还剩9页未读，
继续阅读
2020-2021学年湖南省名校联考联合体高二（下）期末数学试卷（答案）
展开
这是一份2020-2021学年湖南省名校联考联合体高二（下）期末数学试卷（答案），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年湖南省名校联考联合体高二（下）期末数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1．【解答】解：∵A＝{x|﹣3＜x＜3}，B＝{0，1，2，3，4}，
∴A∩B＝{0，1，2}，
∴A∩B的子集个数为：23＝8．
故选：D．
2．【解答】解：以C为原点，建立如图所示的直角坐标系，
则B（6，0），A（0，8），D（3，4），C（0，0）
所以＝（6，﹣8），＝（3，4），
所以＝6×3+（﹣8）×4＝﹣14．
故选：A．
3．【解答】解：恰好一个白球一个红球的概率是．
故选：C．
4．【解答】解：由题意可得，即，
∵a2＝b2+c2，
∴，即a2＝4b2，
∵a＞b＞0，
∴a＝2b．
故选：B．
5．【解答】解：∵f（x）是定义域为R的偶函数，当x∈（﹣∞，0）时，f（x）是增函数，
∴当x∈（0，+∞）时，f（x）是减函数，
∵f（﹣π）＝f（π），
∴f（π）＜f（3）＜f（2），
即f（﹣π）＜f（3）＜f（2）．
故选：D．
6．【解答】解：根据题意，设大老鼠每天挖墙的尺寸为数列{an}，小老鼠每天挖墙的尺寸为数列{bn}，
两个数列都是等比数列：其首项都为1，公比分别为2，，
第3天结束后，两只老鼠共打洞的尺寸为+＝7+2﹣＝，
则第3天结束后，两只老鼠相距10﹣＝尺，
故选：A．
7．【解答】解：∵（x﹣2y）4的展开式中的通项公式为 Tr+1＝•（﹣2）r•x4﹣r•yr，
的展开式中x2y3项的系数为 •（﹣2）3+•（﹣2）＝﹣40，
故选：B．
8．【解答】解：根据题意，忍术都需要配合至少3个结印手势且相邻的手势不相同，不同的手势对应不同的忍术，
若某忍术需要n个手势，则有12×11n﹣1种不同情况，即有12×11n﹣1种不同忍术；
据此依次分析选项：
对于A，当n＝7时，共有12×116种不同的忍术，A错误；
对于B，当n＝4时，共有12×113种不同的忍术，B错误；
对于C，当n＝3时，共有12×112＝1452种不同的忍术，C正确；
对于D，当n＝11时，有12×1110种不同的忍术，当n＝10时，有12×119种不同的忍术，
则当n＝11时的忍术种类是n＝10的忍术种类的11倍，D错误；
故选：C．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．【解答】解：由题意知，2020年全国居民人均消费支出为22000×1.5＝33000元，
选项A，2020年的全国人均教育文化娱乐支出金额为33000×9.6%＝3168元，
2015年的全国人均教育文化娱乐支出金额为22000×11%＝2420元，由于3168＞2420，即选项A正确；
选项B，2015年和2020年全国人均衣食行支出金额分别为22000×51.3%＝11286元，33000×49%＝16170元，由于11286≠16170，即选项B错误；
选项C，2020年全国人均居住和医疗卫生支出金额总和为33000×（24.6%+8.7%）＝10989元，
2015年除衣食行外的全国人均支出金额总和为22000﹣11286＝10714元，由于10989＞10714，即选项C正确；
选项D，2015年在居住方面的投入为22000×21.8%＝4796元，2020年在居住方面的投入为33000×24.6%＝8118元，
由于4796＜8118，即选项D正确．
故选：ACD．
10．【解答】解：因为a，b为正数，且a+b＝1，
则，当且仅当a＝b＝时取等号，
则，当且仅当ab＝1时取等号，
因为，所以等号取不到，
故选项A错误；
因为且a+b＝1，所以，
当且仅当a＝b＝时取等号，
