2022-2023学年湖南省张家界市慈利一中高一（下）入学数学试卷（含解析）

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这是一份2022-2023学年湖南省张家界市慈利一中高一（下）入学数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={x|−1A. 8B. 7C. 6D. 5
2.若多项式x2+17x+b分解因式的结果中有一个因式为x+8，则b的值为( )
A. −17B. 17C. −72D. 72
3.集合A={x∈N*|63−x∈N*}用列举法可以表示为( )
A. {3,6}B. {1,2}C. {0,1,2}D. {−2,−1,0,1,2}
4.已知全集A={x|1≤x≤6}，集合B={x|1A. {x|x≥5}B. {x|x≤1或x≥5}
C. {x|x=1或55.若M=3x2−8xy+9y2−4x+6y+13(x、y是实数)，则M的值是( )
A. 正数B. 负数C. 零D. 以上皆有可能
6.二次函数y=x2−4x+3，当−1≤x≤3时，对应y值有相应的取值范围，则y取值的最大值为( )
A. 3B. 0C. 8D. −1
7.已知不等式ax2−5x+b>0的解集为{x|−3A. {x|−13C. {x|x<−13或x>12}D. {x|x<−12或x>13}
8.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴相交于A，B两点，点C在二次函数图象上，且到x轴距离为4，∠ACB=90°，则a的值为( )
A. 4B. 2C. 12D. 14
9.已知a>b，c>d>0，则下列不等式成立的是( )
A. 1a<1bB. dcbdD. ac>bd
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
10.下列不等式的解集是空集的是( )
A. x2−x+1>0B. −2x2+x+1>0
C. 2x−x2>5D. x2+x<−2
11.已知全集U=R，集合A={x|−2≤x≤7}，B={x|m+1≤x≤2m−1}，则使A⊆∁UB成立的实数m的取值范围可以是( )
A. {m|6C. {m|−212.已知关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集为{x|x≤3或x≥4}，则下列结论中，正确结论的序号是( )
A. a>0
B. 不等式bx+c<0的解集为{x|x<−4}
C. 不等式cx2−bx+a<0的解集为{x|x<−14或x>13}
D. a+b+c>0
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知全集U={1,2,3,4,5}，集合A={3,4,5}，B={2,3,4}，则∁U(A∩B)= ______．
14.已知2x+3y=6(x>0,y>0)，则xy的最大值是______．
15.若不等式mx2+4mx−4<0对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围为______．
16.已知三个关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0，bx2+cx+a=0，cx2+ax+b=0恰有一个公共实数根，则a2bc+b2ca+c2ab的值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知集合A={−1,0,1}，B={0,2}，U={−1,0,1,2,3}．
(1)求A∪B；
(2)求∁U(A∩B)．
18.(本小题12分)
设集合A={x|−2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m−1}，
(1)若m=4，求A∪B；
(2)若B∩A=B，求实数m的取值范围．
19.(本小题12分)
已知关于x的一元二次方程x2−(2m+4)x+m2+4m=0．
(1)求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
(2)设方程的两个实数根分别为x1，x2，求代数式x12+x22−4x1x2的最大值．
20.(本小题12分)
已知关于x的不等式ax2−(a+2)x+2≤0．
(1)若a<0，求不等式的解集；
(2)若a>0，不等式的解集中恰有3个整数，求实数a的取值范围．
21.(本小题12分)
为持续推进“改善农村人居环境，建设宜居美丽乡村”，某村委计划在该村广场旁一矩形空地进行绿化．如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围(阴影部分)均种植宽度相同的花，已知两块绿草坪的面积均为300平方米．
(1)若矩形草坪的长比宽至少多5米，求草坪宽的最大值；
(2)若草坪四周的花坛宽度均为2米，求整个绿化面积的最小值．
22.(本小题12分)
函数g(x)=x2−2ax+2a−1．
(1)若g(x)的最小值为0，求a的值；
