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河南省洛阳市洛宁县2022-2023学年八年级上学期期末数学试题(含答案)
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这是一份河南省洛阳市洛宁县2022-2023学年八年级上学期期末数学试题(含答案)，共9页。试卷主要包含了用反证法证明命题，如图，C为线段AB上一动点等内容，欢迎下载使用。
注意事项：1．本试卷共1张6页，3大题23小题；时间90分，满分120分。
2．本试卷设有答题卷，请将答案涂在答题卷上，写在本试卷无效。
一、选择题（本大题共10小题，共30分．）
1．下列各数中，是无理数的为（ ）
A．π＋1B．C．0.323D．
2．下列各式中，计算正确的是（ ）
A．a3＋a2＝a5B．a3－a2＝aC．（a2）3＝a5D．a2·a3＝a5
3．用反证法证明命题：“在△ABC中，AB＝AC，求证：∠B<90°．”第一步应先假设（ ）
A．∠B≥90°B．∠B>90°C．∠B<90°D．AB≠AC
4．在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是（ ）
A．点MB．点NC．点PD．点Q
5．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等腰三角形．其作法错误的是（ ）
A．B．C．D．
6．某学校为调查该校学生喜欢的球类运动，随机调查了200名学生（每名学生只能选择一项球类运动），结果记为：A足球，B篮球，C乒乓球，D羽毛球，并根据调查结果绘制了一个不完整的扇形统计图（如图）．甲、乙、丙三位同学都发表了自己的看法，如下：
甲：若喜欢足球的有20人，则A所对应的圆心角为36°；
乙：若B所对应的圆心角为108°，则喜欢篮球的有60人；
丙：若喜欢乒乓球的人数是喜欢羽毛球的人数的2倍，则喜欢乒乓球的有80人．
下列选项中正确的是（ ）
A．甲、乙都对，丙错B．甲对，乙、丙都错C．甲、乙都错，丙对D．甲、乙、丙都对
7．下列条件中，不能判断一个三角形是直角三角形的是（ ）
A．三个角的度数比为1∶2∶3B．三条边的长度比为1∶2∶3
C．三条边满足关系a2＋c2＝b2D．三个角满足关系∠B＋∠C＝∠A
8．如图，在△ABC中，点D在BC上，AB＝AD＝DC，∠B＝80°，则∠C的度数为（ ）
A．30°B．40°C．45°D．60°
9．《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（ ）
A．x2－6＝（10－x）2B．x2－62＝（10－x）2
C．x2＋6＝（10－x）2D．x2＋62＝（10－x）2
10．如图，C为线段AB上一动点（不与点A、B重合），在AB同侧分别作正三角形ACD和正三角形BCE，AE与BD交于点F，AE与CD交于点G，BD与CE交于点H，连接GH．以下五个结论：①AE＝BD；②；③AD＝DH；④GE＝HB；⑤∠AFD＝60°，一定成立的是（ ）
A．①②③④B．①②④⑤C．①②③⑤D．①③④⑤
二、填空题（本大题共5小题，共15分）
11．因式分解：x2y－4y3＝_____________．
12．某学校300名学生参加植树活动，要求每人植树2~5棵，活动结束后随机抽查了20名学生，调查他们每人的植树情况，并绘制成如图所示的折线统计图，则这20名学生每人平均植树_____________棵．
13．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠DBC＝_____________度．
14．如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、C、D的面积依次为4、6、18，则正方形B的面积为_____________．
15．如图，∠A＝∠B＝90°，AB＝60，E，F分别为线段AB和射线BD上的一点，若点E从点B出发向点A运动，同时点F从点B出发向点D运动，二者速度之比为3∶7，运动到某时刻同时停止，在射线AC上取一点G，使△AEG与△BEF全等，则AG的长为_____________．
三、解答题（本大题共8小题，共75分。）
16．（本小题8分）先化简，再求值：[（x＋y）（x－y）－（x－y）2＋2y（x－y）]÷4y，其中x＝1，y＝－1．
17．（本小题9分）已知：3a＋21的立方根是3，4a－b－1的算术平方根是2，c的平方根是它本身．
（1）求a，b，c的值：
（2）求3a＋10b＋c的平方根．
18．（本小题9分）某校对九年级学生进行一次综合文科中考模拟测试，成绩x分（x为整数）评定为优秀、良好、合格、不合格四个等级（优秀、良好、合格、不合格分别用A、B、C、D表示），A等级：90≤x≤100，B等级：80≤x<90，C等级：60≤x<80，D等级：0≤x<60．该校随机抽取了一部分学生的成绩进行调查，并绘制成不完整的统计表和如图所示的统计图．
