2023届重庆市第八中学校高三上学期高考适应性月考（一）数学试题含解析

2023届重庆市第八中学校高三上学期高考适应性月考（一）数学试题

一、单选题

1．记，则的元素个数为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【分析】解对数不等式，求出，求解交集，得到中的元素个数.

【详解】，

，

∴中的元素个数为2，

故选：B.

2．已知关于的不等式成立的一个充分不必要条件是，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】设，，分类讨论求出不等式的解集，依题意，即可求出参数的取值范围.

【详解】解：设，，

当时，不等式的解集为，即，

当时，不等式，即，则解集为，即，

当时，不等式的解集为，即，

不等式成立的一个充分不必要条件是，

，所以或或，

综上可得，即；

故选：D.

3．函数的一个对称中心是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据余弦型函数，求出其对称中心即可判断作答.

【详解】在函数中，由得，，

所以函数的对称中心是，

显然B，D不满足，A不满足，当是，对称中心为，C满足.

故选：C

4．已知函数的部分图像如图所示，则的解析式可能为（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【分析】利用排除法，结合函数的性质即可得到正确答案.

【详解】利用排除法.

由图像可知排除选项；

又图像不关于原点对称，排除选项；

对于B：当时，；当时，；当时，；符合要求.

对于C：.

所以，为奇函数，图像应该关于原点对称，不符合要求.

故选：B.

5．如图甲，圣索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球､圆柱､棱柱于一体，极具对称之美.为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物，高约为40，如图乙，在它们之间的地面上的点（三点共线）处测得楼顶､教堂顶的仰角分别是和，在楼顶处测得塔顶的仰角为，则估算索菲亚教堂的高度约为（    ）

A．50 B．55 C．60 D．70

【答案】C

【分析】在，由边角关系得出，再由正弦定理计算出中的，最后根据直角三角形算出即可.

【详解】由题意知：，，所以，

在中，，

在中，由正弦定理得，

所以，

在中，

故选：C

6．已知，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据指数函数、对数函数的性质判断即可.

【详解】解：因为，

又，

所以；

故选：D.

7．若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】结合同角三角函数关系以及辅助角公式，可化简原式得到，再利用辅助角公式可得，由余弦的二倍角公式可得解

【详解】，

则

故选：D

8．若函数为奇函数，且在上单调递增，则下列函数在上一定单调递增的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由题可得函数在上单调递增，然后根据函数的对称性及图象变化规律逐项分析即得.

【详解】因为函数为奇函数，且在上单调递增，

所以在上单调递增，

将的图象向右平移2个单位可得函数的图象，

故函数在上单调递增，函数在上单调性不确定，故A错误；

因为函数的图象与函数的图象关于轴对称，

所以函数在上单调递减，故B错误；

将的图象上的点的横坐标变为原来的，纵坐标不变可得到函数的图象，

所以在上单调递增，故C正确；

因为函数的图象与函数的图象关于轴对称，

所以函数在上单调递减，故D错误.

故选：C.

二、多选题

9．将甲､乙､丙､丁4名志愿者分别安排到三个社区进行暑期社会实践活动，要求每个社区至少安排一名志愿者，则下列选项正确的是（    ）

A．共有18种安排方法

B．若甲､乙被安排在同社区，则有6种安排方法

C．若社区需要两名志愿者，则有24种安排方法

D．若甲被安排在社区，则有12种安排方法

【答案】BD

【分析】A选项，先分组再分配，求出安排方法；

B选项，先安排甲和乙，再把剩余两个社区和两名志愿者进行全排列即可；

C选项，先安排A社区，再把剩余两个社区和两名志愿者进行全排列即可；

D选项，分两种情况，A社区安排了两名志愿者和A社区只安排了甲志愿者，求出两种情况下的安排方法，再相加即可.

【详解】对于：4名志愿者先分为3组，再分配到3个社区，所以安排方法为：，错误；

对于：甲､乙被安排在同社区，先从3个社区中选1个安排甲与乙，剩余两个社区和剩余

两名志愿者进行全排列，所以安排方法为：，正确；

对于：A社区需要两名志愿者，所以先从4名志愿者中选择2名安排到A社区，

再把剩余2名志愿者和2个社区进行全排列，所以安排方法为错误；

对于D：甲安排在社区，分为两种情况，第一种为A社区安排了两名志愿者，

所以从剩余3名志愿者中选择一个，分到A社区，再把剩余2名志愿者和2个社区进行

全排列，安排方法有种；

第二种是A社区只安排了甲志愿者，此时剩余3名志愿者分为两组，再分配到剩余的两个社区中，此时安排方法有种；

所以一共有安排方法为正确.

故选：.