故选项B正确；
由，当且仅当a＝b＝时取等号，
故选项C正确；
因为a+b＝1，且a，b都为正数，
所以﹣1＜a﹣b＜1，
则2﹣1＜2a﹣b＜2，即，
故选项D正确．
故选：BCD．
11．【解答】解：如图所示：
设正方体的棱长为4a，在BB1上取一点G使得平面EFG与平面ABCD所成的锐二面角为60°，
因为E，F分别为棱AB，BC的中点，
所以EG＝FG，
连接BD交EF于点N，连接AC，
所以EF⊥BN，且N为EF的中点，
BN＝BD，
所以GN⊥EF，
所以∠GNB为平面EFG与平面ABCD所成的锐二面角为60°，
所以GB＝tan60°•BN＝××4a＝a，
所以＝＝，
所以此时平面EFG为平面α，
所以平面α为三角形，故A正确；
在AA1和CC1上分别取点M和点H，使得AM＝CH，
取MH，AC的中点K，O，
则KO⊥平面ABCD，
又因为EF⊂平面ABCD，
所以KO⊥EF又NO⊥EF，
所以EF⊥平面KNO，
又因为KN⊂平面KNO，
所以∠KNO为平面MEFH与平面ABCD所成的锐二面角为60°，
所以KO＝tan60°•ON＝××4a＝a，
所以＝＝＝＝，
延长FH交B1C1于T，延长EM交B1A1于S，连接ST交A1D1于Q，交C1D1于P，
连接HP，MQ，则平面MEFHPQ为平面α，
所以平面α为六边形，故D正确．
故选：AD．
12．【解答】解：对于A，ln（+i）＝lne＝i，故A正确；
对于B，z＝+i＝e，z2021＝e＝cos+isin＝cos﹣isin＝﹣i＝，故B正确；
对于C，若复数eiα与复数eiβ在复平面内表示的向量相互垂直，eiα对应的向量坐标为（cosα，sinα），
eiβ对应的向量坐标为（cosβ，sinβ），可得cosαcosβ+sinαsinβ＝cos（α﹣β）＝0，则α﹣β＝kπ+，k∈Z，故C错误；
对于D，复数eiα与复数ieiα在复平面内表示的向量分别为（cosα，sinα），（﹣sinα，cosα），则cosα（﹣sinα）+sinαcosα＝0，可得两向量相互垂直，故D正确．
故选：ABD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．【解答】解：因为，，
所以sinα＝，cosα＝﹣＝﹣，
则sin2α＝2sinαcosα＝﹣．
故答案为：﹣．
14．【解答】解：函数f（x）＝xe﹣x+a的导数为f′（x）＝e﹣x（1﹣x），
因为x∈[﹣1，0]，所以f′（x）＞0，f（x）在[﹣1，0]为增函数，
可得f（x）的最大值为f（0）＝a＝1，
所以f（x）在（0，1）处的切线的斜率为1，
则切线的方程为y＝x+1．
故答案为：y＝x+1．
15．【解答】解：构造二次函数y＝x2﹣9，图象开口向上，且对称轴是x＝0．
则函数在（﹣∞，0）递减，在（3，+∞）递增，
且与x轴的交点坐标是（﹣3，0），（3，0）．
令f（x）＝|x2﹣9|，
∵f（﹣x）＝|（﹣x）2﹣9|＝|x2﹣9|＝f（x），
∴f（x）是偶函数，图象关于y轴对称．
且其图象如下图：
显然函数f（x）图象关于y轴对称，且在（0，3）递减，在（3，+∞）递增．
故答案为：f（x）＝|x2﹣9|（答案不唯一）．
16．【解答】解：当直线l的斜率为0时，
设M（x1，y1），N（x2，y2），
∵直线l与抛物线相交于M，N两点，且与圆相切，
又∵圆的半径为r＝，
∴，
∵抛物线x2＝4y，
∴p＝2，
∴|MF|+|NF|＝，
设直线l的方程为y＝kx+b（b＞0），
联立直线与抛物线方程，可得x2﹣4kx﹣4b＝0，
由韦达定理，可得x1+x2＝4k，，
∵直线l与抛物线相交于M，N两点，且与圆相切，
∴，即，
又由抛物线的定义，|MF|＝y1+1，|NF|＝y2+1，
∴|MF|+|NF|＝y1+y2+2＝4k2+2b+2＝，
不妨设A点在B点的左边，联立圆与抛物线方程，解得A（），，
∴，
∴分别过点A，B的圆的切线斜率为，
∴，
∴0≤k2≤2，
∴，
∵b＞0，
∴，
∵，