请你解答下列问题：
（1）上表中的a＝_____________，b＝_____________，m＝_____________；
（2）本次调查共抽取了多少名学生？请补全条形图．
19．（本小题9分）如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE＝BD，连接AE，DE，DC．
（1）求证：△ABE≌△CBD；
（2）若∠CAE＝30°，求∠BDC的度数．
20．（本小题9分）老师准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿插到离岸边1.5m远的水底，竹竿露出水面的部分刚好0.5m，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水而刚好相齐，请你帮老师计算河水的深度是多少米？
21．（本小题10分）如图，△ABC中，AB＝AC，MN是AB的垂直平分线．
（1）若AB＋BC＝10cm，求△BNC的周长；
（2）若△BNC的周长为20cm，BC＝8cm，求AB的长．
22．（本小题10分）如图，∠1＝∠2，CE⊥AB于E，CF⊥AD交AD的延长线于F，且BC＝DC．
（1）BE与DF是否相等？请说明理由：
（2）若DF＝1cm，AD＝3cm，则AB的长为_____________cm．
23．（本小题11分）我们根据图形的移、拼、补可以简单直观地推理验证数学规律和公式，这种方法称之为“无字证明”，它比严谨的数学证明更为优雅与有条理．三国时代东吴数学家赵爽（字君卿，约公元3世纪）在《勾股圆方图注》一书中用割补的方法构造了“无字证明”图形（如图1）．其中四个直角三角形较长的直角边长都为a，较短的直角边长都为b，斜边长都为c，大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为，由此推导出一个重要的定理．
（1）此图可以推导出你学过的什么定理？请写出定理的内容：
（2）图②为美国第二十任总统伽菲尔德创造的“无字证明”图形：以a、b为直角边，以c为斜边做两个全等的直角三角形，A、E、B三点在一条直线上。请你利用图②推导（1）中的定理．
（3）根据（1）中的定理，解决下面的问题：如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，且CH⊥AB．测得CH＝1.2千米，HB＝0.9千米，求新路CH比原路CA少多少千米？
八年级数学参考答案
一、选择题
1．A 2．D 3．A 4．A 5．B 6．D 7．B 8．B 9．D 10．B
二、填空题
11．y（x－2y）（x＋2y） 12．3.3 13．30 14．8 15．18或70
三、解答题
16．解：原式：＝（x2－y2－x2＋2xy－y2＋2xy－2y2）÷4y
＝（－4y2＋4xy）÷4y
＝－y＋x，
当x＝1，y＝－1时，原式＝1＋1＝2．
17．解：（1）根据题意可知，
3a＋21＝27，解得a＝2，
4a－b－1＝4，解得b＝3，c＝0，
所以a＝2，b＝3，c＝0；
（2）因为3a＋10b＋c＝3×2＋10×3＋0＝36，
36的平方根为±6．
所以3a＋10b＋c的平方根为±6．
18．解：（1）8；12；30%．
（2）本次调查共抽取了4÷10%＝40名学生．
19．（1）证明：
∵∠ABC＝90°，∴∠DBC＝90°，在△ABE和△CBD中
∴△ABE≌△CBD（SAS）；
（2）解：∵AB＝CB，∠ABC＝90°，∴∠BCA＝45°，
∴∠AEB＝∠CAE＋∠BCA＝30°＋45°＝75°，
∵△ABE≌△CBD，∴∠BDC＝∠AEB＝75°．
20．解：设河水的深度为h米．
由勾股定理得：h2＋1.52＝（h＋0.5）2
h2＋2.25＝h2＋h＋0.25
h＝2
答：河水的深度为2米．
21．解：（1）∵MN是AB的垂直平分线，∴AN＝BN，
∴△BNC的周长＝CN＋NB＋BC＝CN＋NA＋BC＝AC＋BC＝AB＋BC，
∵AB＋BC＝10cm，∴△BNC的周长＝10cm．
（2）由（1）可知：△BNC的周长＝AB＋BC，
∵△BNC的周长为20cm，∴AB＋BC＝20cm，∴AB＝20－8＝12cm．
22．解：（1）BE＝DF，∵∠1＝∠2，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，∴CE＝CF
在Rt△CEB和Rt△CFD中，
∴Rt△CEB≌Rt△CFD（HL）．∴BE＝DF．
（2）5．
23．解：（1）推导出勾股定理，
内容为：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a²＋b²＝c²；
（2）梯形ABCD的面积为，
也可以表示为，
∴，
即a²＋b²＝c²；
（3）设CA＝x，∵AB＝AC，∴AH＝x－0.9，
在Rt△ACH中，CA2＝CH2＋AH2，即x2＝1.22＋（x－0.9）2，
解得x＝1.25，即CA＝1.25，
CA－CH＝1.25－1.2＝0.05（千米），
