重庆市第八中学校2024届高三上学期一诊适应性考试数学试卷(含答案)

这是一份重庆市第八中学校2024届高三上学期一诊适应性考试数学试卷(含答案)，共20页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知集合，，则( )
A.B.C.D.
2．设，则复数z的模为( )
A.B.C.1D.
3．已知，为单位向量，当向量，的夹角等于时，向量在向量上的投影向量为( )
A.3B.C.D.
4．若一个圆锥的母线长为l，且其侧面积与其轴截面面积的比为，则该圆锥的高为( )
A.B.C.D.
5．在形状、大小完全相同的4个小球上分别写上4位学生的名字，放入袋子中，现在4位学生从袋子中依次抽取球，每次不放回随机取出一个，则恰有1位学生摸到写有自己名字的小球的概率为( )
A.B.C.D.
6．将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若函数在上单调递增，则实数m的取值范围是( )
A.B.C.D.
7．已知，，则( )
A.B.C.D.
8．在正三棱台中，，，，则正三棱台的外接球体积为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．如图，在棱长为1的正方体中，点P满足，其中，，则( )
A.当时，
B.当时，
C.当，且、均非零时，
D.当时，四棱锥的体积恒为定值
10．等差数列与的前n项和分别为与，且，则( )
A.当时，B.当时，
C.D.
11．已知抛物线的焦点为F，准线为l，点M在C上，于N，直线与C交于A，B两点，若，则( )
A.B.
C.D.
12．已知，，则( )
A.当时，为奇函数
B.当时，存在直线与有6个交点
C.当时，在上单调递减
D.当时，在上有且仅有一个零点
三、填空题
13．设一组样本数据，，…，的方差为0.01，则数据，，，的方差为_________.
14．过点的直线l将圆分割成弧长比值为的两段圆弧，则l的斜率为_________.
15．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则_________.
16．设双曲线的左、右焦点分别为，，A为C的左顶点，P，Q为双曲线一条渐近线上的两点，四边形为矩形，且，则双曲线的离心率为_________.
四、解答题
17．已知等差数列的首项，公差为d，为的前n项和，为等差数列.
（1）求与d的关系；
（2）若，为数列的前n项和，求使得成立的n的最大值.
18．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且.
（1）求B；
（2）若，点D在边上，，且，求b.
19．如图，在三棱锥中，平面平面，为等腰直角三角形，其中，E为中点.
（1）证明：平面平面；
（2）已知，二面角的大小为，求三棱锥的体积.
20．2023年高考分数公布后，经过相关部门的计算，本次高考总分不低于680的同学可以获得高校T的“强基计划”入围资格.经统计甲班和乙班分别有3名和4名学生获得高校T的“强基计划”入围资格，而且甲班和乙班高考分数高于690分的学生分别有1名和2名.高校T的“强基计划”校考分为两轮.第一轮为笔试，所有入围同学都要参加，考试科目为数学和物理，每科的笔试成绩从高到低依次有，A，B三个等级，两科中至少有一科得到，且两科均不低于A，才能进入第二轮.已知入围的同学参加第一轮笔试时，总分高于690分的同学在每科笔试中取得，A，B的概率分别为，，；总分不高于690分的同学在每科笔试中取得，A，B的概率分别为，，；进入第二轮的同学，若两科笔试成绩均为，则免面试，并被高校T提前录取；若两科笔试成绩只有一个，则要参加面试，总分高于690分的同学面试“通过”的概率为，总分不高于690分的同学面试“通过”的概率为，面试“通过”的同学也将被高校T提前录取.若甲、乙两个班本次高考总分不低于680的同学都报考了高校T的“强基计划”.
（1）分别求出总分高于690分的某位学生进入第二轮的概率以及该生被高校T提前录取的概率；
（2）从甲、乙两班随机抽取一个班，再从该班获得高效T的“强基计划”入围资格的学生中随机抽取2位学生，求这两位同学都通过“强基计划”被高校T提前录取的概率.
21．已知斜率为1的直线l与椭圆C：交于A，B两点，线段的中点为.
（1）求C的离心率；
（2）设C的左焦点为F，若，求过A，B，F三点的圆的方程.
22．已知函数.
（1）证明：当时，；当时，.
（2）正项数列满足：，，证明：
（i）数列递减；
（ii）.
参考答案
1．答案：C
解析：由得，
又因为，
所以
故选：C.
2．答案：D
解析：设，则，所以，.
由，所以.
故选：D.
3．答案：C
解析：，为单位向量，当向量，的夹角等于时，
则在上的投影向量为.
故选：C.
4．答案：A
解析：设圆锥底面圆半径为r，圆锥高为h，依题意，，解得，
所以该圆锥的高为.
故选：A.
5．答案：B
解析：4位学生从袋子中依次抽取球，每次不放回随机取出一个的方法总数为种，
恰有1位学生摸到写有自己名字的小球，可以先从4人中选出1人摸到写有自己名字的小球，另外三人摸到的都不是写有自己名字的小球共种，
所以恰有1位学生摸到写有自己名字的小球的概率为.
故选：B.
6．答案：B
解析：由题意知：，
当时，，
在上单调递增，，；
若，则，，此时，
又，
，
；
若，则，，，此时，
与矛盾，不合题意；
综上所述：实数m的取值范围为.
故选：B.
7．答案：A
解析：由，得，令函数，，求导得，
则函数在上单调递减，，因此，
由，得，有，令函数，，
求导得，当且仅当时取等号，即函数在单调递增，
，即，因此，
所以.
故选：A.