∴|MF|+|NF|的取值范围是[]．
故答案为：，[]．
四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【解答】解：（1）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且，
利用正弦定理整理得：，
由于c＝2，
所以sinC+，
所以2sin（C+）＝，
由于0＜C＜π，
故C＝．
（2）由于c2＝a2+b2﹣2abcosC＝a2+b2﹣ab≥ab（当且仅当a＝b时，等号成立），
所以ab≤12，
则．
18．【解答】解：（1）数列{an}满足an+an+2＝2an+1，
即为an+2﹣an+1＝an+1﹣an＝...＝a2﹣a1，
所以{an}是等差数列，且公差为a2﹣a1＝2，首项为1，
则an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1；
（2）当n＝1时，3b1＝3S1＝b2﹣1＝3，可得b2＝4；
当n≥2时，3Sn﹣1＝bn﹣1，又3Sn＝bn+1﹣1，
两式相减可得3bn＝bn+1﹣bn，
即bn+1＝4bn，
当n＝1时，上式也成立．
所以bn＝4n﹣1，
＝＝＝（﹣），
所以Tn＝（1﹣+﹣+...+﹣）＝（1﹣）＝．
19．【解答】（1）证明：四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，所以CD⊥AD；
又因为侧棱PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD，
又因为PA∩AD＝A，且PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，
所以CD⊥平面PAD；
又因为PE⋅FD＝PF⋅EC，所以＝，
所以EF∥CD，所以EF⊥平面PAD；
（2）解：正方形ABCD中，AB⊥AD，侧棱PA⊥底面ABCD，
所以∠PCA是直线PC与底面ABCD所成的角；
所以sin∠PCA＝＝；
建立空间直角坐标系O﹣xyz，如图所示：
设AB＝1，AC＝，PA＝，
依题意知，A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），P（0，0，），
由PE＝PC知，E（，，），
因为BD⊥AC，PA⊥BD，且PA∩AC＝A，
所以BD⊥平面PAC，平面CAE的法向量是＝（﹣1，1，0）；
由＝（，，），＝（0，1，0），
设平面AED的法向量为＝（x，y，z），
则，
令x＝3，得z＝﹣，＝（3，0，﹣），
所以cos＜，＞＝＝＝﹣，
由二面角C﹣AE﹣D为锐角，所以二面角C﹣AE﹣D的余弦值为．
20．【解答】解：（1）由题意可知，水稻稻种生育期天数的平均值为：
125×0.04+135×0.12+145×0.64+155×0.2＝145；
设中位数为140+x，则0.064x＝0.34，
解得x＝5.3，
所以中位数为145；
（2）设从国家水稻中心收录的所有稻种中抽取1个品种，该品种生育期超过中位数为事件A，
则P（A）＝0.5，
由题意可知，X的可能取值为3，4，5，
所以P（X＝3）＝＝，
P（X＝4）＝＝，
P（X＝5）＝﹣＝，
所以X的分布列为：
X
3
4
5
P
则E（X）＝3×+4×+5×＝．
21．【解答】解：（1）由双曲线E的离心率为，右焦点与椭圆的右焦点重合，
得，解得a＝1，b＝＝，c＝，
所以双曲线E的方程为x2﹣＝1．
（2）设P点坐标为（x0，y0），
过点P与渐近线平行的直线分别为l1，l2，方程分别为y﹣y0＝（x﹣x0），y﹣y0＝﹣（x﹣x0），
联立，解得，
同理联立，解得，
又渐近线方程为y＝±x，
则sin∠AOB＝，
所以S2平行四边形OAPB＝OA2OB2sin2∠AOB＝••＝，
又点P在双曲线上，则2x02﹣y02＝2，
所以S2平行四边形OAPB＝，
所以平行四边形OAPB的面积为定值，且定值为．
