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    山东师范大学附属中学2022-2023学年高二上学期期末数学试卷(含答案)

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    山东师范大学附属中学2022-2023学年高二上学期期末数学试卷(含答案)

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    这是一份山东师范大学附属中学2022-2023学年高二上学期期末数学试卷(含答案),共19页。试卷主要包含了选择题,多项选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    一、选择题
    1.已知空间向量,且,则m的值为( )
    A.B.C.6D.
    2.已知等比数列各项均为正数,公比,且满足,则( )
    A.8B.4C.2D.1
    3.直线的倾斜角是( )
    A.B.C.D.
    4.抛物线的准线方程为( )
    A.B.C.D.
    5.如图,在四面体OABC中,,,,,P为线段OA的中点,则等于( )
    A.B.C.D.
    6.若圆上恰有两个点到直线的距离为1,则半径r的取值范围是( )
    A.B.C.D.
    7.已知双曲线的左、右焦点分别为,点P在双曲线的右支上,且,则双曲线离心率的取值范围是( )
    A.B.C.D.
    8.如图甲是第七届国际数学家大会(简称ICME-7)的会徽图案,会徽的主题图案是由图乙的一连串直角三角形演化而成的.已知,为直角顶点,设这些直角三角形的周长从小到大组成的数列为,令为数列的前项和,则( )
    A.8B.9C.10D.11
    二、多项选择题
    9.已知椭圆的离心率为,则m的值可能为( )
    A.B.C.5D.25
    10.已知数列的前n项和为,则下列说法正确的是( )
    A.若,则
    B.若,则当时,是等比数列
    C.若数列为等差数列,,,则
    D.若数列为等差数列,,,则时,最大
    11.数学著作《圆锥曲线论》中给出了圆的一种定义:平面内,到两个定点A,B距离之比是常数的点M的轨迹是圆.若两定点,动点M满足,则下列说法正确的是( )
    A.点M的轨迹围成区域的面积为
    B.面积的最大值为
    C.点M到直线距离的最大值为
    D.若圆上存在满足条件的点M,则半径r的取值范围为
    12.在棱长为1的正方体中,E为侧面的中心,F是棱的中点,若点P为线段上的动点,则下列说法正确的是( )
    A.PE的长最小值为
    B.的最小值为
    C.若,则平面PAC截正方体所得截面的面积为
    D.若正方体绕旋转角度后与其自身重合,则的值可以是
    三、填空题
    13.已知直线:,,当时,m的值为____________.
    14.已知等差数列的公差为1,且是和的等比中项,则前20项的和为___________.
    15.如图,把正方形纸片ABCD沿对角线AC折成直二面角,则折纸后异面直线AB,CD所成的角为_____________.
    16.已知F为抛物线的焦点,过点F的直线l与抛物线C交于不同的两点A,B,抛物线在点A,B处的切线分别为和,若和交于点P,则的最小值为____________.
    四、解答题
    17.已知圆C的圆心在直线上,且与直线相切于点.
    (1)求圆C的方程;
    (2)若过点的直线l被圆C截得的弦AB的长为4,求直线l的方程.
    18.在数列中,,当时,其前n项和满足.
    (1)求证:是等差数列;
    (2)设,求的前n项和.
    19.已知椭圆C的中心是坐标原点O,它的短轴长,焦点,点,且
    (1)求椭圆C的标准方程;
    (2)是否存在过点A的直线与椭圆C相交于P,Q两点,且以线段PQ为直径的圆过坐标原点O,若存在,求出直线PQ的方程;不存在,说明理由.
    20.如图所示,在梯形ABCD中,,,四边形ACFE为矩形,且平面ABCD,.
    (1)求证:;
    (2)点M在线段BF(不含端点)上运动,设直线BE与平面MAC所成角为,当时,确定此时点M的位置.
    21.已知等差数列的首项为2,公差为8.在中每相邻两项之间插入三个数,使它们与原数列的项一起构成一个新的等差数列.