8．答案：C
解析：分别取、的中心E，F，连结，过A作，
因为，由正弦定理得，得，同理可得，所以，，
所以设正三棱台的外接球球心O，O在EF上，
设外接球O的半径为R，所以，
，，
即，又因为，
解得，，
所以正三棱台的外接球体积.
故选：C.
9．答案：ACD
解析：对于A，当时，，
即点P与点重合，则，A正确；
对于B，时，，
，即A，P，三点共线，易知，
所以，故B错误；
对于C，当，且、均非零时，
则B，P，三点共线，易得，
所以，故C正确；
对于D，当时，由C知结合下图可知，
P为的中点，B，H，三点共线，
易知为定值，
则也为定值，
故D正确，
故选：ACD.
10．答案：AC
解析：对于A：因为所以，，
代入得，所以，故A正确.
对于B：由A知，由得，故B不正确.
对于C：由，
所以，所以，故C正确.
对于D：由C知，
所以，故D不正确.
故选：AC
11．答案：AC
解析：不妨设点M在x轴上方，设点，
则点，，若则点.
将点代入可得，
将代入可得，
所以，，，
所以，所以直线的倾斜角为，
所以，故A正确.
，故B不正确.
易得直线的方程为，
由解得，，
所以，所以，，所以，
故C正确；
因为，
所以且两个向量夹角为锐角，
根据同角三角函数基本关系得，故D不正确.
故选：AC.
12．答案：ACD
解析：当时，，可以说是奇函数，故A正确；
当时，在R上单调递增，与最多一个交点，故B错误；
因为，所以.
对C：在上递减，需有（）恒成立.
当时，，又，且当时，，所以.
当时，.
设，则，由，所以在上递减，在上递增，
所以的最小值为，所以.
所以且，即.故C正确；
对D：设，则.因为，所以当时，；当时，.
所以在上递增，在上递减，所以的最大值为，
又，所以只在有一解，设为即，
所以在上递增，在上递减.
且，且当时，，所以在上有且仅有一个零点.故D正确.
故选：ACD.
13．答案：1
解析：因为数据的方差是数据的方差的倍，
所以所求数据的方差为，
故答案为：1.
14．答案：
解析：由已知得到劣弧所对的圆心角为，
圆的圆心为，半径为，所以弦心距为.
由题意可得直线l的斜率存在，设直线l为：，即，
所以圆心到直线的距离，
整理得，解得.
故答案为：.
15．答案：
解析：因为与相切.
，设切点坐标为，则切线方程为.
因为切线过原点，所以：，故切点为，所以.
对函数，，由，
根据得切点纵坐标为：，
根据得切点纵坐标为：，
由，又由题可知.
故答案为：.
16．答案：
解析：令双曲线的半焦距为c，显然，
由双曲线的对称性，不妨令点P，Q在双曲线C的渐近线上，且点P在第一象限，
由四边形为矩形，得，令，则，，，
于是，则，，
，即直线的斜率，因此，即，
所以双曲线C的离心率为.
故答案为：.
17．答案：（1）或
（2）见解析.
解析：（1）因为为等差数列，所以，即，
从而得到，化简得，
所以或.
（2）当，时，，，所以，又因为，所以n不存在；
当，时，，，
所以，解得，又因为，
所以n的最大值3.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）在中，由正弦定理及，
得，
即，
则，而，于是，
即，又，即有，则，
所以.
（2）依题意，，则，而，
于是，，
解得，又，解得，
由余弦定理得，解得，
所以.
19．答案：（1）证明见详解
（2）
解析：（1）由题知，平面平面，
且平面平面，
又为等腰直角三角形，其中，
所以，又平面，
则平面，
又平面，
则平面平面.
（2）作，交于点F，
由平面平面，平面平面，
知平面，
因为，所以，
设，则，，
以点B为坐标原点，建立，所在直线为x，y轴，
建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，
因为E为中点，所以，
则，，
设平面的法向量为，
则，
令，则，，
则，
又由（1）得，平面的一个法向量，
所以，
解得或（舍），
故，
则三棱锥的体积.
20．答案：（1）总分高于690分的某位学生进入第二轮的概率为；该生被高校T提前录取的概率为
（2）
解析：（1）总分高于690分的某位学生进入第二轮，记为事件A，
所以，
总分高于690分的某位学生被高校T提前录取，记为事件B，
所以.
（2）总分不高于690分的某位学生被高校T提前录取，记为事件C，
所以，
从甲班获得高效T的“强基计划”入围资格的学生中随机抽取2位学生，且这两位同学都通过“强基计划”被高校T提前录取，记为事件E，
，
从乙班获得高效T的“强基计划”入围资格的学生中随机抽取2位学生，且这两位同学都通过“强基计划”被高校T提前录取，记为事件F，
，
故所求概率.
21．答案：（1）
（2）
解析：（1）设，，则，
又，，所以，又.
（2）直线l方程为，椭圆C的方程可写为：.
联立方程，消去y得：，
则：，，.
又，
所以：
.
解得：，
故可令得，.
所以，，.
设过这三点的圆的方程为：，
由：解得：.
故所求圆的方程为：.
22．答案：（1）证明见详解
（2）证明见详解
解析：（1）设，
则，
令得，
令得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则，
即，
则当时，即；
时，即.
（2）（i）因为数列各项为正，
要证数列递减，只需证明，
即证，又，
所以即证，
令，
不等式化为，
设，
则，恒成立，
故在上单调递增，
则恒成立，
即在上恒成立，
则原命题得证.
（ii）先证明：，，
即证，
设，，
则，，
所以在上单调递增，
则，则所证不等式，成立.
又，，
所以，，
所以，，
则当时，
，
又当时，
，
故成立.