22．【解答】解：（1）由题意可知，f（x）的定义域为（0，+∞），
f'（x）＝﹣lnx+2ax，令f'（x）＝0，解得，
令h（x）＝，
则由题意可知，y＝2a与函数y＝h（x）的图象有两个不同的交点，
h'（x）＝．令h'（x）＝0，可得x＝e，
则函数h（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，
所以当x＝e时，函数h（x）取得最大值h（e）＝，
又当x→0时，h（x）→﹣∞，
当x→+∞时，h（x）→0，
所以，则a∈，
故实数a的取值范围为；
（2）当a＝1时，f（x）＝﹣xlnx+x2+x，
由2k（x﹣2）+f（x）＜g（x）对x＞2恒成立，
等价于2k（x﹣2）＜xlnx+x当x＞2恒成立，
即2k＜对x＞2恒成立，
令F（x）＝（x＞2），则，
令m（x）＝x﹣4﹣2lnx（x＞2），
则m'（x）＝1﹣，
所以m（x）在（2，+∞）上单调递增，
又m（8）＝4﹣2ln8＜4﹣2lne2＝0，
m（10）＝6﹣2ln10＞6﹣2lne3＝0，
所以m（x）在（8，10）上有唯一的零点x0，即x0﹣4﹣2lnx0＝0，
当2＜x＜x0时，m（x）＜0，即F'（x）＜0，则F（x）单调递减，
当x＞x0时，m（x）＞0，即F'（x）＞0，则F（x）单调递增，
所以＝，
所以，又x0∈（8，10），
所以，
又k∈N，
所以k的最大值为2．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
2020-2021学年湖南省名校联考联合体高二（下）期末数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1．【解答】解：∵A＝{x|﹣3＜x＜3}，B＝{0，1，2，3，4}，
∴A∩B＝{0，1，2}，
∴A∩B的子集个数为：23＝8．
故选：D．
2．【解答】解：以C为原点，建立如图所示的直角坐标系，
则B（6，0），A（0，8），D（3，4），C（0，0）
所以＝（6，﹣8），＝（3，4），
所以＝6×3+（﹣8）×4＝﹣14．
故选：A．
3．【解答】解：恰好一个白球一个红球的概率是．
故选：C．
4．【解答】解：由题意可得，即，
∵a2＝b2+c2，
∴，即a2＝4b2，
∵a＞b＞0，
∴a＝2b．
故选：B．
5．【解答】解：∵f（x）是定义域为R的偶函数，当x∈（﹣∞，0）时，f（x）是增函数，
∴当x∈（0，+∞）时，f（x）是减函数，
∵f（﹣π）＝f（π），
∴f（π）＜f（3）＜f（2），
即f（﹣π）＜f（3）＜f（2）．
故选：D．
6．【解答】解：根据题意，设大老鼠每天挖墙的尺寸为数列{an}，小老鼠每天挖墙的尺寸为数列{bn}，
两个数列都是等比数列：其首项都为1，公比分别为2，，
第3天结束后，两只老鼠共打洞的尺寸为+＝7+2﹣＝，
则第3天结束后，两只老鼠相距10﹣＝尺，
故选：A．
7．【解答】解：∵（x﹣2y）4的展开式中的通项公式为 Tr+1＝•（﹣2）r•x4﹣r•yr，
的展开式中x2y3项的系数为 •（﹣2）3+•（﹣2）＝﹣40，
故选：B．
8．【解答】解：根据题意，忍术都需要配合至少3个结印手势且相邻的手势不相同，不同的手势对应不同的忍术，
若某忍术需要n个手势，则有12×11n﹣1种不同情况，即有12×11n﹣1种不同忍术；
据此依次分析选项：
对于A，当n＝7时，共有12×116种不同的忍术，A错误；
对于B，当n＝4时，共有12×113种不同的忍术，B错误；
对于C，当n＝3时，共有12×112＝1452种不同的忍术，C正确；
对于D，当n＝11时，有12×1110种不同的忍术，当n＝10时，有12×119种不同的忍术，
则当n＝11时的忍术种类是n＝10的忍术种类的11倍，D错误；
故选：C．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．【解答】解：由题意知，2020年全国居民人均消费支出为22000×1.5＝33000元，
