2023-2024学年黑龙江省齐齐哈尔三中八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年黑龙江省齐齐哈尔三中八年级（上）期末数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列交通标志中，是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.已知三角形的两边长分别为5cm和8cm，则第三边的长可以是( )
A. 2cmB. 3cmC. 6cmD. 13cm
3.下列运算一定正确的是( )
A. (a2b3)2=a4b6B. 3b2+b2=4b4C. (a4)2=a6D. a3⋅a3=a9
4.根据下列所给条件，能画出唯一的△ABC的是( )
A. AB=4，∠A=45°，BC=3B. ∠A=60°，∠B=45°，AB=4
C. AB=4，BC=5，AC=10D. ∠A=∠B=∠C=60°
5.如图，△ABC中，以B为圆心，BC长为半径画弧，分别交AC、AB于D、E两点，并连接BD、DE.若∠A=30°，AB=AC，则∠BDE的度数为
( )
A. 67.5°
B. 52.5°
C. 45°
D. 75°
6.把分式x−yx2+y2中的x、y都扩大3倍，那么分式的值( )
A. 扩大3倍B. 缩小3倍C. 不变D. 缩小9倍
7.在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线交AC于D，交AB边于E，则AC与DC的关系是( )
A. AC=2DCB. AC=3DCC. AC=32DCD. 无法确定
8.已知关于x的分式方程2x−mx−1−31−x=1的解是正数，则m的取值范围是( )
A. m>4B. m<4C. m>4且m≠5D. m<4且m≠1
9.四边形ABCD中，∠BAD=122°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分别找一点M、N，当三角形AMN周长最小时，∠MAN的度数为( )
A. 58°B. 64°C. 61°D. 74°
10.如图，在△ABC中，AB>AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF交AD于点G，H在AB上且∠AHD+∠C=180°，则下列结论：①DE=DF；②DF+AE>AD；③AD⊥EF；④S△ABD：S△ACD=AB：AC；⑤AH+AC=2AE，其中正确结论的个数是( )
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
二、填空题：本题共7小题，每小题3分，共21分。
11.环境空气质量问题已经成为人们日常生活所关心的重要问题，我国新修订的《环境空气质量标准》中增加了PM2.5检测指标，“PM2.5”是指大气中危害健康的直径小于或等于2.5微米的颗粒物，2.5微米即0.0000025米．用科学记数法表示0.0000025为______ ．
12.当x ______ 时，分式xx2−1有意义．
13.如图，点B，F，C，E在一条直线上，AB/​/ED，AC/​/FD，要使△ABC≌△DEF，只需添加一个条件，则这个条件可以是 ．
14.若4x2−2kx+1是完全平方式，则k= ______ ．
15.将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，你能
根据两个图形的面积关系得到的数学公式是______．
16.在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为40°，则∠B= ______ ．
17.如图，在平面直角坐标系中，∠MOA1=30°，△A1B1B2，△A2B2B3，△A3B3B4…△AnBnBn+1都是等边三角形，点A1，A2，A3…An在x轴上，点B1，B2，B3…Bn+1在OM上，A1B2//A2B3//A3B4⋅⋅⋅AnBn+1//y轴，OB1=1，则第n个等边△AnBnBn+1的周长是______ ．
三、计算题：本大题共1小题，共5分。
18.解方程：xx−2−1x2−4=1．
四、解答题：本题共6小题，共44分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题9分)
(1)计算(−3ab2c)2⋅(−a3b)；
(2)计算：(−3x−y)(−3x+y)+(2x−y)2−2x(4x−y)；
(3)分解因式：4ab2+a3−4a2b.
