甘肃省平凉市崆峒区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（含解析）

这是一份甘肃省平凉市崆峒区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项）
1．一元二次方程的一次项系数和常数项依次是（）
A．和B．和1C．2和1D．2和1
2．下列图形是中心对称图形而不是轴对称图形的是( )
A．B．C．D．
3．点在反比例函数的图象上，则实数的值为（）
A．3B．C．D．
4．下列成语所描述的事件是必然事件的是（ ）
A．心想事成B．守株待兔C．水涨船高D．画饼充饥
5．在抛物线y=-x2+1 上的一个点是( )．
A．(1，0)B．(0，0)C．（0，-1)D．（1，I)
6．已知点、点关于原点对称，则的值为（ ）
A．3B．C．D．1
7．如果关于的方程有实数根，则满足条件是（ ）
A．B．且C．且D．
8．如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ACB＝60°，则∠ABO的大小为（ ）
A．30°B．40°C．45°D．50°
9．如图5的五个半圆,邻近的两半圆相切,两只上虫同时出发,以相同的速度从A点到B点,甲虫沿、、、、路线爬行,乙虫沿路线爬行, 则下列结论正确的是( )
A．甲先到B点B．乙先到B点;
C．甲、乙同时到B点D．无法确定
10．如图，已知二次函数的图象与轴分别交于、两点，与轴交于点，，则由抛物线的特征写出如下结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（）

A．4个B．3个C．2个D．1个
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．小明制作了十张卡片，上面分别标有1～10这10个数字．从这十张卡片中随机抽取一张恰好能被3整除的概率是 ．
12．用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径是 ．
13．如图，直线轴于点，且与反比例函数（）及（）的图象分别交于、两点，连接、，已知的面积为4，则 ．
14．如图，在半径为6的中，点都在上，四边形是平行四边形，则图中阴影部分的面积为 .
15．二次函数y=ax2+bx+c和一次函数y=mx+n的图像如图所示，则ax2+bx+c≤mx+n时，x的取值范围是 ．
16．如图，边长为6的正方形的边上有一点，若线段绕点顺时针旋转与线段重合，则四边形的面积 ．

17．半径为2的圆内接正六边形的面积为 ．
18．现定义运算“★”，对于任意实数a、b，都有a★b=a2﹣3a+b，如：3★5=32﹣3×3+5，若x★2=6，则实数x的值是 ．
三、解答题（共10道小题，共88分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或推理步骤）
19．解方程：
(1)；
(2)．
20．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点、、均在格点上．
(1)画出关于轴对称的，并写出点的坐标；
(2)画出绕原点顺时针旋转后得到的，并写出点的坐标；
(3)在（2）的条件下，求线段在旋转过程中扫过的面积（结果保留）．
21．已知关于x的一元二次方程：x2﹣（m﹣3）x﹣m=0．
（1）试判断原方程根的情况；
（2）若抛物线y=x2﹣（m﹣3）x﹣m与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，则A，B两点间的距离是否存在最大或最小值？若存在，求出这个值；若不存在，请说明理由．
（友情提示：AB=|x2﹣x1|）
22．如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面宽为，水面最深地方的高度为．
(1)用尺规作图法找出该圆形截面的圆心，保留作图痕迹；
(2)求该输水管的半径．
23．在一个不透明的纸箱里装有红、黄、蓝三种颜色的小球，它们除颜色外完全相同，其中红球有2个，黄球有1个，蓝球有1个．现有一张电影票，小明和小亮决定通过摸球游戏定输赢（赢的一方得电影票）．游戏规则是：两人各摸1次球，先由小明从纸箱里随机摸出1个球，记录颜色后放回，将小球摇匀，再由小亮随机摸出1个球．若两人摸到的球颜色相同，则小明赢，否则小亮赢．这个游戏规则对双方公平吗？请你利用树状图或列表法说明理由．
24．如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为，求道路的宽．

25．如图，一次函数与反比例函数的图象交于、两点，与坐标轴分别交于、两点．

(1)求一次函数的解析式；
(2)根据图象直接写出中的取值范围；
(3)求的面积．
26．如图所示，
(1)观察图①～④中阴影部分构成的图案，请写出这四个图案都具有的两个共同特征：
(2)借助图⑤的网格，请设计一个新的图案，使该图案同时具有你在解答（1）中所给出的两个共同特征．（注意：新图案与图①～④的图案不能重合）
27．如图，⊙O的直径AB为10cm，弦BC为6cm，D，E分别是∠ACB的平分线与⊙O，直径AB的交点，P为AB延长线上一点，且PC＝PE．
（1）求AC、AD的长；
（2）试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由．
28．如图，已知抛物线经过，两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连结CD．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点P为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），设点P的横坐标为t．