选项A，2020年的全国人均教育文化娱乐支出金额为33000×9.6%＝3168元，
2015年的全国人均教育文化娱乐支出金额为22000×11%＝2420元，由于3168＞2420，即选项A正确；
选项B，2015年和2020年全国人均衣食行支出金额分别为22000×51.3%＝11286元，33000×49%＝16170元，由于11286≠16170，即选项B错误；
选项C，2020年全国人均居住和医疗卫生支出金额总和为33000×（24.6%+8.7%）＝10989元，
2015年除衣食行外的全国人均支出金额总和为22000﹣11286＝10714元，由于10989＞10714，即选项C正确；
选项D，2015年在居住方面的投入为22000×21.8%＝4796元，2020年在居住方面的投入为33000×24.6%＝8118元，
由于4796＜8118，即选项D正确．
故选：ACD．
10．【解答】解：因为a，b为正数，且a+b＝1，
则，当且仅当a＝b＝时取等号，
则，当且仅当ab＝1时取等号，
因为，所以等号取不到，
故选项A错误；
因为且a+b＝1，所以，
当且仅当a＝b＝时取等号，
故选项B正确；
由，当且仅当a＝b＝时取等号，
故选项C正确；
因为a+b＝1，且a，b都为正数，
所以﹣1＜a﹣b＜1，
则2﹣1＜2a﹣b＜2，即，
故选项D正确．
故选：BCD．
11．【解答】解：如图所示：
设正方体的棱长为4a，在BB1上取一点G使得平面EFG与平面ABCD所成的锐二面角为60°，
因为E，F分别为棱AB，BC的中点，
所以EG＝FG，
连接BD交EF于点N，连接AC，
所以EF⊥BN，且N为EF的中点，
BN＝BD，
所以GN⊥EF，
所以∠GNB为平面EFG与平面ABCD所成的锐二面角为60°，
所以GB＝tan60°•BN＝××4a＝a，
所以＝＝，
所以此时平面EFG为平面α，
所以平面α为三角形，故A正确；
在AA1和CC1上分别取点M和点H，使得AM＝CH，
取MH，AC的中点K，O，
则KO⊥平面ABCD，
又因为EF⊂平面ABCD，
所以KO⊥EF又NO⊥EF，
所以EF⊥平面KNO，
又因为KN⊂平面KNO，
所以∠KNO为平面MEFH与平面ABCD所成的锐二面角为60°，
所以KO＝tan60°•ON＝××4a＝a，
所以＝＝＝＝，
延长FH交B1C1于T，延长EM交B1A1于S，连接ST交A1D1于Q，交C1D1于P，
连接HP，MQ，则平面MEFHPQ为平面α，
所以平面α为六边形，故D正确．
故选：AD．
12．【解答】解：对于A，ln（+i）＝lne＝i，故A正确；
对于B，z＝+i＝e，z2021＝e＝cos+isin＝cos﹣isin＝﹣i＝，故B正确；
对于C，若复数eiα与复数eiβ在复平面内表示的向量相互垂直，eiα对应的向量坐标为（cosα，sinα），
eiβ对应的向量坐标为（cosβ，sinβ），可得cosαcosβ+sinαsinβ＝cos（α﹣β）＝0，则α﹣β＝kπ+，k∈Z，故C错误；
对于D，复数eiα与复数ieiα在复平面内表示的向量分别为（cosα，sinα），（﹣sinα，cosα），则cosα（﹣sinα）+sinαcosα＝0，可得两向量相互垂直，故D正确．
故选：ABD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．【解答】解：因为，，
所以sinα＝，cosα＝﹣＝﹣，
则sin2α＝2sinαcosα＝﹣．
故答案为：﹣．
14．【解答】解：函数f（x）＝xe﹣x+a的导数为f′（x）＝e﹣x（1﹣x），
因为x∈[﹣1，0]，所以f′（x）＞0，f（x）在[﹣1，0]为增函数，
可得f（x）的最大值为f（0）＝a＝1，
所以f（x）在（0，1）处的切线的斜率为1，
则切线的方程为y＝x+1．
故答案为：y＝x+1．
15．【解答】解：构造二次函数y＝x2﹣9，图象开口向上，且对称轴是x＝0．