20.(本小题6分)
如图，△ABC与△A′B′C′在平面直角坐标系中，且△ABC的顶点坐标为A(−2,3)、B(−3,2)、C(−1,1)．
(1)画出将△ABC向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后，关于y轴对称的图形△A1B1C1；
(2)连结A1、C、C′，所得到的图形______ 轴对称图形(填是或者不是)；若是，画出它的对称轴；
(3)△ACC′的面积为______ ．
21.(本小题6分)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=5cm，在AC上取一点E，使EC=BC，过点E作EF⊥AC，连接CF，使CF=AB，若EF=12cm，求AE的长．
22.(本小题5分)
先化简，再求值：(a−2a−1a)÷1−a2a2+a，其中a=3．
23.(本小题12分)
综合与实践：
已知：等边△ABC．

【观察猜想】如图①：D为线段AB上一点，DE/​/BC，交AC于点E.可知△ADE为______ 三角形．
【实践发现】如图②：D为线段AB外一点，连接AD，以AD为一边作等边三角形ADE.连接BD、CE.猜想BD与CE数量关系为______ ，直线BD与CE相交所产生的交角中的锐角为______ ．
【深入探究】：D为线段AB上一点，F为线段CB延长线上一点，且DF=DC．
(1)特殊感知：当点D为AB的中点时，如图③，猜想线段AD与BF的数量关系为______ ；
(2)特例启发：当D为AB上任意一点，其余条件不变，如图④，猜想线段AD与BF的数量关系？并说明理由；
(3)拓展延伸：在等边三角形ABC中，点D在直线AB上，点F在直线BC上，且DF=DC.若△ABC的边长为2，AD=3，则CF的长为______ ．
24.(本小题6分)
中国的电商市场蓬勃发展，成为世界上最大的电商市场之一.而电商行业的繁荣也推动了快递行业的高速发展.其实早在我国汉代开始就设有“驿传”制度，也可以理解为最早的“快递”雏形.《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间？请同学们帮助解决．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A.不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
根据轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.【答案】C
【解析】解：∵三角形的两边长分别为5cm和8cm，
∴第三边x的长度范围为：3cm故选：C．
由三角形的两边长分别为5cm和8cm，可得第三边的长度范围即可得出答案．
此题考查了三角形的三边关系．注意已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于这两边的和．
3.【答案】A
【解析】解：A、(a2b3)2=a4b6，原计算正确，故此选项符合题意；
B、3b2+b2=4b2，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、(a4)2=a8，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、a3⋅a3=a6，原计算错误，故此选项不符合题意．
故选：A．
分别根据幂的乘方与积的乘方运算法则，同底数幂的乘法法则，合并同类项运算法则以及同底数幂的除法法则逐一判断即可．
本题主要考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：A、AB=4，∠A=45°，BC=3，不符合全等三角形判定定理，不能画出唯一三角形，故本选项错误
B、∠A=60°，∠B=45°，AB=4，符合角角边定理，能画出唯一△ABC，故此选项正确；
C、AB=4，BC=5，AC=10，不符合三角形三边关系定理，不能画出三角形，故本选项错误；
D、∠A=∠B=∠C=60°，边长不一定，不能画出唯一三角形，故本选项错误；
故选B．
利用全等三角形的判定方法以及三角形三边关系分别判断得出即可．
此题主要考查了全等三角形的判定以及三角形三边关系，熟练掌握全等三角形的判定以及三角形三边关系是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】【分析】
根据AB=AC，利用三角形内角和定理求出∠ABC和∠ACB的度数，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠DBC=30°，然后即可求出∠BDE的度数．
本题考查了学生对等腰三角形的性质和三角形内角和定理等知识点的理解和掌握，此题的突破点是利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠DBC=30°，然后即可求得答案．
【解答】
解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，
∵∠A=30°，
∴∠ABC=∠ACB=12(180°−30°)=75°，
∵以B为圆心，BC长为半径画弧，
∴BE=BD=BC，