(2)对于集合A={m|1≤m≤5}，若任意的m∈A，总存在x∈[−2,2]，使得m=g(x)成立，求实数a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：集合A={x|−1则集合A的真子集个数为23−1=7．
故选：B．
根据已知条件，先求出集合A，即可求出元素个数，再结合集合元素个数与真子集个数的关系，即可求解．
本题主要考查真子集个数的求解，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：设另一个因式为x+n，
可得x2+17x+b=(x+8)(x+n)，可得x2+17x+b=x2+(n+8)x+8n，
∴n+8=17b=8n，解得n=9，b=72．
故选：D．
设出另一个因式，利用展开式相等，列出方程求解即可．
本题考查因式分解独立的应用，是基础题．
3.【答案】B
【解析】解：∵x∈N*，63−x∈N*，
∴A={1,2}．
故选：B．
根据x∈N*，63−x∈N*可得出x的取值分别为1，2，从而得出A={1,2}．
考查描述法、列举法的定义，以及元素与集合的关系．
4.【答案】D
【解析】解：因为全集A={x|1≤x≤6}，集合B={x|1所以∁AB={x|x=1或5≤x≤6}．
故选：D．
直接根据补集概念运算求解即可．
本题考查集合的运算，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：因为M=3x2−8xy+9y2−4x+6y+13=2(x2−4xy+4y2)+(x2−4x+4)+(y2+6y+9)=2(x−2y)2+(x−2)2+(y+3)2，
若x−2y=0x−2=0y+3=0，该方程组无解，即x−2y=0，x−2=0，y+3=0不同时成立，
所以M=2(x−2y)2+(x−2)2+(y+3)2>0．
故选：A．
整理得M=2(x−2y)2+(x−2)2+(y+3)2，再分析判断即可．
本题主要考查了有理数指数幂的运算性质，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：y=x2−4x+3=(x−2)2−1在，二次函数的图象如图：
当−1≤x≤3时，−1≤y≤8，所以 y取值的最大值为8．
故选：C．
由已知结合二次函数的图象即可求解函数的最大值．
本题考查的是二次函数的三种形式、二次函数的性质，掌握配方法把一般式化为顶点式是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查一元二次不等式的解法，理解一元二次不等式与一元二次方程之间的联系是解题的关键，考查学生的运算求解能力，属于基础题．
由题意可知，−3和2是方程ax2−5x+b=0的两根，再结合韦达定理以及十字相乘法，即可得解．
【解答】
解：由题意可知，−3和2是方程ax2−5x+b=0的两根，且a<0，
∴−3+2=5a，(−3)×2=ba，∴a=−5，b=30，
∴不等式bx2−5x+a<0为30x2−5x−5<0，
即5(3x+1)(2x−1)<0，
解得−13故选A．
8.【答案】D
【解析】解：如图，二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象开口向上，由于∠ACB=90°，则点C在x轴下方，
过C作CD⊥x轴于D，设点A(x1,0)，B(x2,0)，C(m,−4)，
则AD2+CD2=AC2，BD2+CD2=BC2，由∠ACB=90°，得AC2+BC2=AB2，
于是AD2+BD2+2CD2=AB2，即有(m−x1)2+(x2−m)2+2×42=(x2−x1)2，
整理得m2−m(x1+x2)+x1x2+16=0，显然x1，x2是方程ax2+bx+c=0的两个实根，
则x1+x2=−ba,x1x2=ca，从而m2+m⋅ba+ca+16=0，即am2+bm+c=−16a，
由点C(m,−4)在二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象上，得am2+bm+c=−4，因此−16a=−4，解得a=14，
所以a的值为14．
故选：D．
设出二次函数图象与x轴的交点及点C的坐标，利用勾股定理及韦达定理建立方程，再借助点C在图象上求解即得．
本题主要考查二次函数的性质，考查计算能力，属于基础题．
9.【答案】B
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，取a=1，b=−2，显然满足a>b，但1a>1b，故A错误；
对于B，dc−d+4c+4=d(c+4)−c(d+4)c(c+4)=4(d−c)c(c+4)<0，则有dc对于C，取a=2，b=1，c=2，d=1，满足a>b，c>d>0，此时ac=bd=1，故C错误；
对于D，取a=−1，b=−2，c=2，d=1，满足a>b，c>d>0，但此时ac=bd，故D错误．
故选：B．
根据题意，利用特殊值法判断A、C、D，利用作差法判断B，综合可得答案．
本题考查不等式的性质以及证明，注意作差法的应用，属于基础题．
10.【答案】CD
【解析】解：对于A，x2−x+1=(x−12)2+34>0恒成立，
即不等式x2−x+1>0的解集为R，选项A错误；
对于B，不等式−2x2+x+1>0，即2x2−x−1<0，即(2x+1)(x−1)<0，