则函数在（﹣∞，0）递减，在（3，+∞）递增，
且与x轴的交点坐标是（﹣3，0），（3，0）．
令f（x）＝|x2﹣9|，
∵f（﹣x）＝|（﹣x）2﹣9|＝|x2﹣9|＝f（x），
∴f（x）是偶函数，图象关于y轴对称．
且其图象如下图：
显然函数f（x）图象关于y轴对称，且在（0，3）递减，在（3，+∞）递增．
故答案为：f（x）＝|x2﹣9|（答案不唯一）．
16．【解答】解：当直线l的斜率为0时，
设M（x1，y1），N（x2，y2），
∵直线l与抛物线相交于M，N两点，且与圆相切，
又∵圆的半径为r＝，
∴，
∵抛物线x2＝4y，
∴p＝2，
∴|MF|+|NF|＝，
设直线l的方程为y＝kx+b（b＞0），
联立直线与抛物线方程，可得x2﹣4kx﹣4b＝0，
由韦达定理，可得x1+x2＝4k，，
∵直线l与抛物线相交于M，N两点，且与圆相切，
∴，即，
又由抛物线的定义，|MF|＝y1+1，|NF|＝y2+1，
∴|MF|+|NF|＝y1+y2+2＝4k2+2b+2＝，
不妨设A点在B点的左边，联立圆与抛物线方程，解得A（），，
∴，
∴分别过点A，B的圆的切线斜率为，
∴，
∴0≤k2≤2，
∴，
∵b＞0，
∴，
∵，
∴|MF|+|NF|的取值范围是[]．
故答案为：，[]．
四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【解答】解：（1）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且，
利用正弦定理整理得：，
由于c＝2，
所以sinC+，
所以2sin（C+）＝，
由于0＜C＜π，
故C＝．
（2）由于c2＝a2+b2﹣2abcosC＝a2+b2﹣ab≥ab（当且仅当a＝b时，等号成立），
所以ab≤12，
则．
18．【解答】解：（1）数列{an}满足an+an+2＝2an+1，
即为an+2﹣an+1＝an+1﹣an＝...＝a2﹣a1，
所以{an}是等差数列，且公差为a2﹣a1＝2，首项为1，
则an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1；
（2）当n＝1时，3b1＝3S1＝b2﹣1＝3，可得b2＝4；
当n≥2时，3Sn﹣1＝bn﹣1，又3Sn＝bn+1﹣1，
两式相减可得3bn＝bn+1﹣bn，
即bn+1＝4bn，
当n＝1时，上式也成立．
所以bn＝4n﹣1，
＝＝＝（﹣），
所以Tn＝（1﹣+﹣+...+﹣）＝（1﹣）＝．
19．【解答】（1）证明：四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，所以CD⊥AD；
又因为侧棱PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD，
又因为PA∩AD＝A，且PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，
所以CD⊥平面PAD；
又因为PE⋅FD＝PF⋅EC，所以＝，
所以EF∥CD，所以EF⊥平面PAD；
（2）解：正方形ABCD中，AB⊥AD，侧棱PA⊥底面ABCD，
所以∠PCA是直线PC与底面ABCD所成的角；
所以sin∠PCA＝＝；
建立空间直角坐标系O﹣xyz，如图所示：
设AB＝1，AC＝，PA＝，
依题意知，A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），P（0，0，），
由PE＝PC知，E（，，），
因为BD⊥AC，PA⊥BD，且PA∩AC＝A，
所以BD⊥平面PAC，平面CAE的法向量是＝（﹣1，1，0）；
由＝（，，），＝（0，1，0），
设平面AED的法向量为＝（x，y，z），
则，
令x＝3，得z＝﹣，＝（3，0，﹣），
所以cos＜，＞＝＝＝﹣，
由二面角C﹣AE﹣D为锐角，所以二面角C﹣AE﹣D的余弦值为．