    (1)求数列的通项公式;
    (2)若,,···,,···是从中抽取的若干项按原来的顺序排列组成的一个等比数列,,,令,求数列的前n项和.
    22.已知圆,点,点G是圆F上任意一点,线段EG的垂直平分线交直线FG于点T,点T的轨迹记为曲线C.
    (1)求曲线C的方程;
    (2)已知曲线C上一点,动圆,且点M在圆N外,过点M作圆N的两条切线分别交曲线C于点A,B.
    (i)求证:直线AB的斜率为定值;
    (ii)若直线AB与交于点Q,且时,求直线AB的方程.
    参考答案
    1.答案:B
    解析:因为空间向量,且
    .
    故选:B.
    2.答案:C
    解析:因为,由等比数列的性质可得:,
    又因为数列各项均为正数,所以,因为公比,则,
    故选:.
    3.答案:A
    解析:直线的斜率,故其倾斜角为.
    4.答案:D
    解析:由得,故抛物线的准线方程为.
    故选:D.
    5.答案:D
    解析:由已知
    ,
    故选:D.
    6.答案:C
    解析:如图,与直线平行的距离为1的直线有2条:,
    圆的圆心是,
    依题意及图:圆C与必有2个交点,与相离,
    圆心C到的距离,;
    故选:C.
    7.答案:A
    解析:因为点P在双曲线的右支上,由双曲线的定义可得,
    又,所以,即,则,
    因为双曲线中,,
    即,则,即,
    又双曲线的离心率大于,所以.
    故选:A.
    8.答案:C
    解析:由,
    可得,,···,,
    所以,
    所以,
    所以前n项和,
    所以,
    故选:C.
    9.答案:BC
    解析:可化为.
    当时,,椭圆的离心率为,解得;
    当时,,椭圆的离心率为,解得.
    故选:BC.
    10.答案:AD
    解析:对于选项A:,,
    ,又,
    则时也符合,故若,则,故选项A正确;
    对于选项B:当,时,,此时,
    数列不是等比数列,故选项B错误;
    对于选项C:数列为等差数列,,,
    ,,,,
    故选项C错误;
    对于选项D:数列为等差数列,,,
    ,即,
    ,即,
    ,时,最大,故选项D正确;
    综上所述:选项AD正确,
    故选:AD.
    11.答案:ACD
    解析:由题意,设点,又,
    所以,
    化简可得,
    所以点M的轨迹为以点为圆心,为半径的圆,
    所以点M的轨迹围成的区域面积为,A选项正确;
    又点满足,
    所以,面积的最大值为,B选项错误;
    点到直线的距离,
    所以直线与圆相离,所以点M到直线距离的最大值为,C选项正确;
    由D选项可知圆C与圆N有公共点,所以,
    且,
    即,
    所以,D选项正确;
    故选:ACD.
    12.答案:BCD
    解析:建立如图所示的空间直角坐标系,正方体棱长为1,则,,,,
    ,设,,所以,
    ,
    ,所以时,,A错;
    ,
    ,
    所以时,,B正确;
    ,则P是上靠近的三等分点,,
    取AC上靠近C的三等分点G,则,
    ,显然与平面的法向量垂直,因此平面,
    所以截面PAC与平面的交线与PG平行,作交于点M,
    设,则,由得,解得,
    则M与F重合,因此取中点N,易得,截面为ACFN,它是等腰梯形,
    ,,,梯形的高为,
    截面面积为,C正确;
    ,,,,,
    ,,同理,
    所以是平面的一个法向量,即平面,设垂足为,
    则,是正方体的外接球的直径,
    因此正方体绕旋转角度后与其自身重合,至少旋转.D正确.
    故选:BCD.
    13.答案:-1或2
    解析: ,,
    当时,有,解得或,
    当时,:,, 满足题意;
    当时,:,, 满足题意.
    当时,m的值为-1或2.