解得−120的解集为{x|−12对于C，不等式2x−x2>5，即x2−2x+5<0，因为x2−2x+5=(x−1)2+4>0恒成立，
所以不等式x2−2x+5<0的解集为空集，选项C正确；
对于D，不等式x2+x<−2，即x2+x+2<0，因为x2+x+2=(x+12)2+74>0恒成立，
所以不等式x2+x<−2的解集为空集，选项D正确．
故选：CD．
根据一元二次不等式的解法及完全平方数的性质判断即可．
本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，也考查了推理与判断能力，是基础题．
11.【答案】ABC
【解析】解：①当B≠⌀时，则m+1≤2m−1，即m≥2，
因为集合A={x|−2≤x≤7}，B={x|m+1≤x≤2m−1}，
则∁UB={x|x2m−1}，
又A⊆∁UB，
则m+1>7或2m−1<−2，
解得m>6或m<−12，
又m≥2，
所以m>6；
②当B=⌀时，则m+1>2m−1，即m<2，
此时∁UB=R，符合题意．
综上所述，实数m的取值范围为m>6或m<2．
故选：ABC．
分B≠⌀和B=⌀两种情况，求出∁UB，然后由子集的定义分析求解即可．
本题考查了集合的运算，主要考查了集合的补集以及子集定义的理解与应用，解题的关键是对集合B是否是空集进行讨论，属于基础题．
12.【答案】AD
【解析】解：不等式ax2+bx+c≥0的解集为{x|x≤3或x≥4}，
所以a>0，且3和4是方程ax2+bx+c=0的两根，选项A正确；
由根与系数的关系知，3+4=−ba3×4=ca，所以b=−7a，c=12a，
所以不等式bx+c<0可化为−7x+12<0，解集为{x|x>127}，选项B错误；
不等式cx2−bx+a<0可化为12x2+7x+1<0，解集为{x|x<−13或x>−14}，选项C错误；
因为不等式ax2+bx+c≥0的解集为{x|x≤3或x≥4}，所以x=1满足不等式，即a+b+c>0，选项D正确．
故选：AD．
根据不等式ax2+bx+c≥0的解集得出a>0，且3和4是方程ax2+bx+c=0的两根，由根与系数的关系得出b、c与a的关系，再判断选项中的命题是否正确．
本题考查了不等式的解法与应用问题，也考查了转化思想，是基础题．
13.【答案】{1,2,5}
【解析】解：全集U={1,2,3,4,5}，集合A={3,4,5}，B={2,3,4}，
由题意可知：A∩B={3,4}，
所以∁U(A∩B)={1,2,5}．
故答案为：{1,2,5}．
根据集合的交集和补集运算求解．
本题考查集合的运算，考查交集、补集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
14.【答案】32
【解析】解：因为x>0，y>0，2x+3y=6，
所以xy=16⋅2x⋅3y≤16⋅(2x+3y2)2=32，
当且仅当2x=3y=3，即x=32,y=1时，等号成立，
故xy的最大值是32．
故答案为：32．
凑配基本不等式即可解决．
本题考查了基本不等式及其应用，属于基础题．
15.【答案】−1【解析】解：不等式mx2+4mx−4<0对任意实数x恒成立，
①当m=0时，−4<0对任意实数x恒成立，
∴m=0符合题意；
②当m≠0时，则有m<0△=(4m)2−4m×(−4)<0，
∴m<0−1∴−1∴实数m的取值范围为−1综合①②可得，实数m的取值范围为−1故答案为：−1由不等式mx2+4mx−4<0对任意实数x恒成立，对系数m分类讨论，当m=0时恒成立，当m≠0时，利用二次函数的性质，列出关于m的不等式，求解即可得到m的取值范围．
本题考查了函数恒成立问题，对于函数的恒成立问题，一般选用参变量分离法、最值法、数形结合法进行求解．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．属于中档题．
16.【答案】3
【解析】解：设三个方程的公共根为t，则at2+bt+c=0，bt2+cxta=0，ct2+at+b=0，
三个方程相加整理可得：(a+b+c)t2+(a+b+c)t+(a+b+c)=0，
即(a+b+c)(t2+t+1)=0，
∵t2+t+1=(t+12)2+34>0，
∴a+b+c=0，
∴a2bc+b2ca+c2ab=a3+b3+c3abc=(a+b)(a2−ab+b2)+c3abc=−c(a2−ab+b2)+c3abc=−c[(a+b)2−3ab]+c3abc=−c(c2−3ab)+c3abc=3abcabc=3，
故答案为：3．
设三个方程的公共根为t，代入三个方程整理得到(a+b+c)(t2+t+1)=0，进而得到a+b+c=0，进而求解结论．
本题考查了方程的根，整体思想和转化思想的应用，属于基础题．
17.【答案】解：(1)因为A={−1,0,1}，B={0,2}，
所以A∪B={−1,0,1,2}．
(2)因为U={−1,0,1,2,3}，A={−1,0,1}，B={0,2}，
所以A∩B={0}，
所以∁U(A∩B)={−1,1,2,3}．
【解析】(1)根据并集的定义计算可得；
(2)根据交集、补集的定义计算可得；
本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题．