①当点P在直线BC的下方运动时，求的面积的最大值；
②该抛物线上是否存在点P，使得若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与解析
1．A
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式．一元二次方程的一般形式是：，是常数且)特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
根据一元二次方程的一般形式进行选择．
【详解】一元二次方程可化为：的一次项系数和常数项依次是和．
故选：A．
2．A
【分析】根据轴对称图形概念和中心对称图形的概念即可得到正确选项．
【详解】解：项是中心对称图形，不是轴对称图形，故项符合题意；
项不是中心对称图形，是轴对称图形，故项不符合题意；
项不是中心对称图形，不是轴对称图形，故项不符合题意；
项不是中心对称图形，不是轴对称图形，故项不符合题意；
故选．
【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，理解轴对称图形概念和中心对称图形的概念是解题的关键．
3．C
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征；把点的坐标代入反比例函数是解决问题的关键．
把点的坐标代入反比例函数可求出的值．
【详解】∵点在反比例函数的图象上，
故选：C．
4．C
【分析】本题考查了随机事件，根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
【详解】解：A、心想事成是不可能事件，故A不符合题意；
B、守株待兔是随机事件，故B不符合题意；
C、水涨船高是必然事件，故C符合题意；
D、画饼充饥是不可能事件，故D不符合题意；
故选：C．
5．A
【分析】根据几个选项，分别将x=1或x=0代入y=-x2+1中，求y的值即可．
【详解】解：∵当x=1时，y=-x2+1=-1+1=0，
当x=0时，y=-x2+1=0+1=1，
抛物线过（1，0）或（0，1）两点．
故选A．
6．B
【分析】由关于原点对称的两个点的坐标之间的关系直接得出、的值即可．
【详解】解：点、点关于原点对称，
，，
．
故选：B．
【点睛】本题考查关于原点对称的点的坐标，关于原点对称的两个点，它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数．
7．D
【分析】本题考查了一元一次方程的定义及一元二次方程的定义以及根的判别式，牢记“当时，方程有实数根”是解题的关键．由二次项系数非零及根的判别式，即可得出关于a的一元一次不等式组，解之即可得出a的取值范围．
【详解】解：当时，关于的方程化为，解得，即当时，关于的方程有实数根，
当时，∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴，
解得：且，
综上所述，时，关于的方程有实数根，
故选D．
8．A
【分析】根据圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半可得∠AOB＝120°，再根据三角形内角和定理可得答案．
【详解】∵∠ACB＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∵AO＝BO，
∴∠ABO＝（180°﹣120°）÷2＝30°，
故选A．
【点睛】本题考查了圆周角定理，解题的关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
9．C
【分析】分别计算两种路线的长度即可得出答案．
【详解】甲虫走的路线应该是4段半圆的弧长，
那么应该是π（AA1+A1B1+B1C1+C1B）=π×AB，
因此甲虫走的四段半圆的弧长正好和乙虫走的大半圆的弧长相等，因此两个同时到B点．
故选C．
【点睛】本题是弧长公式的基础应用题，在中考中比较常见，一般以选择题、填空题形式出现，难度一般.
10．C
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．理解并掌握，二次函数解析式中的正负决定了抛物线的开口方向，的取值范围决定了抛物线与轴的交点个数，及二次函数图象上点的坐标的特征，是解决本题的关键．
结合图象和二次函数的性质判断即可；
【详解】①观察图象可知，开口方上，即，
与轴交于负半轴，即，
对称轴在轴右侧，即，
∴，故①正确；
②：抛物线与轴有两个交点，
∴，即，故②错误；
③当时，，
由图象知，在第四象限，
∴，故③错误；
④设，则，
∵，
∴，
将代入抛物线，得，
∴，故④正确；
综上所述，正确的结论有①④三个，
故选：C．
11．
【分析】本题考查了概率的求法与运用，根据概率公式求解即可：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率．
先求出这十个数字中能被3整除的数，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：∵这十个数字中能被整除的数为：三个数，
∴从这十张卡片中随机抽取一张恰好能被3整除的概率是：．
故答案为．
12．2
【详解】解：扇形的弧长==2πr，
∴圆锥的底面半径为r=2．
故答案为2．
13．8．
【分析】根据反比例函数的几何意义可知：的面积为，的面积为，然后两个三角形面积作差即可求出结果．
【详解】解：根据反比例函数的几何意义可知：的面积为，的面积为，
∴的面积为，∴，∴.