10．函数的最小正周期为，下列叙述正确的是（    ）

A．当时，

B．将的图象向左平移个单位后图象关于轴对称，则的一个值可以为6

C．当时，函数在上单调递增

D．若，且的图象关于点中心对称，则

【答案】CD

【分析】根据周期公式计算可判断A；先求平移后的解析式，然后由正弦函数的对称性可判断B；根据正弦函数的单调性解不等式求得单调递增区间，然后可判断C；根据已知先求范围，然后由对称性可求得和b，从而可得解析式，直接计算可判断D.

【详解】，所以，A错；

的图象向左平移个单位后的函数解析式为，

由于平移后的图象关于轴对称，所以，当时，，所以，B错；

当时，，，解不等式，，得，

所以，的单调递增区间为，

时，，C正确；

由函数的最小正周期满足，得，解得，

又因为函数图象关于点对称，所以且，

所以，所以，

所以，所以， D正确.

故选：CD.

11．已知为坐标原点，为轴上的动点，过抛物线焦点的直线与交于两点，其中在第一象限，，若，则（    ）

A．

B．

C．当时，的纵坐标一定大于

D．不存在使得

【答案】ABD

【分析】依题意求出抛物线的焦点坐标，根据焦半径公式求出点横坐标，即可得到点坐标，从而求出，即可判断A，由点坐标得到直线的方程，即可求出点坐标，再一一判断即可.

【详解】解：对于，易得，由可得，由焦半径公式得点横坐标为，

代入抛物线可得，则，故A正确；

对于，由可得直线的斜率为，

则直线的方程为，联立抛物线方程得，

设，则，则，代入抛物线解得，则，故在的中垂线上，，故B正确；

对于，由抛物线的性质知，以为直径的圆与准线相切的切点纵坐标为，

故当时，为该圆与轴的交点，纵坐标大于或小于均可，故C错误；

对于D，设的中点为，，

则，当轴时，，

则，不存在使得，故D正确；

故选：ABD.

12．已知函数有两个极值点与，且，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BCD

【分析】由已知可知有两个根，然后利用导数讨论的极值，数形结合可得a，的范围，可判断A，B；将代入，然后利用导数讨论其单调性，由单调性可判断C；由变形可判断D.

【详解】函数有两个极值点，只需有两个变号零点，

即方程有两个根.

构造函数，则，

当且时，，当时，

所以在和上递减，在上递增，

所以函数的极小值为，且当时，，

所以，当时，直线与函数的图象有两个交点，即函数有两个极值点，错；

对于选项，为直线与函数图象两个交点的横坐标，因为函数在上递减，在上递增，且，故B正确；

对于选项，由，从而代入得，令，则，故在上递减，故对；

对于选项，因为，由可得对.

故选：BCD.

三、填空题

13．复数满足，则__________．

【答案】

【详解】由题意得，

∴．

14．函数的最小值为___________.

【答案】

【分析】去绝对值，利用导数判断函数的单调性，然后可得.

【详解】函数的定义域为.

当时，，此时函数在上为减函数；

当时，，则，

当时，单调递减，当时，单调递增，

当时，单调递减，当时，单调递增.

当时，取得最小值为.

故答案为：

15．已知锐角满足，则___________.

【答案】0.825

【分析】利用三角恒等变换可得，然后根据同角关系式及二倍角公式即得.

【详解】因为，

所以，

因为为锐角，，

则，

两边同平方可得，，

所以.

故答案为：.

16．已知实数满足：，则的最大值为___________.

【答案】

【分析】构造函数，利用导数可得在上单调递增，由题意可得所以有，由此可得，再构造函数求导，利用导数的正负确定单调区间，从而即可求得答案.

【详解】解：由已知得，，

令，则，

在上单调递增，

又因为，

所以

，

，

令

所以，

则当时，，单调递增；当时，，单调递减；

所以.

故答案为：.

【点睛】本题考查了转化思想、导数的综合运用，难点在于两次构造函数，通过函数的单调性求得最值，属于难题.

四、解答题

17．在锐角中，内角所对的边分别为，已知.

(1)求角的大小；

(2)求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）结合，以及诱导公式、二倍角公式、正弦定理化简原式，即得解；

（2）利用正弦定理，辅助角公式可化简，结合的范围即得解

【详解】(1)，

，又为锐角

(2)由正弦定理，，

由锐角，故

故.

18．已知函数.

(1)求曲线在处的切线方程；

(2)当时，求函数的最值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求导，利用导数即可求解斜率,根据点斜式即可求解切线方程,

（2）利用导数确定单调区间，进而可得最值.

【详解】(1)由，得，

所以，.

所以曲线在处的切线方程为，即.