答：新路CH比原路CA少0.05千米．等级
频数（人数）
频率
A
a
20%
B
16
40%
C
D
b
m
4
10%
注意事项：1．本试卷共1张6页，3大题23小题；时间90分，满分120分。
2．本试卷设有答题卷，请将答案涂在答题卷上，写在本试卷无效。
一、选择题（本大题共10小题，共30分．）
1．下列各数中，是无理数的为（ ）
A．π＋1B．C．0.323D．
2．下列各式中，计算正确的是（ ）
A．a3＋a2＝a5B．a3－a2＝aC．（a2）3＝a5D．a2·a3＝a5
3．用反证法证明命题：“在△ABC中，AB＝AC，求证：∠B<90°．”第一步应先假设（ ）
A．∠B≥90°B．∠B>90°C．∠B<90°D．AB≠AC
4．在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是（ ）
A．点MB．点NC．点PD．点Q
5．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等腰三角形．其作法错误的是（ ）
A．B．C．D．
6．某学校为调查该校学生喜欢的球类运动，随机调查了200名学生（每名学生只能选择一项球类运动），结果记为：A足球，B篮球，C乒乓球，D羽毛球，并根据调查结果绘制了一个不完整的扇形统计图（如图）．甲、乙、丙三位同学都发表了自己的看法，如下：
甲：若喜欢足球的有20人，则A所对应的圆心角为36°；
乙：若B所对应的圆心角为108°，则喜欢篮球的有60人；
丙：若喜欢乒乓球的人数是喜欢羽毛球的人数的2倍，则喜欢乒乓球的有80人．
下列选项中正确的是（ ）
A．甲、乙都对，丙错B．甲对，乙、丙都错C．甲、乙都错，丙对D．甲、乙、丙都对
7．下列条件中，不能判断一个三角形是直角三角形的是（ ）
A．三个角的度数比为1∶2∶3B．三条边的长度比为1∶2∶3
C．三条边满足关系a2＋c2＝b2D．三个角满足关系∠B＋∠C＝∠A
8．如图，在△ABC中，点D在BC上，AB＝AD＝DC，∠B＝80°，则∠C的度数为（ ）
A．30°B．40°C．45°D．60°
9．《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（ ）
A．x2－6＝（10－x）2B．x2－62＝（10－x）2
C．x2＋6＝（10－x）2D．x2＋62＝（10－x）2
10．如图，C为线段AB上一动点（不与点A、B重合），在AB同侧分别作正三角形ACD和正三角形BCE，AE与BD交于点F，AE与CD交于点G，BD与CE交于点H，连接GH．以下五个结论：①AE＝BD；②；③AD＝DH；④GE＝HB；⑤∠AFD＝60°，一定成立的是（ ）
A．①②③④B．①②④⑤C．①②③⑤D．①③④⑤
二、填空题（本大题共5小题，共15分）
11．因式分解：x2y－4y3＝_____________．
12．某学校300名学生参加植树活动，要求每人植树2~5棵，活动结束后随机抽查了20名学生，调查他们每人的植树情况，并绘制成如图所示的折线统计图，则这20名学生每人平均植树_____________棵．
13．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠DBC＝_____________度．
14．如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、C、D的面积依次为4、6、18，则正方形B的面积为_____________．
15．如图，∠A＝∠B＝90°，AB＝60，E，F分别为线段AB和射线BD上的一点，若点E从点B出发向点A运动，同时点F从点B出发向点D运动，二者速度之比为3∶7，运动到某时刻同时停止，在射线AC上取一点G，使△AEG与△BEF全等，则AG的长为_____________．
三、解答题（本大题共8小题，共75分。）
16．（本小题8分）先化简，再求值：[（x＋y）（x－y）－（x－y）2＋2y（x－y）]÷4y，其中x＝1，y＝－1．
17．（本小题9分）已知：3a＋21的立方根是3，4a－b－1的算术平方根是2，c的平方根是它本身．
（1）求a，b，c的值：
（2）求3a＋10b＋c的平方根．
18．（本小题9分）某校对九年级学生进行一次综合文科中考模拟测试，成绩x分（x为整数）评定为优秀、良好、合格、不合格四个等级（优秀、良好、合格、不合格分别用A、B、C、D表示），A等级：90≤x≤100，B等级：80≤x<90，C等级：60≤x<80，D等级：0≤x<60．该校随机抽取了一部分学生的成绩进行调查，并绘制成不完整的统计表和如图所示的统计图．
请你解答下列问题：
（1）上表中的a＝_____________，b＝_____________，m＝_____________；
（2）本次调查共抽取了多少名学生？请补全条形图．
19．（本小题9分）如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE＝BD，连接AE，DE，DC．