故答案为8．
【点睛】本题考查反比例函数的几何意义，解题的关键是正确理解的几何意义，本题属于基础题型．
14．
【分析】连接OB，根据平行四边形的性质得到AB=OC，推出△AOB是等边三角形，得到∠AOB=60°，根据扇形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：连接OB，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴AB=OC，
∴AB=OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∵OC∥AB，
∴S△AOB=S△ABC，
∴图中阴影部分的面积=S扇形AOB==6π，
故答案为：6π．
【点睛】本题考查的是扇形面积的计算，平行四边形的性质，掌握扇形的面积公式是解题的关键．
15．
【分析】求关于x的不等式的解集，实质上就是根据图像找出函数的值小于或等于 的值时x的取值范围，由两个函数图像的交点及图像的位置，可求范围．
【详解】解：依题意得求关于x的不等式的解集，
实质上就是根据图像找出函数的值小于或等于的值时x的取值范围，
由两个函数图像的交点及图像的位置可以得到此时x的取值范围是．
故答案为：．
16．
【分析】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，根据正方形的性质得到，，再由旋转的性质得到，由此推出，则可证明得到，据此可得．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，，
由旋转的性质可得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
，
故答案为：．
17．
【分析】本题考查的是正多边形和圆，掌握正多边形的性质和计算公式是解题的关键．
连接，作，根据垂径定理求出，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式，正六边形的性质计算．
【详解】连接，作于，
则，，
故
∴
由勾股定理得，
∴正六边形的面积，
故答案为：
18．﹣1或4
【详解】解：根据题中的新定义将x★2=6变形得：x2﹣3x+2=6，即x2﹣3x﹣4=0，
将左边因式分解得：（x﹣4）（x+1）=0，
解得：x1=4，x2=﹣1．
∴实数x的值是﹣1或4．
故答案为：﹣1或4
19．(1)
(2)
【分析】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，直接开平方法，熟练掌握因式分解和直接开平方法是解本题的关键；
（1）方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解；
（2）方程直接开平方后，转化为两个一元一次方程来求解；
【详解】（1）因式分解，得
于是得或，
即；
（2）解：直接开平方得
即或，
即
20．(1)作图见解析，
(2)作图见解析，
(3)
【分析】（1）根据题意，可以画出相应的图形，并写出点的坐标；
（2）根据题意，可以画出相应的图形，并写出点的坐标；
（3）根据题意可以求得的长，从而可以求得线段在旋转过程中扫过的面积．
【详解】（1）解：如图所示，点的坐标是；
（2）解：如图所示，点的坐标是；
（3）解：点，
，
线段在旋转过程中扫过的面积是：．
【点睛】本题考查简单作图、扇形面积的计算、轴对称、旋转变换，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
21．（1）原方程有两个不等实数根；（2）
【分析】（1）根据根的判别式，可得答案；
（2）根据根与系数的关系，可得A、B间的距离，根据二次函数的性质，可得答案．
【详解】（1）△=[﹣（m﹣3）]2﹣4（﹣m）=m2﹣2m+9=（m﹣1）2+8，
∵（m﹣1）2≥0，
∴△=（m﹣1）2+8＞0，
∴原方程有两个不等实数根；
（2）存在，
由题意知x1，x2是原方程的两根，
∴x1+x2=m﹣3，x1•x2=﹣m．
∵AB=|x2﹣x1|，
∴AB2=（x2﹣x1）2=（x1+x2）2﹣4x1x2
=（m﹣3）2﹣4（﹣m）=（m﹣1）2+8，
∴当m=1时，AB2有最小值8，
∴AB有最小值，即AB==2.
【点睛】考点：抛物线与x轴的交点；根的判别式．
22．(1)见详解
(2)
【分析】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
（1）先做线段的垂直平分线，交圆于两点，作线段的垂直平分线，两条线的交点即为圆心；
（2）先过点作于点，连接，由垂径定理可知，设，则，在中，利用勾股定理即可求出的值，从而得出该输水管的半径的长．
【详解】（1）如图，先做线段的垂直平分线，交圆于两点，作线段的垂直平分线，两条线的交点即为圆心；
（2）过点作于点，连接，
则，
设，
则，
在中，，
即，
解得．
故该输水管的半径为．
23．不公平
【分析】游戏是否公平，关键要看游戏双方获胜的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等．
【详解】解：此游戏不公平．
理由如下：列树状图如下，
由上述树状图知：所有可能出现的结果共有16种．
P（小明赢）= ，P（小亮赢）=，故此游戏对双方不公平，小亮赢的可能性大．