∴∠BDC=∠ACB=75°，
∴∠CBD=180°−75°−75°=30°，
∴∠DBE=75°−30°=45°，
∴∠BED=∠BDE=12(180°−45°)=67.5°．
故选A．
6.【答案】B
【解析】解：把原分式中的x、y换成3x、3y，则
3x−3y9x2+9y2=13×x−yx2+y2，
故选B．
把原分式中的x、y换成3x、3y，进行计算，再与原分式比较即可．
本题主要考查了分式的基本性质，解题关键是用到了整体代入的思想．
7.【答案】B
【解析】解：连接BD．
∵DE垂直平分AB，∴AD=DB.∴∠DBA=∠A=30°．
∴∠CBD=30°，BD=2DC．
∴AD=2DC，AC=3DC．
故选：B．
要求AC与DC的关系，需连接BD，得到∠CBD=30°，由直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半及运用线段垂直平分线定理可得答案．
此题主要考查线段的垂直平分线的性质及含30°角的直角三角形的性质；正确作出辅助线是解答本题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：方程两边同时乘以x−1得，2x−m+3=x−1，
解得x=m−4．
∵x为正数，
∴m−4>0，解得m>4，
∵x≠1，
∴m−4≠1，即m≠5，
∴m的取值范围是m>4且m≠5．
故选：C．
先利用m表示出x的值，再由x为正数求出m的取值范围即可．
本题考查了分式方程的解，掌握求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查对称的性质、线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理等知识，利用对称作辅助线是解决最短的关键．延长AB到A′使得BA′=AB，延长AD到A″使得DA″=AD，连接A′A″与BC、CD分别交于点M、N，此时△AMN周长最小，推出∠AMN+∠ANM=2(∠A′+∠A″)，进而得出∠MAN的度数．
【解答】
解：如图，延长AB到A′使得BA′=AB，延长AD到A″使得DA″=AD，连接A′A″与BC、CD分别交于点M、N．
∵∠ABC=∠ADC=90°，
∴A、A′关于BC对称，A、A″关于CD对称，
此时△AMN的周长最小，
∵BA=BA′，MB⊥AB，
∴MA=MA′，
同理：NA=NA″，
∴∠A′=∠MAB，∠A″=∠NAD，
∵∠AMN=∠A′+∠MAB=2∠A′，∠ANM=∠A″+∠NAD=2∠A″，
∴∠AMN+∠ANM=2(∠A′+∠A″)，
∵∠BAD=122°，
∴∠A′+∠A″=180°−∠BAD=58°，
∴∠AMN+∠ANM=2×58°=116°．
∴∠MAN=180°−116°=64°，
故选B．
10.【答案】D
【解析】解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
∴∠AED=∠AFD=90°，DE=DF，故①正确；
在Rt△AED和Rt△AFD中，
AD=ADDE=DF，
∴Rt△AED≌Rt△AFD(HL)，
∴AE=AF，
∵AD平分∠BAC，
∴AD⊥EF，故③正确；
在△AFD中，AF+DF>AD，
又∵AE=AF，
∴AE+DF>AD，故②正确；
∵S△ABD=12×AB×DE,S△ACD=12×AC×DF,DE=DF，
∴S△ABD：S△ACD=AB：AC，故④正确；
∵∠AHD+∠C=180°，∠AHD+∠EHD=180°，
∴∠EHD=∠C，
∵∠AED=∠AFD=90°，DE=DF，
∴△DEH≌△DFC(AAS)，
∴EH=CF，
∵AH+AC=AE−EH+AF+CF，
∵AH+AC=2AE
即正确的个数是5个，
故选：D．
根据角平分线的性质得出DE=DF，根据全等三角形的判定推出Rt△AED≌Rt△AFD，△DEH≌△DFC，根据全等三角形的性质得出AE=AF，EH=CF，再逐个判断即可．
本题考查了角平分线的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积，等腰三角形的性质等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．
11.【答案】2.5×10−6
【解析】解：0.0000025=2.5×10−6；
故答案为：2.5×10−6．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
12.【答案】≠±1
【解析】解：∵分式xx2−1有意义，
∴x2−1≠0，
解得x≠±1．
故答案为：≠±1．
根据分母不为零的条件进行解题即可．
本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键．
13.【答案】AB=DE(答案不唯一)
【解析】【分析】
本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
根据平行线的性质可得∠B=∠E，∠ACB=∠DFE，然后再利用全等三角形的判定方法即可解答．
【解答】
解：∵AB/​/ED，
∴∠B=∠E，
∵AC/​/DF，
∴∠ACB=∠DFE，
∵AB=DE，
∴△ABC≌△DEF(AAS)，