20．【解答】解：（1）由题意可知，水稻稻种生育期天数的平均值为：
125×0.04+135×0.12+145×0.64+155×0.2＝145；
设中位数为140+x，则0.064x＝0.34，
解得x＝5.3，
所以中位数为145；
（2）设从国家水稻中心收录的所有稻种中抽取1个品种，该品种生育期超过中位数为事件A，
则P（A）＝0.5，
由题意可知，X的可能取值为3，4，5，
所以P（X＝3）＝＝，
P（X＝4）＝＝，
P（X＝5）＝﹣＝，
所以X的分布列为：
X
3
4
5
P
则E（X）＝3×+4×+5×＝．
21．【解答】解：（1）由双曲线E的离心率为，右焦点与椭圆的右焦点重合，
得，解得a＝1，b＝＝，c＝，
所以双曲线E的方程为x2﹣＝1．
（2）设P点坐标为（x0，y0），
过点P与渐近线平行的直线分别为l1，l2，方程分别为y﹣y0＝（x﹣x0），y﹣y0＝﹣（x﹣x0），
联立，解得，
同理联立，解得，
又渐近线方程为y＝±x，
则sin∠AOB＝，
所以S2平行四边形OAPB＝OA2OB2sin2∠AOB＝••＝，
又点P在双曲线上，则2x02﹣y02＝2，
所以S2平行四边形OAPB＝，
所以平行四边形OAPB的面积为定值，且定值为．
22．【解答】解：（1）由题意可知，f（x）的定义域为（0，+∞），
f'（x）＝﹣lnx+2ax，令f'（x）＝0，解得，
令h（x）＝，
则由题意可知，y＝2a与函数y＝h（x）的图象有两个不同的交点，
h'（x）＝．令h'（x）＝0，可得x＝e，
则函数h（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，
所以当x＝e时，函数h（x）取得最大值h（e）＝，
又当x→0时，h（x）→﹣∞，
当x→+∞时，h（x）→0，
所以，则a∈，
故实数a的取值范围为；
（2）当a＝1时，f（x）＝﹣xlnx+x2+x，
由2k（x﹣2）+f（x）＜g（x）对x＞2恒成立，
等价于2k（x﹣2）＜xlnx+x当x＞2恒成立，
即2k＜对x＞2恒成立，
令F（x）＝（x＞2），则，
令m（x）＝x﹣4﹣2lnx（x＞2），
则m'（x）＝1﹣，
所以m（x）在（2，+∞）上单调递增，
又m（8）＝4﹣2ln8＜4﹣2lne2＝0，
m（10）＝6﹣2ln10＞6﹣2lne3＝0，
所以m（x）在（8，10）上有唯一的零点x0，即x0﹣4﹣2lnx0＝0，
当2＜x＜x0时，m（x）＜0，即F'（x）＜0，则F（x）单调递减，
当x＞x0时，m（x）＞0，即F'（x）＞0，则F（x）单调递增，
所以＝，
所以，又x0∈（8，10），
所以，
又k∈N，
所以k的最大值为2．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
相关试卷
2022-2023学年湖南省湘潭市湘潭县名校联考联合体高二（下）期末数学试卷(含详细答案解析)： 这是一份2022-2023学年湖南省湘潭市湘潭县名校联考联合体高二（下）期末数学试卷(含详细答案解析)，共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年湖南省名校联考联合体高一（下）入学数学试卷（含解析）： 这是一份2022-2023学年湖南省名校联考联合体高一（下）入学数学试卷（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
湖南省名校联考联合体2020-2021学年高二下学期期末暨新高三适应性联考数学试题及参考答案： 这是一份湖南省名校联考联合体2020-2021学年高二下学期期末暨新高三适应性联考数学试题及参考答案，文件包含湖南省名校联考联合体2020-2021学年高二下学期期末暨新高三适应性联考数学答案pdf、湖南省名校联考联合体2020-2021学年高二下学期期末暨新高三适应性联考数学试题pdf等2份试卷配套教学资源，其中试卷共9页， 欢迎下载使用。