    故答案为:-1或2.
    14.答案:180
    解析:由等差数列的公差为1,
    且是和的等比中项,
    故可得,解得.
    故数列的前20项的和.
    故答案为:180.
    15.答案:
    解析:过点E作,且使得,则四边形ABEC是平行四边形,设所求角为,于是.
    设原正方形ABCD边长为2,取AC的中点O,连接DO,BO,
    则且,而平面平面ABC,且交于AC,所以平面ABEC,则.易得,,,而则
    于是,,.
    在中,,取DE的中点F,则,所以,所以,,
    于是.
    故答案为:.
    16.答案:4
    解析:由题可知,设直线,
    直线与联立消x,得,
    设,,则,,
    ,
    设,
    由,可得,
    ,又,
    ,
    ,即,
    同理可得,
    所以可得,即,
    ,
    ,
    当且仅当,即取等号.
    故答案为:4.
    17.答案:(1)
    (2)或
    解析:(1)因为圆C的圆心在直线上,
    所以设圆心为,
    又因为圆与直线相切于点,
    所以,
    解得,
    所以圆心为,半径为 ,
    所以圆C的方程;
    (2)当直线的斜率不存在时:直线方程为,
    圆心到直线的距离为,
    所以弦长为,成立;
    当直线的斜率存在时,设直线方程为,即,
    圆心到直线的距离为,
    所以弦长为,
    解得,
    所以直线方程为:,
    所以直线l的方程为或.
    18.答案:(1)证明见解析;
    (2)
    解析:(1)证明:当时,,
    ,即:
    ,又
    数列是以1为首项,2为公差的等差数列
    (2)由(1)知:
    19.答案:(1);
    (2)答案见解析.
    解析:(1)由题意知,,,
    ,
    由,得,解得:
    ,椭圆的方程为
    离心率为
    (2),设直线PQ的方程为
    联立,得
    设,则,
    由已知得,得,即
    解得:,
    符合,直线PQ的方程为.
    20.答案:(1)证明见解析;
    (2)点M为线段BF的中点.
    解析:(1)在梯形ABCD中, ,, ,
    在中, ,,
    由余弦定理,
    , ,
    四边形ACFE为矩形, ,
    .
    (2)由第(1)问,,又平面ABCD,
    以C为原点,CA,CB,CF所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
    则由已知,,,,,
    点M在线段BF(不含端点)上运动,
    设,,
    ,
    又,
    设平面MAC的一个法向量,
    则,令,则,,
    ,
    又,直线BE与平面MAC所成角为,
    当时,
    ,
    解得,
    ,即点M为线段BF的中点.
    21.答案:(1);
    (2)
    解析:(1)由于等差数列的公差为8,在中每相邻两项之间插入三个数,使它们与原数列的项一起构成一个新的等差数列,则的公差,的首项和 首项相同为2,则数列的通项公式为,.
    (2)由于,是等比数列的前两项,且,,则,则等比数列的公比为3,则,即,.①.
    ②.
    ①减去②得.
    .
    22.答案:(1)
    (2)(i)答案见解析
    (ii)或
    解析:(1)由题意可知,
    ,且,
    根据双曲线的定义可知,点T的轨迹是以点E、F为焦点,且实轴长为2的双曲线,
    即,,,
    则点T的轨迹方程为;
    (2)(i)设点,,直线AB的方程为,
    联立得,
    其中,且,
    ,,
    曲线C上一点, ,
    由已知条件得直线MA和直线MB关于对称,则,
    即,整理得,
    ,
    ,
    ,即,
    则或,
    当,直线方程为,此直线过定点,应舍去,
    故直线AB的斜率为定值-2.
    (ii)由(i)可知,
    由已知得,即,
    当时,,
    ,即,,
    ,解得或,
    但是当时,,故应舍去,当时,直线方程为,
    当时,,即,,
    ,解得(舍去)或,
    当时,直线方程为,
    故直线AB的方程为或.

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