故答案为：AB=DE(答案不唯一)．
14.【答案】±2
【解析】【分析】
本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解，属于基础题．
这里首末两项是2x和1这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去2x和1积的2倍，然后即可求解．
【解答】
解：∵4x2−2kx+1是完全平方式，
∵4x2±4x+1=(2x±1)2是完全平方式，
∴−2k=±4，
解得k=±2．
故答案为±2．
15.【答案】(a−b)(a+b)=a2−b2
【解析】解：如图；
图甲：大矩形的面积可表示为：
①(a−b)(a+b)；
②a(a−b)+b(a−b)=a2−ab+ab−b2=a2−b2；
故(a−b)(a+b)=a2−b2；
图乙：大正方形的面积可表示为：
①a(a−b+b)=a2；
②a(a−b)+b(a−b)+b2=(a+b)(a−b)+b2；
故a2=b2+(a+b)(a−b)，即a2−b2=(a+b)(a−b)．
所以根据两个图形的面积关系，可得出的公式是a2−b2=(a+b)(a−b)．
图甲可直接根据大矩形的面积不同表示方法来得出所求的公式；
图乙需将图形补成正方形，然后仿照图甲的方法进行求解．
此题主要考查了平方差公式和图形面积间的关系，有利于培养学生数形结合的数学思想方法．
16.【答案】65°或25°
【解析】解：(1)当AB的中垂线MN与AC相交时，
∵∠AMD=90°，
∴∠A=90°−40°=50°，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C=12(180°−∠A)=65°；
(2)当AB的中垂线MN与CA的延长线相交时，
∴∠DAB=90°−40°=50°，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C=12∠DAB=25°．
故答案为65°或25°．
根据△ABC中∠A为锐角与钝角分为两种情况解答．
本题考查的是线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质，此类题需要注意的是要分两种情况解答，考生在考虑问题时要全面．
17.【答案】3×2n−1
【解析】解：∵△A1B1B2，△A2B2B3，△A3B3B4…△AnBnBn+1都是等边三角形，
∴∠B1A1B2=∠A1B2B1=∠B2B1A1=60°，
∵∠MOA1=30°，OB1=1，
∴∠OA1B1=30°，
∴∠OA1B2=90°，
∴A1B2=B1B2=A1B1=OB1=1，
∴OB2=2，
∴OB2=A2B2=A2B3=B2B3=2，
同理可得OB3=A3B3=A3B4=B3B4=4，
∴C△A1B1B2=3×1=3×20，C△A2B2B3=3×2=3×21，C△A3B3B4=3×4=3×22…
∴C△AnBnBn+1=3×2n−1．
故答案为：3×2n−1．
根据题意列出C△A1B1B2=3×1=3×20，C△A2B2B3=3×2=3×21，找到规律解答即可．
本题考查了点的坐标、等边三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质，解决本题的关键是寻找点的坐标规律．
18.【答案】解：去分母得：x(x+2)−1=x2−4，
去括号得：x2+2x−1=x2−4，
解得：x=−32，
经检验x=−32是分式方程的解．
故原方程的解是x=−32．
【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
19.【答案】解：(1)(−3ab2c)2⋅(−a3b)=9a2b4c2⋅(−a3b)=−9a5b5c2；
(2)计算：
(−3x−y)(−3x+y)+(2x−y)2−2x(4x−y)
=9x2−y2+4x2−4xy+y2−8x2+2xy
=5x2−2xy；
(3)分解因式：
4ab2+a3−4a2b
=a(a2−4ab+4b2)
=a(a−2b)2．
【解析】(1)先进行积的乘方，再计算乘法即可；
(2)先利用乘法公式及单项式乘多项式的法则去括号，再进行整式的加减运算即可；
(3)先提公因式，然后利用完全平方公式分解因式．
本题考查了整式的混合运算：熟练掌握乘法公式、整式的乘法法则是解决问题的关键．也考查了因式分解．
20.【答案】是 1
【解析】解：(1)∵△ABC的三个顶点的坐标分别为A(−2,3)、B(−3,2)、C(−1,1)，
将△ABC向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后，关于y轴对称的点的坐标分别为A1(4,4)，B1(5,3)，C1(3,2)，
在平面直角坐标系中依次描出这些点，顺次连接可得△A1B1C1，如下图所示：
(2)∵A1C= 32+52= 34，A1C′= 32+52= 34，
∴A1C=A1C′，
所以所得图形是等腰三角形，是轴对称图形，
对称轴如图所示．
故答案为：是；
(3)如图，
S△ACC′=S△AMC′−S梯形AMNC−S△CNC′
=12×3×4−12×(2+4)×1−12×2×2
=1．
故答案为：1．
(1)根据图形平移及轴对称的性质画出△A1B1C1即可；
