等边三角形的判定及性质的运用，等式的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明△BEF是等边三角形是关键．正确作辅助线是难点．
26.【答案】解：由题意，得
(3a+b)(2a+b)−(a+b)2=6a2+5ab+b2−a2−2ab−b2=5a2+3ab，
当a=3，b=2时，5a2+3ab=5×32+3×3×2=63，
答：绿化的面积是5a2+3ab平方米，
当a=3，b=2时的绿化面积是63m2．
【解析】根据矩形的面积公式，可得内坝、景点的面积，根据面积的和差，可得答案．
本题考查了多项式乘多项式，利用了多项式乘多项式法则．
27.【答案】解：(1)设第一批购进书包的单价是x元．
则：2000x×3=6300x+4．
解得：x=80．
经检验：x=80是原方程的根．
答：第一批购进书包的单价是80元．
(2)200080×(120−80)+630084×(120−84)=3700(元)．
答：商店共盈利3700元．
【解析】(1)求的是单价，总价明显，一定是根据数量来列等量关系．本题的关键描述语是：“数量是第一批购进数量的3倍”；等量关系为：6300元购买的数量=2000元购买的数量×3．
(2)盈利=总售价−总进价．
应用题中一般有三个量，求一个量，明显的有一个量，一定是根据另一量来列等量关系的．本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
28.【答案】(1)证明：∵∠ACB=∠ADB=90°，∠APD=∠BPC，
∴∠CBP=∠CAQ，
在△BCP和△ACQ中，
∠PCB=∠QCABC=AC∠CBP=∠CAQ
∴△BCP≌△ACQ(ASA)，
∴BP=AQ；
(2)成立；
(3)解：当∠DBA=22.5°时，存在AQ=2BD，
理由：∵∠BAC=∠DBA+∠APB=45°，
∴∠PBA=∠APB=22.5°，
∴AP=AB，
∵AD⊥BP，
∴BP=2BD，
在△PBC与△QAC中，
∠BPC=∠AQC∠BCP=∠ACQ BC=AC,
∴△PBC≌△QAC(AAS)，
∴BP=AQ，
∴AQ=2BD．
∴当∠DBA=22.5度时，存在AQ=2BD．
【解析】【分析】
此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形性质和三角形内角和定理等知识，根据题意得出全等三角形是解题关键。
(1)首先根据内角和定理得出∠DAP=∠CBP，进而得出△ACQ≌△BCP即可得出答案；
(2)由于∠ACQ=∠BDQ=90°，∠AQC=∠BQD，得到∠CAQ=∠DBQ，推出△BPC≌△AQC(ASA)即可得出结论；
(3)当∠DBA=22.5°时，存在AQ=2BD，根据等腰三角形的性质得到BP=2BD，通过△PBC≌△ACQ，根据全等三角形的性质即可得到结论．
【解答】
解：(1)见答案；
(2)成立，理由如下：
∵∠ACQ=∠BDQ=90°，∠AQC=∠BQD，
∴∠CAQ=∠DBQ，
在△BPC和△AQC中，
∠BCP=∠ACQBC=AC∠PBC=∠QAC
∴△BPC≌△AQC(ASA)，
∴BP=AQ，
即当P在线段CA的延长线上时，(1)中的结论成立；
故答案为：成立；
(3)见答案。