（1）求证：△ABE≌△CBD；
（2）若∠CAE＝30°，求∠BDC的度数．
20．（本小题9分）老师准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿插到离岸边1.5m远的水底，竹竿露出水面的部分刚好0.5m，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水而刚好相齐，请你帮老师计算河水的深度是多少米？
21．（本小题10分）如图，△ABC中，AB＝AC，MN是AB的垂直平分线．
（1）若AB＋BC＝10cm，求△BNC的周长；
（2）若△BNC的周长为20cm，BC＝8cm，求AB的长．
22．（本小题10分）如图，∠1＝∠2，CE⊥AB于E，CF⊥AD交AD的延长线于F，且BC＝DC．
（1）BE与DF是否相等？请说明理由：
（2）若DF＝1cm，AD＝3cm，则AB的长为_____________cm．
23．（本小题11分）我们根据图形的移、拼、补可以简单直观地推理验证数学规律和公式，这种方法称之为“无字证明”，它比严谨的数学证明更为优雅与有条理．三国时代东吴数学家赵爽（字君卿，约公元3世纪）在《勾股圆方图注》一书中用割补的方法构造了“无字证明”图形（如图1）．其中四个直角三角形较长的直角边长都为a，较短的直角边长都为b，斜边长都为c，大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为，由此推导出一个重要的定理．
（1）此图可以推导出你学过的什么定理？请写出定理的内容：
（2）图②为美国第二十任总统伽菲尔德创造的“无字证明”图形：以a、b为直角边，以c为斜边做两个全等的直角三角形，A、E、B三点在一条直线上。请你利用图②推导（1）中的定理．
（3）根据（1）中的定理，解决下面的问题：如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，且CH⊥AB．测得CH＝1.2千米，HB＝0.9千米，求新路CH比原路CA少多少千米？
八年级数学参考答案
一、选择题
1．A 2．D 3．A 4．A 5．B 6．D 7．B 8．B 9．D 10．B
二、填空题
11．y（x－2y）（x＋2y） 12．3.3 13．30 14．8 15．18或70
三、解答题
16．解：原式：＝（x2－y2－x2＋2xy－y2＋2xy－2y2）÷4y
＝（－4y2＋4xy）÷4y
＝－y＋x，
当x＝1，y＝－1时，原式＝1＋1＝2．
17．解：（1）根据题意可知，
3a＋21＝27，解得a＝2，
4a－b－1＝4，解得b＝3，c＝0，
所以a＝2，b＝3，c＝0；
（2）因为3a＋10b＋c＝3×2＋10×3＋0＝36，
36的平方根为±6．
所以3a＋10b＋c的平方根为±6．
18．解：（1）8；12；30%．
（2）本次调查共抽取了4÷10%＝40名学生．
19．（1）证明：
∵∠ABC＝90°，∴∠DBC＝90°，在△ABE和△CBD中
∴△ABE≌△CBD（SAS）；
（2）解：∵AB＝CB，∠ABC＝90°，∴∠BCA＝45°，
∴∠AEB＝∠CAE＋∠BCA＝30°＋45°＝75°，
∵△ABE≌△CBD，∴∠BDC＝∠AEB＝75°．
20．解：设河水的深度为h米．
由勾股定理得：h2＋1.52＝（h＋0.5）2
h2＋2.25＝h2＋h＋0.25
h＝2
答：河水的深度为2米．
21．解：（1）∵MN是AB的垂直平分线，∴AN＝BN，
∴△BNC的周长＝CN＋NB＋BC＝CN＋NA＋BC＝AC＋BC＝AB＋BC，
∵AB＋BC＝10cm，∴△BNC的周长＝10cm．
（2）由（1）可知：△BNC的周长＝AB＋BC，
∵△BNC的周长为20cm，∴AB＋BC＝20cm，∴AB＝20－8＝12cm．
22．解：（1）BE＝DF，∵∠1＝∠2，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，∴CE＝CF
在Rt△CEB和Rt△CFD中，
∴Rt△CEB≌Rt△CFD（HL）．∴BE＝DF．
（2）5．
23．解：（1）推导出勾股定理，
内容为：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a²＋b²＝c²；
（2）梯形ABCD的面积为，
也可以表示为，
∴，
即a²＋b²＝c²；
（3）设CA＝x，∵AB＝AC，∴AH＝x－0.9，
在Rt△ACH中，CA2＝CH2＋AH2，即x2＝1.22＋（x－0.9）2，
解得x＝1.25，即CA＝1.25，
CA－CH＝1.25－1.2＝0.05（千米），
答：新路CH比原路CA少0.05千米．等级
频数（人数）
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16
40%
C
D
b
m
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