24．
【分析】设道路的宽为x米，利用平移把不规则的图形变为规则图形，则所有草坪面积之和就变为了，进而即可列出方程，即可求出答案．
【详解】解：利用平移，原图可转化为下图，

设道路的宽为x米，
根据题意得：，
整理得，
解得或，
因为，则不符合题意，舍去，
所以道路的宽为．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，这类题目体现了数形结合的思想，需利用平移把不规则的图形变为规则图形，进而即可列出方程，求出答案．另外还要注意解的合理性，从而确定取舍．
25．(1)y=-2x+6；(2) 或；(3)3．
【分析】（1）将点A、点B的坐标分别代入解析式即可求出m、n的值，从而求出两点坐标；
（2）由图直接解答；
（3）将△AOB的面积转化为S△AON-S△BON的面积即可．
【详解】(1)∵点在反比例函数上，
∴，解得，
∴点的坐标为，
又∵点也在反比例函数上，
∴，解得，
∴点的坐标为，
又∵点、在的图象上，
∴，解得，
∴一次函数的解析式为．
(2)根据图象得：时，的取值范围为或；
(3)∵直线与轴的交点为，
∴点的坐标为，
．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，利用图像解不等式，及割补法求图形的面积，数形结合是解题的关键．
26．(1)一、都是轴对称图形；二、阴影部分面积都等于四个小正方形的面积之和
(2)见详解
【分析】本题主要考查从不同图形中寻找共同特征的能力，考查观察能力、抽象概括能力、数学语言表述能力和空间观念；
（1）可以从图形的对称性和图形阴影部分的面积来考虑；
（2）根据两个特征设计出一个图案即可；
【详解】（1）所给的四个图案具有的共同特征：一都是轴对称图形；二，阴影部分面积都等于四个小正方形的面积之和；
（2）同时具备上述两个特征的部分图案如下：
27．（1）AC＝8cm；AD＝cm；（2）PC与圆⊙O相切，理由见解析
【分析】（1）连接BD，如图，根据圆周角定理由AB为直径得∠ACB＝90°，则可利用勾股定理计算出AC＝8；由DC平分∠ACB得∠ACD＝∠BCD＝45°，根据圆周角定理得∠DAB＝∠DBA＝45°，则△ADB为等腰直角三角形，由勾股定理即可得出AD的长；
（2）连接OC，由PC＝PE得∠PCE＝∠PEC，利用三角形外角性质得∠PEC＝∠EAC+∠ACE＝∠EAC+45°，加上∠CAB＝90°﹣∠ABC，∠ABC＝∠OCB，于是可得到∠PCE＝90°﹣∠OCB+45°＝90°﹣（∠OCE+45°）+45°，则∠OCE+∠PCE＝90°，于是根据切线的判定定理可得PC为⊙O的切线．
【详解】（1）连接BD，如图1所示，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△ACB中，AB＝10cm，BC＝6cm，
∴AC＝＝8（cm）；
∵DC平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD＝45°，
∴∠DAB＝∠DBA＝45°
∴△ADB为等腰直角三角形，
∴AD＝AB＝（cm）；
（2）PC与圆⊙O相切.理由如下：
连接OC，如图2所示：
∵PC＝PE，
∴∠PCE＝∠PEC，
∵∠PEC＝∠EAC+∠ACE＝∠EAC+45°，
而∠CAB＝90°﹣∠ABC，∠ABC＝∠OCB，
∴∠PCE＝90°﹣∠OCB+45°＝90°﹣（∠OCE+45°）+45°，
∴∠OCE+∠PCE＝90°，
即∠PCO＝90°，
∴OC⊥PC，
∴PC为⊙O的切线．
【点睛】本题考查了切线的性质和判定，切线长定理，圆周角定理，是圆的综合题，综合性比较强，难度适中，熟练掌握直线与圆的位置关系的判定方法是解题的关键．
28．（1）；（2）①；②存在，或．
【分析】（1）将点A、B坐标代入二次函数表达式，即可求解；
（2）①，即可求解；
②分点P在直线BC下方，则H点在BC的垂直平分线上，求出其垂直平分线及CD的直线方程求出交点H,从而求出BP的方程，并与二次函数联立即可求解.
点P在直线BC上方时，BP与CD平行求出BP的方程，并与二次函数联立即可求解．
【详解】解：（1）将点A、B坐标代入二次函数表达式得：，解得：，
故抛物线的表达式为：…①，
令，则或，
即点；
（2）①如图1，过点P作y轴的平行线交BC于点G，
将点B、C的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线BC的表达式为：…②，
设点，则点，
，
，有最大值，当时，其最大值为；
②设直线BP与CD交于点H，
当点P在直线BC下方时，
，点H在BC的中垂线上，
线段BC的中点坐标为，
过该点与BC垂直的直线的k值为﹣1，
设BC中垂线的表达式为：，将点代入上式并解得：
直线BC中垂线的表达式为：…③，
同理直线CD的表达式为：…④，
联立③④并解得：，即点，
同理可得直线BH的表达式为：…⑤，
联立①⑤并解得：或（舍去），
故点；
当点在直线BC上方时，
，，
则直线BP′的表达式为：，将点B坐标代入上式并解得：，
即直线BP′的表达式为：…⑥，
联立①⑥并解得：或（舍去），
故点；
故点P的坐标为或．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，熟练掌握计算法则是解题关键.