(2)画出△A1CC′计算边长，画出对称轴即可；
(3)根据图形计算即可得出结论．
本题考查的是作图−旋转变换，熟知图形旋转不变性的性质是解答此题的关键．
21.【答案】解：∵EF⊥AC，
∴∠FEC=∠ACB=90°，
在Rt△ABC和Rt△FCE中，
AB=FCBC=CE，
∴Rt△ABC≌Rt△FCE(HL)，
∴AC=FE=12cm，
∵CE=BC=5cm，
∴AE=AC−CE=12−5=7(cm)．
【解析】证明Rt△ABC≌Rt△FCE(HL)，得出AC=FE=12cm，求出AE=7cm即可．
本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法．
22.【答案】解：(a−2a−1a)÷1−a2a2+a=a2−2a+1a÷1−a2a2+a
=(a−1)2a×a(a+1)(1−a)(a+1)=1−a，
当a=3时，
原式=1−3=−2．
【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a的值代入进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
23.【答案】等边 BD=CE 60° AD=BF 5或1
【解析】解：【观察猜想】∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，
∵DE/​/BC，
∴∠ADE=∠B=60°，∠AED=∠C=60°，
∴△ADE是等边三角形．
故答案为：等边；
【实践发现】BD=CE，60°；理由如下：
∵△ABC、△ADE都是等边三角形，
∴∠BAC=∠DAE=60°，AB=AC，AD=AE，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△BAD≌△CAE(SAS)，
∴BD=CE，∠ABD=∠ACE，
延长BD交CE于F，如图②，
∵△BCF中，∠BCF+∠CBF+∠BFC=180°，
∴∠ACB+∠ACE+∠CBF+∠BFC=180°，
即60°+60°+∠BFC=180°，
∴∠BFC=60°，
故答案为：BD=CE，60°
【深入探究】(1)特殊感知：AD=BF，理由如下：
当点D为AB的中点时，AD=BD，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACD=∠BCD=30°，
∵DF=DC，
∴∠F=∠BCD=30°，
∴∠BDF=∠ABC−∠F=30°，
∴∠F=∠BDF=30°，
∴BD=BF，
∴AD=BF，
故答案为：AD=BF；
(2)特例启发：猜想AD=BF，理由如下：
过点D作DE/​/BC，交AC于点E.如图④，
∵DE/​/BC，
∴∠ADE=∠ABC=60°，∠AED=∠ACB=60°．
∴△ADE是等边三角形，
∴AD=DE=AE．
∴BD=CE．
∵DF=DC，
∴∠DCF=∠F．
又∵∠FDB=∠DBC−∠F=60°−∠F，∠DCE=60°−∠DCF，
∴∠FDB=∠DCE．
在△BFD和△EDC中，
BD=CE∠FDB=∠DCEDF=DC，
∴△BFD≌△EDC(SAS)，
∴BF=DE=AD．
∴AD=BF．
(3)①如图3.1：
当点D在AB的延长线上时，
作DE/​/AC，交直线BC于点E，
∴∠1=60°，
又∵∠EBD=60°，
∴△EBD是等边三角形，
∴EB=DE=BD，
又∵AB=2，AD=3，
∴BD=AD−AB=1，
∴EB=DE=1，
∵DF=DC，
∴∠F=∠3，
∵∠4=180°−∠1=120°，∠5=180°−∠ABC=120°，
∴∠4=∠5，
在△DEF和△DBC中，
∠F=∠3∠4=∠5DE=DB，
∴△DEF≌△DBC(AAS)，
∴EF=BC=2，
∴CF=BC+BE+EF=2+1+2=5；
②如图3.2，
当点D在BA的延长线上时，
作DE⊥BC，交直线BC于点E，
∴∠DEB=90°，
∵∠B=60°，
∴∠BDE=30°，
∴BE=12BD，
∵△ABC的边长为2，AD=3，
∴BD=5，
∴BE=52，
∴CE=12，
∵DC=DF，
∴CE=EF=12，
∴CF=1，
综上所述，CF的长是5或1．
故答案为：5或1．
【观察猜想】利用等边三角形的性质和判定即可证明；
【实践发现】利用等边三角形的性质证明△BAD≌△CAE(SAS)即可得出数量关系，再用三角形内角和定理即可得出角度；
【深入探究】(1)根据等边三角形的性质和等腰三角形的判定与性质求解即可；
(2)正确作出辅助线证明三角形全等即可；
(3)分点D在AB、BA的延长线上两种情况讨论．
本题考查等边三角形的性质和判定、三角形全等的性质和判定及“直角三角形中30锐角所对直角边等于斜边的一半”，正确作出辅助线，构造全等三角形及分类讨论是解决问题的关键．
24.【答案】解：设规定时间为x天，
根据题意得：900x−3=2×900x+1，
解得：x=7，
经检验x=7是原分式方程的解
答：规定时间为7天．
【解析】根据快马、慢马所需时间及规定时间之间的关系，可得出慢马所需的时间为(x+1)天，快马所需的时间为(x−3)天，利用速度=路程÷时间，结合快马的速度是慢马的2倍，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．