2024届重庆市第八中学高三上学期一诊适应性考试数学试题（解析版）

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命题：高三数学组 审核：高三数学组 校对：高三数学组
一、单项选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A B. C. D.
2. 设，则复数的模为（ ）
A. B. C. 1D.
3. 已知，为单位向量，当向量，的夹角等于时，向量在向量上的投影向量为（ ）
A. 3B. C. D.
4. 若一个圆锥的母线长为，且其侧面积与其轴截面面积的比为，则该圆锥的高为（ ）
A B. C. D.
5. 在形状、大小完全相同的4个小球上分别写上4位学生的名字，放入袋子中，现在4位学生从袋子中依次抽取球，每次不放回随机取出一个，则恰有1位学生摸到写有自己名字的小球的概率为（ ）
A B. C. D.
6. 将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A B. C. D.
7. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
8. 在正三棱台中，，，，则正三棱台的外接球体积为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9. 如图，在棱长为1的正方体中，点满足，其中，，则（ ）
A. 当时，
B. 当时，
C. 当，且、均非零时，
D. 当时，四棱锥体积恒为定值
10. 等差数列与的前项和分别为与，且，则（ ）
A. 当时，B. 当时，
C. D.
11. 已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，于，直线与交于，两点，若，则（ ）
A. B. C. D.
12. 已知，，则（ ）
A. 当时，为奇函数
B. 当时，存在直线与有6个交点
C. 当时，在上单调递减
D. 当时，在上有且仅有一个零点
三、填空题：本题共4小题．
13. 设一组样本数据的方差为0.01，则数据，，，的方差为_________．
14. 过点的直线将圆分割成弧长比值为的两段圆弧，则的斜率为_________．
15. 若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则_________．
16. 设双曲线的左、右焦点分别为，，为的左顶点，，为双曲线一条渐近线上的两点，四边形为矩形，且，则双曲线的离心率为_________．
四、解答题：本题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知等差数列的首项，公差为，为的前项和，为等差数列．
（1）求与的关系；
（2）若，为数列的前项和，求使得成立的的最大值．
18. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且．
（1）求；
（2）若，点在边上，，且，求．
19. 如图，在三棱锥中，平面平面，为等腰直角三角形，其中，为中点．
（1）证明：平面平面；
（2）已知，二面角的大小为，求三棱锥的体积．
20. 2023年高考分数公布后，经过相关部门的计算，本次高考总分不低于680的同学可以获得高校的“强基计划”入围资格．经统计甲班和乙班分别有3名和4名学生获得高校的“强基计划”入围资格，而且甲班和乙班高考分数高于690分的学生分别有1名和2名．高校的“强基计划”校考分为两轮．第一轮为笔试，所有入围同学都要参加，考试科目为数学和物理，每科的笔试成绩从高到低依次有，，三个等级，两科中至少有一科得到，且两科均不低于，才能进入第二轮．已知入围的同学参加第一轮笔试时，总分高于690分的同学在每科笔试中取得，，的概率分别为，，；总分不高于690分的同学在每科笔试中取得，，的概率分别为，，；进入第二轮的同学，若两科笔试成绩均为，则免面试，并被高校提前录取；若两科笔试成绩只有一个，则要参加面试，总分高于690分的同学面试“通过”的概率为，总分不高于690分的同学面试“通过”的概率为，面试“通过”的同学也将被高校提前录取．若甲、乙两个班本次高考总分不低于680的同学都报考了高校的“强基计划”．
（1）分别求出总分高于690分的某位学生进入第二轮的概率以及该生被高校提前录取的概率；
（2）从甲、乙两班随机抽取一个班，再从该班获得高效的“强基计划”入围资格的学生中随机抽取2位学生，求这两位同学都通过“强基计划”被高校提前录取的概率．
21. 已知斜率为1的直线与椭圆：交于，两点，线段的中点为．
（1）求的离心率；
（2）设的左焦点为，若，求过，，三点的圆的方程．
22. 已知函数．
（1）证明：当时，；当时，．
（2）正项数列满足：，，证明：
（i）数列递减；
（ii）．