18.【答案】解：(1)由题意：集合A={x|−2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m−1}，
当m=4时，B={x|5≤x≤7}，∴A∪B={x|−2≤x≤7}．
(2)∵B∩A=B，∴B⊆A，
当B=Φ时，满足题意，此时m+1>2m−1，解得：m<2；
当B≠Φ时，−2≤m+1≤2m−1≤5，解得：2≤m≤3；
综上所得：当B⊆A时，m的取值范围为(−∞,3]．
【解析】(1)求出集合A，B，由此能求出A∪B．
(2)由B∩A=B，得B⊆A，当B=⌀时，m+1>2m−1，当B≠⌀时，−2≤m+1≤2m−1≤5，由此能求出当B⊆A时，m的取值范围．
本题考查并集的求法，考查实数的取值范围的求法，考查并集、子集等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
19.【答案】(1)证明：因为关于x的一元二次方程x2−(2m+4)x+m2+4m=0的Δ=(2m+4)2−4(m2+4m)=16>0，
所以无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根．
(2)因为无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根，
由根与系数的关系可得：x1+x2=2m+4x1x2=m2+4m，
则x12+x22−4x1x2=(x1+x2)2−6x1x2=(2m+4)2−6(m2+4m)=−2(m+2)2+24，
故当m=−2时，代数式x12+x22−4x1x2取到最大值为24．
【解析】(1)由题意，求出判别式即可证明．
(2)利用根与系数的关系，代入结合二次函数分析求解即可．
本题主要考查一元二次方程的解和判它的别式的关系，根与系数的关系，属于基础题．
20.【答案】解：(1)当a<0时，令ax2−(a+2)x+2=0，
解得x1=1,x2=2a，
此时1>2a，
则由ax2−(a+2)x+2≤0，得(x−1)(x−2a)≥0，
故不等式解集为(−∞,2a]⋃[1,+∞)；
(2)当a>0时，令ax2−(a+2)x+2=0，解得x1=1,x2=2a，
若1<2a，即0此时要使解集中恰有3个整数，这3个整数只能是1，2，3，
所以0若1=2a，即a=2时，不等式解集为{1}，此时不符合题意；
若1>2a，即a>2时，不等式解集为[2a,1]，
而0<2a<1，此时不等式解集[2a,1]只有一个整数解1，故不符合题意，
综上所述，实数a的取值范围为(12,23]．
【解析】(1)根据一元二次不等式的解法求解即可；
(2)先根据一元二次不等式的解法解含参不等式，再结合不等式的解集中恰有3个整数，即可得解．
本题主要考查了含参数的一元二次不等式的解法，属于中档题．
21.【答案】解：(1)设草坪的宽为x米，长为y米，
由题意得知草坪面积为300平方米，
所以有y=300x，
又因为矩形草坪的长比宽至少多5米，
即有300x≥x+5，
故x2+5x−300≤0⇒(x+20)(x−15)≤0，解得−20≤x≤15，
又因为x>0，
所以0所以草坪宽的最大值为15米；
(2)设整个绿化面积为S平方米，
由题意可得S=(2x+6)(y+4)=(2x+6)(300x+4)=624+8(x+225x)≥614+8×2x⋅ 225x=864，
当且仅当x=225x，即x=15时，等号成立，
故整个绿化面积的最小值为864平方米．
【解析】(1)根据“矩形草坪的长比宽至少多5米”列不等式，解不等式来求得草坪宽的最大值；
(2)求得绿化面积的表达式，利用基本不等式求得最小值．
本题考查了函数在实际生活中的应用，也考查了利用基本不等式求函数的最值，属于基础题．
22.【答案】解：(1)函数g(x)=x2−2ax+2a−1的值域[0,+∞)，
所以Δ=(2a)2−4(2a−1)=0，解得a=1；
(2)由题意可知g(x)min≤1g(x)max≥5，
函数g(x)=x2−2ax+2a−1图象开口向上，对称轴为直线x=a．
①当a≤−2时，函数g(x)在[−2,2]上为增函数，
则g(x)min=g(−2)=6a+3，g(x)max=g(2)=−2a+3，
故6a+3≤1−2a+3≥5，此时a≤−2；
②当−2g(x)min=g(a)=−a2+2a−1,g(x)max=g(2)=−2a+3，
故−a2+2a−1≤1−2a+3≥5，此时−2③当0g(x)min=g(a)=−a2+2a−1,g(x)max=g(−2)=6a+3，
故−a2+2a−1≤16a+3≥5，此时13≤a<2；
④当a≥2时，g(x)在[−2,2]上减函数，
∴g(x)max=g(−2)=6a+3，g(x)min=g(2)=−2a+3，
故−2a+3≤16a+3≥5，此时a≥2．
综上所述，实数a的取值范围是(−∞,−1]∪[13,+∞)．
【解析】(1)由函数的最小值，知函数的判别式Δ=0，求解即可；
(2)由题意可知g(x)min≤1g(x)max≥5，函数g(x)=x2−2ax+2a−1对称轴为直线x=a，分类讨论当a≤−2，−2本题考查了函数的恒成立问题，属于中档题．

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