(2)令，则，因此 ，

由于，故，

故函数在上递增，在上递减，

故

19．2022年卡塔尔世界杯将11月20日开赛，某国家队为了考察甲球员对球队的贡献，现作如下数据统计：

(1)根据小概率值=0.025的独立性检验，能否认为该球队胜利与甲球员参赛有关联？

(2)根据以往的数据统计，甲球员能够胜任前锋､中场､后卫三个位置，且出场率分别为：0.1，0.5，0.4；在甲出任前锋、中场、后卫的条件下，球队输球的概率依次为：0.2，0.2，0.7，则；

①当甲参加比赛时，求该球队某场比赛输球的概率；

②当甲参加比赛时，在球队输了某场比赛的条件下，求甲球员担当中场的概率；

③如果你是教练员，应用概率统计有关知识，该如何使用甲球员？

附表及公式：

【答案】(1)认为该球队胜利与甲球员参赛有关联，此推断犯错误的概率不超过；

(2)①；②；③应该多让甲球员担任前锋，来扩大赢球场次.

【分析】（1）完善列联表中数据，求出的观测值，再与临界值表比对作答.

（2）①利用全概率公式计算某场比赛输球的概率，②利用条件概率公式计算甲担当中场的概率；③求出球队输的条件下甲任前锋、后卫概率即可推理作答.

【详解】(1)依题意，，零假设为：球队胜利与甲球员参赛无关，

则的观测值，

根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，

即认为该球队胜利与甲球员参赛有关联，此推断犯错误的概率不超过.

(2)①设表示“甲球员担当前锋”；表示“甲球员担当中场”；表示“甲球员担当后卫”；表示“球队输掉某场比赛”，

有，，，，，

则

，

所以该球队某场比赛输球的概率是0.4.

②由①知，球队输的条件下，甲球员担当中场的概率.

③由①知，球队输的条件下，甲球员担当前锋的概率，

球队输的条件下，甲球员担当后卫的概率，

由②知，，

所以，应该多让甲球员担任前锋，来扩大赢球场次.

20．如图甲，在矩形中，为线段的中点，沿直线折起，使得，如图乙.

(1)求证：平面；

(2)线段上是否存在一点，使得平面与平面所成的角为？若不存在，说明理由；若存在，求出点的位置.

【答案】(1)证明见解析

(2)存在，点是线段的中点

【分析】（1）作出辅助线，得到，，从而得到线面垂直，得到面面垂直，再由，面面垂直的性质得到线面垂直；

（2）建立空间直角坐标系，设出的坐标，求出平面的法向量，从而列出方程，求出的值，确定点位置.

【详解】(1)证明：连接，取线段的中点，连接，

在Rt中，，

，

在中，，

由余弦定理可得：，

在中，

，

又平面，

平面，

又平面

∴平面平面，

在中，，

∵平面平面平面，

平面.

(2)过作的平行线，以为原点，分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

，

平面的法向量，

在平面直角坐标系中，直线的方程为，

设的坐标为，

则，

设平面的法向量为，

，

所以，

令，则，

由已知，

解之得：或9（舍去），

所以点是线段的中点.

21．已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴，轴，且过两点.

(1)求椭圆的方程；

(2)为椭圆的右焦点，直线交椭圆于（不与点重合）两点，记直线的斜率分别为，若，证明：的周长为定值，并求出定值.

【答案】(1)

(2)证明见解析，定值为

【分析】（1）结合两点的坐标，利用待定系数法求得椭圆的方程.

（2）设直线，联立直线的方程和椭圆的方程，化简写出根与系数关系，利用求得的关系式，从而判断出直线过左焦点，由此求得的周长为定值.

【详解】(1)由已知设椭圆方程为：，

代入，得，

故椭圆方程为.

(2)设直线，

由得，

，，

又，

故

，

由，得，

故或，

①当时，直线，过定点，与已知不符，舍去；

②当时，直线，过定点，即直线过左焦点，

此时，符合题意.

所以的周长为定值.

22．已知函数.

(1)讨论的单调性，并求其极值；

(2)当时，证明：.

【答案】(1)答案见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）对函数求导，判断单调性，进而得到极值；

（2）把要证明的不等式等价变形，由，转化为证明不等式，证明得到结论.

【详解】(1)，

若，则在上递减，无极值；

若，令，则，

由得，所以在上递增，

由得，所以在上递减，

故在处取极小值，无极大值.

(2)证明：要证

即证，

因为，不等式两边同除，

即证，

因为，令，

即证，

令，

则，

由得，所以在上是增函数，

由得，所以在上是减函数，

所以，即成立，

故原不等式成立.

【点睛】对于本题第二问，把所要证明的不等式，采用分析法，进行恒等变形，得到是解决问题的关键，对常见的一些结论比如：之间的内在联系，及其各种变式要熟悉！